17.2用提公式法分解因式 同步练习题 2025-2026学年人教版八年级数学上册

2025-2026学年人教版八年级数学上册《17.2用提公式法分解因式》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（   ） A．6 B．9 C． D． 4．将多项式分解因式为：，则（   ） A． B．8 C． D．6 5．对于任意整数，多项式都是能被（ ）整数． A． B． C． D． 6．若，，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 7．李明喜欢密码编译，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，4，，分别对应下列六个字：国，爱，美，我，中，丽，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（  ） A．美丽中国 B．我爱中国 C．我爱美 D．我爱美丽 二、填空题 8．若可以因式分解为，则的值为 ． 9．分解因式： ． 10．分解因式： ． 11．若，则代数式的值等于 ． 12．分解因式： ． 13．如果a，b，c满足，那么 ． 14．已知的三边的边长分别是a，b，c，且满足，判断此三角形的形状为 ． 三、解答题 15．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4) 16．简便运算 (1)； (2)； (3)． 17．因为，又因为整式乘法与因式分解互为逆运算，则 ．利用以上知识解答下面两题： (1)分解因式： ； (2)分解因式： ． 18．现有甲，乙，丙三种不同的矩形纸片（边长如图）． (1)取甲，乙纸片各1块，其面积和为 ． (2)嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片 块． (3)从这些纸片中选取几张，用它们拼成一个面积为的长方形请画出所拼的长方形． 19．整式乘法与多项式因式分解是有联系的两种变形，把多项式乘多项式法则反过来，将得到：．这样该多项式就被分解为若干个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫作分组分解法． 例：      第一步           第二步 ． 第三步 (1)上述求解过程中，第二步变形是利用了______（填乘法公式的名称）． (2)利用上述方法将下列各式因式分解： ①； ②． 20．【阅读材料】 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 (1)因式分解：． (2)因式分解：． (3)证明：若为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方． 参考答案 1．B 【分析】本题主要考查了因式分解，理解平方差公式和完全平方公式是解题的关键．分别根据提公因式法和公式法分解因式，逐个判断即可． 【详解】解：A、，故A不正确； B、，故B正确； C、，故C不正确； D、，故D不正确． 故选：B． 2．B 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． 平方差公式适用于形如的式子，即两个平方项的差，需逐一分析选项是否符合该结构． 【详解】A、，这是两个平方项的和，不符合平方差公式的结构，无法用平方差公式分解，故不符合题意； B、可变形为，符合平方差公式，可分解为，故符合题意； C、这是完全平方式，可分解为，但不符合平方差公式的结构，故不符合题意； D、可提取负号得，仍是两个平方项的和，无法用平方差公式分解，故不符合题意； 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了平方差公式以及已知式子的值求代数式的值，利用平方差公式，再结合条件整理得，再代入得，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， 则， 故选：B 4．D 【分析】本题考查因式分解，将右边因式展开后与左边多项式对应系数比较，求出a和b的值，再代入计算即可． 【详解】解： ∴， ∴， ∴； 故选D． 5．B 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，综合运用提取公因式和公式法进行因式分解成为解题的关键． 先将多项式因式分解，然后根据因式分解的结果判断即可． 【详解】解： ， 所以能被8整除． 故选B． 6．B 【分析】此题主要考查了整式因式分解的应用和大小比较的能力，解题的关键是能准确确定解题方法，并能进行正确地变形、求解．运用作差法和因式分解进行比较即可． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴， ∴， 故选：B． 7．B 【分析】本题考查因式分解的应用． 先提取公因式，再提根据完全平方公式分解因式，再根据对应的汉字判断即可． 【详解】解： ， ∵对应“我”，对应“爱”，对应“中”，对应“国”， ∴组合结果只有B“我爱中国”符合， 故选：B． 8． 【分析】本题主要考查了公式法因式分解的逆运算，并且考查了代数式相等条件：对应项的系数相同． 根据公式法分解因式的逆运算，把完全平方公式展开再利用对应项系数相等即可求解． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为． 9． 【分析】本题考查因式分解，根据多项式特征，选择恰当的分解方法是求解本题的关键．先提公因式，再用平方差公式分解即可． 【详解】解： 故答案为： 10． 【分析】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键； 原多项式先提取公因式3，再利用公式法分解因式即可． 【详解】解： ． 11．49 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，根据，得到，根据平方差公式结合整体代入法进行求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故答案为：49． 12． 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法，分组分解法等．本题利用分组分解法，公式法和提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13．6069 【分析】本题主要考查完全平方公式，因式分解的应用，把通过拆分重新组合成完全平方式的和的形式，写成非负数之和等于0的形式，即可求解．熟记公式结构，把多项式利用完全平方公式写成平方和的形式是解题的关键． 【详解】解：∵， 即：， ∴， ∴，，， ∴，，，即：， ∴ ， ， 故答案为：6069． 14．等边三角形/正三角形 【分析】本题考查完全平方公式的应用，将原式变形为，根据平方的非负性可得，，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：等边三角形． 15．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查因式分解，掌握提公因式法，公式法进行因式分解的方法是解题的关键． （1）先提公因式，再运用完全平方公式即可求解． （2）先提公因式，再运用完全平方公式即可求解． （3）先利用平方差公式，再利用完全平方公式即可求解． （4）先计算整式的乘法进行计算，再利用完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 16．(1)9900 (2)400 (3)1 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数的混合运算、因式分解的应用等知识点，灵活运用提取公因式法和公式法分解因式成为解题的关键． （1）先提取公因数99因式分解，然后再计算即可； （2）先运用平方差公式因式分解，然后再计算即可； （3）先运用完全平方公式因式分解，然后再计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：     ． （3）解： ． 17．(1)) (2) 【分析】本题考查因式分解． （1）利用十字相乘法因式分解即可； （2）利用十字相乘法因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．(1) (2)6 (3)见解析 【分析】本题考查了因式分解以及完全平方公式的几何意义，解决本题的关键是牢记公式特点，灵活运用公式． （1）直接利用正方形面积公式进行计算即可； （2）根据已知图形的面积公式的特征，利用完全平方公式即可判定应增加的项，再对应到图形上即可； （3）把原式进行因式分解可得所拼的长方形的长为，宽为，即可解答． 【详解】（1）解：取甲，乙纸片各1块，其面积和为； 故答案为： （2）解：∵甲纸片1块和乙纸片9块的面积之和为：，且是完全平方式， ∴要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形时，还需取丙纸片6块， 故答案为：6． （3）解：∵， ∴所拼的长方形的长为，宽为， 画出所拼的长方形为 19．(1)完全平方公式 (2)①；② 【分析】（1）该步是完全平方和公式的运用； （2）①按题干方法即可分解因式；②分组分解因式即可：． 本题考查因式分解的方法，熟练掌握各种因式分解方法并灵活选用是解题的关键． 【详解】（1）是完全平方和公式的应用， 故答案为：完全平方公式； （2）①原式； ②原式． 20．(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是熟练运用整体思想和十字相乘法与完全平方公式因式分解的能力． （1）将看作整体，利用完全平方公式因式分解即可得； （2）将看作整体，先整理整理成一般式，再利用完全平方公式因式分解可得； （3）先计算得，再将看作整体因式分解得原式，继而由为正整数可得结论． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令， 则原式， 再将“”还原，原式； （2）解：将“”看成整体，令， 则原式， 再将“”还原，原式； （3）解：证明：原式 ， 为正整数， 为正整数， 式子的值一定是某个整数的平方． 学科网（北京）股份有限公司 $