第05讲 切线长定理（知识详解+2典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年浙教版数学九年级下册重难点讲义与测试

⊙ 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 文字语言 符号语言 图示 第05讲切线长定理（知识详解+2典例分析+习题巩固） 从圆外一点作圆的切线， 通常我们把圆外这一点到 切，点间的线段的长叫做切 切线长 线长 的定义 1.可以得到线段相等、角相等、孤相等 切线长 应用 以及垂直关系等 定理 过圆外一点所作的圆的两 切线长 *2.过圆外一点作圆的切线 条切线长相等 定理 目标导航 知识详解 知识点01：切线长定理 典例分析 考点1：切线长定理 考点2：与切线长有关的计算 (举三反三) 习题巩固 一、 单选题(5) 二、填空题(6) 三、解答题(6) 知识详解 【知识点1】切线长定理 1切线长：从圆外一点作圆的切线，通常我们把圆外这一点到切点间的线段的长叫做切线长 注意切线是一条直线，无法度量，切线长是切线上一条线段的长，即圆外切线上一点和切点之间的距离，可以度量 2.切线长定理 宋老师数学图文制作室 ⑧初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期抹 A :PA和PB是⊙O 过圆外一点所作的圆的两 的两条切线，切点分别是 3 条切线长相等 A B E 2:C :.PA=PB 的 B 拓展结论：因为直线PO是整个图形的对称轴，故直线PO两侧的图形完全重合， 常见结论有： (1)三组全等三角形：△PAO兰△PB0;△PAC兰△PBC;△OAC兰△OBC· (2)两个等腰三角形：△PAB;△OAB· (3)相等的角：∠1=2=∠3=∠4；∠A0P=∠BOP;∠PAB=∠PBA· (4)相等的弧：AD=BD；AE=BE· (5)垂直：AB⊥PO;OA⊥PA;OB⊥PB (6)P,A,0,B四点共圆，圆心是P0的中点 典例分新 【题型一】切线长定理 【典例1-1】(25-26九年级上浙江台州阶段练习)如图，直线AB,BC,CD分别与O0相切于点E,F,G,且 AB∥CD,0B=6cm,OC=8cm.则o0的直径为()cm, A.4.8 B.6 C.8 D.9.6 【答案】D 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期床。 【分析】本题考查了切线长定理，平行线的性质，勾股定理，根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明 ∠BOC=90°，再根据勾股定理即可求得BC的长，进而根据等面积法，即可求解. 【详解】解：连接OF, 根据切线长定理得：BE=BF,CF=CG,∠OBF=∠OBE,∠OCF=∠OCG; AB∥CD, .∠ABC+∠BCD=180°， ∠0BF+∠0CF=90°， .∠B0C=90°， .0B =6cm OC =8cm, ÷BC=V0B2+0C2=V82+62=10(cm), OF⊥BC, ..OF =OBxOC_6x8 BC =4.8cm 10 00的直径为9.6cm. 故选：D. 【典例1-2】(24-25九年级上浙江绍兴期末)如图，O0是ABC的内切圆，切点分别为D,E,F.已知ABC的 周长为16，BC=6,则AE= 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 F B 【答案】2 【分析】此题主要考查了圆的切线长定理，熟悉圆的切线长定理是解题的关键。 根据圆的切线长定理知：AF=AE,BF=BD,CD=CE,再根据周长计算即可. 【详解】解：OO是ABC的内切圆，切点分别为D,E,F, ·AF=AE,BF=BD,CD=CE, ABC的周长为16， ..BF+BD+CD+CE+AF+AE=16,E02BD+2CD+2AE=16,2BC+24E=16, 又BC=6, .2×6+2AE=16, AE=2. 故答案为：2. 【典例1-3】(2025九年级下·浙江·专题练习)如图，直线PCD过圆心0，PA、PB分别切⊙0于A、B,∠APB=60 ,PA=4,AB与PD相交于E, D E 4 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 (I)求弦AB的长； (2)求阴影部分的面积. 【答案】(1)4 a-25 【分析】此题主要考查了切线长定理与扇形的面积公式等知识，熟练掌握切线长定理是解题的关键； (1)根据切线长定理及∠APB=60°可以得出△PAB为等边三角形，即可求出； (2)由S翻影=S幸图o-S。4DE,分别求出各部分的面积即可得出答案 【详解】(1)解：PA,PB与⊙0相切于A,B两点 :PA=PB, .∠APB=60°， PAB为等边三角形， :AB=PA=4; (2)解：连接AD,OB, PA,PB为OO的切线， :OA⊥PA,OB⊥PB, OP平分∠APB,OP垂直平分AB, 4∠AP0=7∠APB=30 ∠A0P=60°， :∠PA0=90°， 5 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 :0A=4P=4-4V5 AE=TAP=2 .AD=2AE=4, ∴DE=VAD2-AE2=2V5, S阴=S丰因O-S。4DE, 2 1 43 =2π 1x2x25, 3 -25 8 D B 【变式1-1】(2025九年级下·浙江专题练习)如图，⊙0为ABC的内切圆，AC=10,AB=8,BC=9,点D,E 分别为BC,AC上的点，且DE为OO的切线，则aCDE的周长为() B A.9 B.7 C.11 D.8 【答案】C 6 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 【分析】此题主要是考查了切线长定理.设AB,AC,BC,DE和圆的切点分别是P,N,M,Q,根据切线长定理得到 NC=MC,EN=EQ,DQ=DM,所以aCDE的周长即是CM+CN的值，再进一步根据切线长定理由ABC的三边进 行求解即可. 【详解】解：设AB,AC,BC,DE和圆的切点分别是P,N,M,Q,CM=x, MD 根据切线长定理，得 CN CM x,BM BP 9-x,AN AP 10-x. EN EQ,DQ DM 则有9-x+10-x=8, 解得：x=5.5. 所以CDE的周长=CD+CE+QE+DQ=CN+CM=2x=11. 故选：C. 【变式1-2】(22-23九年级上浙江台州·期中)如图，PA,PB,DE分别切⊙0于点A,B,C,如果PA=10Cm,那 么△PDE的周长为 cm. A D E B 【答案】20 【分析】本题主要考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键.根据切线长定理，即可得到PA=PB=I0©m, CD=AD,CE=BE,从而可求得△PDE的周长 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 【详解】解：PA,PB,DE分别切⊙O于点A,B,C, .PA=PB=10cm,CD=AD,CE=BE, .PDE的周长=PD+PE+DE =PD+PE+CD+CE PD+PE+AD+BE =PD+AD+PE+BE =PA+PB =2PA =2×10 =20cm, 故答案为：20. 【变式1-3】(2025九年级上浙江·专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径的⊙0交AB于点D, 点Q为C1延长线上一点，延长OD交BC于点P,连接0D,∠AD0=∠DO0, B P (1)求证：PD是O的切线： (②)若AQ=AC,AD=6时，求BP的长 【答案】(1)见解析 (2)36 8 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 【分析】(1)连接DC,根据圆周角定理得到∠DCA=∠DOA,由于∠ADQ=∠DOQ,得到DCA=LADQ,根据 余角的性质得到LADQ+AD0=90°，于是得到结论； (2)连接OP,根据切线的判定定理得到PC是⊙O的切线，求得PD=PC,得到∠DP0=LCP0,根据平行线分线段 成比例定理得到OP=9,根据三角形的中位线的性质得到AB=18,根据射影定理即可得到结论 【详解】(1)证明：连接DC, B AD=AD' ∴∠DCA= ∠AD0=D00. :.ZDCA=ZADQ, AC为直径， ∠ADC=90°， .∠DCA+∠DAC=90 ∠ADQ+∠DAC=90°，∠ADO=∠DAC, ÷∠ADQ+LAD0=90°， ·PD是OO的切线： (2)解：连接OP. 9 ⊙ 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 ∠C=90°，0C为半径， PC是⊙O的切线， .PD=PC, .∠DP0=∠CPO, 0P⊥CD, .OP∥AD, A0=AC=20A, :4=AD2 PC_OC=1, OO OP 3'PB OA :PB=PC, OP是△ACB的中位线， AD=6, 0P=9 ..AB=18,BD=AB-AD=12, CD⊥AB,∠C=90°， .BC2=BD·AB=216, ∴BC=66, .BP=36. 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线的性质，射影定理， 正确的作出辅助线是解题的关键， 【题型二】与切线长有关的计算 【典例2-1】(24-25九年级上浙江杭州阶段练习)如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆0，过点C作直线切 10 第05讲 切线长定理（知识详解+2典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：切线长定理 典例分析 （举三反三） 考点1：切线长定理 考点2：与切线长有关的计算 习题巩固 一、单选题（5） 二、填空题（6） 三、解答题（6） 【知识点01】切线长定理 1.切线长：从圆外一点作圆的切线，通常我们把圆外这一点到切点间的线段的长叫做切线长. 注意 切线是一条直线，无法度量，切线长是切线上一条线段的长，即圆外切线上一点和切点之间的距离，可以度量. 2.切线长定理 文字语言 符号语言 图示 过圆外一点所作的圆的两 条切线长相等. 和 是 的两条切线，切点分别是 ， ， . 拓展结论：因为直线 是整个图形的对称轴，故直线 两侧的图形完全重合， 常见结论有： （1）三组全等三角形： ； ； . （2）两个等腰三角形： ； . （3）相等的角： ； ； . （4）相等的弧： ； . （5）垂直： ； ； . （6） ， ， ， 四点共圆，圆心是 的中点. 【题型一】切线长定理 【典例1-1】（25-26九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，直线，，分别与相切于点，，，且，，．则的直径为（   ）． A． B． C． D． 【典例1-2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，是的内切圆，切点分别为．已知的周长为16，，则 ． 【典例1-3】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，直线过圆心，、分别切于、，，，与相交于． (1)求弦的长； (2)求阴影部分的面积． 【变式1-1】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，为的内切圆，，点D，E分别为上的点，且为的切线，则的周长为（　　） A．9 B．7 C．11 D．8 【变式1-2】（22-23九年级上·浙江台州·期中）如图，，，分别切于点，，，如果，那么的周长为 ． 【变式1-3】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，以为直径的交于点D，点Q为延长线上一点，延长交于点P，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若时，求的长． 【题型二】与切线长有关的计算 【典例2-1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，则（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图所示，过半径为的外一点P引圆的切线，连接交于F，过F作的切线，交分别于D，E，如果，，则的周长 ；的度数 ． 【典例2-3】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，，是的切线，，为切点，为上的一点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式2-1】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，的直径的长度为定值a，和是它的两条切线，与相切于点E，并与，分别相交于点D，C两点，设，，当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，半径为1的与直线相切于点A，点是上的一个动点，作于点，则的最大值是 ． 【变式2-3】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，为的直径，切于点C，与的延长线交于点D，交延长线于点E，连接，已知．      (1)求证：是的切线； (2)求的半径． (3)连接，求的长． 一、单选题 1．（22-23九年级下·浙江杭州·期中）如图，点是半径为的外一点，，分别切于，点，若是边长为的等边三角形，则（  ）    A． B． C． D． 2．（2023九年级下·浙江·专题练习）如图为的内切圆，点D，E分别为边上的点，且为的切线分别交于D、E两点，若的周长与的周长的差等于12，则的长为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 3．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的内切圆，分别与相切于D，E两点，已知，，则的周长为（    ） A．14 B． C．16 D．18 4．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，中，斜边，内切圆I切各边为D，E，F，连结，作交于G，则长为（    ） A．7 B． C． D． 5．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，某小区打算进行公共设施改造，现有一块边长为的正方形空地，点O在边的中点处，计划在正方形空地内搭建一个以O为圆心，为直径的半圆形儿童游乐场区域，过点C作半圆的切线交于点N．以为正方形的区域分割线，位于分割线右下方的整个区域作为小区的休闲区，则该休闲区的面积为（　　）． A．1000 B．140 C．800 D． 二、填空题 6．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）《九章算术》是我国古代数学的瑰宝，其第九卷中有著名的“勾股容圆”问题，原文为：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆径几何？”意思是“今有直角三角形，较短直角边长8步，较长直角边长15步，问此直角三角形内切圆的直径是多少步？”我们用学过的知识可求该内切圆的直径是 步． 7．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，分别切于点A，B，连接．若，则 度． 8．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）如图，是外的一点，、分别与相切于点、，是上的任意一点，过点的切线分别交、于点、，若的周长是，则 ． 9．（2022九年级·浙江·专题练习）如图，、是的切线，、是切点，已知，，那么的长为 ． 10．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，A是外一点，分别与相切于点B，C．P是上任意一点，过点P作的切线，交于点M，交于点N．，则的周长是 ，若，则 ． 11．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，中，，，与的各边分别相切于点D，E，F，若的半径为2，则的周长是 ． 三、解答题 12．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图所示，P是外一点，，分别和切于A，B两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交，于D，E． (1)若的周长为10，则的长为　　； (2)连接、，若，则的度数为　　度． 13．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E． (1)求证：⊙D与AC相切； (2)若AC=5，BC=3，试求AE的长． 14．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，为圆O直径，，与圆O相切于点E，于点F，交于点G，若． (1)求的长度． (2)求的长度． (3)求的长度． 15．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，是的切线，A，B为切点，是的直径，连接交于点D． 求证： (1)； (2)． 16．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，矩形中，，．动点E在边上，以点E为圆心，以为半径作弧，点G是弧上一动点． (1)如图1，若点E与点A重合，且点F在上，当与弧相切于点G时，则的值是 　 　； (2)如图2，若连结，，分别取，，的中点P、Q，连接，M为的中点，则的最小值为 　． 17．（22-23九年级上·浙江台州·自主招生）【概念学习】圆的切线与过切点的弦的夹角，称为弦切角．如图1，直线切于点，是弦，则、都是弦切角，把弧称为弦切角所夹的弧． 【性质探索】 （1）弦切角与它所夹的弧对的圆周角有何数量关系？如图1，直线切于点，是弦，点为优弧上一点，猜想并证明与的数量关系． 【性质应用】 （2）如图2，过外一点作的两条切线，切点分别为点，，作直线交于点，，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：点为线段的中点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $