第06讲 锐角三角函数（知识详解+4典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年人教版数学九年级下册重难点讲义与测试

第06讲 锐角三角函数（知识详解+4典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：锐角三角函数 知识点02：锐角三角函数之间的关系(拓展) 知识点03：特殊角的三角函数值 知识点04：利用计算器求锐角三角函数值 典例分析 （举三反三） 考点1：利用设参数法求锐角的三角函数值 考点2：构造直角三角形求锐角的三角函数值 考点3：锐角三角函数与一元二次方程的综合 考点4：锐角三角函数与平面直角坐标系的综合 习题巩固 一、单选题（11） 二、填空题（10） 三、解答题（11） 【知识点01】锐角三角函数 1. 正弦、余弦、正切 名称 定义 符号语言 图示 正弦 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A，即sin A＝ 在Rt△ABC 中，∠C＝90°，sin A＝ 名称 定义 符号语言 图示 余弦 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即cos A＝ 在Rt△ABC 中，∠C＝ 90°，cos A＝ 正切 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tan A，即tan A＝ 在Rt△ABC 中，∠C＝ 90°，tan A＝ 注意 (1)正弦、余弦、正切都是在直角三角形中定义的，求值 时，要先找到角所在的直角三角形； (2)sin A，cos A，tan A反映了直角三角形的边与角的关 系，是两条边的比值，没有单位. 2. 锐角三角函数：∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数. 特别说明 (1)定义理解：①由相似的知识可知，sin A，cos A，tan A的值与三角形的大小无关，只与∠A的大小有关； ②因为当∠A确定时，sin A，cos A，tan A都只有唯一确定的值与其对应，所以sin A，cos A，tan A都是以∠A为自变量的函数，统称为∠A的锐角三角函数. (2)取值范围：0<sin A<1 ，0<cos A<1，tan A>0. (3)写法：①当锐角用一个大写字母或一个小写希腊字母表示时，习惯上省略角的符号“∠”，如：sin A，cos A，tan A，sin α ，cos α ，tan α 等； ②当锐角用三个大写字母或一个阿拉伯数字表示时，角的符号“∠”不能省略，如：sin∠ABC不能写成sinABC，cos∠1不能写成cos 1等. 【知识点02】锐角三角函数之间的关系(拓展) 1.同一锐角的三角函数之间的关系 (1)sin2 A＋cos2 A＝1. 证明：如图28.1－6，由锐角三角函数的定义可知sin A＝， cos A＝，∴ sin2 A＋cos2 A＝＋＝.又∵ a2＋b2＝c2，∴ sin2 A＋cos2 A＝1 . (2)＝tan A. 证明：如图28.1－6，由锐角三角函数的定义可知sin A＝ ，cos A＝，tan A＝. ∴＝ ÷＝·＝，∴＝tan A. 2. 互余两角的三角函数之间的关系 (1)在△ABC中，如果∠A＋∠B＝90°，那么sin A＝cos B，cos A＝sin B，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. 证明：如图28.1－6，由锐角三角函数的定义可知sin A＝，sin B＝，cos A＝，cos B＝，∴ sin A＝cos B， cos A＝sin B. (2)在 △ABC中，如果∠A＋∠B＝90°，那么tan A·tan B＝1. 证明：如图28.1－6，由锐角三角函数的定义可知tan A＝，tan B＝，∴ tan A·tan B＝·＝1 . 【知识点03】特殊角的三角函数值 1. 30°，45°，60°角的三角函数值： 三角函数值 锐角α 三角函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 2. 特殊三角函数值的记忆方法 (1)三角板记忆法：如图28.1－7所示，可以借助直角三角板记忆. (2)特点记忆法：按值的变化记忆30°，45°，60° 角的三角函数值，正弦、余弦值的分母都是2，正弦值的分子分别是1，，，余弦值的分子分别为，，1；正切值逐渐增大，分别为，，. (3)口诀记忆法：正弦、余弦值可表示为的形式，正切值可表示为的形式，有关m的值可归纳成顺口溜：一、二、三、；三、二、一；三、九、二十七. 【知识点04】利用计算器求锐角三角函数值 1. 利用计算器求锐角三角函数值的方法：(1)当锐角的大小以度为单位时，可先按 sin (或 cos 、tan )键，然后输入角度值(可以是整数，也可以是小数)，最后按＝键，就可以在显示屏上显示出结果；(2)当锐角的大小以度、分、秒为单位时, 要借助° ′ ″ 键计算，按键顺序是：sin (或 cos 、tan )、度数、° ′ ″ 、分数、° ′ ″ 、秒数、° ′ ″ 、＝. 2. 已知锐角三角函数值求锐角的度数的方法：如果是特殊角的三角函数值，可直接写出其相应的角的度数；如果不是特殊角的三角函数值，应利用计算器求角的度数. 求角的度数要先按 2nd F 键，将 sin 键、cos 键、tan 键转化成它们的第二功能键，当三角函数值为分数时，可先化成小数. 【题型一】利用设参数法求锐角的三角函数值 【典例1-1】（25-26九年级上·福建莆田·阶段练习）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理解直角三角形． 直接根据题意作出图形，表示出三角形的各边，利用勾股定理求出斜边长，进而利用正弦函数的定义即可得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵，， ∴设，则， ∴， 则, 故选：D． 【典例1-2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知为锐角，且，那么的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了锐角三角函数的定义．由题意设，则，再根据勾股定理求出斜边，即可求出的余弦值． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴设，则， ∴， ∴的余弦值为， 故答案为：． 【典例1-3】（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在中，． (1)若，求和的值． (2)若，，求的周长． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）设，，由勾股定理得，然后利用三角函数即可求解； （）由，得，由勾股定理得，然后通过三角形周长公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 【变式1-1】（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，该图形是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，那么的值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，勾股定理，求三角函数值，先根据算术平方根定义得出大正方形边长为，小正方形的边长为1．求出三角形的面积，根据三角形面积公式和勾股定理得出，求出，然后再根据三角函数定义求出结果即可． 【详解】解：根据题意，大正方形边长为，小正方形的边长为1， ∴三角形的面积为：， 设三角形两直角边为、，则：． 根据勾股定理得：， 联立解得，（负值舍去） ∴． 故选：A． 【变式1-2】（25-26九年级上·上海·期中）已知在中，，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理和锐角三角函数．作于点D，设，则，利用勾股定理解和，利用长相等列等式，解出值，进而求出，利用正切函数的定义即可求解． 【详解】解：如图，作于点D， 设，则， 由勾股定理可得， 在中，， 在中，， ， ，， ， ， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）在中，，求： (1)； (2)当时，求BC的长． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查解直角三角形、解一元二次方程及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数值是解题关键． （1）根据在中，，得出是直角边，分为当是斜边时和当是直角边时根据勾股定理和余弦的定义求解即可； （2）分为当是斜边时和当是直角边时，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， 设，则， 当是斜边时，， 则； 当是直角边时，， 则； 综上，的值为或； （2）解：∵在中，， 设，则， 当是斜边时，，解得：（负值舍去）； 当是直角边时，，解得：； 综上，或． 【题型二】构造直角三角形求锐角的三角函数值 【典例2-1】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点C作于点D，在中，利用勾股定理求得线段的长，再按照正弦函数的定义计算即可． 本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点C作于点D， 根据题意，得， 在中，根据勾股定理，得 ， ∴， 故选：D． 【典例2-2】（25-26九年级上·北京·期中）如图所示的网格是边长为1的正方形网格，点是网格线交点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查求正弦值，根据正弦的定义构造合适的直角三角形是解题关键． 作于点，在中根据正弦的定义求解即可． 【详解】如图，作于点，则是直角三角形， 其中，，由勾股定理得，， ， 故答案为：． 【典例2-3】（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在直角梯形中，，，若，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质和勾股定理，求角的余弦值，过点B作交于点E，首先证明出四边形是矩形，然后利用勾股定理求出，进而求解即可．解题的关键正确作出辅助线． 【详解】过点B作交于点E， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2-1】（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在正方形网格中，的位置如图，其中点分别在格点上，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查余弦函数的定义和勾股定理，构建直角三角形是解题的关键．如图：作于点D，利用勾股定理求得，利用三角形面积公式求出，再求出，由余弦函数的定义求解即可． 【详解】解：如图：作于点D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2-2】（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中锐角的正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键． 根据题意构造直角三角形如图所示，点D在格点上，从而可以求出的值． 【详解】解：构造直角三角形如图所示，点D在格点上， 由图可得， 故答案为：． 【变式2-3】如图，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB=． (1)求BC的长； (2)利用此图形求tan15°的值． 【答案】(1)16-2； (2)2- 【分析】（1）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，由含30°的直角三角形性质得AD=AC=2，由三角函数求出CD=2，在Rt△ABD中，由三角函数求出BD=16，即可得出结果； （2）在BC边上取一点M，使得CM=AC，连接AM，求出∠AMC=∠MAC=15°，tan15°=tan∠AMD=即可得出结果． 【详解】（1）解：过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图1所示： 在Rt△ADC中，AC=4， ∵∠C=150°， ∴∠ACD=30°， ∴AD=AC=2， CD=AC•cos30°=4×=2， 在Rt△ABD中，tanB=， ∴BD=16， ∴BC=BD-CD=16-2； （2）解：在BC边上取一点M，使得CM=AC，连接AM，如图2所示： ∵∠ACB=150°， ∴∠AMC=∠MAC=15°， ∴tan15°=tan∠AMD=． 【点睛】本题考查了锐角三角函数、含30°的直角三角形性质、三角形的内角和、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握三角函数运算是解决问题的关键． 【题型三】锐角三角函数与一元二次方程的综合 【典例3-1】（24-25九年级上·河南安阳·期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及特殊角三角函数，根据一元二次方程根的判别式等于零，求出的值，进而即可得到答案． 【详解】∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，解得：， ∴． 故选：B． 【典例3-2】（23-24九年级上·安徽宿州·期末）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角等于（    ） A． B． C．30° D．60° 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，已知锐角三角函数求锐角；由题意，可求得的值，根据值即可求得锐角． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， ∴； 故选：C． 【典例3-3】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如果方程的两个根分别是的两边长，最小的角为，那么的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理，正弦函数，能熟练利用勾股定理及三角函数求解是解题的关键；解方程求出两根，①当直角边为2，3时，②当斜边为3，由正弦函数即可求解.注意：最小的角A所对的边为最短边. 【详解】解：， ， ，， ，， ①当直角边为2，3时，斜边为，； ②当斜边为3，另一直角边为，； 故答案为：或 【变式3-1】（2024九年级·全国·竞赛）已知关于的一元二次方程的两根分别为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．将所代数式变形为，根据一元二次方程根与系数的关系可求出，再结合整体代入求值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根分别为， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 【变式3-2】（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）在中，已知，为锐角，且，恰为一元二次方程的两个实数根，求m的值及的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，特殊角的三角函数值，及三角形内角和定理．熟练掌握一元二次方程的解法，特殊角的三角函数值，及三角形内角和定理是解决本题的关键，再根据特殊角的三角函数值求出各角的度数，最后由三角形内角和定理求得答案． 【详解】解：， ． 把代入方程得，解得． 把代入方程得， 解得，． ，即． ． 【变式3-3】（23-24九年级上·河南安阳·期末）（1） （2）已知锐角，关于的一元二次方程有相等实数根，求的值． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和根的判别式，正确进行二次根式的运算和解一元二次方程是关键． （1）首先代入特殊角的三角函数值，然后进行二次根式的运算即可； （2）由方程有两个相等的实数根可得，解方程即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：由题意得， 解得：， ． 【题型四】锐角三角函数与平面直角坐标系的综合 【典例4-1】（23-24九年级上·山东淄博·期末）点在平面直角坐标系内，设与轴正半轴的夹角为，以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数及勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义； 根据题意画出图形，结合三角函数逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意得，如图所示， 在中 ，， ， 设与轴正半轴的夹角为， ，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C符合题意，选项D不符合题意； 故选：C． 【典例4-2】（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，与y轴相交于B点，直线与圆相切，，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】题目主要考查切线的性质定理及相似三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，正切函数的定义等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键 设直线与相切于点D，交y轴于点E，连接，则，根据等量代换得出，再由相似三角形的判定和性质得出，设，则，确定，再根据正切函数的定义求解即可． 【详解】解：设直线与相切于点D，交y轴于点E，连接，则，如图所示： ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【典例4-3】（24-25九年级下·上海·阶段练习）平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，点在直线l上，点B在双曲线上． (1)求直线l与双曲线的表达式； (2)联结，若直线和直线l平行，求的值． 【答案】(1)直线l的解析式为；双曲线解析式为， (2) 【分析】本题考查了一次函数和反比例综合，解题关键是根据函数图像上点的特征求出解析式或交点坐标． （1）根据点在直线l：，由待定系数法即可求出，进而把点代入解析式求出； （2）根据直线和直线l平行可得直线解析式为，进而求出点，由求出即可解得； 【详解】（1）解：∵直线l：与x轴交于点， ∴，解得， ∴直线l的解析式为， 把点代入解析式得 ，解得：， ∴双曲线解析式为； （2）解：如图， ∵，直线l的解析式为， ∴直线解析式为：， 联立直线和反比例函数解析式得：， 解得：，不合题意，舍去， ∴点， ∵， ∴轴，，， ∴， ∴， ∴ 【变式4-1】（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，点P是第一象限的点，其坐标为，且与x轴正半轴的夹角为，则的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，过P作轴于H，由P的坐标，得到，，结合勾股定理列式计算得，由锐角的正弦定义进行列式化简，即可作答． 【详解】解：过P作轴于H， ∵P的坐标是， ∴，， 则， ∴， 即的正弦值是． 故选：C． 【变式4-2】（23-24九年级下·山东东营·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上．，，，…都是等腰直角三角形，如果，，那么点的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，一次函数的待定系数法，正切三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．利用待定系数法求出直线的解析式，再求出直线与x轴、y轴的交点坐标，求出直线与x轴的夹角的正切值，分别过等腰直角三角形的直角顶点向x轴作垂线，然后根据等腰直角三角形斜边上的高线与中线重合并且等于斜边的一半，利用正切值列方程，依次求出三角形的斜边上的高线，即可得到各点的纵坐标的规律，进而即可求解． 【详解】解：∵，，在直线上， ∴， 解得：， ∴直线解析式为：， 设直线与x轴、y轴的交点分别为N、M， 当时，， 当时，， 解得：， ∴点M、N的坐标分别为，， ∴， 作轴于点，轴于点，轴于点， ∵，， ∴， ， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理可求，第四个等腰直角三角形， 依此类推，点的纵坐标是.， ∴点的纵坐标是：． 故答案为：． 【变式4-3】（2023九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，点在直线上，连接，过点作，交轴于点，连接．求的度数． 【答案】 【分析】如图：过点E作，分点在第三象限、点在第一象限的线段上、点在第一象限的线段的延长线上三种情况，用四点共圆求解． 【详解】解：如图1：过点E作， 设E ， ， ∴ ， ①当点在第三象限时，如图2， 由，可得、、、四点共圆， ； ②当点P在第一象限时，过点A作交直线于H， 当点在第一象限的线段上时，如图3， 由可得、、、四点共圆， ，又此时， ； ③当点在第一象限的线段的延长线上时， 由可得， 、、、四点共圆， ． 【点睛】本题为一次函数综合题，涉及到四点共圆、等腰三角形性质，分类讨论求解是解决此题关键． 一、单选题 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】题目主要考查特殊角的三角函数，牢记特殊角的三角函数值是解题关键． 根据，直接判断即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期中）若，则锐角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查特殊角的三角函数值． 根据已知正弦值，即可得锐角的度数． 【详解】解：∵ ， 为锐角， ∴ ． 故选：B． 3．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角三角函数的运算，根据，，以及特殊角的三角函数值进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，原式正确，故该选项不符合题意； B、，原式正确，故该选项不符合题意； C、，原式正确，故该选项不符合题意； D、，则，原式不正确，故该选项符合题意； 故选：D． 4．（25-26九年级上·吉林长春·期中）在中，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正弦的定义，在直角三角形中，，为斜边，定义为的对边与斜边的比值，即． 【详解】解：， ， 故选：A． 5．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角α的余角等于（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式以及特殊锐角的三角函数值，熟练掌握当时，方程有两个相等的实数根是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再根据特殊角的三角函数值即可得出锐角的度数，继而得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得：， 锐角等于， 则锐角的余角等于， 故选：D． 6．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）在平面直角坐标系中点，连接，若与轴正半轴夹角为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标和解直角三角形，能求出和的长是解此题的关键．过P作轴于N，根据点P的坐标求出和，解直角三角形求出即可． 【详解】解：过P作轴于N，则，    ∵点， ∴，，， ∴， 故选：A． 7．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，若，，则，被墨迹覆盖的内容可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数，根据正切的定义解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，若，， ∴， 故选：C． 8．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，则的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据三角函数求线段长. 根据，可得，再把的长代入可以计算出的长． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 9．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，在中，，，，那么的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边是解题的关键． 根据勾股定理，可得的长，根据锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边，可得答案． 【详解】解：在中，，，，由勾股定理，得 ． 由锐角的余弦，得． 故选：C． 10．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，是的中线，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中线性质、勾股定理、正切定义，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键． 过B作交延长线于H，先根据三角形的中线平分该三角形的面积和三角形的面积公式求得，再根据正切定义求得，则，然后利用勾股定理求得即可解答． 【详解】解：过B作交延长线于H，则， ∵是的中线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 故选：B． 11．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，在菱形中，，，则的长度为（  ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、锐角三角函数等知识，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 连接交于点O，根据四边形是菱形，可得， ，，，再用锐角三角函数求解即可得出结论． 【详解】解：如图， 连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， ，，， ∴， ∴在中， ， ∴． 故选：A． 二、填空题 12．（25-26九年级上·福建莆田·期中） ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算． 根据特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：0． 13．（25-26九年级上·山东聊城·月考）在中，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握勾股定理和锐角三角函数是解题关键．利用正弦值设．，，再利用勾股定理求出，再利用余弦的定义求解即可． 【详解】解：在中，，， ， 设，， 由勾股定理得：， ， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）在中，，那么等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，根据正切函数的定义，在直角三角形中，一个角的正切值等于该角的对边与邻边的比值，据此直接计算即可． 【详解】解：如下图，在，， 由正切函数的定义得：． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）若，，，则由小到大的顺序为 ． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的应用，熟练掌握锐角三角函数的性质及特殊的锐角三角函数值是解题关键．根据锐角三角函数的性质及正弦值与余弦值的关系解答即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 16．（25-26九年级上·上海闵行·期中）在中，，，，是边上的高，那么的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握正切的含义是解题关键．根据题意设，，由勾股定理得，从而求出，，再利用三角形面积公式，通过面积相等列出方程求解即可． 【详解】解：在中，，， 设，， 由勾股定理得， ， ， ，， ， ， 故答案为：．    17．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了利用正弦函数求线段长，掌握正弦的定义是解题的关键． 根据三角函数正弦函数的定义列方程求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，即，解得：． 故答案为5． 18．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，，点为外一点，连接、，点、分别为、的中点，若，则 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了中位线的性质，求角的正弦值，根据中位线的性质可得，进而求得，在中，根据正弦定义即可求解． 【详解】解：∵点、分别为、的中点， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 19．（25-26九年级上·上海虹口·期中）如图，在中，是边上的高，，，那么的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查三角形的三角函数，掌握知识点是解题的关键． 先求出，则，求出，则，即可解答． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：2． 20．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，若点A，B，C都在格点上，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求角的余弦值，利用网格过点A作交的延长线于点M，再利用勾股定理求出，，再根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：过点A作交的延长线于点M， ∵每个小正方形的边长均为1， ∴，， 在中，． 故答案为： 21．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中有一个正方形，点是正方形内部的一点，连接，，，，若，中的一个锐角的正切值为2，则点的坐标为 ．    【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，解直角三角形，勾股定理，根据，，易证是直角三角形，由四边形正方形，，得到，再根据中的一个锐角的正切值为2，分两种情况讨论，利用勾股定理分别求出两种情况下的值，过点P作轴，垂足为，利用勾股定理即可求出的值，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∵四边形正方形，， ∴， ∵中的一个锐角的正切值为2， ∴或， 如图，过点P作轴，垂足为，当，    ∴， ∴， 解得：（负值舍去），则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去），则， ∴点的坐标为； 如图，当，    同理得：，则， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴（负值舍去），则， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或 故答案为：或． 三、解答题 22．（25-26九年级上·山东济南·期中）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，把特殊角的三角函数值代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ． 23．（22-23九年级下·安徽安庆·期末）已知是锐角，且． 求的值． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数和实数的混合运算，熟知特殊角的三角函数值是解题的关键； 先根据是锐角和得出，再代入所求式子结合特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵是锐角，且， ∴， ∴ ． 24．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中是对角线AC、BD的交点，，，垂足分别为点E、F．若，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用平行四边形的性质和直角三角形的全等来证明线段相等，并利用三角函数的定义来求解． 根据平行四边形的性质可得，，再根据，，得出，得到，再根据已知条件求出即可得解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ∵，， ， ，， ， ， ∵，， ， ． 25．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了旋转，勾股定理，和三角函数的知识．根据勾股定理求出的长，再由旋转的性质可得，然后勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∵将绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ． 26．（25-26九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知中，，求边的长． 【答案】 【分析】本题主要考查三角函数及勾股定理，熟练掌握三角函数及勾股定理是解题的关键；过点A作于点D，由题意易得，然后根据勾股定理可得，则有，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：过点A作于点D，如图所示： ∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 27．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，是的直径，是的弦．若，，求的半径． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理以及推论，解直角三角形等知识，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据圆周角定理求出，在中，根据余弦的定义可求出，即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴半径． 28．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，中，于点D，，， ，求，的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了正切、正弦、余弦的定义，勾股定理，由正切的定义求出，由线段的和差求出，再根据勾股定理求出，再根据正弦和余弦的定义分别求出和即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，． 29．（23-24九年级上·黑龙江双鸭山·期末）已知：如图，在中，，，，求的长和的正切值． 【答案】， 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，先根据正弦的定义求出，由勾股定理得出，最后根据正切的定义计算即可得解． 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理得：， ∴． 30．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 【答案】(1)1 (2)1 (3)44.5 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系，熟记定义是解题的关键． （1）由三角函数的定义及勾股定理即可证明； （2）由（1）得出的结论解答即可； （3）由（1）得出的结论进行化简并求值即可． 【详解】（1）解：在中，，，； 所以：； （2）解：当为锐角时，， 故答案为 1； （3）解： = =（44个1相加） =． 31．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点和点，点． (1)求直线的表达式和线段的长度； (2)连接线段，求的值； (3)设线段与x轴交于点 P，如果点C在x轴上，且 与 相似，求点C的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求直线的表达式，利用两点间距离公式求线段的长度； （2）先求出的长度，利用勾股定理的逆定理判定是直角三角形，则； （3）分两种情况，当时，，过点B作轴于点Q，根据求解；当时，，此时点C与点P重合． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 将和代入，得：， 解得， 设直线的表达式为， ∵，， ； （2）解：如图， ，， ， ，， ∵， ， 是直角三角形， ； （3）解：由（1）知直线的表达式为， 令，得，解得， ， 当时，，如图，过点B作轴于点Q， ， ，， ∵， ， 由（2）知，即， ，即， ， ， ； 当时，，此时点C与点P重合， ； 综上所述，点C的坐标为或． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，两点间距离公式，求角的正切值，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质等，能够综合应用上述知识点，以及分类讨论思想是解题的关键． 32．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，点D是线段上一动点（）．以点A为圆心，长为半径作交的延长线于点G，交直线于点E和点F，连接并延长交于点H，连接． (1)求的度数； (2)①若，求证：；②求的最大值． 【答案】(1) (2)①见解析；②18 【分析】本题主要考查圆的综合、三角函数及相似三角形的性质与判定，熟练掌握圆的性质、三角函数及相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据特殊三角函数值可进行求解； （2）①方法一：连接，，由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求证；方法二：连接，根据圆周角定理及角的等量代换即可得证； ②过点C作于点K，连接，设圆A的半径为r，则，则，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）解：在中，， ∴； （2）①证明：方法一：如图，连接，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵是的直径， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 方法二：如图，连结，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ②解：如图，过点C作于点K，连接， 设圆A的半径为r，则， 则， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值18． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 锐角三角函数（知识详解+4典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：锐角三角函数 知识点02：锐角三角函数之间的关系(拓展) 知识点03：特殊角的三角函数值 知识点04：利用计算器求锐角三角函数值 典例分析 （举三反三） 考点1：利用设参数法求锐角的三角函数值 考点2：构造直角三角形求锐角的三角函数值 考点3：锐角三角函数与一元二次方程的综合 考点4：锐角三角函数与平面直角坐标系的综合 习题巩固 一、单选题（11） 二、填空题（10） 三、解答题（11） 【知识点01】锐角三角函数 1. 正弦、余弦、正切 名称 定义 符号语言 图示 正弦 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A，即sin A＝ 在Rt△ABC 中，∠C＝90°，sin A＝ 名称 定义 符号语言 图示 余弦 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即cos A＝ 在Rt△ABC 中，∠C＝ 90°，cos A＝ 正切 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tan A，即tan A＝ 在Rt△ABC 中，∠C＝ 90°，tan A＝ 注意 (1)正弦、余弦、正切都是在直角三角形中定义的，求值 时，要先找到角所在的直角三角形； (2)sin A，cos A，tan A反映了直角三角形的边与角的关 系，是两条边的比值，没有单位. 2. 锐角三角函数：∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数. 特别说明 (1)定义理解：①由相似的知识可知，sin A，cos A，tan A的值与三角形的大小无关，只与∠A的大小有关； ②因为当∠A确定时，sin A，cos A，tan A都只有唯一确定的值与其对应，所以sin A，cos A，tan A都是以∠A为自变量的函数，统称为∠A的锐角三角函数. (2)取值范围：0<sin A<1 ，0<cos A<1，tan A>0. (3)写法：①当锐角用一个大写字母或一个小写希腊字母表示时，习惯上省略角的符号“∠”，如：sin A，cos A，tan A，sin α ，cos α ，tan α 等； ②当锐角用三个大写字母或一个阿拉伯数字表示时，角的符号“∠”不能省略，如：sin∠ABC不能写成sinABC，cos∠1不能写成cos 1等. 【知识点02】锐角三角函数之间的关系(拓展) 1.同一锐角的三角函数之间的关系 (1)sin2 A＋cos2 A＝1. 证明：如图28.1－6，由锐角三角函数的定义可知sin A＝， cos A＝，∴ sin2 A＋cos2 A＝＋＝.又∵ a2＋b2＝c2，∴ sin2 A＋cos2 A＝1 . (2)＝tan A. 证明：如图28.1－6，由锐角三角函数的定义可知sin A＝ ，cos A＝，tan A＝. ∴＝ ÷＝·＝，∴＝tan A. 2. 互余两角的三角函数之间的关系 (1)在△ABC中，如果∠A＋∠B＝90°，那么sin A＝cos B，cos A＝sin B，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. 证明：如图28.1－6，由锐角三角函数的定义可知sin A＝，sin B＝，cos A＝，cos B＝，∴ sin A＝cos B， cos A＝sin B. (2)在 △ABC中，如果∠A＋∠B＝90°，那么tan A·tan B＝1. 证明：如图28.1－6，由锐角三角函数的定义可知tan A＝，tan B＝，∴ tan A·tan B＝·＝1 . 【知识点03】特殊角的三角函数值 1. 30°，45°，60°角的三角函数值： 三角函数值 锐角α 三角函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 2. 特殊三角函数值的记忆方法 (1)三角板记忆法：如图28.1－7所示，可以借助直角三角板记忆. (2)特点记忆法：按值的变化记忆30°，45°，60° 角的三角函数值，正弦、余弦值的分母都是2，正弦值的分子分别是1，，，余弦值的分子分别为，，1；正切值逐渐增大，分别为，，. (3)口诀记忆法：正弦、余弦值可表示为的形式，正切值可表示为的形式，有关m的值可归纳成顺口溜：一、二、三、；三、二、一；三、九、二十七. 【知识点04】利用计算器求锐角三角函数值 1. 利用计算器求锐角三角函数值的方法：(1)当锐角的大小以度为单位时，可先按 sin (或 cos 、tan )键，然后输入角度值(可以是整数，也可以是小数)，最后按＝键，就可以在显示屏上显示出结果；(2)当锐角的大小以度、分、秒为单位时, 要借助° ′ ″ 键计算，按键顺序是：sin (或 cos 、tan )、度数、° ′ ″ 、分数、° ′ ″ 、秒数、° ′ ″ 、＝. 2. 已知锐角三角函数值求锐角的度数的方法：如果是特殊角的三角函数值，可直接写出其相应的角的度数；如果不是特殊角的三角函数值，应利用计算器求角的度数. 求角的度数要先按 2nd F 键，将 sin 键、cos 键、tan 键转化成它们的第二功能键，当三角函数值为分数时，可先化成小数. 【题型一】利用设参数法求锐角的三角函数值 【典例1-1】（25-26九年级上·福建莆田·阶段练习）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知为锐角，且，那么的余弦值为 ． 【典例1-3】（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在中，． (1)若，求和的值． (2)若，，求的周长． 【变式1-1】（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，该图形是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，那么的值为（   ） A． B． C．4 D． 【变式1-2】（25-26九年级上·上海·期中）已知在中，，，，那么 ． 【变式1-3】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）在中，，求： (1)； (2)当时，求BC的长． 【题型二】构造直角三角形求锐角的三角函数值 【典例2-1】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（25-26九年级上·北京·期中）如图所示的网格是边长为1的正方形网格，点是网格线交点，则 ． 【典例2-3】（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在直角梯形中，，，若，，求的值． 【变式2-1】（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在正方形网格中，的位置如图，其中点分别在格点上，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上，则的值是 ． 【变式2-3】如图，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB=． (1)求BC的长； (2)利用此图形求tan15°的值． 【题型三】锐角三角函数与一元二次方程的综合 【典例3-1】（24-25九年级上·河南安阳·期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角等于（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（23-24九年级上·安徽宿州·期末）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角等于（    ） A． B． C．30° D．60° 【典例3-3】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如果方程的两个根分别是的两边长，最小的角为，那么的值为 ． 【变式3-1】（2024九年级·全国·竞赛）已知关于的一元二次方程的两根分别为，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式3-2】（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）在中，已知，为锐角，且，恰为一元二次方程的两个实数根，求m的值及的度数． 【变式3-3】（23-24九年级上·河南安阳·期末）（1） （2）已知锐角，关于的一元二次方程有相等实数根，求的值． 【题型四】锐角三角函数与平面直角坐标系的综合 【典例4-1】（23-24九年级上·山东淄博·期末）点在平面直角坐标系内，设与轴正半轴的夹角为，以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，与y轴相交于B点，直线与圆相切，，若，则的值是 ． 【典例4-3】（24-25九年级下·上海·阶段练习）平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，点在直线l上，点B在双曲线上． (1)求直线l与双曲线的表达式； (2)联结，若直线和直线l平行，求的值． 【变式4-1】（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，点P是第一象限的点，其坐标为，且与x轴正半轴的夹角为，则的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24九年级下·山东东营·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上．，，，…都是等腰直角三角形，如果，，那么点的纵坐标是 ． 【变式4-3】（2023九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，点在直线上，连接，过点作，交轴于点，连接．求的度数． 一、单选题 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）的值为（    ） A． B． C．1 D． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期中）若，则锐角的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·吉林长春·期中）在中，，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角α的余角等于（） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）在平面直角坐标系中点，连接，若与轴正半轴夹角为，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，若，，则，被墨迹覆盖的内容可能是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，则的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 9．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，在中，，，，那么的值为（   ） A． B．2 C． D． 10．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，是的中线，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，在菱形中，，，则的长度为（  ） A． B． C．5 D． 二、填空题 12．（25-26九年级上·福建莆田·期中） ． 13．（25-26九年级上·山东聊城·月考）在中，，若，则的值为 ． 14．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）在中，，那么等于 ． 15．（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）若，，，则由小到大的顺序为 ． 16．（25-26九年级上·上海闵行·期中）在中，，，，是边上的高，那么的长是 ． 17．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，，则的长为 ． 18．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，，点为外一点，连接、，点、分别为、的中点，若，则 ． 19．（25-26九年级上·上海虹口·期中）如图，在中，是边上的高，，，那么的长是 ． 20．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，若点A，B，C都在格点上，则的值为 ． 21．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中有一个正方形，点是正方形内部的一点，连接，，，，若，中的一个锐角的正切值为2，则点的坐标为 ．    三、解答题 22．（25-26九年级上·山东济南·期中）计算：． 23．（22-23九年级下·安徽安庆·期末）已知是锐角，且． 求的值． 24．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中是对角线AC、BD的交点，，，垂足分别为点E、F．若，，求的值． 25．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，求的值． 26．（25-26九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知中，，求边的长． 27．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，是的直径，是的弦．若，，求的半径． 28．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，中，于点D，，， ，求，的值． 29．（23-24九年级上·黑龙江双鸭山·期末）已知：如图，在中，，，，求的长和的正切值． 30．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 31．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点和点，点． (1)求直线的表达式和线段的长度； (2)连接线段，求的值； (3)设线段与x轴交于点 P，如果点C在x轴上，且 与 相似，求点C的坐标． 32．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，点D是线段上一动点（）．以点A为圆心，长为半径作交的延长线于点G，交直线于点E和点F，连接并延长交于点H，连接． (1)求的度数； (2)①若，求证：；②求的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $