2.2等腰三角形教学设计 2025-2026学年浙教版数学八年级上册

2.2　等腰三角形 课题 2.2　等腰三角形 授课人 教 学 目 标 1.了解等腰三角形的概念. 2.掌握等腰三角形的轴对称性:等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在的直线是它的对称轴. 3.会运用等腰三角形的概念和轴对称性解决简单的几何问题. 4.了解等边三角形的概念. 教学 重点 　　等腰三角形的轴对称性. 教学 难点 　　等腰三角形的轴对称性的推理说明. 授课 类型 新授课 课时 教具 直尺、圆规及多媒体课件 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 　　师:三角形按角分类可以分成哪几类? 生:可以分成锐角三角形、直角三角形和钝角三角形,共三类. 师:那么三角形按边分类又可以怎样分呢? 引出课题:等腰三角形. 　　学生回忆并回答,为学习本节课做铺垫. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 请同学们按照边长特点给下列三角形进行分类: 图2-2-7 按边长分类:三边都不相等的三角形:②③; 有两边相等的三角形:①④⑤; 三边都相等的三角形:①. 有两边相等的三角形是什么三角形? 引出等腰三角形的概念. 　　由三角形的按边分类引出课题,激发学生探索新知识的欲望. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 等腰三角形的有关概念及轴对称性 在小学我们已经学过,有两边相等的三角形叫作等腰三角形.如图2-2-8,在△ABC中,AB=AC,△ABC是等腰三角形.在等腰三角形中,相等的两边叫作腰,另一边叫作底边.两腰的夹角叫作顶角,腰和底边的夹角叫作底角. 图2-2-8 问题1:如图2-2-9,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,将△ABC沿AD所在的直线折叠,那么点B与点C会重合吗? 图2-2-9 引导学生自己折叠,验证并思考. 当我们沿着等腰三角形ABC的顶角平分线AD所在的直线把△ABC对折时,因为∠BAD=∠CAD,所以射线AB与AC重合.又因为AB=AC,所以点B与点C重合. 图2-2-10 　　1.让学生自己动手折一折,从一组对应点的重合延伸到多组对应点的重合,再到连结对应点的线段之间互相平行的特殊关系,引导学生深切感受并理解等腰三角形的轴对称性. 活动 二: 探究 与 应用 　问题2:如图2-2-10,在△ABC中,AB=AC,D,E分别是AB,AC上的点,且AD=AE,AP是△ABC的角平分线.点D,E关于AP对称吗?DE与BC有怎样的位置关系?请说明你的判断. 点D和点E关于AP对称,且DE∥BC.理由如下:因为AP是∠BAC的平分线,AB=AC,AD=AE,所以等腰三角形ABC和等腰三角形ADE都是以直线AP为对称轴的轴对称图形,点B和点C,点D和点E都关于AP对称.根据“对称轴垂直平分连结两个对称点的线段”,知AP⊥DE,AP⊥BC,所以DE∥BC. 归纳:等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在的直线是它的对称轴.【探究2】 等边三角形的概念及轴对称性 问题1:三条边都相等的三角形是什么三角形? 三条边都相等的三角形叫作等边三角形. 问题2:等边三角形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴? 等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在的直线是它的对称轴.等边三角形是特殊的等腰三角形,所以等边三角形是轴对称图形,各个内角的平分线所在的直线都是它的对称轴,因此等边三角形有三条对称轴. 【探究3】 用尺规作等腰三角形 学习了等腰三角形的相关知识,你能利用直尺和圆规作等腰三角形吗?如图2-2-11,已知线段a和b,用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使得AB=AC=b,BC=a. 图2-2-11 图2-2-12 作法:如图2-2-12.作射线BE,在射线BE上截取线段BC=a,再分别以点B,C为圆心,线段b的长为半径作弧,两弧交于一点A,连结AB,AC,则△ABC即为所求作的三角形. 问题1:若把腰长与底边长的对应条件撤去呢? 会出现两种情况,第一种情况:a是腰长,b是底边长;第二种情况:b是腰长,a是底边长.分情况作出等腰三角形ABC. 问题2:若a<b,则问题1中的两种情况都能作出△ABC吗? 当a是底边长,b是腰长时,因为a+b>b,所以能构成三角形,所以能作出△ABC;当a是腰长,b是底边长时,因为a+a<b,所以不能构成三角形,所以不能作出△ABC.因此给定的边不仅需要分类讨论,也要考虑是否满足三角形的三边关系. 　　2.带领学生再次感受等腰三角形的轴对称性,引入等边三角形之后讨论对称轴的条数,加深学生对等腰三角形轴对称性的理解. 3.带领学生感受圆规张开的角度不变,可以用来画相等的两条边,即保证腰长相等,为后续的动手操作题预留了作图方法的铺垫. 【应用举例】 例1　求证:等腰三角形两腰上的中线相等. 已知:如图2-2-13,在△ABC中,AB=AC,CD,BE分别是腰AB,AC上的中线. 求证:BE=CD. 图2-2-13 变式1　求证:等腰三角形两腰上的高线相等. 变式2　求证:等腰三角形两底角平分线相等. 　　1.通过例题的教学,巩固等腰三角形的轴对称性. 2.巩固命题证明的基本格式. 活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 例2　任务单挑战:我们手里的材料有剪刀以及如图2-2-14所示的三角形纸片若干,其中AB=4 cm,AC=3 cm,BC=6 cm.要求:①过钝角顶点只剪一次;②将三角形分割成两个三角形;③其中一个三角形是等腰三角形,可以怎么剪呢? 图2-2-14 分析:我们发现,剪开后左右两个三角形都有可能是等腰三角形,引导学生分成两个小组任务来分别完成. 【小组任务一】若△PAB是等腰三角形,则如何找到点P呢?已知的线段AB是作为腰还是底边,仍然是不确定的.如果线段AB是△PAB的腰,那么分别以点A,B为圆心,AB长为半径作弧与线段BC相交.当然,如果交点在线段BC之外,因为无法剪到,都是要舍去的.如果线段AB是△PAB的底边,需要作线段AB的垂直平分线与线段BC相交,相交的位置都是符合要求的点P位置. 【小组任务二】当△PAC为等腰三角形时,一样的做法,线段AC作为腰还是底边,依旧要分情况来讨论,大家可以自己试一试. 　　用“剪一剪”这类探究性的动手操作题让学生加深寻找符合要求的等腰三角形第三个顶点的方法的印象,体现了数学来源于生活,也将应用于生活的本质.在增加课堂趣味性的同时,也让学生进一步体会数学严谨的分类分析的过程,从数学活动中感受数学的魅力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.如图2-2-15,在△ABC中,若AB=AC,则腰是　　　　,底角是　　　　.  图2-2-15 2.如图2-2-16所示,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且AD=BD=BC,请写出图中所有的等腰三角形:　　　　　　　　　.  3.已知在等腰三角形ABC中,腰AB=8,底边BC=5,则这个三角形的周长为　　　　.  图2-2-16 4.如图2-2-17,D是等边三角形ABC内一点,且AD平分∠BAC. 求证:△DBC是等腰三角形. 图2-2-17 　　1.达标测评,及时反馈学习效果. 2.考查学生对等腰三角形的轴对称性的掌握,培养学生分析问题、解决问题的能力. 3.培养学生大胆尝试、勇于探索的精神,提高学生的思维能力和逻辑推理能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【课堂总结】 本节课我们感受了数学分类讨论的严谨性,再次体验了几何图形中的对称美.当然,关于等腰三角形,未来还有更多的性质、结论等待着我们去探索和揭秘! 　　教师引导学生回顾本节课的知识,并总结、归纳本节课的重点,培养学生的归纳总结能力及语言表达能力. 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【作业布置】 教材P61作业题第1,2,3,4,5,6题. 　　根据内容,重点设置作业,巩固课堂教学效果. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 首先创设问题情境,给三角形分类,把问题作为教学的出发点,也激发学生的学习兴趣.既明确了本节课的主要内容,也激发了学生的学习兴趣. ②[讲授效果反思] 为了展示重点,突破难点,让学生自己去发现、去联想,充分发挥学生的主观能动性.通过学生自己动手得到等腰三角形的轴对称性,可以使学生比较好地掌握知识,提高学习数学的兴趣,达到了事半功倍的效果.在整个教学过程中,利用多种教学方法,引导学生不知不觉地进入学习氛围,使学生从被动学习变为主动想学. ③[师生互动反思] 在本节课教学中,始终坚持以学生为主体,教师为主导,致力于启用学生已掌握的知识,充分调动学生的兴趣和积极性,使学生最大限度地参与到课堂活动中.在整个教学过程中以启发学生、挖掘学生潜力、让学生展开联想的思维,培养其能力为主旨. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　 　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　  　　反思,更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $