精品解析：黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

兆麟中学2025—2026学年度上学期期中考试 高一学年 数学学科试题 命题人： 高一数学组 审题人：王洪亮 总分：150 分 考试用时：120分钟 一、单选题（每題5分，共40分） 1. 命题“ ”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 若集合， ， （    ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知幂函数，若且都有成立，则m的值为（ ） A. 2 B. 2或 C. D. 6. 已知函数，若在R上是减函数，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列命题正确是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若的取值范围是，的取值范围是，则的取值范围是 10. 下列各选项给出的命题中，不正确的有（ ） A. 已知定义域为，则的定义域为 B. 若是一次函数，满足，则 C. 函数的值域为 D. “”是“不等式对一切实数x恒成立充要条件 11. 双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数 ，且当时有，则下列选项正确的是（ ） A. B. 的值域为 C. ，则 D. ，则 三、填空题（每通5分，共15分） 12 已知函数，则_______. 13. 已知奇函数的定义域为，且在上单调递减，，则不等式的解集为______. 14. 定义（其中表示不小于的最小整数）为“向上取整函数”．例如．以下描述正确的有___________ ①若，则 ②若，则 ③是上的奇函数 ④若，则 四、解答题（共77分) 15. 计算下列各式的值. （1）； （2）； （3）已知，，计算的值. 16. 已知幂函数在单调增，. （1）求函数的解析式； （2）如果函数在区间上是增函数，求a的取值范围； （3）求关于x的不等式解集.(其中). 17. 函数是定义在上的奇函数，且． （1）确定的解析式； （2）判断在上的单调性，并证明你的结论； （3）解关于的不等式． 18. 函数满足对一切x，有，且；当时，有． （1）求的值； （2）判断并证明在R上的单调性； （3）求不等式的解集． 19. 已知函数. （1）当时，求的值域. （2）若在上单调递增，求实数的取值范围. （3）若在函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为的图象的局部对称点.若是的图象的局部对称点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兆麟中学2025—2026学年度上学期期中考试 高一学年 数学学科试题 命题人： 高一数学组 审题人：王洪亮 总分：150 分 考试用时：120分钟 一、单选题（每題5分，共40分） 1. 命题“ ”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题，即可得答案. 【详解】命题“ ”的否定是. 故选：D 2. 已知，则的最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】因为，所以， 所以根据基本不等式的性质可得. 当且仅当时，即时等号成立. 此时的最小值为5. 故选：A. 3. 若集合， ， （    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出指数函数的值域及函数的定义域，分别确定出集合M和N，找出两集合解集的公共部分即可得到两集合的交集． 【详解】表示函数值域，则. 表示函数定义域，则. 则. 故选：A 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质及充分条件和必要条件的定义判断． 【详解】当时，成立，故充分性满足， 当时，如，则，故必要性不满足， 因此“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 5. 已知幂函数，若且都有成立，则m的值为（ ） A. 2 B. 2或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据幂函数的概念求出或，再根据幂函数在上的单调性进行选择. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或． 因为且都有成立， 所以在上单调递减，所以． 故选：D 6. 已知函数，若在R上是减函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数以及一次函数的单调性，即可结合分段函数的性质求解. 【详解】由在R上是减函数可得，解得， 故选：B 7. 已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对题目等式变形得，再利用乘“1”法即可得到答案. 【详解】因为正实数,满足，所以， 则：， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以． 故选：B． 8. 设函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求在给定区间的值域，再根据的单调性分类讨论，确保的值域包含的值域，解不等式组得到的范围. 【详解】因为，最小值在处为， 根据题目，函数在区间上的值域为， 对任意的，存在，使得等价于要求的值域是的值域的子集， 由于是一次函数，需要满足： 当时，单调递增，值域为，要求且，解得， 当时，单调递减，值域为，要求且，解得 ​， 综上，的取值范围为​或，即， 故选：A. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若的取值范围是，的取值范围是，则的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用不等式性质推理判断AD；举例说明判断B；利用反证法及作差法判断C. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，当时，，B错误； 对于C，，假设，则， 与矛盾，因此，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：AC 10. 下列各选项给出的命题中，不正确的有（ ） A. 已知的定义域为，则的定义域为 B. 若是一次函数，满足，则 C. 函数的值域为 D. “”是“不等式对一切实数x恒成立的充要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】由抽象函数的定义域的求法求解即可判断A；利用待定系数法求解析式可判断B；将函数变形为，先求出的范围即可求出的范围可判断C；根据不等式，利用分类讨论思想，建立不等式判断D． 【详解】对于A，因的定义域为，则,可得， 需满足，解得且, 所以的定义域为：，故A错误； 对于B，因为是一次函数，设， 则， 可得， 解得或， 所以或，故B错误； 对于C，因， 由可得，则， 则，则，故C正确； 对于D，由不等式恒成立， 等价于或， 即得，故D错误. 故选：ABD 11. 双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数 ，且当时有，则下列选项正确的是（ ） A B. 的值域为 C. ，则 D. ，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接验证A选项即可；求得，结合指数函数的基本性质可求得的值域，可判断B选项；分析函数的单调性与奇偶性，解不等式可判断C选项；当时，由化简得出，由此可判断D选项. 【详解】对于A选项， ，A对； 对于B选项，， 因为，则，故，故， 即函数的值域为，B对； 对于C选项，对任意，，故函数的定义域为， ，即函数为奇函数， 任取、，且，则， 所以， 即，故函数为上的增函数，且为奇函数， 由可得， 故，解得，C错； 对于D选项，， 当时，由整理可得， 即，故，D对. 故选：ABD. 三、填空题（每通5分，共15分） 12. 已知函数，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的解析式由内而外可求得的值. 【详解】因为，所以，故. 故答案为：. 13. 已知奇函数的定义域为，且在上单调递减，，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及单调性得到大概趋势，则分两种或讨论即可. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，则，， 在上单调递减，由，得或得或，即.故解集为 故答案为：. 14. 定义（其中表示不小于的最小整数）为“向上取整函数”．例如．以下描述正确的有___________ ①若，则 ②若，则 ③是上的奇函数 ④若，则 【答案】①②④ 【解析】 【分析】结合对“向上取整函数”定义的理解，进而判断①④；利用整体换元求解方程即可判断②；取特殊值即可判断③. 【详解】因为表示不小于的最小整数，所以，且， 即. 对于①：因为，，所以， 即，故①正确； 对于②：令，则，即， 因为表示不小于的最小整数，所以或 当时，由，可得， 当时，由可得， 故，所以②正确； 对于③：因为的定义域为，所以， 而，所以， 所以不是上奇函数，所以③错误； 对于④：由，，所以， 所以，所以， 由，结合不等式的可加性可得到， 故，故④正确. 故答案为：①②④. 四、解答题（共77分) 15. 计算下列各式的值. （1）； （2）； （3）已知，，计算的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据指数运算和对数运算法则直接求解即可； （2）根据对数运算法则直接化简求解即可； （3）利用对数表示出，代入所求式子，结合对数运算法则求解即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 ，，，， . 16. 已知幂函数在单调增，. （1）求函数的解析式； （2）如果函数在区间上是增函数，求a的取值范围； （3）求关于x的不等式解集.(其中). 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）依题意可得，解得即可； （2）由（1）知，再结合二次函数的性质计算可得； （3）因式分解可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【小问1详解】 由题意：，或 又因为在单调增，，. 【小问2详解】 由（1）知，函数在区间上是增函数， ，. 【小问3详解】 不等式转化为，则. 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为. 综上可得当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为. 17. 函数是定义在上的奇函数，且． （1）确定的解析式； （2）判断在上的单调性，并证明你的结论； （3）解关于的不等式． 【答案】（1）， （2）函数在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由已知得，求出、的值，即可求得函数的解析式，再检验即可； （2）根据函数单调性的定义可证明； （3）根据函数的单调性和奇偶性建立不等式组，求解即可. 【小问1详解】 由函数是定义在上奇函数，得，解得， 经检验，时，， 所以是上的奇函数，满足题意， 又，解得， 故，； 【小问2详解】 函数在上单调递增.证明如下： 任取且， 则， 因为且，所以，， ，，， 所以，所以，即， 所以在上单调递增. 【小问3详解】 因为在上单调递增，且为奇函数， 所以不等式，即， 等价于，解得， 即不等式的解集为. 18. 函数满足对一切x，有，且；当时，有． （1）求的值； （2）判断并证明在R上单调性； （3）求不等式的解集． 【答案】（1）3 （2）单调递减，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，令，可得，令，可得， ，再令，求得； （2）设且，令，得到，根据题意，结合函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （3）根据题意，把原不等式化为，令，得到，得到，结合，，结合函数的单调性，转化为，即可求解. 【小问1详解】 由函数满足对一切，且， 令，可得，令，可得， 再令， 所以，可得. 【小问2详解】 为上的单调递减函数. 证明如下： 设且，令，则， 所以， 因为当时，有，所以， 由 ， 即，所以为上的单调递减函数. 【小问3详解】 令，可得 所以，原不等式化为， 令，可得，解得，即， 又由，所以， 因为为上的单调递减函数，所以， 即，解得，所以不等式的解集为. 19. 已知函数. （1）当时，求的值域. （2）若在上单调递增，求实数的取值范围. （3）若在函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为的图象的局部对称点.若是的图象的局部对称点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由换元法结合二次函数值域，即可得到结果； （2）根据题意，分，，讨论，结合条件，代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由局部对称点的定义，结合函数的单调性，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 当时，， 令，则，， 所以的值域为； 【小问2详解】 令，，则，， 因为在上单调递增， 所以要使在上单调递增， 只需在上单调递增， ①当时，在上单调递减，不符合题意； ②当时，的图象开口向下，不符合题意； ③当时，则需，解得， 所以实数的取值范围是； 【小问3详解】 由是的图象的局部对称点，可得，， 代入整理得，① 令，则，， 代入①式得，， 当时，函数和均单调递增， 所以在上单调递增， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：形如二次函数、指数函数结合的问题，无论是单调性还是值域（最值），都可以考虑利用换元法，再结合二次函数的性质来进行求解；研究含参数的二次函数的性质，关键点是对参数进行分类讨论，结合二次函数的开口方向、单调性、值域等知识可将问题解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $