精品解析：北京大学附属中学行知/未名学院2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

2025-2026学年第一学期北大附中行知/未名学院高二期中考试 数学试卷 考生须知 1.考生要认真填写考场号和座位序号. 2.本试卷共4页，分为两部分：第一部分为选择题，共40分；第二部分为非选择题，共60分. 3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 4.考试结束后，考生应将答题卡放在桌面上，待监考员收回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 与向量共线且方向相同的向量的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用共线向量定理求解. 【详解】与向量共线且方向相同的向量可设为，， 只有B选项符合. 故选：B 2. 已知正方体中，、分别为和的中点，则直线和的位置关系为（ ） A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 垂直 【答案】C 【解析】 【分析】连接，证明出四边形为梯形，可得出结论. 【详解】如下图所示，连接， 由、分别为、的中点，得，， 在正方体中，，，故四边形为平行四边形， 所以，，故，， 所以四边形为梯形，故直线、相交， 故选：C. 3. 如图，三棱柱中，为的中点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以，，为基底，利用向量加减法运算转化为基底表示即可. 【详解】； 又因为为的中点，得， 所以. 故选：A 4. 已知三个不同的平面，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由垂直于同一平面的两平面相交或平行以及充分必要条件的定义判断即可． 【详解】解：若，，则或与相交，故不是充分条件， 反之，若，，则，故是必要条件， 故选：B． 5. 已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且母线与下底面所成的角的正切值为2，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据圆台的轴截面得出圆台的高及母线，最后应用圆台的表面积公式计算求解. 【详解】依题意，圆台的上、下底面半径分别为2和4，则， 因为底角的正切值为2， 设圆台的高为，即该等腰梯形的高， 则母线， 所以圆台的表面积. 故选：D. 6. 如图，在四棱台中，底面是平行四边形，过点的平面与棱，，分别交于，，（三点均不在棱的端点处），则直线与平面的位置关系一定是（ ） A. 与平面相交 B. 平面 C. 平面 D. 平面 【答案】A 【解析】 【分析】利用线面平行的性质定理并结合点、线、面基本性质即可判断. 【详解】因为四棱台侧棱交于一点，可设平面与平面交线为， 因为底面是平行四边形，所以，因为平面， 所以平面，又因为平面，平面平面，所以. 在梯形中，显然直线与直线既不垂直也不平行，因为平面，且， 则直线与既不平行也不垂直，则直线与有交点， 因为平面，则直线不垂直平面，故B错误； 因为直线与有交点，平面，所以直线与平面有公共点， 又因为点平面，所以与平面相交，故A正确； 则平面，不平行平面，故CD错误. 故选：A. 7. 已知在三棱锥中，，，两两垂直，且，点为中点，则直线与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将三棱锥补形为正方体，得到直线与所成的角，再利用余弦定理求解. 【详解】如图所示： 补形为正方体，直线与所成的角为， 可求，， 所以， 所以直线与所成的角的余弦值为. 故选：C 8. 如图，长方体中，，，，点，分别是和的中点，是侧面内一动点（含边界），若平面，则动点的轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，取的中点，连接，可证平面平面．然后可知点的运动轨迹为，即可求解． 【详解】如图所示： 取的中点，取的中点，连接， 所以，又因为点，分别是和的中点， 所以，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又点是棱的中点，点是棱的中点，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以，， 又因为，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面． 又是侧面内一动点（含边界），且平面， 所以点的运动轨迹为，又在长方体中，，， 所以. 故选：C 9. 已知矩形中，，，将沿矩形对角线所在直线进行翻折，则下列说法正确的是（ ） A. 存在某个位置，使得直线与直线垂直 B. 存在某个位置，使得直线与直线垂直 C. 存在某个位置，使得直线与直线垂直 D. 对任意位置，与，与，与都不垂直 【答案】A 【解析】 【分析】利用线面垂直判定选项A，B,推出矛盾进行求解判断C,再由上述条件判断D. 【详解】法1： 矩形在翻折前和翻折后的图形如图（1）（2）所示. 在图（1）中，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由边，不相等可知点，不重合； 在图（2）中，连接. 对于选项A，若，又知，，所以平面，所以， 由可知存在这样的直角三角形，使得直线与直线垂直，故选项A正确； 对于选项B，若，又知，，所以平面， 所以，与点，不重合相矛盾，故选项B错误； 对于选项C，若，又知，，所以平面，所以， 已知，，则，所以不存在这样的直角三角形，故选项C错误； 由以上可知选项D错误. 法2：取一长方形动手按要求进行翻折，观察翻折过程中的规律： 对于A：做出过点与垂直的平面，在翻折过程中，点可以在此平面上，故存在某个位置，使得直线与直线垂直 对于B：做出过点与垂直的平面，在翻折过程中，点不可能在这个平面上，因此，不存在某个位置，使得直线与直线垂直； 对于C：做出过点与垂直的平面，在翻折过程中，点不可能在这个平面上，因此，不存在某个位置，使得直线与直线垂直. 故选：A 10. 在正方体中，为棱上一动点，为底面上一动点，是的中点，若点都运动时，点构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是（ ） A. 棱柱 B. 棱台 C. 棱锥 D. 球的一部分 【答案】A 【解析】 【分析】先讨论点与点重合，点的轨迹，再分析把点从点向上沿移动，在移动的过程中点的轨迹，从而可得出结论. 【详解】解：若点与点重合， 设的中点分别为， 移动点，则此时点的轨迹为以邻边的正方形， 再将点从点向上沿移动， 在移动的过程中可得点的轨迹是将以邻边的正方形沿向上移动， 最后当点与重合时，得到最后一个正方形， 故所得的几何体为棱柱. 故选：A. 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 已知直线的一个方向向量是，直线的一个方向向量是，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，则，根据数量积的坐标运算得到方程，解得即可. 【详解】因为直线的一个方向向量是，直线的一个方向向量是，且， 所以，即，解得. 故答案为： 12. 在空间直角坐标系中，已知点，，．若点在平面内（与，，三点都不重合），则点的坐标可以是______． 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】先求出平面的一个法向量，然后根据可得点的各坐标之间的关系，由此可确定出点坐标的可取值. 【详解】因为，，，所以， 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 因为平面，所以， 因为，所以，所以， 故点的坐标满足即可，可取， 故答案为：(答案不唯一). 13. 把一个底面半径为4，高为的铁质实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用熔铸前后体积相等即可求 【详解】因铁质实心圆柱底面半径为4，高为， 故该圆柱体积. 因铁质实心圆柱熔化后铸成一个球， 设球半径为，则球体积，且. 故，，. 即铁球的半径为. 故答案为： 14. 如图，三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，点在平面上的射影是的中点.则该棱柱的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设棱的中点为，连结，，利用线面垂直可得. 在直角三角形中，利用勾股定理求出的长度，进一步求出体积. 【详解】设棱的中点为. ，. 因点在平面上的射影是的中点， 故平面. 因平面， 故. 因底面是边长为2的正三角形，且为中点， 故三角形面积，. 因， 故在直角三角形中，. 故三棱柱的体积. 故答案为： 15. 如图，正方体的棱长为1，点是棱的中点，点是棱上的动点（含端点），过点，，的平面截正方体所得截面记为，给出下面四个结论： ①存在，使得为菱形，的面积为； ②当是的中点时，为等腰梯形，的面积是； ③过直线，有且只有一个平面与任意垂直； ④存在，使得直线与所成的角为. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】点与点重合时可判断①，是的中点时作出截面，判断形状后求面积即可判断②，找出一个平面证明与截面垂直且唯一可判断③，求出直线与所成的角的范围即可判断④. 【详解】对命题①，如图，取点与点重合时，由平行平面性质及勾股定理可知 所得截面为菱形，其中，点为的中点，因正方体的棱长为1， 故此菱形对角线，，故此菱形面积，故命题①正确； 对命题②，当是的中点时，连结并延长，与的延长线交于点. 由平行截比易得，因点为中点，易得，，三点共线， 故在三角形中由中位线性质可知，且，故截面为上下底分别为，，腰为的等腰梯形， 故此等腰梯形的高，故此梯形面积为，故命题②错误； 对命题③，设截面（面）法向量，过点作以法向量为方向向量的动直线. 则动直线，因空间中过一点作已知直线的垂线有无数条，且这些直线共面， 故点，动直线共面，设此平面为平面，故平面为过点的直线的唯一垂面，因面， 即在截面内，故平面为过点的截面的垂面，当点与点重合，则动直线即为 故面，故平面即为满足本题要求的唯一平面，取的中点，的中点， 可证四边形为平行四边形，因点为中点，故在正方形内由全等三角形方法可知 ，因面，且面，故. 因，，且和为面内的相交直线，故面，因面，即在截面内， 故截面面，故面为满足要求的过的唯一垂面，故命题③正确； 对命题④，因正方体的棱底面，故当点与重合时，截面即为底面， 此时直线与所成的角为，当点在棱上与点重合时，此时直线与所成的角为， 因点为中点，故，，故在直角三角形中，. 根据最小角定理，直线与平面所成的角是直线与平面内所有直线所成角中的最小角， 故，因，故， 由直线与所成的角的取值范围为，故存在，使得直线与所成的角为，故命题④正确. 故答案为：①③④ 三、解答题：本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，为侧棱的中点. （1）求证：平面； （2）求证：. 【答案】（1） 连接交于，连接， 四边形为正方形，对角线、互相平分， 为的中点，为中点，， 又平面，平面，平面； （2） 平面，平面，， 四边形为正方形，， ，、平面， 平面，平面，. 【解析】 【分析】（1）作出辅助线后，借助中位线性质可得，再利用线面平行判定定理即可得证； （2）借助线面垂直性质定理及线面垂直判定定理可得平面，再利用线面垂直性质定理即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，直四棱柱中，，，，在棱上，且满足平面. （1）求证：为棱的中点； （2）若，且二面角的余弦值为，求的值. 【答案】（1） 法1： 连接，在四棱柱中， 而，故，故四点共面， 而平面，平面，平面平面， 故，故四边形为平行四边形，故， 故为棱的中点. 法2：连接，在四棱柱中， 而平面，平面，故平面， 而平面，平面， 故平面平面，而平面平面， 平面平面，故， 而，故四边形为平行四边形，故， 故为棱的中点. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据四棱柱的性质及平行关系的转化可证四点共面，结合线面平行的性质可得，故可证为棱的中点.我们还可以连接，由四棱柱的性质可得，由面面平行的判定可得平面平面，从而可得，故可证为棱的中点. （2）利用向量法可求法向量的夹角余弦值的绝对值，结合已知条件得关于的方程，求解后可得其大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直四棱柱中，平面， 而平面，故，而， 平面，故平面， 故可以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向， 建立如图所示空间直角坐标系，平面的一个法向量为. 又，，，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，得，， 因此，平面的一个法向量为. 若二面角的余弦值为， 则，即， 解得. 18. 如图，在三棱锥中，，，. （1）求证：面面； （2）若是线段上靠近的四等分点，求： ①与平面所成角的正弦值； ②点到平面的距离. 【答案】（1） 如图，取中点，连接，因为，所以， ， 又因为，为中点，所以， 此时，即， 面， 又因为面， 所以平面面. （2）①；② 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，易得，再由，，利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明； （2）①以为原点建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，设直线与平面所成角，由求解；②易得，再由求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①如图，以为原点建立空间直角坐标系，使得轴在平面内且轴， 则，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则， 取，则，， 则直线与平面所成角的正弦值为 ， ②， 所以点到平面的距离为 . 19. 设非空集合，若对于任意，，都有，则称集合为无和集.记为无和集的最大元素个数，为达到最大元素个数的无和集的个数.例如，集合和是无和集，集合不是无和集，所以，. （1）判断集合和是否为无和集，并求和； （2）求和的值； （3）写出和，不必说明理由. 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】（1）利用无和集的定义一一列举验证即可； （2）构造一个含有5个元素的无和集，即得到，再利用反证法以及抽屉原理证明，即得；按；且；且三种情形分类讨论含有5个元素的无和集即可. （3）构造一个含有1013个元素的无和集，例，从而得到，同样利用第（2）问中的反证法可得，即得答案；按；两种情形分类讨论含有1013个元素的无和集即可. 【小问1详解】 由定义可知，集合是无和集. 因为，所以集合不是无和集. 当时，无和集有、、、和，所以无和集的最大元素个数为2， 达到最大元素个数的无和集为和，即和. 【小问2详解】 先证： 构造一个元素个数为5的集合（构造方式不唯一）. 因为对于任意的，，都有，满足，所以集合是无和集. 因此. 再证： 反证，假设存在一个元素个数为6的无和集. 将分成5个和为11的互补对，，，. 由抽屉原理可知，集合的6个元素放入5个互补对中，则至少有1个互补对包含2个元素. 再由无和集定义可知，有且只有1个互补对包含2个元素.进而可得，其他互补对中都有且只有1个元素. 当且时，因为，所以互补对中另一个元素， 此时，与无和集定义矛盾. 因此，不存在元素个数为6的无和集. 综上，. 下面找到所有达到最大元素个数5的无和集. 情形一：如果，则.将剩余数字分成4个和为10的互补对：，，和. 由无和集定义可知，每个互补对中有且只有一个元素. 1.当且时，则且，进而且， 此时且，与无和集的元素个数为5矛盾； 2.当且时， （1）若且，则且，进而且，与无和集的元素个数为5矛盾； （2）若且，则且，进而且，无和集. 情形二：如果且，将分成4个和为9的互补对：，，，. 由无和集定义可知，每个互补对中有且只有一个元素. 1.当且时，则且，进而且， 此时且，无和集； 2.当且时，则且，进而且， 此时且，无和集. 情形三：如果且，将分成4个和为9的互补对，. 与上面的证明类似，不存在元素个数为5的无和集，矛盾. 综上，达到最大元素个数为5的无和集有3个，分别为 ，任意两个元素之和均大于10，符合无和集定义； ，任意两个奇数之和为偶数，符合无和集定义； ，任意两个元素之和均大于9，符合无和集定义. 因此. 【小问3详解】 ，. 先证：. 构造一个元素个数为1013的集合（构造方式不唯一）. 因为对于任意的，，都有，满足，所以集合是无和集. 因此. 再证：. 反证，假设存在一个元素个数为1014的无和集. 将分成1012个和为2025的互补对，，与一个单独的元素2025， 由抽屉原理可知，集合的1014个元素放入1013个互补对中，则至少有1个互补对包含2个元素. 再由无和集定义可知，有且只有1个互补对包含2个元素.进而可得，其他互补对中都有且只有1个元素. 当且时，因为，所以互补对中另一个元素， 此时，与无和集定义矛盾. 因此，不存在元素个数为1014的无和集. 综上，. 下面找到所有达到最大元素个数1013的无和集. 情形一：如果，将分成1012个和为2025的互补对：. 由无和集定义可知，每个互补对中有且只有一个元素. 1.当且时，则且，进而且， 进而且，进而且，，且，无和集； 2.当且时，则且，进而且， 进而且，进而且，，且无和集. 情形二：如果，将分成1012个和为2025的互补对，， 最多存在元素个数为1012的无和集，矛盾. 综上，达到最大元素个数为1013的无和集有2个，分别为： ，任意两个元素之和均为偶数，符合无和集定义； ，任意两个元素之和均大于2025，符合无和集定义. 因此. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期北大附中行知/未名学院高二期中考试 数学试卷 考生须知 1.考生要认真填写考场号和座位序号. 2.本试卷共4页，分为两部分：第一部分为选择题，共40分；第二部分为非选择题，共60分. 3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 4.考试结束后，考生应将答题卡放在桌面上，待监考员收回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 与向量共线且方向相同的向量的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 2. 已知正方体中，、分别为和的中点，则直线和的位置关系为（ ） A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 垂直 3. 如图，三棱柱中，为的中点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知三个不同的平面，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且母线与下底面所成的角的正切值为2，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四棱台中，底面是平行四边形，过点的平面与棱，，分别交于，，（三点均不在棱的端点处），则直线与平面的位置关系一定是（ ） A. 与平面相交 B. 平面 C. 平面 D. 平面 7. 已知在三棱锥中，，，两两垂直，且，点为中点，则直线与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，长方体中，，，，点，分别是和的中点，是侧面内一动点（含边界），若平面，则动点的轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 9 9. 已知矩形中，，，将沿矩形对角线所在直线进行翻折，则下列说法正确的是（ ） A. 存在某个位置，使得直线与直线垂直 B. 存在某个位置，使得直线与直线垂直 C. 存在某个位置，使得直线与直线垂直 D. 对任意位置，与，与，与都不垂直 10. 在正方体中，为棱上一动点，为底面上一动点，是的中点，若点都运动时，点构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是（ ） A. 棱柱 B. 棱台 C. 棱锥 D. 球的一部分 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 已知直线的一个方向向量是，直线的一个方向向量是，若，则__________. 12. 在空间直角坐标系中，已知点，，．若点在平面内（与，，三点都不重合），则点的坐标可以是______． 13. 把一个底面半径为4，高为的铁质实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为__________. 14. 如图，三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，点在平面上的射影是的中点.则该棱柱的体积为__________. 15. 如图，正方体的棱长为1，点是棱的中点，点是棱上的动点（含端点），过点，，的平面截正方体所得截面记为，给出下面四个结论： ①存在，使得为菱形，的面积为； ②当是的中点时，为等腰梯形，的面积是； ③过直线，有且只有一个平面与任意垂直； ④存在，使得直线与所成的角为. 其中所有正确结论的序号是__________. 三、解答题：本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，为侧棱的中点. （1）求证：平面； （2）求证：. 17. 如图，直四棱柱中，，，，在棱上，且满足平面. （1）求证：为棱的中点； （2）若，且二面角的余弦值为，求的值. 18. 如图，在三棱锥中，，，. （1）求证：面面； （2）若是线段上靠近的四等分点，求： ①与平面所成角的正弦值； ②点到平面的距离. 19. 设非空集合，若对于任意，，都有，则称集合为无和集.记为无和集的最大元素个数，为达到最大元素个数的无和集的个数.例如，集合和是无和集，集合不是无和集，所以，. （1）判断集合和是否为无和集，并求和； （2）求和的值； （3）写出和，不必说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $