专题02 实际问题与一元二次方程 7大高频考点（期末真题汇编）九年级数学上学期人教版

专题02 实际问题与一元二次方程 7大高频考点概览 考点01 动态几何问题 考点02 营销问题 考点03 传播问题 考点04 握手循环赛问题 考点05 销售问题 考点06 增长率问题 考点07 其它问题 地 城 考点01 动态几个问题 一、选择题 1．（24-25九年级上·广西桂林·期末）如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．利用时间路程速度，可求出点，到达终点所需时间，当运动时间为秒时，，，根据的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：，． 当运动时间为秒时，，，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 点的运动时间是． 故选：A． 二、非选择题 2．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，动点P从点A出发沿边以的速度向点B匀速移动，同时点Q从点B出发沿边以的速度向点C匀速移动，当P，Q两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当的面积为时，点P，Q运动的时间为 秒． 【答案】1 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】根据动点P以的速度移动，动点Q以的速度移动，运动时间为 ，则，，，根据三角形面积列式解答即可． 本题考查了三角形的面积，解方程，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：∵，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． ∴，， ∴， 根据题意，得， 整理，得， 解得， 当时，，比大，舍去 故 故答案为：1． 3．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）如图，矩形中，，，动点P从点A出发，以每秒的速度向点B匀速移动，同时，点Q从点C出发，以每秒的速度向点D匀速移动，当其中一点到达终点时停止，同时另一点也随之停止移动． (1)经过多少时间时，四边形为矩形； (2)经过多少时间时，四边形的面积为； (3)经过多少时间时，点P和点Q之间的距离是． 【答案】(1)当时，四边形为矩形； (2)当t为5时，四边形的面积为． (3)当t为或时，点P和点Q的距离为 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含t的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）当运动时间为t s时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值； （3）过点Q作于点E，则，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，，，． 依题意得：， 解得：． 答：当时，四边形为矩形； （2）解：依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：当t为5时，四边形的面积为． （3）解：过点Q作于点E，则，如图所示． 依题意得：， 即， 解得，． 答：当t为或时，点P和点Q的距离为． 4．（24-25九年级上·全国·期末）在矩形中，，，点P从点A开始沿边以的速度移动，点Q从点C开始沿边以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中有一点到达点B或点D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）． (1)当t为何值时，点P、Q之间的距离为； (2)连接、，当t为何值时，为直角三角形． 【答案】(1) (2)或或 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质与判定、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点，学会利用勾股定理列出一元二次方程是解题的关键． （1）作交于点，利用矩形的性质得到，，再利用勾股定理列出方程求解即可； （2）分两种情况①；②，根据矩形的性质和勾股定理分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：作交于点，则， 由题意得，，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， ， 解得：， 当时，点P、Q之间的距离为． （2）解：①若，作交于点，则， 由题意得，，， ， 在中，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， 在中，， ， 解得：，， 或； ②若， ， 四边形是矩形， ，， ， 由①得，， 在中，， ， 解得：，（舍去负值）， ； 综上所述，当或或时，为直角三角形． 5．（24-25九年级上·广东东莞·期末）在中，，，，一动点P从点C出发沿方向以每秒4个单位长度的速度向终点B运动，另一动点Q从点A出发沿C方向以每秒8个单位长度的速度向终点C运动，P，Q两点同时出发，同时停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，是等腰直角三角形？ (2)当时，求t的值； (3)在运动过程中，线段能平分的面积吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)t (2) (3)不能，理由见解析 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、等腰三角形的定义 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的面积的求法． （1）先表示出，，判断出，进而建立方程求解，即可得出答案； （2）利用“”建立方程求解，即可求出答案； （3）假设在运动过程中，线段能平分的面积，进而利用“”建立方程，判断出此方程无实数根，即可得出答案． 【详解】（1）解：由运动知，，， ∴， ∵点P在从C向点A运动，点Q从点A向点C运动， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴； （2）解：在中，，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：在运动过程中，线段不能平分的面积； 理由：假设在运动过程中，线段能平分的面积， 则， 由（2）知，， ∴， ∴， 而， ∴此方程无实数根， ∴在运动过程中，线段不能平分的面积． 6．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果点、分别从、同时出发． (1)几秒钟后，的面积等于？ (2)的面积可能等于吗？为什么？ 【答案】(1)2或4秒 (2)不可能，见解析 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，抓住关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键． （1）根据直角三角形的面积公式和路程速度时间进行求解即可． （2）根据（1）中的解题思路列出方程，结合根的判别式进行解答． 【详解】（1）解：设秒钟后，的面积等于，由题意可得： ， 解得，． 答：2或4秒钟后，的面积等于． （2）解：设秒钟后，的面积等于，由题意可得： ， 整理，得 ， 因为， 所以该方程无解， 答：的面积不可能等于． 7．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．    (1)经过多长时间，的面积等于？ (2)的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 【答案】(1)经过时，的面积等于； (2)不会，理由见解析 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了三角形的动点与一元二次方程的综合，掌握动点的运动规律，三角形的面积与一元二次方程的运用， （1）的面积等于，设运动时间为t，则可用含t的式子表示，，根据数量关系，列方程即可求解； （2）计算出面积的一半，在根据（1）中的方法即可求解． 【详解】（1）解：点P的速度是，点Q的速度是，Q分别从点A，当点Q运动到点C时，，， ∴点P从点A到点B的时间为秒，点Q从点B到点C的时间为秒，Q运动的时间为， ∴，， ∴， 即， 解方程得，，（舍去）， ∴经过时，的面积等于； （2）解：在中，，，， ∴， 设运动时间为a秒，根据题意得， ， ∴. ∵， ∴关于a的一元二次方程无解， ∴不存在的面积会等于面积的一半． 8．（24-25九年级上·贵州贵阳·期末）如图，在中，，，，动点P从点C出发，沿方向运动，动点Q同时从点B出发，沿方向运动，如果点P，Q的运动速度均为． (1)运动几秒时，点P，Q相距？ (2)的面积能等于吗？为什么？ 【答案】(1)运动秒或秒时，点P，Q相距 (2)的面积不能等于．理由见解析 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，一元二次方程的应用： （1）设运动时间为，则，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案； （2）根据三角形面积公式建立方程，看方程是否有解即可得到结论． 【详解】（1）解：设运动时间为，则，则． ∵在中，，， ∴，即：． 解得：，． ∴运动秒或秒时，点P，Q相距． （2）解：的面积不能等于．理由如下： 当的面积等于时，则， ∴，即：． ∵． ∴方程无实数解． ∴的面积不能等于． 地 城 考点02 营销问题 一、非选择题 1．（24-25九年级上·江西新余·期末）某商场将进价为元的商品以元出售，平均每天能售出个，调查表明：这种商品的售价每上涨元，其销售量就减少个，为了实现每天元的销售利润，这种商品的售价应定为多少元？ 【答案】这种商品的售价应定为元或元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设这种商品的售价应定为元，根据题意列方程即可求解． 【详解】解：设这种商品的售价应定为元， 根据题意得： ， 答：这种商品的售价应定为元或元． 2．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，小红、小亮去某商场买“弗里热”纪念品后的对话如下： 小红：该商场每个“弗里热”纪念品的进价是20元． 小亮：当该商场每个“弗里热”纪念品的售价为30元时，每周可售出500个，售价每上涨1元，平均每周的销售量就减少10个． 根据他们的对话，解决下面的问题： (1)若每个“弗里热”纪念品的售价上涨3元，则该商场平均每周可以获得销售利润________元． (2)若该商场计划一周的利润达到8000元，又要尽可能让顾客得到实惠，则每个“弗里热”纪念品的售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)每个“弗里热”纪念品的售价应定为元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由销售利润=（实际销售价进价）销售量，即可得出结果； （2）设每个“弗里热”纪念品的售价应定为元，由题意得：商场计划一周的利润达到8000元，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：该商场平均每周可以获得销售利润为元 故答案为：． （2）解：设每个“弗里热”纪念品的售价应定为每支元，由题意得， 解得：或 ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴ 答：每个“弗里热”纪念品的售价应定为元． 3．（24-25九年级上·广东佛山·期末）中国新能源汽车市场异常火爆，销量持续攀升．某汽车销售公司以每辆18万元的价格购入一批新能源汽车进行销售．当定价为26万元每辆时，平均每周能卖出10辆．现公司计划开展让利销售，市场调研表明：售价每降低1万元，平均每周能多卖出2辆．若要每周的销售利润达到84万元，且尽可能给顾客更多优惠，则每辆汽车的售价应定为多少？ 【答案】每辆汽车的售价应定为24万元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意正确找到题中的等量关系是解题的关键． 设每辆汽车售价降低万元，则多买辆，根据题意列出方程，解答分析即可． 【详解】解：设每辆汽车售价降低万元，则多卖辆， 由题意得：， 化简得：， 解得：，， 要尽可能给顾客更多优惠， 取， ， ∴每辆汽车的售价应定为24万元． 4．（24-25九年级上·河南周口·期末）直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元的商品进行直播销售，如果按每件50元销售，每天可卖出500件．通过市场调查发现，单件商品的售价每增加1元，日销售量减少10件，若将每件商品提价后定为x元，日销售量设为y件． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)为了使每天的销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)售价应定为60元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，一次函数的实际应用、一元一次不等式的应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出函数关系式（方程）是解题的关键． （1）原销售量500减去减少的件数即可得到提价后的日销售量，于是可得与的函数表达式，再根据题意列出不等式，然后解不等式可得x取值范围； （2）根据“每件利润日销售量日销售利润”列出方程，再解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 整理得：， ∵日销售量， ∴，解得； 又∵售价要大于成本价40元，且原售价为每件50元，提价后为x元， ∴， ∴x的取值范围为， 与的函数表达式为：； （2）解：根据题意，得：， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴． 答：售价应定为60元． 5．（24-25九年级上·四川泸州·期末） 元旦节期间，水果店某种水果进价是每千克22元，该水果的销售情况是：销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．如果水果店每天要想获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元合适？ 【答案】这种水果的销售价为每千克29元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种水果的销售价为每千克x元，则每千克的销售利润为元，每天可售出千克，利用总利润=每千克的销售利润日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽可能让段客得到实惠，即可确定结论． 【详解】解：设这种水果的销售价为每千克x元，则每千克的销售利润为元，每天可售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又要尽可能让顾客得到实惠， ， 答：这种水果的销售价为每千克29元． 6．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨1元，就少卖10个． (1)若单价涨5元，每周的利润是多少？ (2)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ 【答案】(1)6750元 (2)售价应定为40元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键． （1）单价涨5元，可卖出“弗里热”纪念品个，然后利用数量单件商品的利润计算即可； （2）设售价应定为x元，由商场计划一周的利润达到8000元，列出方程，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：单价涨5元，每周的利润为：， 答：若单价涨5元，每周的利润为6750元； （2）设售价应定为元， 由题意可得：， ， 解得：，， 更大优惠让利消费者， ， 答：售价应定为40元． 7．（24-25九年级上·四川成都·期末）杭州亚运会期间，某旗舰店以相同的价格购进了两批亚运会吉祥物毛线玩具玩偶套装，第一批100套，售价108元；第二批150套，售价98元，两批全部售出，该旗舰店共获利10500元． (1)求玩偶套装的进价是多少元？ (2)该店以相同的价格购进第三批玩偶套装200套，当每套售价为90元时，第一天卖出80套．随着亚运会接近尾声，该玩偶开始滞销，店家决定降价促销，通过调查发现每件下降5元，在第一天的销量基础上增加10套．第二天按某一固定价格出售，销售结束时，当天卖出的玩偶获利2000元．求第二天销售结束后还剩余多少套玩偶套装？ 【答案】(1)60元 (2)20套 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，一元二次方程的实际应用， （1）设玩偶套装的进价是元，根据题意建立方程求解即可； （2）设第二天降价元，则第二天的销量为套，售价为元，根据题意建立方程求解即可． 【详解】（1）设玩偶套装的进价是元， 根据题意有：， 解得：， 即玩偶套装的进价是60元； （2）设第二天降价元，则第二天的销量为套，售价为元， 根据题意有：， 解得：或不符合题意舍去， 则第二天销量为（套）， 第二天销售后，剩余的数量为：（套）， 答：第二天销售结束后还剩余20套玩偶套装． 地 城 考点03 传播问题 一、选择题 1．（24-25九年级上·山东潍坊·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有64人患了流感，假设每轮传染中平均每人传染了x个人，下列说法正确的有（　　） A．第1轮后有个人患了流感 B．第2轮又增加个人患了流感 C．依题意可列方程 D．不考虑其他因素经过三轮一共会有512人感染 【答案】ACD 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，先分别确定第1，2轮患了流感的人数，判断A，B，再列出方程判断C，然后求出方程的解计算判断D． 【详解】解：∵有一人患了流感，且每轮传染中平均每人传染了x个人， ∴第1轮传染中有x人被传染，第2轮传染中有人被传染，选项B说法不符合题意； ∴1轮后有个人患了流感，选项A说法符合题意； 根据题意得：， 即，选项C说法符合题意； 解得：，（不符合题意）， ∴不考虑其他因素经过三轮一共会有人感染，选项D说法符合题意． 故选：ACD． 2．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，对于甲、乙、丙三人的说法，下列判断正确的是（   ） 甲：第1轮后有个人患了流感；乙：第2轮又增加个人患流感；丙：依题意可列方程 A．甲错，丙对 B．甲对，乙错 C．甲对，丙错 D．乙和丙都对 【答案】C 【知识点】列代数式、传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了列代数式及一元二次方程的应用，掌握等量关系是解答本题的关键，根据题意逐个计算出每轮感染人数，共感染人数即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 甲：第1轮后，1个人传染了x人，共有个人患了流感，故正确； 乙：第2轮后，个人中每人传染了x人，增加个人患流感，故正确； 丙：2轮后，共有人患流感，由题意得方程，即，故错误． 故选：C． 3．（24-25九年级上·广东汕头·期末）在一次聚餐上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯66次，则参加聚餐的人数为（   ） A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 【答案】D 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程． 设参加聚餐的人数为x人，每人碰杯次数为次，根据一共碰杯66次，列出一元二次方程，解之即可得出答案． 【详解】解：设参加聚餐的人数为x人， 依题可得：， 化简得：， 解得：，（舍去）， 故选：D． 4．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）某校有一位同学感染了流感，经过两次感染后，全校共有144人染上了流感．设每一次感染中，平均一个人传染给了x人，列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】考查了一元二次方程的应用，本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的． 设平均一个人传染给了人，根据一个人患了流感且经过两轮传染后共144人患了流感，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：解：设平均一个人传染给了人， 依题意，得：， 故选：C． 5．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）九年级毕业之际，在毕业晚会上同学们互赠照片以表留念，每人给其他同学送一张照片，一共送出110张照片．设晚会上有人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握题目中的等量关系是解题的关键． 设晚会上有x人，那么每名同学要送出张，根据一共送出110张照片列出方程即可． 【详解】解：设晚会上有x人， ∴每名同学要送出张； ∵全班同学是互赠照片，一共送出110张照片， ∴． 故选：C． 6．（24-25九年级上·四川泸州·期末）小明在研学实践中发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这种植物每个支干长出的小分支个数是,则支干个数为，小分支个数为，根据主干、支干和小分支的总数是即可求解． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是,则支干个数为，小分支个数为， 由题意得：， 解得：（舍）， 故选：D． 二、非选择题 7．（24-25九年级上·全国·期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮平均一个人传染个人，列方程得 ，因此每轮平均一个人传染了 个人． 【答案】 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用．最初有个人患流感，第一轮传染后新增个人被感染，那么第一轮后共有个人患病；第二轮这个人每人又传染个人，所以第二轮新增个病人，两轮后共有个人患病，根据两轮后共有人患病来列方程求解的值． 【详解】解：①最初有个病人，第一轮后共有个人患病， 第二轮传染后有个人患病， ∵两轮后共有人患流感， ∴可列方程为， 即； 故答案为：． ②对进行求解， 当时，； 当时，； ∵传染的人数不能为负数，所以舍去； ∴每轮平均一个人传染了个人； 故答案为：． 8．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送72张贺卡，设该小组共有人，则可列方程 【答案】 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程． 设该小组共有人，则每人需送出张贺卡，根据共送贺卡72张，即可得出． 【详解】解：设该小组共有人，则每人需送出张贺卡， 依题意得：． 故答案为：． 地 城 考点04 握手循环赛问题 一、选择题 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列方程即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：C． 2．（24-25九年级上·全国·期末）学校要组织篮球邀请赛，赛制采用双循环制（每两队之间要进行两场比赛）．计划安排场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？设邀个球队参赛，根据题意列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），个球队比赛总场数为，即可列方程． 【详解】解：设有个队，每个队都要赛场， 由题意得：， 故选：C． 二、非选择题 3．（24-25九年级上·天津河北·期末）某校九年级若干个班级组织一次足球比赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排场比赛，则九年级参赛的班级个数为 ． 【答案】 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设九年级参赛的班级有个，由题意列出方程，然后求解并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设九年级参赛的班级有个， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 故答案为：． ．（24-25九年级上·吉林长春·期末）有人参加了一次聚会，每两人都握了一次手，所有人共握手66次，则可以列出关于的方程： ． 【答案】 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据每两人都握手一次手，有人共握手66次，列出方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·四川泸州·期末）参加一次商品交易会活动的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了份合同，请问共有多少公司参加此次商品交易会？ 【答案】家 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设共有家公司参加此次商品交易会，根据“每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了份合同”建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设共有家公司参加此次商品交易会， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：共有9家公司参加此次商品交易会． 6．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）在一次公司年会上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，一共握了36次手．求这次会议到会的人数． 【答案】这次会议到会的人数为9人 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设这次会议到会的人数为x人，则每个人都要与人握手一次，且相同两人之间的握手只算作一次，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设这次会议到会的人数为x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：这次会议到会的人数为9人． 7．（24-25九年级上·吉林·期末）某中学的初三篮球赛中，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛21场，求参加比赛的球队有多少支？ 【答案】参加比赛的球队有7支 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设参加比赛的球队有x支，根据共比赛21场列方程求解即可． 【详解】解：设参加比赛的球队有x支，由题意得： 解得：（不合题意舍去）， 答：参加比赛的球队有7支． 地 城 考点05 销售问题 一、选择题 1．(24-25九年级上·重庆市·期末)某超市一件商品经过两次降价，售价由原来的每件40元降价到每件25元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价百分率为多少？设每次降价的百分率为，则可列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、明确原价、现价、降价百分率的关系是解题的关键． 设平均每次降价的百分率为x，根据“”列一元二次方程即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为， 由题意可得：． 故选A． 二、非选择题 2．(24-25九年级上·内蒙古赤峰市·期末)企鹅塔祖尼是第9届女足世界杯的吉祥物，塔祖尼造型的玩偶非常畅销．某特许经销店销售一种塔祖尼造型玩偶，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量（件）与每件售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数）． (1)当每件售价为10元时，每天的销售量是 件； (2)若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，求每件玩偶的售价为多少元？ (3)设该商店销售这种玩偶每天获利（元），当每件玩偶的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)100 (2)若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为12元 (3)每件玩偶的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、其他问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用等知识点， （1）根据给定的数据，代入即可得解； （2）根据题意列出利润的一元二次方程，正确解出即可； （3）利用销售该玩偶每天的销售利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题； 解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 【详解】（1）根据题意得，将代入得， 故答案为：100； （2）根据题意得，， 解得，（舍去）； 答：若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为12元． （3）根据题意得，， ∵，且为整数，当时，随的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为525， 答：每件玩偶的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 3．(24-25九年级上·重庆市·期末)某文具店购进了一批A，B两种型号的笔袋，16个A型笔袋8个型笔袋需要花费640元，10个A型笔袋20个型笔袋需要花费700元． (1)求两种型号的笔袋进价各是多少元？ (2)在销售过程中，为了尽可能多的减少型笔袋的库存，文具店老板决定对A型笔袋进行降价销售，当销售单价为40元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，问将每个A型笔袋降价多少元时，每天售出型笔袋的利润为240元？ 【答案】(1)A种型号的笔袋进价为30元，种型号的笔袋进价为20元； (2)将每个A型笔袋降价4元时，每天售出A型笔袋的利润为240元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组和一元二次方程． （1）设A型笔袋的进价是x元，B型笔袋的进价是y 元，利用16个A型笔袋8个型笔袋需要花费640元，10个A型笔袋20个型笔袋需要花费700元，列出二元一次方程组，解之即可； （2）设每个A型笔袋降价元，则每个A型笔袋的销售利润为元，每天可以售出个，利用每天售出A型笔袋的利润每个的销售利润日销售量，列出关于a的一元二次方程，解之即可． 【详解】（1）解：设A种型号的笔袋进价为元，种型号的笔袋进价为元，根据题意得 ， 解得． 答：A种型号的笔袋进价为30元，种型号的笔袋进价为20元； （2）解：设每个A型笔袋降价元，则每天将多销售，根据题意得 ， ， 解得，， ∵尽可能多的减少A型笔袋的库存， ∴（舍去），． 答：将每个A型笔袋降价4元时，每天售出A型笔袋的利润为240元． 4．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件． (1)若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？ (2)每件衬衫降价多少元，利润最大是多少？ 【答案】(1)30 (2)每件衬衫降价20元，利润最大是2500元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意正确的列方程和二次函数是解题的关键． （1）设每件衬衫应降价x元，根据题意列方程求解，为了尽快减少库存，降价要取较大值； （2）设每件衬衫应降价x元时，商场利润为y，根据题意可得，再化为顶点式，根据二次函数的图象和性质求最值即可． 【详解】（1）解：设每件衬衫应降价x元， 根据题意，得， 解得， 尽快减少库存， ， 答：每件衬衫应降价30元； （2）解：设每件衬衫应降价x元时，商场利润为y， 由题意得， ， 当时，y有最大值，y最大， 答：每件衬衫降价20元，利润最大是2500元． 5．（24-25九年级上·山西长治·期末）中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》将以“巳巳如意，生生不息”为主题，“巳巳如意”是对每个人新年万事如意的祝愿，而“生生不息”则象征着文化的传承与生命力的延续，某服装零售市场购进一批印有“巳巳如意”图案的拜年套装出售，成本价为每套100元，当售价为每套180元时，平均每周能售出500套．为尽快回拢资金，市场决定降价销售，经调研发现，若该套装的销售单价每降低5元，每周就能多售出50套． (1)若该市场希望每周出售该套装获得利润36000元，则该套装的销售单价应该定为多少元？ (2)当该套装的销售单价定为多少元时，该市场每周出售该套装可获得最大利润？最大利润为多少元？ 【答案】(1)该套装的销售单价应该定为140元 (2)当该套装的销售单价定为165元时，该市场每周出售该套装可获得最大利润，最大利润为42250元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、y=ax²+bx+c的最值、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意，正确列出方程，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）设该套装的售价降低元，根据总利润=（销售单价-成本价）×销售数量，列方程求解，求解即可； （2）依据题意，每周出售该套装所获利润，再结合，从而当时，每周出售该套装所获利润最大，最大利润为42250元； 【详解】（1）解：设该套装的销售单价降低元，则销售单价为元，每周能销售套， 根据题意，得， ， 解得或（舍去）， ∴（元）， 答：该市场希望每周出售该套装获得利润36000元，则该套装的销售单价应该定为140元； （2）解：设每周的利润为y元，销售单价降低了元，则： ， ， 当时，每周的利润最大，最大利润为42250元， 此时销售单价为元， 答：当该套装的销售单价定为165元时，该市场每周出售该套装可获得最大利润，最大利润为42250元． 6．（24-25九年级上·广东东莞·期末）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆：单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)若每辆轮椅降价x元，则每天可多售出______辆轮椅，则y与x的函数关系式为：______ (2)每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)； (2)当每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12240元 【知识点】列代数式、用一元一次不等式解决实际问题、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，列代数式，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据单价每降低10元，每天可多售出4辆可得第一空答案；根据总利润单个利润总数量可得第二空答案； （2）根据（1）所求结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵单价每降低10元，每天可多售出4辆， ∴若每辆轮椅降价x元，则每天可多售出辆轮椅； 根据题意，可得： 每辆轮椅的利润不低于180元， ， ， ∴； （2）解： ， ， 在时，随的增大而增大， 当时，每天的销售利润最大，最大利润为：（元）． 答：当每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为元． 7．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）农户销售某农产品，经市场调查发现：若售价为元/千克，日销售量为千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设日销售量为千克，售价为元/千克（且为正整数）， (1)求与之间的函数关系式； (2)若政府将销售价格定为不超过元/千克．设每日销售额元，求关于的函数表达式，并求的最大值和最小值； (3)市政府每日给农户补贴元后（为正整数），发现最大日收入（日收入=销售额+政府补贴）还是不超过元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于元，请直接写出所有符合题意的值： ． 【答案】(1)； (2)，最大338元，最小240元 (3)a的值为或或． 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的应用．得到每天可售出的千克数是解决本题的突破点；本题需注意x的取值应为整数．解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、根据销售额的相等关系列出函数解析式及二次函数的性质． （1）售价为x元/千克（且为正整数），则提价元，根据题意，即可得到结论； （2）根据日销售额=日售价×日销售量，计算即可； （3）由题意得：，由二次函数的对称性可知x的取值为11，12，13，14，15，从而计算可得a值． 【详解】（1）解：设产品售价为元/千克（且为正整数），则提价元， 根据题意得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：设售价为元/千克（且为正整数），销售额为元，则提价元， 故销售量为千克， ∴， ∴， ∵，且对称轴右侧，w随x的增大而减小，到对称轴距离越大，函数值越小，且，， ∴时，w取得最大值，且最大值为338元， ∴时，w取得最小值，且最小值为240元， 故，w的最大338元，w的最小240元； （3）解：由题意得：，由二次函数的对称性可知x的取值为11，12，13，14，15， ∴时，元 ∴时，元， ∴时，元， 且，， ∴， ∵a是正整数， ∴a的值为或或． 8．（24-25九年级上·河南开封·期末）许昌假发闻名世界，是展示中国制造魅力的一张名片．某商店销售一款假发制品，每顶假发成本为25元，根据销售经验，可知假发销售单价为50元时，平均每天可销售340顶，假发销售单价每降低1元，平均每天可多销售20顶．春节期间，店家决定进行降价促销活动． (1)当假发销售单价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家实现平均每天8800元的利润？ (2)当销售单价定为多少时，该商店每天的利润最大，最大利润为多少？ 【答案】(1)销售单价定为元 (2)销售单价为元时，利润最大，为8820元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出一元二次方程，二次函数的关系式，是解题的关键： （1）设销售单价定为元，根据总利润等于单件利润乘以销量列出方程进行求解即可； （2）设总利润为，销售单价为元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设销售单价定为元，由题意，得： ， 解得：或， ∵让顾客获得最大优惠， ∴； 答：销售单价定为元； （2）设总利润为，销售单价为元，由题意，得： ， ∴抛物线的开口向下， ∴当时，的值最大为：； 答：销售单价为元时，利润最大，为8820元． 地 城 考点06 增长率问题 一、选择题 1．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.22万元和3.69万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均增长率的等量关系，，列出方程即可． 【详解】解：由题意，可列方程为：； 故选B． 2．(24-25九年级上·广西南宁·期末)小州热爱研究鸟类，每年定期去湿地公园观鸟．年他观测到的鸟有种，年他观测到的鸟有种，设小州从年到年观测鸟的种类数量的年平均增长率为，依据题意可列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，年平均增长率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：年平均增长率为， 由题意得，， 故选：． 3．(24-25九年级上·内蒙古赤峰市·期末)某工厂今年1月份的产值为25万元，2月份和3月份的总产值为62万元．若设平均每月增长的百分率为x，则列出的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均增长率的等量关系，列出方程即可． 【详解】解：设平均每月增长的百分率为x，由题意，得： ， 故选D． 4．(24-25九年级上·北京市海淀区·期末)近年来我国新能源汽车出口量快速增长，2021年出口量为31万辆，2023年出口量为120.3万辆．设新能源汽车出口量的年平均增长率为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用增长率问题，正确理解题意，找出题目中的等量关系是解题关键． 设新能源汽车出口量的年平均增长率为，则2022年的出口量是万辆，2023年的出口量是万辆，然后根据2023年的出口量列方程即可． 【详解】解：设年平均增长率为， 由题意得：． 故选：C． 二、非选择题 5．（24-25九年级上·全国·期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，由题意，得： ， 解得：， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴； 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 6．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）年我国经济回暖向好，粮食产量约为万亿斤，中国碗装了更多中国粮根据国家统计局网站信息可知年我国粮食产量约为万亿斤．（参考数据：，） (1)求这两年粮食产量的平均增长率；（结果精确到） (2)以这两年的粮食产量平均增长率，预测年我国粮食产量能否突破万亿斤？ 【答案】(1)这两年粮食产量的平均增长率约为； (2)预测年我国粮食产量能突破万亿斤． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及近似数，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设这两年粮食产量的平均增长率为，根据年和年我国粮食产量，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）根据题意列式计算，再比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设这两年粮食产量的平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这两年粮食产量的平均增长率约为； （2）解：（万亿斤）， ， 答：预测年我国粮食产量能突破万亿斤． 7．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）某小商品批发市场的某件商品在今年9月份一共销售了3万件，销售量逐月增加，11月份一共销售了3.63万件，已知该商品月销售量的月平均增长率相同．求9月份到11月份该商品月销售量的月平均增长率． 【答案】10% 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题），解题的关键是根据平均增长率的计算公式列出方程并求解． 设月平均增长率为x，根据9月销售量以及平均增长率，表示出11月销售量，列出方程求解． 【详解】由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：9月份到11月份该商品月销售量的月平均增长率为10%． 8．（24-25九年级上·山东青岛·期末）沧州金丝小枣又名西河红枣，因干枣剥开时有金黄丝相连，入口甜如蜜，外形如珠似玑，故称金丝小枣，是中国国家地理标志产品．2022年至2024年沧州某地的金丝小枣种植面积由5000亩增加到7500亩．设2022年至2024年金丝小枣种植面积的年平均增长率为，则可列方程为 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设2022年至2024年金丝小枣种植面积的年平均增长率为，则年金丝小枣种植面积为亩，那么年金丝小枣种植面积为亩，即可建立一元二次方程． 【详解】解：设2022年至2024年金丝小枣种植面积的年平均增长率为， ∵2022年至2024年沧州某地的金丝小枣种植面积由5000亩增加到7500亩． ∴由题意得：， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）某商品售价为元，两次降价后售价为元，若设每次降价的百分率为，则依据题意可列方程 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，结合题意分析：第一次降价后的价格原价（降低的百分率），第二次降价后的价格第一次降价后的价格（降低的百分率），把相关数值代入即可．解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价． 【详解】解：依据题意可列方程为． 故答案为：． 地 城 考点07 其他问题 一、选择题 1．（24-25九年级上·河南郑州·期末）2024年巩义市职工篮球联赛已落下帷幕，比赛采用单循环制，任意两个参赛队伍之间都要进行一场比赛，该联赛共进行了153场比赛．若共有支队伍报名参赛，则根据题意可列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据场数列式求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得，， 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）月日，“竣越杯”湖南省青少年篮球超级联赛在长沙市六中开幕，本届赛事采取了主客场的赛制进行，即每两个队之间要进行两场比赛．最终，来自各地的多支本土校园篮球劲旅在为期一个月的时间内展开了场比赛．若设共有支本土校园篮球劲旅参加比赛，则满足的关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解． 设共有个队参加比赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛场，可列出方程，即可解答． 【详解】解：根据题意得， 故选：D ． 3．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．如果全班有x名同学，那么每名同学要送出张，共有x名同学，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程． 【详解】∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出张， ∴总共送的张数应该是张 即 故选：C 4．（24-25九年级上·河南周口·期末）图1为2025年1月份的日历表，如图2，某同学任意框出了其中的四个数字，如果框出的4个数中，最大数与最小数的积为588，那么根据题意可列方程为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据最大数为x，则可表示出最小数，由这两个数的积为588列出方程即可． 【详解】解：由题意得，最小数为， 则， 故选：B． 二、非选择题 5．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）建国70周年阅兵式中，三军女兵方队共352人，其中领队2人，方队中，每排的人数比排数多11，则女兵方队共有 排． 【答案】14 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．先设三军女兵方队共有排，则每排有人，根据三军女兵方队共352人可列方程求解即可． 【详解】解：设三军女兵方队共有排，则每排有人，根据题意得： ， 整理，得． 解得：(不合题意，舍去)， 则女兵方队共有14排． 故答案为：14． 6．（24-25九年级上·江苏南京·期末）在某校运动会入场式的彩排中，国旗护卫队的20名学生排成了4行5列的矩形方阵，为了表演的需要，又增加了22名学生，与之前的学生一起排成一个新的矩形方阵．与原方阵相比，新方阵增加的行数和增加的列数相同．求新方阵增加了多少列？ 【答案】新方阵增加了2列 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设新方阵增加了列．根据新方阵增加的行数和增加的列数相同，再建立方程求解即可． 【详解】解：设新方阵增加了列． 根据题意，得． 整理，得． 解这个方程，得（不合题意，舍去），． 答：新方阵增加了2列． 7．（24-25九年级上·陕西西安·期末）某大剧院举办文艺演出，其收费标准如下： 购票人数 收费标准 不超过30人 350元/人 超过30人 每增加1人，每张票的单价减少5元，但单价不低于280元 某公司组织一批员工去大剧院观看此场演出，若共支付12000元的购票费用，求观看演出的员工的人数． 【答案】观看演出的员工的人数为40人 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设观看演出的员工的人数有x人，则单价为元，根据共支付12000元的购票费用，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设观看演出的员工的人数有x人，则单价为元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：观看演出的员工的人数为40人． 8．(24-25九年级上·广西南宁·期末)广西壮锦被誉为指尖上的非遗，经纬交织之处，绘就民族华章．现需将一幅长为6米，宽为4米的壮锦四周镶上宽度相等的锦缎边饰，制成一幅矩形挂画，如图所示．设边饰的宽度为x米． (1)请用含x的式子分别表示挂画的长和宽； (2)若整幅挂画的面积是48平方米，求锦缎边饰的宽度． 【答案】(1)米；米 (2)1米 【分析】本题主要考查代数式表示数或数量关系，一元二次方程解实际问题，理解图示，掌握一元二次方程解实际问题的方法是解题的关键． （1）根据图示信息用代数式表示即可； （2）根据面积公式的计算列式，求一元二次方程即可． 【详解】（1）解：挂画的长为：米； 挂画的宽为：米； （2）解：由题意得： ， 解方程，得：，（不合题意，舍去）．     答：锦缎边饰的宽度为1米． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实际问题与一元二次方程 7大高频考点概览 考点01 动态几何问题 考点02 营销问题 考点03 传播问题 考点04 握手循环赛问题 考点05 销售问题 考点06 增长率问题 考点07 其它问题 地 城 考点01 动态几个问题 一、选择题 1．（24-25九年级上·广西桂林·期末）如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是（　　） A． B．或 C． D．或 二、非选择题 2．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，动点P从点A出发沿边以的速度向点B匀速移动，同时点Q从点B出发沿边以的速度向点C匀速移动，当P，Q两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当的面积为时，点P，Q运动的时间为 秒． 3．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）如图，矩形中，，，动点P从点A出发，以每秒的速度向点B匀速移动，同时，点Q从点C出发，以每秒的速度向点D匀速移动，当其中一点到达终点时停止，同时另一点也随之停止移动． (1)经过多少时间时，四边形为矩形； (2)经过多少时间时，四边形的面积为； (3)经过多少时间时，点P和点Q之间的距离是． 4．（24-25九年级上·全国·期末）在矩形中，，，点P从点A开始沿边以的速度移动，点Q从点C开始沿边以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中有一点到达点B或点D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）． (1)当t为何值时，点P、Q之间的距离为； (2)连接、，当t为何值时，为直角三角形． 5．（24-25九年级上·广东东莞·期末）在中，，，，一动点P从点C出发沿方向以每秒4个单位长度的速度向终点B运动，另一动点Q从点A出发沿C方向以每秒8个单位长度的速度向终点C运动，P，Q两点同时出发，同时停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，是等腰直角三角形？ (2)当时，求t的值； (3)在运动过程中，线段能平分的面积吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 6．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果点、分别从、同时出发． (1)几秒钟后，的面积等于？ (2)的面积可能等于吗？为什么？ 7．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．    (1)经过多长时间，的面积等于？ (2)的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 8．（24-25九年级上·贵州贵阳·期末）如图，在中，，，，动点P从点C出发，沿方向运动，动点Q同时从点B出发，沿方向运动，如果点P，Q的运动速度均为． (1)运动几秒时，点P，Q相距？ (2)的面积能等于吗？为什么？ 地 城 考点02 营销问题 一、非选择题 1．（24-25九年级上·江西新余·期末）某商场将进价为元的商品以元出售，平均每天能售出个，调查表明：这种商品的售价每上涨元，其销售量就减少个，为了实现每天元的销售利润，这种商品的售价应定为多少元？ 2．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，小红、小亮去某商场买“弗里热”纪念品后的对话如下： 小红：该商场每个“弗里热”纪念品的进价是20元． 小亮：当该商场每个“弗里热”纪念品的售价为30元时，每周可售出500个，售价每上涨1元，平均每周的销售量就减少10个． 根据他们的对话，解决下面的问题： (1)若每个“弗里热”纪念品的售价上涨3元，则该商场平均每周可以获得销售利润________元． (2)若该商场计划一周的利润达到8000元，又要尽可能让顾客得到实惠，则每个“弗里热”纪念品的售价应定为多少元？ 3．（24-25九年级上·广东佛山·期末）中国新能源汽车市场异常火爆，销量持续攀升．某汽车销售公司以每辆18万元的价格购入一批新能源汽车进行销售．当定价为26万元每辆时，平均每周能卖出10辆．现公司计划开展让利销售，市场调研表明：售价每降低1万元，平均每周能多卖出2辆．若要每周的销售利润达到84万元，且尽可能给顾客更多优惠，则每辆汽车的售价应定为多少？ 4．（24-25九年级上·河南周口·期末）直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元的商品进行直播销售，如果按每件50元销售，每天可卖出500件．通过市场调查发现，单件商品的售价每增加1元，日销售量减少10件，若将每件商品提价后定为x元，日销售量设为y件． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)为了使每天的销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则售价应定为多少元？ 5．（24-25九年级上·四川泸州·期末） 元旦节期间，水果店某种水果进价是每千克22元，该水果的销售情况是：销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．如果水果店每天要想获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元合适？ 6．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨1元，就少卖10个． (1)若单价涨5元，每周的利润是多少？ (2)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ 7．（24-25九年级上·四川成都·期末）杭州亚运会期间，某旗舰店以相同的价格购进了两批亚运会吉祥物毛线玩具玩偶套装，第一批100套，售价108元；第二批150套，售价98元，两批全部售出，该旗舰店共获利10500元． (1)求玩偶套装的进价是多少元？ (2)该店以相同的价格购进第三批玩偶套装200套，当每套售价为90元时，第一天卖出80套．随着亚运会接近尾声，该玩偶开始滞销，店家决定降价促销，通过调查发现每件下降5元，在第一天的销量基础上增加10套．第二天按某一固定价格出售，销售结束时，当天卖出的玩偶获利2000元．求第二天销售结束后还剩余多少套玩偶套装？ 地 城 考点03 传播问题 一、选择题 1．（24-25九年级上·山东潍坊·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有64人患了流感，假设每轮传染中平均每人传染了x个人，下列说法正确的有（　　） A．第1轮后有个人患了流感 B．第2轮又增加个人患了流感 C．依题意可列方程 D．不考虑其他因素经过三轮一共会有512人感染 2．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，对于甲、乙、丙三人的说法，下列判断正确的是（   ） 甲：第1轮后有个人患了流感；乙：第2轮又增加个人患流感；丙：依题意可列方程 A．甲错，丙对 B．甲对，乙错 C．甲对，丙错 D．乙和丙都对 3．（24-25九年级上·广东汕头·期末）在一次聚餐上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯66次，则参加聚餐的人数为（   ） A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 4．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）某校有一位同学感染了流感，经过两次感染后，全校共有144人染上了流感．设每一次感染中，平均一个人传染给了x人，列方程为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）九年级毕业之际，在毕业晚会上同学们互赠照片以表留念，每人给其他同学送一张照片，一共送出110张照片．设晚会上有人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·四川泸州·期末）小明在研学实践中发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 二、非选择题 7．（24-25九年级上·全国·期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮平均一个人传染个人，列方程得 ，因此每轮平均一个人传染了 个人． 8．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送72张贺卡，设该小组共有人，则可列方程 地 城 考点04 握手循环赛问题 一、选择题 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·期末）学校要组织篮球邀请赛，赛制采用双循环制（每两队之间要进行两场比赛）．计划安排场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？设邀个球队参赛，根据题意列方程正确的是（　　） A． B． 二、非选择题 3．（24-25九年级上·天津河北·期末）某校九年级若干个班级组织一次足球比赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排场比赛，则九年级参赛的班级个数为 ． 4．（24-25九年级上·吉林长春·期末）有人参加了一次聚会，每两人都握了一次手，所有人共握手66次，则可以列出关于的方程： ． 5．（24-25九年级上·四川泸州·期末）参加一次商品交易会活动的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了份合同，请问共有多少公司参加此次商品交易会？ 6．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）在一次公司年会上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，一共握了36次手．求这次会议到会的人数． 7．（24-25九年级上·吉林·期末）某中学的初三篮球赛中，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛21场，求参加比赛的球队有多少支？ 地 城 考点05 销售问题 一、选择题 1．(24-25九年级上·重庆市·期末)某超市一件商品经过两次降价，售价由原来的每件40元降价到每件25元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价百分率为多少？设每次降价的百分率为，则可列出的方程是（   ） A． B． C． D． 二、非选择题 2．(24-25九年级上·内蒙古赤峰市·期末)企鹅塔祖尼是第9届女足世界杯的吉祥物，塔祖尼造型的玩偶非常畅销．某特许经销店销售一种塔祖尼造型玩偶，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量（件）与每件售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数）． (1)当每件售价为10元时，每天的销售量是 件； (2)若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，求每件玩偶的售价为多少元？ (3)设该商店销售这种玩偶每天获利（元），当每件玩偶的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 3．(24-25九年级上·重庆市·期末)某文具店购进了一批A，B两种型号的笔袋，16个A型笔袋8个型笔袋需要花费640元，10个A型笔袋20个型笔袋需要花费700元． (1)求两种型号的笔袋进价各是多少元？ (2)在销售过程中，为了尽可能多的减少型笔袋的库存，文具店老板决定对A型笔袋进行降价销售，当销售单价为40元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，问将每个A型笔袋降价多少元时，每天售出型笔袋的利润为240元？ 4．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件． (1)若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？ (2)每件衬衫降价多少元，利润最大是多少？ 5．（24-25九年级上·山西长治·期末）中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》将以“巳巳如意，生生不息”为主题，“巳巳如意”是对每个人新年万事如意的祝愿，而“生生不息”则象征着文化的传承与生命力的延续，某服装零售市场购进一批印有“巳巳如意”图案的拜年套装出售，成本价为每套100元，当售价为每套180元时，平均每周能售出500套．为尽快回拢资金，市场决定降价销售，经调研发现，若该套装的销售单价每降低5元，每周就能多售出50套． (1)若该市场希望每周出售该套装获得利润36000元，则该套装的销售单价应该定为多少元？ (2)当该套装的销售单价定为多少元时，该市场每周出售该套装可获得最大利润？最大利润为多少元？． 6．（24-25九年级上·广东东莞·期末）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆：单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)若每辆轮椅降价x元，则每天可多售出______辆轮椅，则y与x的函数关系式为：______ (2)每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 7．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）农户销售某农产品，经市场调查发现：若售价为元/千克，日销售量为千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设日销售量为千克，售价为元/千克（且为正整数）， (1)求与之间的函数关系式； (2)若政府将销售价格定为不超过元/千克．设每日销售额元，求关于的函数表达式，并求的最大值和最小值； (3)市政府每日给农户补贴元后（为正整数），发现最大日收入（日收入=销售额+政府补贴）还是不超过元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于元，请直接写出所有符合题意的值： ． 8．（24-25九年级上·河南开封·期末）许昌假发闻名世界，是展示中国制造魅力的一张名片．某商店销售一款假发制品，每顶假发成本为25元，根据销售经验，可知假发销售单价为50元时，平均每天可销售340顶，假发销售单价每降低1元，平均每天可多销售20顶．春节期间，店家决定进行降价促销活动． (1)当假发销售单价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家实现平均每天8800元的利润？ (2)当销售单价定为多少时，该商店每天的利润最大，最大利润为多少？ 地 城 考点06 增长率问题 一、选择题 1．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.22万元和3.69万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．(24-25九年级上·广西南宁·期末)小州热爱研究鸟类，每年定期去湿地公园观鸟．年他观测到的鸟有种，年他观测到的鸟有种，设小州从年到年观测鸟的种类数量的年平均增长率为，依据题意可列方程是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九年级上·内蒙古赤峰市·期末)某工厂今年1月份的产值为25万元，2月份和3月份的总产值为62万元．若设平均每月增长的百分率为x，则列出的方程为（　　） A． B． C． D． 4．(24-25九年级上·北京市海淀区·期末)近年来我国新能源汽车出口量快速增长，2021年出口量为31万辆，2023年出口量为120.3万辆．设新能源汽车出口量的年平均增长率为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 二、非选择题 5．（24-25九年级上·全国·期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 6．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）年我国经济回暖向好，粮食产量约为万亿斤，中国碗装了更多中国粮根据国家统计局网站信息可知年我国粮食产量约为万亿斤．（参考数据：，） (1)求这两年粮食产量的平均增长率；（结果精确到） (2)以这两年的粮食产量平均增长率，预测年我国粮食产量能否突破万亿斤？ 7．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）某小商品批发市场的某件商品在今年9月份一共销售了3万件，销售量逐月增加，11月份一共销售了3.63万件，已知该商品月销售量的月平均增长率相同．求9月份到11月份该商品月销售量的月平均增长率． 8．（24-25九年级上·山东青岛·期末）沧州金丝小枣又名西河红枣，因干枣剥开时有金黄丝相连，入口甜如蜜，外形如珠似玑，故称金丝小枣，是中国国家地理标志产品．2022年至2024年沧州某地的金丝小枣种植面积由5000亩增加到7500亩．设2022年至2024年金丝小枣种植面积的年平均增长率为，则可列方程为 ． 9．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）某商品售价为元，两次降价后售价为元，若设每次降价的百分率为，则依据题意可列方程 ． 地 城 考点07 其他问题 一、选择题 1．（24-25九年级上·河南郑州·期末）2024年巩义市职工篮球联赛已落下帷幕，比赛采用单循环制，任意两个参赛队伍之间都要进行一场比赛，该联赛共进行了153场比赛．若共有支队伍报名参赛，则根据题意可列出方程为（    ） A． B． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）月日，“竣越杯”湖南省青少年篮球超级联赛在长沙市六中开幕，本届赛事采取了主客场的赛制进行，即每两个队之间要进行两场比赛．最终，来自各地的多支本土校园篮球劲旅在为期一个月的时间内展开了场比赛．若设共有支本土校园篮球劲旅参加比赛，则满足的关系式为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河南周口·期末）图1为2025年1月份的日历表，如图2，某同学任意框出了其中的四个数字，如果框出的4个数中，最大数与最小数的积为588，那么根据题意可列方程为（   ）    A． B． C． D． 二、非选择题 5．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）建国70周年阅兵式中，三军女兵方队共352人，其中领队2人，方队中，每排的人数比排数多11，则女兵方队共有 排． 6．（24-25九年级上·江苏南京·期末）在某校运动会入场式的彩排中，国旗护卫队的20名学生排成了4行5列的矩形方阵，为了表演的需要，又增加了22名学生，与之前的学生一起排成一个新的矩形方阵．与原方阵相比，新方阵增加的行数和增加的列数相同．求新方阵增加了多少列？ 7．（24-25九年级上·陕西西安·期末）某大剧院举办文艺演出，其收费标准如下： 购票人数 收费标准 不超过30人 350元/人 超过30人 每增加1人，每张票的单价减少5元，但单价不低于280元 某公司组织一批员工去大剧院观看此场演出，若共支付12000元的购票费用，求观看演出的员工的人数． 8．(24-25九年级上·广西南宁·期末)广西壮锦被誉为指尖上的非遗，经纬交织之处，绘就民族华章．现需将一幅长为6米，宽为4米的壮锦四周镶上宽度相等的锦缎边饰，制成一幅矩形挂画，如图所示．设边饰的宽度为x米． (1)请用含x的式子分别表示挂画的长和宽； (2)若整幅挂画的面积是48平方米，求锦缎边饰的宽度． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $