上海市大同中学2025-2026学年高二上学期数学周练3

大同中学2025-2026学年第一学期高二年级数学周练3 2025.11 一、填空题（共12每题3分，共36分） 1. 正多面体共有_________种. 2. 如果把两条异面直线看成“一对”，那么长方体12条棱所在的直线中，异面直线 有 对. 3. 给定点A、B(3,1,1)、C(2,0,1)与点D(5,-4,3)，在方向上的投影向量是 . 4. 棱长为2的正四面体的体积是 . 5. 已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则对角线与侧面所成角的正弦值为 . 6. 在60°二面角α-l-β内有一点P，P到α、β的距离分别2cm和3cm，则P到棱l的距离是cm. 7. 某景区有一座山，山体可以近似地看作圆锥，山脚呈圆形，其半径为km，是山脚某一点，点到山峰的距离为2km，观景台是山坡上一点，位于半山腰，即AB=1km．建造一条从到绕山一圈的环山观光栈道（非线段）．最短栈道的最高点到山顶P的距离为 km. 8. 把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径分别为1、4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为5，则圆台的表面积是 . 9. 正四面体外接球与内切球体积之比为 . 10. 已知点，，，又点在平面内，则的值为 . 11. 足球虽然是球体，但传统上是由黑、白两色皮革缝制成的多面体加工而成。通过尝试，发现对正二十面体利用平截的方法截角，即取每条棱三等分点将顶角截去。再将正五边形部分染黑色，正六边形部分染白色，就可得一个传统足球模型，其黑色部分与白色部分面积之比是 .（精确到0.01） 12. 右图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线AOC和BOD都是以1为半径的半圆，平面AOC和平面BOD都垂直底面ABCD. 任意平行于帐篷底面ABCD的平面截帐篷，所得截面均为正方形. 模仿教材上半球体积推导方法，可求得该帐篷的体积为 . 二、选择题（共4题，每题4分，共16分） 13．关于空间两条直线和平面，下列命题正确的是（ ）. A. 若，则 B. 若则 C. 若，则 D. 若则 14. 已知空间向量，下列命题中正确的（ ）. A. 若向量，共线，则向量，所在的直线平行 B. 若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面 C. 若存在不全为的实数使得，则，，共面 D. 对于空间的任意一个向量，总存在实数使得 15. 如图，在正方体中ABCD-A1B1C1D1，E、F、G分别是棱A1A、A1B1、A1D1上的点（与正方体顶点不重合），过A1作A1H⊥平面EFG，垂足为H. 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，给出以下四个结论： ① 若E、F、G分别是棱A1A、A1B1、A1D1的中点，则A1H=； ② 若E、F、G分别是棱A1A、A1B1、A1D1的中点，则用平行于平面EFG的平面去截正方体，得到的截面一定是等边三角形； ③ △EFG一定是锐角三角形； ④ .其中正确结论的个数是（ ）. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个 16. 如图，等腰三角形OAB和直角三角形ABP的两边OA、AP都在平面α上， ∠OAB=120°，∠APB=90°，且平面OAB⊥平面α. 记直线OP与平面OAB所成角为θ，则tanθ的最大值是（ ）. A. B. C. D. 三、解答题（共4题，共48分） 17.（本大题满分8分，第（1）小题3分，第（2）小题5分） 如图为正四棱锥P-ABCD，O为底面ABCD的中心， （1）若AP=5，AD=，求△POA绕PO旋转一周形成的几何体的体积； （2）若AP=AD，E为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小. 18.（本大题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分） 已知斜三棱柱各棱长都为，顶点在底面的射影是的中心O， （1）求证：AA1⊥BC； （2）求：二面角A1-AB-C的大小； （3）求：三棱柱的表面积. 19. （本大题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分） 棱长为a的正方体中，E、F分别是棱BC、CD上的点（含端点），且满足BE=CF， （1）求证：直线D1F//平面A1C1E； （2）点F到平面A1C1E的距离是否为定值？若是，求出该值；若不是，求出取值范围； （3）在空间里，是否存在一个平面，使得正方体的顶点到该平面的距离恰好是0、1、2、3、4、5、6、7 ? 如果存在，求出正方体的棱长a；若不存在，说明理由. 20. （本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分5分, 第3小题满分5分） 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”. （1）“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球.......设各层球数构成一个数列。试求，并写出与的递推关系； （2）对“三角垛”所构成的几何体表面染红色，试求前层球中，被染成红色的球占总球数的百分比及，； 注：① 只要球的一部分有红色，则认为球染成了红色； ② 例如； ③ 公式： （3）将一个只有两层的三角垛放入一个正四面体容器内，若每一个球的半径均为2，求该容器棱长的最小值？ 【附加题】 1.在四面体中，，，，设四面体PABC与四面体PDEF的体积分别为V1、V2，则_________． 2. 已知空间中有2个相异的点，现每增加一个点使得其与原有的点连接成尽可能多的等边三角形.例如,空间中3个点最多可连接成1个等边三角形，空间中4个点最多可连接成4个等边三角形.当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成________个等边三角形. 大同中学2025-2026学年第一学期高二年级数学周练3 2025.11 一、填空题（共12每题3分，共36分） 1. 正多面体共有_________种. 【答案】5 2. 如果把两条异面直线看成“一对”，那么长方体12条棱所在的直线中，异面直线 有 对. 【答案】24 3. 给定点A、B(3,1,1)、C(2,0,1)与点D(5,-4,3)，在方向上的投影向量是 . 【答案】或(0,0,0) 4. 棱长为2的正四面体的体积是 . 【答案】 5. 已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则对角线与侧面所成角的正弦值为 . 【答案】 6. 在60°二面角α-l-β内有一点P，P到α、β的距离分别2cm和3cm，则P到棱l的距离是 cm. 【答案】 7. 某景区有一座山，山体可以近似地看作圆锥，山脚呈圆形，其半径为km，是山脚某一点，点到山峰的距离为2km，观景台是山坡上一点，位于半山腰，即AB=1km．建造一条从到绕山一圈的环山观光栈道（非线段）．最短栈道的最高点到山顶P的距离为 km. 【答案】 8. 把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径分别为1、4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为5，则圆台的表面积是 . 【答案】 9. 正四面体外接球与内切球体积之比为 . 【答案】27 10. 已知点，，，又点在平面内，则的值为 . 【答案】9 11. 足球虽然是球体，但传统上是由黑、白两色皮革缝制成的多面体加工而成。通过尝试，发现对正二十面体利用平截的方法截角，即取每条棱三等分点将顶角截去。再将正五边形部分染黑色，正六边形部分染白色，就可得一个传统足球模型，其黑色部分与白色部分面积之比是 .（精确到0.01） 【答案】 12. 右图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线AOC和BOD都是以1为半径的半圆，平面AOC和平面BOD都垂直底面ABCD. 任意平行于帐篷底面ABCD的平面截帐篷，所得截面均为正方形. 模仿教材上半球体积推导方法，可求得该帐篷的体积为 . 【答案】 二、选择题（共4题，每题4分，共16分） 13．关于空间两条直线和平面，下列命题正确的是（ ）. A. 若，则 B. 若则 C. 若，则 D. 若则 【答案】D 14. 已知空间向量，下列命题中正确的（ ）. A. 若向量，共线，则向量，所在的直线平行 B. 若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面 C. 若存在不全为的实数使得，则，，共面 D. 对于空间的任意一个向量，总存在实数使得 【答案】C 15. 如图，在正方体中ABCD-A1B1C1D1，E、F、G分别是棱A1A、A1B1、A1D1上的点（与正方体顶点不重合），过A1作A1H⊥平面EFG，垂足为H. 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，给出以下四个结论： ① 若E、F、G分别是棱A1A、A1B1、A1D1的中点，则A1H=； ② 若E、F、G分别是棱A1A、A1B1、A1D1的中点，则用平行于平面EFG的平面去截正方体，得到的截面一定是等边三角形； ③ △EFG一定是锐角三角形； ④ .其中正确结论的个数是（ ）. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个 【答案】C 16. 如图，等腰三角形OAB和直角三角形ABP的两边OA、AP都在平面α上， ∠OAB=120°，∠APB=90°，且平面OAB⊥平面α. 记直线OP与平面OAB所成角为θ，则tanθ的最大值是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 三、解答题（共4题，共48分） 17.（本大题满分8分，第（1）小题3分，第（2）小题5分） 如图为正四棱锥P-ABCD，O为底面ABCD的中心， （1）若AP=5，AD=，求△POA绕PO旋转一周形成的几何体的体积； （2）若AP=AD，E为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】（1），， （2）PB⊥平面AEC ∴直线BD与平面AEC所成角即 18.（本大题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分） 已知斜三棱柱各棱长都为，顶点在底面的射影是的中心O， （1）求证：AA1⊥BC； （2）求：二面角A1-AB-C的大小； （3）求：三棱柱的表面积. 【答案】（1）证明见解析 （2）（或） （3） 【解析】（1）证：在底面上的射影是的中心 由三垂线定理 （2）取中点，连，在底面上的射影是的中心， 由三垂线定理，即为二面角的平面角 ， 中， 二面角的大小为（或） （3）由（1）侧面为矩形 另解：（2）在底面上的射影是的中心 所以三棱锥是正三棱锥，且是棱长为的正四面体 所以各侧面与底面所成二面角相等，用射影法解得 （3）用直截面解决斜棱柱的侧面积和体积 过作，垂足为，连，在底面上的射影是的中心 ，，可得 ，得， ，为直截面 19. （本大题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分） 棱长为a的正方体中，E、F分别是棱BC、CD上的点（含端点），且满足BE=CF， （1）求证：直线D1F//平面A1C1E； （2）点F到平面A1C1E的距离是否为定值？若是，求出该值；若不是，求出取值范围； （3）在空间里，是否存在一个平面，使得正方体的顶点到该平面的距离恰好是0、1、2、3、4、5、6、7 ? 如果存在，求出正方体的棱长a；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】（1）AB上取点G，满足BG=BE， 又， ∴ D1F//A1G ∴ 直线D1F//平面A1C1E （2）D1F//平面A1C1E ∴点F到平面A1C1E的距离等于点D1到平面A1C1E的距离 ，E到直线A1C1的距离 ∴ 即F到平面A1C1E的距离范围 （3）正方体对顶顶点到平面α距离分为四组 不妨设平面α过顶点A， 由对称性，其它分布不影响正方体棱长 延长B1B、C1C、D1D交平面α于E、F、G ∵A1A∥B1B∥C1C∥D1D 与平面α所成角相等 ∴ 其中 ∴ 中，，∴ ∴ 另解：如图建系 （1）设 ∴ 设平面A1C1E法向量 ∴， ，∴ ∴ 即直线D1F//平面A1C1E （2） ，∴ （3）设平面α法向量 ∴ 20. （本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分5分, 第3小题满分5分） 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”. （1）“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球.......设各层球数构成一个数列。试求，并写出与的递推关系； （2）对“三角垛”所构成的几何体表面染红色，试求前层球中，被染成红色的球占总球数的百分比及，； 注：① 只要球的一部分有红色，则认为球染成了红色； ② 例如； ③ 公式： （3）将一个只有两层的三角垛放入一个正四面体容器内，若每一个球的半径均为2，求该容器棱长的最小值？ 【答案】（1） （2），， （3） 【解析】（1）由题意可知， 数列的一个递推关系为， （2）当时，利用累加法可得， 将代入得，符合， 所以数列的通项公式为. 当时，设为三角垛前层球的个数，则 设为三角垛前层被染成红色的球个数，则 所以当时， ，， （3）正四面体中， 设棱长为a， 为正四面体外接球球心，H是正四面体底面三角形的中心， 由于M为CD的中点，所以， 则，， 设外接球的半径为R，则， 中，，解得， 所以，即正四面体的中心到正四面体底面的距离为， 半径均为2的四个球堆成的“三角垛”，由球心A，B，C，D构成的四面体，棱长为4，该三角垛能放入一个正四面体容器内，则该容器棱长的最小值时，此时每个小球均与正四面体的面相切，任意两个小球外切，设这个正四面体容器棱长为，则有， 解得，则该容器棱长的最小值为. 【附加题】 1.在四面体中，，，，设四面体PABC与四面体PDEF的体积分别为V1、V2，则_________． 【答案】 2. 已知空间中有2个相异的点，现每增加一个点使得其与原有的点连接成尽可能多的等边三角形.例如,空间中3个点最多可连接成1个等边三角形，空间中4个点最多可连接成4个等边三角形.当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成________个等边三角形. 【答案】20 【解析】正四面体的每一个面向外作一个正四面体，此时增加一个点，增加3个正三角形，新增加的4个点，又是1个正四面体，所以当增加到8个点时， 空间中这8个点最多可连接成个. 学科网（北京）股份有限公司 $