精品解析：天津市第二十中学2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题

2025－2026第一学期高一年级数学学科期中考试 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试用时100分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一.选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上） 1. 已知全集，，，则集合的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解补集，再根据元素个数计算真子集个数. 【详解】，，， 则集合的真子集个数为7个. 故选：C. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】举反例，根据充分必要条件概念进行判断即可. 【详解】当时，满足，不满足，故“”不能推出“”； 当时，满足，不满足，故 “” 不能推出“”； 所以“”是“”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 3. 设、均是不为零的实数且，下列不等式中，恒成立的是（ ）. A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用作差法即可判断AB，令即可判断C，利用单调性即可判断D. 【详解】由，所以， 由，当时，， 当时，，故A错误，B错误； 令，满足，但，故C错误； 因为函数在上单调递增，当时，恒成立，故D正确. 故选：D. 4. 已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可知方程无实数根，讨论与0的关系即可列出不等式求解. 【详解】命题“，”为假命题， 则方程无实数根， 当时，，符合题意， 当时，即，解得：； 综上：. 故选：A. 5. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. [0,4] D. [0,1] 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的定义域为[0,2]，得到中的范围为，又分母不为0，从而得到的范围，即为定义域. 【详解】已知函数的定义域为，要使函数有意义， 则满足，解得， 即函数的定义域为. 故选：B. 6. 已知，则的最大值是（ ）． A. B. C. 5 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】化简变形利用基本不等式计算即可． 【详解】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A 7. 已知定义在上的偶函数满足对，且都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件判断函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性之间的性质将不等式进行转化进行求解即可． 【详解】由满足对，且都有， 可知在上单调递减； 又函数为偶函数，故在上单调递增. 若，则等价于， 因是偶函数，故， 又在上单调递减，则由可得； 若，则等价于， 由题意，在上单调递增，则由可得； 综上，的解集为. 故选： . 8. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系可求得，结合基本不等式可求得最小值. 【详解】，； 不等式的解集为， 方程的两根为和，且， ，解得：， （当且仅当时取等号），的最小值为. 故选：C. 9. 若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，将函数化成分段函数并分类讨论单调性，再结合在时单调性及分段函数的单调性列出不等式求解即得. 【详解】函数， 由函数是上的单调函数，得函数在上单调， 当时，在上递增，而时，为常数函数，不递增，因此； 当时，，函数在上递增，在上递减， ，函数在上不单调，因此不成立； 当时，，函数在上递增，在上递减， 因此函数在上单调递增，且，即，解得， 此时函数在上单调递增，要函数在上单调递增， 则，而，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B 第Ⅱ卷（非选择题） 二.填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分，将答案填写在答题卡上） 10. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由不等式解集，结合韦达定理列方程求，再应用分式不等式的解法求的解集即可. 【详解】不等式的解集为， ∴1和2是方程的两个实根， 由韦达定理得：， ， 此时不等式为， 得， 得，解得. 故解集为. 11. 已知函数，则值域是______． 【答案】 【解析】 【分析】令，则且，再令，，结合二次函数的性质求出的值域，即可得解. 【详解】函数的定义域为， 令，则且， 令，，则， 所以，当且仅当时取等号，即， 所以. 故答案为： 12. 已知函数（）是偶函数，则函数的单调递增区间为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数的定义求出，再结合二次函数单调性求解即得. 【详解】函数是偶函数，则，即， 整理得，而不恒为0，因此，， 函数的定义域为，根据复合函数的单调性，易知单调递增区间为. 故答案为： 13. 已知定义在上的函数满足，则函数的解析式________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知把换成，建立方程组求解. 【详解】因为，把换成有：， 联立，解得. 故答案为： 14. 设不等式的解集为A，若，则a的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件按集合A是否是分类讨论，再借助一元二次方程根的情况列式求解作答. 【详解】因不等式的解集为A，且， 则当时，，解得：，此时满足，即， 当时，不妨令()，则一元二次方程在上有两个根， 于是有，解得或，解得：， 则有，综合得：， 所以a的取值范围为. 故答案为： 15. 已知函数是定义在实数集上的奇函数，当时， ，若集合，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，条件等价为对∀x∈R，都有f（x-1）f（x），进行转化求解即可求解该不等式得答案． 【详解】若=∅， 则等价为f（x-1）-f（x） 0恒成立，即f（x-1）f（x）恒成立， 当x≥0时 ． 若a≤0， 则当x≥0时， ， ∵f（x）是奇函数， ∴若x＜0，则-x＞0，则f（-x）=-x=-f（x）， 则f（x）=x，x＜0， 综上f（x）=x，此时函数为增函数，则f（x-1）f（x）恒成立； 若a＞0， 若0≤x≤a时， ； 当a＜x≤2a时， ； 当x＞2a时， ．即当x≥0时，函数的最小值为-a， 由于函数f（x）是定义在R上的奇函数， 当x＜0时，f（x）的最大值为 a， 作出函数的图象如图： 由于∀x∈R，f（x-1）f（x）， 故函数f（x-1）的图象不能在函数f（x）的图象的上方， 结合图可得 ，即6a1，求得0＜a ， 综上a ， 故答案为 【点睛】本题主要考查带有绝对值的函数，奇函数的性质，函数的图象特征，根据分段函数的性质，将条件转化不等式恒成立是解决本题的关键．综合性较强，难度较大． 三、解答题：（本大题共5小题，共55分，将解题过程及答案填写在答题卡上） 16. 已知正实数满足：. （1）求的最大值； （2）求的最小值； 【答案】（1） （2）25 【解析】 【分析】（1）直接利用基本不等式即可求得答案； （2）利用“1”的巧用，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【小问1详解】 因为正实数满足：，故， 所以，当且仅当时取等号， 故的最大值为； 【小问2详解】 正实数满足：， 则， 当且仅当，结合，即时取等号， 故的最小值为25. 17. 已知集合，. （1）若，求; （2）若，求实数的取值集合. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的求解化简集合,即可根据集合的交集和补集的定义求解， （2）根据，即可分类讨论求解. 【小问1详解】 若，则 或， 或 【小问2详解】 若，则 当时，有，即 当时，，解得 实数的取值集合是 18. 已知幂函数在单调增，. （1）求函数的解析式； （2）求关于不等式解集.（其中）. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义，令，解出，又由的单调性即可求解； （2）不等式转化为，则，比较与大小，分类讨论即可求解. 【小问1详解】 由题意：令，或， 又因为在单调递增， ，. ； 【小问2详解】 不等式转化为，则. 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为. 综上可得当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为. 19. 函数为定义在上的奇函数，已知当时，. （1）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）在上的单调递增，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数单调性的定义，即可求解； （2）利用函数性质，将问题转化成求解不等式，即可求解. 【小问1详解】 在上的单调递增，证明如下： 任取，，且，则， 因为，，且，所以，，， 则，即， 所以在上的单调递增. 【小问2详解】 由（1）知在上的单调递增，且函数为上的奇函数， 故为上的增函数. 由，得， 所以，解得， 即所求的取值范围为. 20. 定义，. （1）用解析式表示，并求的最小值； （2）证明：； （3）设，.若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1），的最小值为1； （2）证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）比较与的大小，即可求，进而求解； （2）分和两种情况，证明等式即可； （3）令，，由（2）知：，，然后把题意转化为都大于等于2，对任意恒成立，即可求解. 【小问1详解】 设，. 当或时，，故； 当时，，故. 因此，， 作出的函数图像： 所以， 所以的最小值为1； 【小问2详解】 当时， 等式右边； 当时，， 等式右边； 所以； 【小问3详解】 依题意知：在上的值域是在上的值域的子集， 由于在上单调递增，值域为， 因此，只需满足对任意，有. ， ， 令，，， 由（2）知：，， 要使对任意恒成立， 又对任意恒成立， 所以只需对任意恒成立， 当时，不成立；当时，，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026第一学期高一年级数学学科期中考试 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试用时100分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一.选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上） 1. 已知全集，，，则集合的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 设、均是不为零的实数且，下列不等式中，恒成立的是（ ）. A. B. C. D. 4. 已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. [0,4] D. [0,1] 6. 已知，则的最大值是（ ）． A. B. C. 5 D. 8 7. 已知定义在上的偶函数满足对，且都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二.填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分，将答案填写在答题卡上） 10. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_____． 11. 已知函数，则的值域是______． 12. 已知函数（）是偶函数，则函数单调递增区间为_______________. 13. 已知定义在上的函数满足，则函数的解析式________. 14. 设不等式的解集为A，若，则a的取值范围为________. 15. 已知函数是定义在实数集上的奇函数，当时， ，若集合，则实数的取值范围是______. 三、解答题：（本大题共5小题，共55分，将解题过程及答案填写在答题卡上） 16. 已知正实数满足：. （1）求的最大值； （2）求的最小值； 17 已知集合，. （1）若，求; （2）若，求实数的取值集合. 18. 已知幂函数在单调增，. （1）求函数的解析式； （2）求关于的不等式解集.（其中）. 19. 函数为定义在上奇函数，已知当时，. （1）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； （2）若，求的取值范围. 20. 定义，. （1）用解析式表示，并求的最小值； （2）证明：； （3）设，.若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $