专题04 实际问题与二次函数 6大高频考点（期末真题汇编）九年级数学上学期人教版
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内容正文：
专题04 实际问题与二次函数
6大高频考点概览
考点01 图形问题
考点02 拱桥问题
考点03 投球问题
考点04 销售问题
考点05 面积问题
考点06 其它问题
地 城
考点01
图形问题
一、选择题
1．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为m，面积为S，其中．有下列结论：
①与之间的函数关系为；
②的取值范围为；
③的长只有一个值满足该矩形菜园的面积为；
④矩形菜园的面积的最大值为．
其中，正确结论是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用，熟练掌握最值问题的求法是解答本题的关键．表示出面积化简可以判断①；根据墙长为，列不等式组，解不等式组即可求出自变量x的取值范围，从而可判断②；根据矩形的面积列出方程，解方程求x的值，可以判断③；根据二次函数性质求出最大值判断④．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，故①正确；
设这个菜园垂直于墙的一边的长为，则的长为，
∵墙长为，
∴，
解得：，
∴x的取值范围为，故②错误；
当时，即，
解得，
∵，
∴，
∴的长只有1个值满足该矩形菜园的面积为，故③正确；
∵，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为，故④正确．
故选：D．
二、非选择题
2．（24-25九年级上·西藏拉萨·期末）如图，用一段长为60米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，设矩形菜园的面积为（单位：米），的长为（单位：米）则关于的函数关系式是 ．
【答案】
【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查的是列二次函数关系式，不等式组的应用，由，，再利用面积公式建立二次函数关系式即可，利用边长的限制条件列不等式组可得x的取值范围．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
3．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，四边形的对角线，互相垂直，．当，的长是多少时，四边形面积最大？
【答案】当，时，四边形面积最大
【知识点】y=ax²+bx+c的最值、图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】此题主要考查了二次函数的应用，设，四边形面积为S，则，进而求出，再求出最值即可．
【详解】解：设，四边形面积为S，则，
，
，
∴抛物线开口向下，
当时，，
即当，时，四边形面积最大．
4．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字形框架，铁丝恰好全部用完．
(1)若所围成矩形框架的面积为144平方厘米，则的长为多少厘米？
(2)当的长为多少厘米时，矩形面积最大？
【答案】(1)的长为8厘米或12厘米．
(2)10
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是找准题干中的等量关系．
（1）设的长为x厘米，则有厘米，然后根据题意可得方程，进而求解即可；
（2）由（1）可设矩形框架的面积为S，则有，然后根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：设的长为x厘米，则有厘米，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
∵，
∴，
∴都符合题意，
答：的长为8厘米或12厘米．
（2）解：由（1）可设矩形框架的面积为S平方厘米，则有：
，
∵，且，
∴当时，S有最大值，
∴当的长为10厘米时，矩形面积最大．
5．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形试验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形试验田与墙垂直的一边长为（单位：），面积为S（单位：）．
(1)求S与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(2)当 时，矩形试验田的面积最大，最大面积是 ．
【答案】(1)；
(2)20；800
【知识点】y=ax²+bx+c的最值、图形问题(实际问题与二次函数)、面积问题(二次函数综合)
【分析】（1）根据题意，得矩形的长为，根据面积公式列出方程即可．
（2）构造二次函数，求最值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值应用，转化思想，熟练掌握求二次函数最值是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得矩形的长为，
故，
根据题意，得，且，
解得，
故，且．
（2）解：∵，
∴，
由，
∴当时，S有最大值，最大值为．
故答案为：20,800．
6．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，某房间的窗户上部分由2个全等的正方形组成，下部分是一个矩形．已知制作一个这样的窗户边框，所需要的材料的总长度为10米，设小正方形的边长为米，该窗口的透光面积为平方米（计算透光面积时材料忽略不计）．
(1)求关于的函数表达式．
(2)当取何值时，透光面积最大？最大透光面积是多少？
【答案】(1)
(2)当时，透光面积最大，最大透光面积是平方米
【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意表示出下部分矩形的长，并熟练掌握二次函数的性质．
（1）先结合图形得出下部分矩形的长为，再根据矩形的面积公式求解即可；
（2）将所得函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，下部分矩形的长米，
∴，
∴y关于x的函数表达式为；
（2）解：，
∵，
∴，
∵，
∴当时，y最大，最大值为，
∴当时，透光面积最大，最大透光面积是平方米．
7．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，某农林试验基地准备用长的篱笆材料围成一个矩形树苗培植基地，矩形树苗基地一面靠墙（墙的最大长度为，此面不需要篱笆），在矩形基地中间有一道篱笆（垂直于墙且厚度忽略不计），为了方便出入，在边上开两扇宽为的门（门不用篱笆材料）．设垂直于墙的边的长为．
(1)________．（用含有的代数式表示）
(2)求矩形的面积与的长之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
(3)当取何值时，矩形的面积为？
【答案】(1)
(2)，
(3)
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；
（1）根据长方形的周长公式及题意可直接进行求解；
（2）由（1）结合长方形面积公式可直接进行求解；
（3）由（2）可把矩形的面积为代入进行求解即可
【详解】（1）解：由题意得：；
故答案为；
（2）解：由题意可得矩形的面积．
∵，解得．
自变量的取值范围为．
（3）解：由题意可得，整理得，
解得，．
，
不符合题意，舍去，
．
答：当时，矩形的面积为．
8．（24-25九年级上·北京门头沟·期末）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设，矩形的面积为．
(1)写出与的函数关系式（不需写出的取值范围）；
(2)若花园的面积为，求的值；
(3)若在处有一棵树与墙的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值．
【答案】(1)
(2)的值为 12 或 16
(3)花园面积的最大值为
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）根据长方形的面积公式进行计算，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得：，然后进行计算即可解答；
（3）根据题意可得：，从而可得：，然后利用二次函数的最值进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：；
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得：，
∴的值为 12 或 16 ；
（3）解：由题意得：，解得：，
∵，
此时，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，，
∴花园面积的最大值为．
地 城
考点02
拱桥问题
一、选择题
1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为24米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示，则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为（ ）
A．24米 B．22米 C．12米 D．11米
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图形和性质．由知道抛物线经过点，进而求出k的值，最高点与其在水中倒影之间的距离即为．
【详解】解：由题意知，抛物线经过点，代入解析式中：
得到：，
解得，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴主桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离为米，
故选：B．
2．（24-25九年级上·河南郑州·期末）坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为16m，当水位上升3m时，水面宽为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据正常水位时水面宽米，求出当时求得，再根据水位上升3米时，代入解析式求出x即可解答．
【详解】解：∵米，
∴当时，，
当水位上升3m时，，
把代入得：，解得：，
此时水面宽米．
故选B．
二、非选择题
3．（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图有一座抛物线形拱桥，已知桥下在正常水位时，水面宽为，当水位上升到达处，此时水面宽为．若水位继续以的速度上升，求从处淹到拱桥顶还需要多少小时．
【答案】5小时
【分析】本题考查了二次函数的应用；以抛物线的对称轴所在直线为y轴，经过抛物线的顶点O且垂直于对称轴的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，由题意设，则得，从而可求出二次函数解析式及点D的坐标，即可求出顶点到的距离，即可求解．
【详解】解：如图，以抛物线的对称轴所在直线为y轴，经过抛物线的顶点O且垂直于对称轴的直线为x轴，建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为，
由题意设，则；
把B、D两点坐标代入函数解析式中，得，解得：，
∴，，
∴顶点到的距离为1，
∴从处淹到拱桥顶需要的时间为（小时），
答：从处淹到拱桥顶还需要5小时．
4．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）为庆祝元旦，某公园在门口搭建了一个抛物线形的装饰拱门，已知该拱门接触地面的跨度为，拱门顶端最高处的高度为，小青以拱门的左边缘O为原点，地面为x轴建立平面直角坐标系，如图所示．
(1)求拱门所在抛物线的函数表达式；
(2)为了使拱门更加牢固，要在拱门内左右两边各垂直于地面竖立一根高为的支柱，支柱的顶端恰好在抛物线上，求这两根支柱之间的距离．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用；
（1）由题意可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线的表达式为，再进一步求解即可；
（2）令，可得，再解方程，并进一步求解即可；
【详解】（1）解：由题意可知抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的表达式为，
将代入，得，
解得，
∴拱门所在抛物线的函数表达式为或．
（2）解：令，可得，
解得，，
（m），
∴这两根支柱之间的距离为m．
5．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，这是一个正在修建中的高速公路隧道，该高速公路隧道的横断面为抛物线，抛物线的最高点离地面的距离为米，宽度为米．
(1)以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求该抛物线的表达式．
(2)该隧道下方的公路是双向行车道（正中间有一条宽为米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的车辆？请通过计算说明．
【答案】(1)该抛物线的表达式为，自变量的取值范围是；
(2)其中的一条行车道能行驶宽米、高米的车辆．
【分析】（1）根据题意得出，，，设该抛物线的表达式为，再用待定系数法即可求解；
（2）根据抛物线解析式求出，当时，自变量的值，即可得出在什么范围内能通过题中的车辆，根据题意得出车道需要的宽度，比较即可得解．
【详解】（1）解：依题得：，，，
设该抛物线的表达式为，
将代入得，
该抛物线的表达式为，其中自变量的取值范围是；
（2）解：由（1）得，抛物线的表达式为，
则当时，，
解得，
其中，，
即在范围内，可通过高米的车辆，
要使双向行车道（正中间有一条宽为米的隔离带）其中的一条行车道能行驶宽米、高米的车辆，
则能通过高米的车辆的宽度至少需为，
，
其中的一条行车道能行驶宽米、高米的车辆．
【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数的实际应用，解题关键是熟练掌握二次函数的实际应用．
6．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，某公司的大门呈抛物线形，大门底部宽为，顶部距地面的高度为．
(1)试建立适当的直角坐标系，求抛物线对应的二次函数表达式；
(2)一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面，装货宽度为，那么这辆汽车能否顺利通过大门？
【答案】(1)
(2)这辆汽车能够通过大门
【分析】本题考查二次函数的应用，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式及点的坐标、二次函数图象的性质，根据题意求出二次函数的解析式是解答此题的关键．
（1）先过的中点作的垂直平分线建立直角坐标系，得出点、、的坐标，用待定系数法即可求出过此三点的抛物线解析式
（2）根据题意，判断点或点与抛物线的关系即可．
【详解】（1）解：如图，过的中点作的垂直平分线，建立平面直角坐标系．点，，的坐标分别为 ，，．
设抛物线的表达式为．
将点代入得
，解得，
故此抛物线的表达式为；
（2）货物顶点距地面，装货宽度为，
只要判断点或点与抛物线的位置关系即可．
将代入抛物线，得，
点和点都在抛物线内．
这辆汽车能够通过大门．
7．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，某隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道顶端D到路面的距离为，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装摄像头，即在该抛物线上确定一点安装摄像头（大小忽略不计）．已知摄像头到的水平距离为，求摄像头到地面的竖直距离．
【答案】(1)
(2)摄像头到地面的竖直距离为
【分析】本题考查了二次函数的应用；
（1）先求出抛物线顶点坐标，再按顶点式设出抛物线解析式，代入解析式；
（2）令，求出，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，该抛物线的顶点坐标为，点的坐标为，
设抛物线解析式为，
代入得，，
解得：
∴该抛物线的函数解析式为
（2）解：依题意，当时，
答：摄像头到地面的竖直距离为
8．（24-25九年级上·云南昆明·期末）如图1是抛物线形拱桥，按如图2所示建立平面直角坐标系，得函数的表达式为，在正常水位时，水面宽米，当水位上升3米后，则水面宽 米
【答案】
【分析】本题考查二次函数的应用．根据正常水位时水面宽米，求出当时，再根据水位上升3米时，，代入解析式求出x即可．
【详解】解：∵米，
∴当时，，
当水位上升3米时，，
把代入得，，
解得，
此时水面宽米，
故答案为：．
地 城
考点03
投球问题
一、选择题
1．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）具有的函数关系，下列解释正确的是（ ）
A．小球从飞出到落地要用
B．小球的飞行高度为时，小球飞行的时间是
C．小球的飞行高度可以达到
D．小球飞行时飞行高度为，并将继续上升
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据函数表达式，可以求出的两根，两根之差即为小球的飞行到落地的时间，求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；然后根据方程的意义为时所用的时间，据此解答．
【详解】解：的两根与，即时所用的时间，
∴小球的飞行高度是时，小球的飞行时间是或，故B不符合题意；
，
∴对称轴直线为：，最大值为，故C不符合题意；
时，，此时小球继续下降，故D不符合题意；
∵当时，，，
，
∴小球从飞出到落地要用，故A符合题意．
故选：A．
二、非选择题
2．（24-25九年级上·广西钦州·期末）一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示．
(1)求抛物线的表达式；
(2)通过计算判断球能否射进球门；
(3)为了进球，运动员带球向点A的正后方移动了米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，结果恰好在点O正上方处进球，求n的值．
【答案】(1)
(2)球不能射进球门
(3)1
【分析】本题考查的是二次函数的应用，
（1）用待定系数法求出表达式即可；
（2）计算当时，y的值与比较即可得出答案；
（3）由题意得出移动后的抛物线为，把点代入求出结论即可．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线表示的二次函数的表达式为，
把点代入，得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）当时，，
∴球不能射进球门；
（3）由题意，移动后的抛物线为，
把点代入，得，
解得（舍去），，
∴n的值为1．
3．（24-25九年级上·河北保定·期末）发石车是古代远程攻击的武器．现有一发石车，发射出去的石块沿抛物线轨迹运动，距离发射点20米时达到最大高度10米．如图，现将发石车放置在山坡底部处，山坡上有一点，距离点的水平距离为30米，垂直高度3米，是高度为4米的防御墙．
(1)求石块运动轨迹的函数解析式，并写出的取值范围；
(2)计算说明石块能否飞越防御墙．
【答案】(1)（）
(2)石块能飞越防御墙．理由见解析
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）设石块运动轨迹的函数解析式为，把点代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）把代入，求得的值，即可求解．
【详解】（1）解：设石块运动轨迹的函数解析式为．
把点代入解析式，得，解得，
∴石块运动轨迹的函数解析式为，
即（）．
（2）石块能飞越防御墙．
理由：把代入，
得．
∵，
∴石块能飞越防御墙．
4．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点为飞行距离计分的参照点，落地点超过点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点到起跳台的水平距离为，高度为为定值）．设运动员从起跳点起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为：．
(1)求c的值；
(2)若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝，b＝，求基准点K的高度h；
(3)若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
【答案】(1)66
(2)基准点K的高度h为
(3)他的落地点能超过K点，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．
（1）根据起跳台的高度为，即可得；
（2）由，，得到，根据基准点到起跳台的水平距离为，即得基准点的高度为；
（3）由题意设抛物线解析式为，可得抛物线解析式为，当时，，从而可知他的落地点能超过点．
【详解】（1）解：起跳台的高度为，
，
把代入得：，即，
所以的值为66；
（2）解：，，
，
基准点到起跳台的水平距离为，
，
答：基准点的高度为；
（3）解：他的落地点能超过点，理由如下：
运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，
抛物线的顶点为，
设抛物线解析式为，
把代入得：，
解得，
抛物线解析式为，
当时，，
他的落地点能超过点．
答：他的落地点能超过点．
5．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系，则小球飞出 s时，达到最大高度．
【答案】2
【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
把函数关系式配方成顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：，
∵，
当时，h的最大值为20，
即时，h的值最大，
故答案为：2．
地 城
考点04
销售问题
1、 非选择题
1．（24-25九年级上·吉林·期末）某商场销售一批小商品，每天可以售出20件，每件的利润为50元．经市场调查发现，如果每件小商品每降价1元，商场每天可以多售出2件．设每件小商品降价x元．
(1)每件小商品的利润为______元，商场每天可以售出______件．（用含x的式子表示）
(2)若该商场每天的利润为1600元，求x的值．
(3)该商场每天的最大利润______元，此时x的值为______．
【答案】(1)，
(2)或
(3)1800，20
【分析】本题考查了二次函数及其应用问题，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程和函数解析式是解题的关键．
（1）根据根据每件的利润为50元即可表示出降价后的利润；平均每天可售出20件，每件小商品每降价1元，商场平均每天就可以多售出2件即可表示商场平均每天可售的件数；
（2）利用利润销售件数即可列得利润的方程，求解即可．
（3）设该商场每天的利润为w，根据题意表示出w，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）∵设每件小商品降价x元，每件的利润为50元，
∴每件小商品的利润为，
∵每天可以售出20件，每件小商品每降价1元，商场每天可以多售出2件
∴商场每天可以售出件；
（2）∵若该商场每天的利润为1600元
∴
解得或；
（3）设该商场每天的利润为w
根据题意得，
∵
∴抛物线开口向下
∴当时，w有最大值1800
∴该商场每天的最大利润1800元，此时x的值为20．
2．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）电商平台销售一种T恤衫，每件进价为100元．经市场调查发现：每周销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系（其中x为整数，且）部分数据如下表所示：
销售单价（元/件）
120
130
135
销售量（件）
80
60
50
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求y与x的函数关系式；
(2)求每周销售这种T恤衫获得的利润（元）的最大值；
(3)电商平台希望每周获得1000元的利润，且尽可能让利于顾客，请计算销售单价应定为多少元？
【答案】(1)
(2)W最大值（元）
(3)销售单价为110元
【分析】本题考查了一次函数及二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）设y与x的函数关系式为，用待定系数法求解即可；
（2）根据利润W元等于单个利润乘以销售量，可列出W关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得答案；
（3）若获得等于1000元周利润，则，解方程并根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系可得答案．
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，把和分别代入，
得，
解得，
；
（2）依题意，，
，
时，W有最大值，
W最大值元；
（3）依题意，当时，，
解得，，
，尽可能让利于顾客，
销售单价为110元．
3．（24-25九年级上·全国·期末）某商场以每件50元的价格购进某款玩具，若以每件80元的价格出售，每日可售出200件．现商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该玩具每件的售价每降价1元，日销售量就会增加20件．设该款玩具每件的售价为元，日销售量为y件．
(1)日销售量y关于每件售价x的函数解析式为__________．
(2)该商场如何定价，才能使日销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)该商场应将每件售价定为70元，才能使日销售利润最大，最大利润为8000元
【分析】本题考査一次函数在销售问题的应用，二次函数在销售问题中的应用，找出等量关系式是解题的关键．
（1）销售量降价前每日销售量降价所增加的销售量，据此即可求解；
（2）设日销售利润为元，日销售利润每件所获利润日销售量，据此即可求解．
【详解】（1）解：
，
故答案为：；
（2）解：设日销售利润为W元．
由题意，得．
∵，
∴当时，(元)．
答：该商场应将每件售价定为70元，才能使日销售利润最大，最大利润为8000元．
4．（24-25九年级上·河南周口·期末）某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量（个）与销售单价（元）有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为元．
(1)如果销售单价定为元，那么健身球每天的销售量是______个；
(2)该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)；
(2)该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．
【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，理解题意，列出函数关系式是解题的关键．
（）令时，求出的值即可；
（）先求出，然后通过二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：在中，令，，
故答案为：；
（2）解：由题意得，，
∵，，
∴当时，取最大值，最大值为，
答：该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．
5．（24-25九年级上·广东河源·期末）已知某商场经营某种新型电子产品，购进时的单价为100元/件，售价为每件240元．该商场在试销中发现，如果以定价售出，那么每天可售出200件；如果售价每降低1元，那么销售量就可以增加10件．
(1)当售价为每件多少元时，商场每天销售该电子产品获得的利润最大？最大利润是多少？
(2)若商场想每天获得60000元的利润，同时又要减少库存，则该电子产品的售价应定为每件多少元？
【答案】(1)当售价为每件180元时，商场每天销售该电子产品获得的利润最大，最大利润是64000元；
(2)该电子产品的售价应定为每件160元
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设销售单价为x元，获得的利润为y元，根据利润等于单件利润乘以销售量列出y与x的函数关系式，并利用二次函数的性质求解即可；
（2）设该电子产品的手机应定为每件m元，根据利润等于单件利润乘以销售量列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设销售单价为x元，获得的利润为y元，
由题意得
，
∵，
∴当，即时，y有最大值，最大值为64000，
答：当售价为每件180元时，商场每天销售该电子产品获得的利润最大，最大利润是64000元；
（2）解：设该电子产品的售价应定为每件m元，
由题意得，，
整理得，
解得或，
∵又要减少库存，
∴，
答：该电子产品的售价应定为每件160元．
6．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）某商场出售一种台灯，成本为每件30元，当售价为每件50元，每月可销售60件．市场调查发现：若这种台灯的售价每降价1元，则每月的销量将增加2件，设每件台灯降价元（为正整数），每月的销量为件．
(1)写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；
(2)如何定价，才能使每月销售的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)；
(2)当定价为49元时，每月的利润最大为1178元
【分析】本题主要考查了一次函数的应用以及二次函数的应用，
（1）利用每月的销量每件台灯降价的钱数，可找出y与x之间的函数关系式，结合售价不低于进价，即可确定自变量x的取值范围；
（2）设每月的销售利润为w元，利用月销售利润每件的销售利润月销售量，可找出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质及x的取值范围，即可解决最值问题．
熟练掌握根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式和根据各数量之间的关系，找出w关于x的函数关系式是解决此题的关键．
【详解】（1）解：由题意得：，
∵售价不低于进价，
∴，
解得 ，
∴自变量x的取值范围且为整数；
（2）解：设每月的销售利润为元，
，
∵ ，抛物线开口向下，
∴当时随x的增大而减小 ，
又∵ 且x为整数，
∴当时，有最大值 ，
，
∴当定价为49元时，每月的利润最大为1178元．
7．（24-25九年级上·河南郑州·期末）某商场将进货价为元的台灯以元售出．每月能售出个．按商场管理规定，售价在元至元范围内．调查发现，在该范围内，这种台灯的售价每上涨元，其销售量就减少个．
(1)为了实现每月元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？
解：假设售价为元，则每月台灯的销售量为______个，每个台灯的利润为______元．(用含的代数式表示，并完成解答)
(2)要使每月的销售利润最大，售价应定为多少？请说明原因．
【答案】(1)， ；这种台灯的售价应定为元，即每个台灯应涨价元；
(2)要使每月的销售利润最大，售价应定为元，理由见解析．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数表达式．
（1）依据题意，由这种台灯的售价应定为元，那么就少卖出个，根据利润售价进价，可列方程求解；
（2）依据题意，设每月销售利润为，该商场决定把售价上涨元，根据总利润单件利润数量，列出函数表达式，化为顶点式，根据二次函数的增减性，即可解答．
【详解】（1）解：由题意，这种台灯的售价应定为元，
每月台灯的销售量为：．
又每个台灯的利润为：，
，
，
， 舍去．
答：这种台灯的售价应定为元，即每个台灯应涨价元．
故答案为：；．
（2）要使每月的销售利润最大，售价应定为元．理由如下：
由题意，设每月销售利润为，该商场决定把售价上涨元，
，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，售价为元，取最大值，此时，
答：要使每月的销售利润最大，售价应定为元．
地 城
考点05
面积问题
一、选择题
1．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为m，面积为S，其中．有下列结论：
①与之间的函数关系为；
②的取值范围为；
③的长只有一个值满足该矩形菜园的面积为；
④矩形菜园的面积的最大值为．
其中，正确结论是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用，熟练掌握最值问题的求法是解答本题的关键．表示出面积化简可以判断①；根据墙长为，列不等式组，解不等式组即可求出自变量x的取值范围，从而可判断②；根据矩形的面积列出方程，解方程求x的值，可以判断③；根据二次函数性质求出最大值判断④．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，故①正确；
设这个菜园垂直于墙的一边的长为，则的长为，
∵墙长为，
∴，
解得：，
∴x的取值范围为，故②错误；
当时，即，
解得，
∵，
∴，
∴的长只有1个值满足该矩形菜园的面积为，故③正确；
∵，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为，故④正确．
故选：D．
二、非选择题
2．（24-25九年级上·全国·期末）已知直线与抛物线交于点，，抛物线的顶点为点，对称轴与直线交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)动点为直线上方对称轴左侧抛物线上一点，当的面积最大时，求的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数求二次函数的解析式，抛物线与直线的交点，在坐标系中利用三角形的面积求点的坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）将代入求出k值，进而求出点B的坐标，再将A，B的坐标代入，利用待定系数法求解；
（2）将（1）中解析式变为顶点式求出对称轴，进而求出D点坐标，作轴，交直线于点E，设点P的横坐标为m，则，，则，，变形为顶点式，即可求解．
【详解】（1）解：将代入，得：，
解得，
直线解析式为，
将代入，得：，
，
将，代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：，
抛物线的对称轴为直线，
对称轴与直线交于点，
；
如图，作轴，交直线于点E，
设点P的横坐标为m，则，，
，
，
，
当时，的面积最大，
此时点P的坐标为．
3．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C．点P是抛物线上一点，其横坐标为，且点P不与点C重合．
(1)写出点C的坐标为______；线段的长为______．
(2)写出的面积______．
(3)抛物线上存在点P，使的面积等于的面积，利用上面的计算结果，求点P的坐标．
【答案】(1)；4
(2)6
(3)P的坐标或或
【分析】（1）将代入，求得出C点坐标，令求出，，即可得到线段的长；
（2）由（1）得到，，然后利用三角形面积公式求解即可；
（3）设，利用的面积等于的面积列方程求解即可．
此题主要考查了抛物线与x轴的交点，三角形面积求法，二次函数图象上点的坐标性质等知识，注意分类讨论得出是解题关键．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，，
∴点C的坐标为，
当时，，
解得或，
∴，，
∴；
（2）解：∵点C的坐标为，
∴，
∵，
∴的面积；
（3）解：设，
∵的面积等于的面积，
∴，
解得或或（舍去），
∴P的坐标或或．
4．（24-25九年级上·四川泸州·期末）飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是．
(1)求飞机着陆后滑行多长时间才能停下来？滑行的最大距离是多少？
(2)当飞机滑行距离为时，滑行的时间是多少？
【答案】(1)飞机着陆后滑行才能停下来，滑行的最大距离是
(2)当飞机滑行距离为时，滑行的时间是
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值，进而可以判断得解；
（2）依据题意，结合（1）令，进而计算即可判断得解．
【详解】（1）解：由题意得，，
∵，
当时，飞机着陆后滑行的距离最大，滑行的最大距离是．
答：飞机着陆后滑行才能停下来，滑行的最大距离是．
（2）解：由题意，令，
解得：（不合题意，舍去）或．
答：当飞机滑行距离为时，滑行的时间是．
5．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，某农林试验基地准备用长的篱笆材料围成一个矩形树苗培植基地，矩形树苗基地一面靠墙（墙的最大长度为，此面不需要篱笆），在矩形基地中间有一道篱笆（垂直于墙且厚度忽略不计），为了方便出入，在边上开两扇宽为的门（门不用篱笆材料）．设垂直于墙的边的长为．
(1)________．（用含有的代数式表示）
(2)求矩形的面积与的长之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
(3)当取何值时，矩形的面积为？
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；
（1）根据长方形的周长公式及题意可直接进行求解；
（2）由（1）结合长方形面积公式可直接进行求解；
（3）由（2）可把矩形的面积为代入进行求解即可
【详解】（1）解：由题意得：；
故答案为；
（2）解：由题意可得矩形的面积．
∵，解得．
自变量的取值范围为．
（3）解：由题意可得，整理得，
解得，．
，
不符合题意，舍去，
．
答：当时，矩形的面积为．
6．（24-25九年级上·北京门头沟·期末）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设，矩形的面积为．
(1)写出与的函数关系式（不需写出的取值范围）；
(2)若花园的面积为，求的值；
(3)若在处有一棵树与墙的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值．
【答案】(1)
(2)的值为 12 或 16
(3)花园面积的最大值为
【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）根据长方形的面积公式进行计算，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得：，然后进行计算即可解答；
（3）根据题意可得：，从而可得：，然后利用二次函数的最值进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：；
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得：，
∴的值为 12 或 16 ；
（3）解：由题意得：，解得：，
∵，
此时，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，，
∴花园面积的最大值为．
7．（24-25九年级上·吉林四平·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点A．已知点A的横坐标为，其中．点B的坐标为．
(1)当时，线段的长为______；
(2)当抛物线经过点B时，求m的值；
(3)该抛物线与y轴的交点为点P，当抛物线在点P和点A之间的部分（包括P、A两点）的最高点和最低点的纵坐标之差为时，求m的值；
(4)作点A关于y轴的对称点C，连结与y轴交于点D，若抛物线与交于E（不与点A重合）．当的面积与的面积比为时，直接写出m的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)
【分析】（1）先求出点B的坐标为，，再由勾股定理计算即可得解；
（2）将代入抛物线得，求解即可；
（3）求出，抛物线的顶点坐标为，再分两种情况：当时；当时，分别求解即可；
（4）由（3）可得：，则，求出直线的解析式为，则，求出，得到，从而可得
，证明四边形为平行四边形，
得出，进而可得，结合的面积与的面积比为，得到，求解即可．
【详解】（1）解：当时，点A的横坐标为，点B的坐标为，
在中，当时，，即，
∴；
（2）解：将代入抛物线得：，
解得：或，
∵，
∴；
（3）解：在中，当时，，即，
当时，，即；
∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵，
∴，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：或（不符合题意，舍去）；
综上所述，m的值为或；
（4）解：由（3）可得：，
∵作点A关于y轴的对称点C，
∴，
，
设直线的解析式可得：，
将，代入解析式可得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，即，
∵抛物线与交于E，
∴，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵的面积与的面积比为，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、求一次函数解析式、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
8．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字形框架，铁丝恰好全部用完．
(1)若所围成矩形框架的面积为144平方厘米，则的长为多少厘米？
(2)当的长为多少厘米时，矩形面积最大？
【答案】(1)的长为8厘米或12厘米．
(2)10
【分析】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是找准题干中的等量关系．
（1）设的长为x厘米，则有厘米，然后根据题意可得方程，进而求解即可；
（2）由（1）可设矩形框架的面积为S，则有，然后根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：设的长为x厘米，则有厘米，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
∵，
∴，
∴都符合题意，
答：的长为8厘米或12厘米．
（2）解：由（1）可设矩形框架的面积为S平方厘米，则有：
，
∵，且，
∴当时，S有最大值，
∴当的长为10厘米时，矩形面积最大．
地 城
考点06
其它问题
一、选择题
1．（24-25九年级上·天津南开·期末）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，则水管的长为（ ）
A．m B．2m C．m D．1m
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为：，把代入，求出函数解析式，进而求出抛物线与轴的交点即可．
【详解】解：如图，以水池中心为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
由题意，抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点坐标为，
设抛物线的解析式为：，
把代入抛物线解析式得：，
∴，
∴，
∴当时，，
即：水管的长为m；
故选A．
2．（24-25九年级上·全国·期末）随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．从喷水口喷出的水柱成抛物线形．如图是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处．喷灌器与围墙的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是根据题意，求出相应的函数解析式．
先建立平面直角坐标，再求出相应的函数解析式，再令求出的值，即可得到的值．
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为，
∵点在函数图象上，
∴，
解得，
∴，
当时，，
解得，（不符合题意，舍去），
∴
故选：C．
二、非选择题
3．（24-25九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）水幕电影是通过高压水泵和特制水幕发生器，将水自下而上高速喷出，雾化后形成水幕，然后由专用放映机将特制的录影带．投射在水幕上．如图，水嘴喷出的水柱的最高点为P，，，水嘴高，则水柱落在地点C到水嘴所在墙的距离是 m．
【答案】5
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，建立适当的坐标系，设出顶点式是解题的关键．以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，易得点D和点P的坐标，设抛物线的解析式为：，代入点D的坐标求得函数的解析式，再求出点C的坐标即可得到的长度．
【详解】解：以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，
∵点P是最高点，
∴设抛物线的解析式为：，
将点D坐标代入，可得：，
解得：，
∴，
令，解得：，，
∴点，
∴，
故答案为：5．
4．（24-25九年级上·甘肃平凉·期末）玥玥看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：发现水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系的图象，已知水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距离地面．身高的玥玥站在水柱正下方，且距喷水头水平距离的位置，她的头顶 碰到水柱．（填“能”或“不能”）
【答案】不能
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．
根据顶点，得出抛物线的表达式，令，求得的值，与比较即可求解．
【详解】解：根据题意可知抛物线的顶点为，水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系，
则抛物线的解析式为，
令，则，
故她的头顶不能碰到水柱．
故答案为：不能．
5．（24-25九年级上·四川眉山·期末）某圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则两个水柱的最高点M，N之间的距离为 m．
【答案】10
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知易得：N点的坐标为和M点的坐标为，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由二次函数的图象可知，
当时，，
故N点的坐标为；
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴M点的坐标为，
∴之间的距离为．
故答案为：10．
6．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度，则抛物线的表达式为
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，运用待定系数法求解析式是解题的关键．
由题意得设抛物线的表达式为，将代入即可求解．
【详解】解：∵水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m，
∴设抛物线的表达式为，
∵测得喷水头P距地面0.7m，
∴将代入
得：，
解得：，
∴解析式为：，
故答案为：．
7．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线的一部分，已知落水点B到池中心O的距离为8米．
(1)写出水柱离水面（x轴）的最大高度，并求水管的长度；
(2)若在喷水池中竖直放置一盏高为米的景观射灯，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯与池中心的水平距离；
(3)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，求水管要升高多少米？
【答案】(1)水管的长度为米
(2)景观射灯与池中心的水平距离为7米
(3)水管要升高米
【分析】该题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义．
（1）将点B的坐标代入即可求解；
（2）把代入解析式，即可求解；
（3）设水管要升高h米，求出扩建后抛物线的表达式，即可求解；
【详解】（1）解：由解析式得水柱离水面的最大高度为5米，
将点B的坐标代入中，
得
解得，
∴．
令，得，
∴水管的长度为米；
（2）解：由题意得，令
解得，（舍去），
∴顶端F的横坐标为，
∴景观射灯与池中心的水平距离为7米；
（3）解：设水管要升高h米，
∴升高后的抛物线的解析式为．
当时，，
∴
，
∴，
答：水管要升高米．
8．（24-25九年级上·山东青岛·期末）青岛世园会音乐喷泉位于李沧区百果山森林公园内的天水湖，是中国最大的音乐喷泉之一，伴随或激昂或舒缓的音乐，水柱编织出了各种美妙图案，最高可达80余米，吸引了众多游客前来观赏．若把音乐喷泉形状看作抛物线，设其出水口为原点，音乐变化时，抛物线的顶点都在过原点的直线变动，从而产生不同的抛物线型水线如图1．
(1)如图2，若某条抛物线型水线的顶点在直线上，且喷出的水线最大高度达，求此时的抛物线解析式；
(2)如图3，若三条抛物线型水线、和的顶点都在直线上，水线最大高度达到，且落地点恰好达到离出水口的岸边，另一条水线的落地点离出水口，要求水线的落地点在、之间（不包含、），求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)的取值范围为．
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解题的关键是明确题意，根据题目给出的信息列出相应的关系式找出所求问题需要的条件．
（1）根据抛物线的顶点在直线上，且喷出的抛物线水线最大高度达，可以求得的值；
（2）先根据线最大高度达到，且落地点恰好达到离出水口的岸边，可以求出，再根据抛物线的顶点在直线上可得的值，根据喷出的抛物线水线地点在之间，而出水可知其对称轴从而求出的取值范围．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在直线上，抛物线水线最大高度达，其的顶点为，
∴抛物线的解析式为：，
∵抛物线过原点，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵抛物线型水线的顶点都在直线上，最大高度达到，且落地点恰好达到离出水口的岸边，
∴顶点坐标为，
，
解得：，
，
由题意知，的顶点为，
∵抛物线的顶点在直线上，
，
，
∵水线的落地点在之间，
解得：
∴的取值范围为．
试卷第1页，共3页
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专题04 实际问题与二次函数
6大高频考点概览
考点01 图形问题
考点02 拱桥问题
考点03 投球问题
考点04 销售问题
考点05 面积问题
考点06 其它问题
地 城
考点01
图形问题
一、选择题
1．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为m，面积为S，其中．有下列结论：
①与之间的函数关系为；
②的取值范围为；
③的长只有一个值满足该矩形菜园的面积为；
④矩形菜园的面积的最大值为．
其中，正确结论是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
二、非选择题
2．（24-25九年级上·西藏拉萨·期末）如图，用一段长为60米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，设矩形菜园的面积为（单位：米），的长为（单位：米）则关于的函数关系式是 ．
3．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，四边形的对角线，互相垂直，．当，的长是多少时，四边形面积最大？
4．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字形框架，铁丝恰好全部用完．
(1)若所围成矩形框架的面积为144平方厘米，则的长为多少厘米？
(2)当的长为多少厘米时，矩形面积最大？
5．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形试验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形试验田与墙垂直的一边长为（单位：），面积为S（单位：）．
(1)求S与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(2)当 时，矩形试验田的面积最大，最大面积是 ．
6．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，某房间的窗户上部分由2个全等的正方形组成，下部分是一个矩形．已知制作一个这样的窗户边框，所需要的材料的总长度为10米，设小正方形的边长为米，该窗口的透光面积为平方米（计算透光面积时材料忽略不计）．
(1)求关于的函数表达式．
(2)当取何值时，透光面积最大？最大透光面积是多少？
7．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，某农林试验基地准备用长的篱笆材料围成一个矩形树苗培植基地，矩形树苗基地一面靠墙（墙的最大长度为，此面不需要篱笆），在矩形基地中间有一道篱笆（垂直于墙且厚度忽略不计），为了方便出入，在边上开两扇宽为的门（门不用篱笆材料）．设垂直于墙的边的长为．
(1)________．（用含有的代数式表示）
(2)求矩形的面积与的长之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
(3)当取何值时，矩形的面积为？
8．（24-25九年级上·北京门头沟·期末）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设，矩形的面积为．
(1)写出与的函数关系式（不需写出的取值范围）；
(2)若花园的面积为，求的值；
(3)若在处有一棵树与墙的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值．
地 城
考点02
拱桥问题
一、选择题
1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为24米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示，则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为（ ）
A．24米 B．22米 C．12米 D．11米
2．（24-25九年级上·河南郑州·期末）坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为16m，当水位上升3m时，水面宽为（ ）
A． B． C． D．
二、非选择题
3．（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图有一座抛物线形拱桥，已知桥下在正常水位时，水面宽为，当水位上升到达处，此时水面宽为．若水位继续以的速度上升，求从处淹到拱桥顶还需要多少小时．
4．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）为庆祝元旦，某公园在门口搭建了一个抛物线形的装饰拱门，已知该拱门接触地面的跨度为，拱门顶端最高处的高度为，小青以拱门的左边缘O为原点，地面为x轴建立平面直角坐标系，如图所示．
(1)求拱门所在抛物线的函数表达式；
(2)为了使拱门更加牢固，要在拱门内左右两边各垂直于地面竖立一根高为的支柱，支柱的顶端恰好在抛物线上，求这两根支柱之间的距离．
5．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，这是一个正在修建中的高速公路隧道，该高速公路隧道的横断面为抛物线，抛物线的最高点离地面的距离为米，宽度为米．
(1)以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求该抛物线的表达式．
(2)该隧道下方的公路是双向行车道（正中间有一条宽为米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的车辆？请通过计算说明．
6．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，某公司的大门呈抛物线形，大门底部宽为，顶部距地面的高度为．
(1)试建立适当的直角坐标系，求抛物线对应的二次函数表达式；
(2)一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面，装货宽度为，那么这辆汽车能否顺利通过大门？
7．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，某隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道顶端D到路面的距离为，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装摄像头，即在该抛物线上确定一点安装摄像头（大小忽略不计）．已知摄像头到的水平距离为，求摄像头到地面的竖直距离．
8．（24-25九年级上·云南昆明·期末）如图1是抛物线形拱桥，按如图2所示建立平面直角坐标系，得函数的表达式为，在正常水位时，水面宽米，当水位上升3米后，则水面宽 米
地 城
考点03
投球问题
一、选择题
1．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）具有的函数关系，下列解释正确的是（ ）
A．小球从飞出到落地要用
B．小球的飞行高度为时，小球飞行的时间是
C．小球的飞行高度可以达到
D．小球飞行时飞行高度为，并将继续上升
二、非选择题
2．（24-25九年级上·广西钦州·期末）一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示．
(1)求抛物线的表达式；
(2)通过计算判断球能否射进球门；
(3)为了进球，运动员带球向点A的正后方移动了米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，结果恰好在点O正上方处进球，求n的值．
3．（24-25九年级上·河北保定·期末）发石车是古代远程攻击的武器．现有一发石车，发射出去的石块沿抛物线轨迹运动，距离发射点20米时达到最大高度10米．如图，现将发石车放置在山坡底部处，山坡上有一点，距离点的水平距离为30米，垂直高度3米，是高度为4米的防御墙．
(1)求石块运动轨迹的函数解析式，并写出的取值范围；
(2)计算说明石块能否飞越防御墙．
4．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点为飞行距离计分的参照点，落地点超过点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点到起跳台的水平距离为，高度为为定值）．设运动员从起跳点起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为：．
(1)求c的值；
(2)若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝，b＝，求基准点K的高度h；
(3)若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
5．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系，则小球飞出 s时，达到最大高度．
地 城
考点04
销售问题
1、 非选择题
1．（24-25九年级上·吉林·期末）某商场销售一批小商品，每天可以售出20件，每件的利润为50元．经市场调查发现，如果每件小商品每降价1元，商场每天可以多售出2件．设每件小商品降价x元．
(1)每件小商品的利润为______元，商场每天可以售出______件．（用含x的式子表示）
(2)若该商场每天的利润为1600元，求x的值．
(3)该商场每天的最大利润______元，此时x的值为______．
2．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）电商平台销售一种T恤衫，每件进价为100元．经市场调查发现：每周销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系（其中x为整数，且）部分数据如下表所示：
销售单价（元/件）
120
130
135
销售量（件）
80
60
50
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求y与x的函数关系式；
(2)求每周销售这种T恤衫获得的利润（元）的最大值；
(3)电商平台希望每周获得1000元的利润，且尽可能让利于顾客，请计算销售单价应定为多少元？
3．（24-25九年级上·全国·期末）某商场以每件50元的价格购进某款玩具，若以每件80元的价格出售，每日可售出200件．现商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该玩具每件的售价每降价1元，日销售量就会增加20件．设该款玩具每件的售价为元，日销售量为y件．
(1)日销售量y关于每件售价x的函数解析式为__________．
(2)该商场如何定价，才能使日销售利润最大？最大利润是多少元？
4．（24-25九年级上·河南周口·期末）某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量（个）与销售单价（元）有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为元．
(1)如果销售单价定为元，那么健身球每天的销售量是______个；
(2)该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
5．（24-25九年级上·广东河源·期末）已知某商场经营某种新型电子产品，购进时的单价为100元/件，售价为每件240元．该商场在试销中发现，如果以定价售出，那么每天可售出200件；如果售价每降低1元，那么销售量就可以增加10件．
(1)当售价为每件多少元时，商场每天销售该电子产品获得的利润最大？最大利润是多少？
(2)若商场想每天获得60000元的利润，同时又要减少库存，则该电子产品的售价应定为每件多少元？
6．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）某商场出售一种台灯，成本为每件30元，当售价为每件50元，每月可销售60件．市场调查发现：若这种台灯的售价每降价1元，则每月的销量将增加2件，设每件台灯降价元（为正整数），每月的销量为件．
(1)写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；
(2)如何定价，才能使每月销售的利润最大？最大利润是多少元？
7．（24-25九年级上·河南郑州·期末）某商场将进货价为元的台灯以元售出．每月能售出个．按商场管理规定，售价在元至元范围内．调查发现，在该范围内，这种台灯的售价每上涨元，其销售量就减少个．
(1)为了实现每月元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？
解：假设售价为元，则每月台灯的销售量为______个，每个台灯的利润为______元．(用含的代数式表示，并完成解答)
(2)要使每月的销售利润最大，售价应定为多少？请说明原因．
地 城
考点05
面积问题
一、选择题
1．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为m，面积为S，其中．有下列结论：
①与之间的函数关系为；
②的取值范围为；
③的长只有一个值满足该矩形菜园的面积为；
④矩形菜园的面积的最大值为．
其中，正确结论是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
二、非选择题
2．（24-25九年级上·全国·期末）已知直线与抛物线交于点，，抛物线的顶点为点，对称轴与直线交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)动点为直线上方对称轴左侧抛物线上一点，当的面积最大时，求的坐标．
3．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C．点P是抛物线上一点，其横坐标为，且点P不与点C重合．
(1)写出点C的坐标为______；线段的长为______．
(2)写出的面积______．
(3)抛物线上存在点P，使的面积等于的面积，利用上面的计算结果，求点P的坐标．
4．（24-25九年级上·四川泸州·期末）飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是．
(1)求飞机着陆后滑行多长时间才能停下来？滑行的最大距离是多少？
(2)当飞机滑行距离为时，滑行的时间是多少？
5．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，某农林试验基地准备用长的篱笆材料围成一个矩形树苗培植基地，矩形树苗基地一面靠墙（墙的最大长度为，此面不需要篱笆），在矩形基地中间有一道篱笆（垂直于墙且厚度忽略不计），为了方便出入，在边上开两扇宽为的门（门不用篱笆材料）．设垂直于墙的边的长为．
(1)________．（用含有的代数式表示）
(2)求矩形的面积与的长之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
(3)当取何值时，矩形的面积为？
6．（24-25九年级上·北京门头沟·期末）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设，矩形的面积为．
(1)写出与的函数关系式（不需写出的取值范围）；
(2)若花园的面积为，求的值；
(3)若在处有一棵树与墙的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值．
7．（24-25九年级上·吉林四平·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点A．已知点A的横坐标为，其中．点B的坐标为．
(1)当时，线段的长为______；
(2)当抛物线经过点B时，求m的值；
(3)该抛物线与y轴的交点为点P，当抛物线在点P和点A之间的部分（包括P、A两点）的最高点和最低点的纵坐标之差为时，求m的值；
(4)作点A关于y轴的对称点C，连结与y轴交于点D，若抛物线与交于E（不与点A重合）．当的面积与的面积比为时，直接写出m的值．
8．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字形框架，铁丝恰好全部用完．
(1)若所围成矩形框架的面积为144平方厘米，则的长为多少厘米？
(2)当的长为多少厘米时，矩形面积最大？
地 城
考点06
其它问题
一、选择题
1．（24-25九年级上·天津南开·期末）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，则水管的长为（ ）
A．m B．2m C．m D．1m
2．（24-25九年级上·全国·期末）随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．从喷水口喷出的水柱成抛物线形．如图是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处．喷灌器与围墙的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、非选择题
3．（24-25九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）水幕电影是通过高压水泵和特制水幕发生器，将水自下而上高速喷出，雾化后形成水幕，然后由专用放映机将特制的录影带．投射在水幕上．如图，水嘴喷出的水柱的最高点为P，，，水嘴高，则水柱落在地点C到水嘴所在墙的距离是 m．
4．（24-25九年级上·甘肃平凉·期末）玥玥看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：发现水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系的图象，已知水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距离地面．身高的玥玥站在水柱正下方，且距喷水头水平距离的位置，她的头顶 碰到水柱．（填“能”或“不能”）
5．（24-25九年级上·四川眉山·期末）某圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则两个水柱的最高点M，N之间的距离为 m．
6．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度，则抛物线的表达式为
7．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线的一部分，已知落水点B到池中心O的距离为8米．
(1)写出水柱离水面（x轴）的最大高度，并求水管的长度；
(2)若在喷水池中竖直放置一盏高为米的景观射灯，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯与池中心的水平距离；
(3)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，求水管要升高多少米？
8．（24-25九年级上·山东青岛·期末）青岛世园会音乐喷泉位于李沧区百果山森林公园内的天水湖，是中国最大的音乐喷泉之一，伴随或激昂或舒缓的音乐，水柱编织出了各种美妙图案，最高可达80余米，吸引了众多游客前来观赏．若把音乐喷泉形状看作抛物线，设其出水口为原点，音乐变化时，抛物线的顶点都在过原点的直线变动，从而产生不同的抛物线型水线如图1．
(1)如图2，若某条抛物线型水线的顶点在直线上，且喷出的水线最大高度达，求此时的抛物线解析式；
(2)如图3，若三条抛物线型水线、和的顶点都在直线上，水线最大高度达到，且落地点恰好达到离出水口的岸边，另一条水线的落地点离出水口，要求水线的落地点在、之间（不包含、），求的取值范围．
试卷第1页，共3页
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