精品解析：广西桂林市广西师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期第一次教学质量检测数学试题

广西师范大学附属中学2025年秋季学期第一次教学质量检测 高二年级数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 4. 椭圆的焦点为，，为椭圆上一点，若，则（ ） A. 9 B. 7 C. 5 D. 3 5. 若椭圆：的焦点和与焦点共线的顶点分别是双曲线E的顶点和焦点，则双曲线E的标准方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点、若直线过点，且与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是 A. B. C. D. 7. 已知椭圆的右焦点为是椭圆上任意一点，点，则的周长的最大值为（ ） A. B. 14 C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，为为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与椭圆交于M，N两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知直线过定点则下列结论正确的是（ ） A. P的坐标为 B. 当时，l在y轴上的截距为 C. 若l与直线垂直，则 D. 点P在圆的外部 10. 已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 当时，曲线C是椭圆 B. 当或时，曲线C是双曲线 C. 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D. 若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则 11. 如图所示，用一个与圆柱底面成θ（）角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，，则（　　） A. 椭圆的长轴长等于4 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的标准方程可以是 D. 椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线．若，则实数的值为________________． 13. 已知，分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为___________. 14. 在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）双曲线经过点且与双曲线：有公共焦点，求双曲线C的标准方程； （2）椭圆过点，且离心率，求所有满足条件的椭圆的标准方程. 16. 在中，已知， （1）求边的高线的方程; （2）求边的中线的方程; （3）求的平分线的方程. 17. 已知直线经过点，圆． （1）若直线与圆C相切，求直线的方程； （2）若直线被圆C截得的弦长为，求直线的方程． 18. 已知圆的圆心为，且圆______.在下列所给的三个条件中任选一个，填在直线上，并完成解答（注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） ①与直线相切； ②与圆：相外切； ③经过直线与直线的交点. （1）求圆的方程； （2）圆：，是否存在实数，使得圆与圆公共弦的长度为2，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆：（）的左右顶点分别是，，点在椭圆上，过该椭圆上任意一点P作轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且. （1）求椭圆的方程； （2）求动点C的轨迹E的方程； （3）设直线AC（点C异于A、B）与直线交于R，D为线段RB的中点，请你判断直线CD与曲线E的位置关系，并给出证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西师范大学附属中学2025年秋季学期第一次教学质量检测 高二年级数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系即可得倾斜角． 【详解】因为该直线的斜率为， 所以它的倾斜角为． 故选：A． 2. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 3. 已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心距，与半径之和，半径之差的绝对值比较大小即可判断. 【详解】由题可得：,,,, 所以， 所以，故这两个圆的位置关系为相交； 故选：C. 4. 椭圆的焦点为，，为椭圆上一点，若，则（ ） A. 9 B. 7 C. 5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的定义表达式，代入计算即可. 【详解】由方程可知：，根据题意， 又，则. 故选：B. 5. 若椭圆：的焦点和与焦点共线的顶点分别是双曲线E的顶点和焦点，则双曲线E的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得出双曲线E的顶点和焦点坐标即可. 【详解】已知椭圆的焦点坐标为，上下顶点坐标为， 则双曲线E的顶点为，焦点为， 则双曲线E的标准方程为 故选：D 6. 已知点、若直线过点，且与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：数形结合如上图所示．可得，．要使直线过点，且与线段AB相交，由图象知，．故选A． 考点：直线相交问题求参数范围． 【方法点睛】对于直线的相交问题，常借助数形结合比较直观的研究相交．但要注意特殊位置，如直线斜率不存在时，直线与线段端点相交时，是否取等号问题等．当然本题也可直接设出直线l和直线AB的方程，然后求出交点横坐标，由横坐标大于等于-3且小于等于2求解即可．注意对比两种方法，感受数形结合的魅力． 7. 已知椭圆的右焦点为是椭圆上任意一点，点，则的周长的最大值为（ ） A. B. 14 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的定义，进行合理转化，求得周长最大值即可. 【详解】由椭圆方程得，，. 设椭圆的左焦点为， , ， 则的周长为 , 当且仅当三点共线，且在的延长线上时取等号. 的周长最大值为. 故选:B. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，为为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与椭圆交于M，N两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过边长相等得到角相等，证明三角形相似，利用线段比例关系得到的关系式即可得到结果. 【详解】由题意得，， 由椭圆定义得，故， ∵，，∴， ∴与相似，∴，即， 整理得，故，解得， 由得，，即椭圆的离心率为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知直线过定点则下列结论正确的是（ ） A. P的坐标为 B. 当时，l在y轴上的截距为 C. 若l与直线垂直，则 D. 点P在圆的外部 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线过定点问题判断A，根据截距的定义判断B，根据直线垂直公式列方程求解判断C，根据点与圆的位置关系判断D． 【详解】对于A，由题意得直线，即， 由，解得，故A正确； 对于B，当时，直线l为，令，， 所以在y轴上的截距为，故B正确； 对于C，由，解得，故C错误； 对于D，因为，所以点P在圆的外部，故D正确. 故选：ABD 10. 已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 当时，曲线C是椭圆 B. 当或时，曲线C是双曲线 C. 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D. 若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线的标准方程形式依次判断选项即可. 【详解】当曲线C是椭圆时，，解得或，故A错误； 当曲线C是双曲线时，，解得或，故B正确； 若曲线C是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C正确； 若曲线C是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故D错误. 故选：BC 11. 如图所示，用一个与圆柱底面成θ（）角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，，则（　　） A. 椭圆的长轴长等于4 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的标准方程可以是 D. 椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定图形，求出椭圆长短半轴长a，b，再逐项计算、判断作答． 【详解】设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径， 则由截面与圆柱底面成锐二面角，得，解得，A错误； 显然，则，离心率，B正确； 当以椭圆长轴所在直线为x轴，短轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程，C正确； 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线．若，则实数的值为________________． 【答案】2 【解析】 【分析】由两直线平行的公式求参数可得结果. 【详解】因为，所以，解得或. 当时，，符合题意. 当时，，两直线重合，不合题意. 综上，. 故答案为：2. 13. 已知，分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用椭圆的定义结合勾股定理，列出等式求解即可. 【详解】 由椭圆定义得，又因为， 所以，， 又，，结合勾股定理得， 解得，则， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 14. 在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求圆心关于直线的对称点，再分析可知圆上存在点使得其对称点在圆上等价于以为圆心，以r为半径的圆与圆有公共点，最后利用两圆位置关系的判定条件列不等式，即可求解. 【详解】由题意，圆的圆心为， 设关于直线的对称点为， 所以，解得， 所以关于直线的对称点为， 又圆：的圆心，所以. 又由题意得，以为圆心，以r为半径的圆与圆有公共点，所以，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）双曲线经过点且与双曲线：有公共焦点，求双曲线C的标准方程； （2）椭圆过点，且离心率，求所有满足条件的椭圆的标准方程. 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）设出与双曲线共焦点的双曲线方程，将点代入即可求出答案； （2）分焦点在轴和轴两种情况设出椭圆的标准方程，将点代入，再根据离心率的公式建立方程，求解即可. 【详解】（1）设双曲线C的标准方程为（）， 将点的坐标代入方程，解得或（舍去）， ∴双曲线的标准方程为； （2）若椭圆的焦点在y轴上，设方程为， 则，又，解得， 故椭圆方程为； 若椭圆的焦点在x轴上，设方程为， 则，所以，， 即椭圆方程为； 故所求椭圆的标准方程为或. 16. 在中，已知， （1）求边的高线的方程; （2）求边的中线的方程; （3）求的平分线的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）因直线即轴，得到边上的高线斜率不存在，又经过点,即得； （2）先求边的中点，再由两点式即可求得； （3）的平分线的斜率为，由两直线的夹角公式列出方程，求得的值，检验后由点斜式即得. 【小问1详解】 依题意，直线即轴，故边上的高线必垂直于轴，且经过点， 故边的高线的方程为； 【小问2详解】 边的中点为,因边的中线经过点 故中线方程为：，即； 【小问3详解】 如图，设的平分线的斜率为，而边和的斜率分别为, 则由，解得或. 当时，由图知，显然不符合题意； 当时，因，则的平分线的方程为，即. 17. 已知直线经过点，圆． （1）若直线与圆C相切，求直线的方程； （2）若直线被圆C截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线与圆相切，进行求解； （2）先由勾股定理求出圆心到直线的距离，再由距离公式求解即可. 【小问1详解】 由已知圆，所以圆心坐标为，半径为2. 当直线的斜率不存在时，即直线的方程为：，此时是与圆相切，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线为：，即， 则圆C的圆心到直线l的距离，解得， 故直线l的方程为．综上，直线l的方程为或． 【小问2详解】 因为直线l被圆C所截得的弦长为， 所以圆心到直线l的距离为． 由（1）可知，直线的斜率一定存在，设直线为：，即，则圆心到直线l的距离，解得或． 故直线l的方程为或． 18. 已知圆的圆心为，且圆______.在下列所给的三个条件中任选一个，填在直线上，并完成解答（注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） ①与直线相切； ②与圆：相外切； ③经过直线与直线的交点. （1）求圆的方程； （2）圆：，是否存在实数，使得圆与圆公共弦的长度为2，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）分别根据直线与圆相切、圆与圆外切、两点间距离公式求出半径即可； （2）根据圆与圆相交的条件和圆的弦长公式即可求解. 【小问1详解】 设圆的半径为， 若选条件①，圆与直线相切， 所以圆心到直线的距离是圆的半径， 即， 所以圆的方程为. 若选条件②，与圆：相外切，圆的圆心为，半径为2， 所以，所以， 所以圆的方程为. 若选条件③，经过直线与直线的交点， 由，得，所以， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 圆：的圆心为，半径为， 两个圆有公共弦，则， 即，解得， 由得两圆公共弦所在直线方程为 又两圆的公共弦长为2，则圆心到公共弦所在直线的距离为 ，且， 解得或， 又，所以.经检验符合题意. 故存在实数，使得圆与圆公共弦的长度为2. 19. 已知椭圆：（）的左右顶点分别是，，点在椭圆上，过该椭圆上任意一点P作轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且. （1）求椭圆的方程； （2）求动点C的轨迹E的方程； （3）设直线AC（点C异于A、B）与直线交于R，D为线段RB的中点，请你判断直线CD与曲线E的位置关系，并给出证明. 【答案】（1） （2） （3）相切，证明如下： 设（），则：， 令，得，则，从而， 因为 ，∴， ∴直线CD与曲线E相切. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，进而求得椭圆的方程； （2）利用相关点代入法求得动点的轨迹的方程. （3）设，求得点坐标，计算，从而判断出直线CD与曲线E相切. 【小问1详解】 由题意可知：， 将点代入椭圆方程：， 解得：， ∴椭圆的方程为； 【小问2详解】 设，，则， 由题意可知：，则， 代入整理得：； ∴动点C的轨迹E的方程； 【小问3详解】 直线CD与曲线E相切，证明略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $