专题4.2 三角形全等的判定（高效培优讲义）数学沪科版2024八年级上册

专题4.2 三角形全等的判定 教学目标 1.经历探索三角形全等的条件的过程，理解判定一般三角形和直角三角形全等的条件。 2.能灵活运用SSS,SAS,ASA和AAS证明两个三角形全等，会用HL证明两个直角三角形全等。 3.能综合运用全等三角形的判定和性质解决线段相等或角相等的问题，并能解决实际生活中的有关问题。 教学重难点 一、教学重点 1.明确SSS、SAS、ASA、AAS、HL 五种判定定理的本质，理解 “满足特定边角关系即可证明全等” 的逻辑。 2.学会规范推理表达，按 “已知→求证→证明” 的步骤，用定理推导全等结论。 二、教学难点 1.从复杂图形中分离出全等三角形，识别对应边、对应角（尤其图形旋转、翻折、平移后的隐蔽对应关系）。 2.避免 “SSA”“AAA” 的易错陷阱，理解为何这两种情况不能判定全等（可通过画图举例验证）。 3.结合实际情境或几何综合题，灵活选择判定定理。 4.证明过程中逻辑链条完整，不遗漏关键条件（如公共边、对顶角相等的隐含条件）。 知识点01 全等三角形的判定方法1“边角边” 1. 基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”). 2. 书写格式：如图 在△ ABC 和△ A′B′C′ 中， 把三个条件按顺序排列，并用大括号将其括起来 ∴△ ABC ≌△ A′B′C′(SAS). 【即学即练1】（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，已知点B，C在线段上，，求证：． 【即学即练2】（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，B、A、D在同一直线上，，，，的延长线交于点． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 知识点02 全等三角形的判定方法2 “角边角” 1. 基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”). 2. 书写格式：如图 在△ ABC 和△ A′B′C′ 中， ∴△ ABC ≌△ A′B′C′( ASA). 【即学即练1】（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在和中，与共线，，，，求证：． 【即学即练2】（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，点D是边上一点，，，，求证： 知识点03 全等三角形的判定方法3“边边边” 1. 已知三边作三角形 要求 作法 图示 用直尺和圆规作△ABC， 使AB＝c，AC＝b，BC＝ ①作线段BC＝， ② 分别以点B，C为圆心，c，b的长为半径画弧，两弧相交于点A； ③连接AB，AC. △ABC就是所求作的三角形 2. 基本事实：三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”). 这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定. 这是说明三角形具有稳定性的依据. 【即学即练1】（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）设置三角形支架可以使篮球架变得牢固，这样做所蕴含的数学道理是（   ） A．三角形的稳定性 B．三角形的不稳定性 C．两点之间，线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 【即学即练2】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，为上一点，为上一点，且满足，，．证明： (1)； (2)． 知识点04 全等三角形的判定方法4“角角边” 1. 定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”). 2. 书写格式：如图 在△ ABC 和△ A′B′C′ 中， ∴△ ABC ≌△ A′B′C′(AAS). 3.“ASA”和“AAS”的区别与联系 “S”的意义 书写格式 联系 ASA “S”是两角的夹边 把夹边相等写在两角相等的中间 由三角形内角和定理可知，“AAS”可由“ASA”推导得出 AAS “S”是其中一角的对边 把两角相等写在一起，边相等放在最后 【即学即练】（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)若，求的长． 知识点05 直角三角形全等的判定方法“斜边、直角边” 1. 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). 2. 书写格式：如图 在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′ 中， ∴ Rt△ABC≌ Rt△A′B′C′(HL). 3. 判定两个三角形全等常用的思路方法 已知对应相等的元素 可选择的判定方法 需寻找的条件 锐角三角形或钝角三角形 两边(SS) SSS 或SAS 可证第三边对应相等或证两边的夹角对应相等 一边及其邻角(SA) SAS 或ASA或AAS 可证已知角的另一边对应相等或证已知边的另一邻角对应相等或证已知边的对角对应相等 锐角三角形或钝角三角形 一边及其对角(SA) AAS 可证另一角对应相等 两角(AA) ASA 或AAS 可证两角的夹边对应相等或证一相等角的对边对应相等 直角三角形 一锐角(A) ASA 或AAS 可证直角与已知锐角的夹边对应相等或证已知锐角(或直角)的对边对应相等 斜边(H) HL 或AAS 可证一条直角边对应相等或证一锐角对应相等 一直角边(L) HL 或ASA 或AAS 或SAS 可证斜边对应相等或证与已知边相邻的锐角对应相等或证已知边所对的锐角对应相等或证另一直角边对应相等 【即学即练】（24-25八年级上·安徽·期末）如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型01 三角形全等条件的确定 【例1】（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）在与中，．下列条件中，不能判断两个三角形全等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-1】（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，点是延长线上一点，已知，要使，只需再添加的一个条件，不可以是（   ） A． B．平分 C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，是高，将沿所在直线翻转，点与点重合，则图中有 组全等三角形． 题型02 三角形全等的判定与性质的综合应用 【例2】（24-25八年级上·安徽·阶段练习）如图，在四边形中，，是上一点，是延长线上一点，且． (1)求的度数； (2)求证：． 【变式2-1】（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）在中，． (1)如图1，点在的延长线上，连接，过点作，交于点，交于点． （i）填空：___________．（填“”“”或“”） （ii）求证：． (2)如图2，点在线段上，连接，过点作，点在点左侧，且，连接，交于点，求与之间的数量关系． (3)如图3，点在的延长线上，连接，且，连接，的延长线交于点．若，直接写出的值． 【变式2-2】（24-25八年级上·安徽淮北·月考）如图，在平面直角坐标系中，、分别是正半轴和正半轴上的点，是第三象限内的点，已知，，点坐标为． (1)如图1，过点作轴于点，证明：． (2)如图2，若与轴交于点，证明：； (3)交轴于点，连接，如图3，证明：． 题型03 作符合条件的三角形 【例3】如图，已知线段a，b和，用直尺和圆规作一个，使得，．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式3-1】如图1，已知，，线段，求作． 作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图所示，已知，和线段a．只用直尺和圆规，求作，使，，． （不写作法，保留作图痕迹） 【变式3-3】尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图，点P在上，过点P作． (2)已知：，和线段a，如图所示．求作：，使,   ． 题型04 全等三角形判定的实际应用 【例4】（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，教学楼与操场上的旗杆相距，小乐同学从点沿着走向点，一段时间后他到达点，已知与的夹角为，旗杆的高为，求教学楼的高． 【变式4-1】（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）某数学兴趣小组同学就“测量河两岸A，B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案： 课题 测量河两岸A，B两点间的距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点E，使得点A，B，C在一条直线上，且； ②测得，； ③在的延长线上取点D，使得； ④测得的长度为． 请你根据以上方案求出A，B两点间的距离． 【变式4-2】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，延长线交于点．她两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．已知点距地面的高度，点，到的水平距离，分别为和，，点距地面的高度，求此时的长． 【变式4-3】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案 示意图 （理想状态：地面水平，垂直于地面，点B、C、D在水平地面上） 测量步骤 （1）在教学楼外水平地面上，选定一点C； （2）测量教学楼顶点A视线与水平地面所成的角； （3）测量的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于水平地面（B、C、D三点共线）； （5）测量标杆顶部E视线与水平地面所成的角，再测量的长度． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度的值． 题型05 “一线三等角”全等模型的应用 【例6-1】（22-23八年级上·安徽·阶段练习）如图1，点是线段上一点，， (1)求证：． (2)如图2，点是线段延长线上的一点，其他条件不变，我们能得到什么结论？并证明． 【例6-2】直线经过的顶点，．E，F分别是直线上两点，且． 【数学思考】若直线经过的内部，且E，F在射线上，请解决下面两个问题： （1）①如图1，若，，求证：； （2）②如图2，若，当与之间满足怎样的数量关系时，①中结论仍然成立，并给予证明． 【问题拓展】 如图3，若直线经过的外部，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，则与的面积之和为_____． 【例6-3】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）综合与实践 在数学实践探究课上，王老师让同学们将等腰直角三角尺放在平面直角坐标系中展开探究： 【操作猜想】 （1）如图①，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点为坐标原点，顶点恰好落在点处，则顶点的坐标为； 【类比探究】 （2）如图②，直线与轴、轴分别交于点，，过点作线段且，直线交轴于点． ①求直线的函数表达式和点的坐标； 【拓展探究】 ②如图③，点'是点关于轴的对称点，，分别为直线，轴上的动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点，的坐标． 【变式6-1】如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【变式6-2】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）几何世界就像一场探险，而“转化思想”就是你手中最明亮的那盏灯．请用“转化”的眼光去解决以下问题， (1)如图1，为上一点，，．求证：； (2)如图2，，，，的延长线交于点，猜想与的数量关系，并加以证明． 【变式6-3】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是直线上方第一象限内的动点，过点作轴于点，交直线于点． (1)求直线的表达式； (2)点是直线上一动点，当的面积与的面积相等时，求点的坐标； (3)当为等腰直角三角形时，请直接写出点的坐标． 一、单选题 1．（22-23八年级上·安徽蚌埠·期末）根据下列条件，能画出唯一的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图是个边长相等的小正方形组合成的图形，则的度数之和为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽·期中）在中，，，，在上取一点，使，过点作交的延长线于点，若，则（   ）． A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，于点E，于点D，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．6 5．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，在中，，是高，是外一点，，，若，，，的面积为（    ） A． B．5 C． D． 6．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在和中，，点分别在上，与交于点，连接．若，则图中的全等三角形一共有（   ） A．对 B．对 C．对 D．对 7．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（   ） A．②③⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤ 8．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知，，为平面内一动点，，为上一点，，上两点，，．下面能表示最小值的线段是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 二、填空题 9．（24-25八年级上·安徽宣城·期末）如图，在中，，，点D在边上，，点E，F在线段上，，若的面积为2，的面积为24，则的面积为 ． 10．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，，，，，，则 ． 11．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，，与交于点O，．点M从点A出发，沿方向以的速度运动，同时点N从点D出发，沿方向以的速度运动，当点M回到点A时，M，N两点同时停止运动． （1） ； （2）连接，当线段经过点O时，点M的运动时间为 s． 三、解答题 12．（24-25八年级上·安徽淮北·月考）八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点； （2）测量教学楼顶点A视线AC与地面夹角； （3）测的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面； （5）测量标杆顶部视线与地面夹角． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，求教学楼高度的值． 13．（23-24八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： (1)； (2)． 14．如图，，，，，点在线段上以的速度，由向运动，同时点在线段上由向运动． (1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当运动时间，与是否全等？说明理由，并直接判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图2，将“，”改为“”，其他条件不变，若的运动速度与的运动速度不相等，当的运动速度为多少时，能使与全等． (3)在图2的基础上延长，交于点，使，分别是，中点，如图3，若点以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求出经过多长时间点与点第一次相遇． 15.如图1所示，已知在中，，，直线经过点，过、两点分别作直线的垂线，垂足分别为、． (1)如图1，当直线在、两点同侧时，求证：①；②； (2)若直线绕点旋转到图2所示的位置时，其余条件不变，猜想与，有什么数量关系？并证明你的猜想； (3)若直线绕点旋转到图3所示的位置时其余条件不变，问与，的关系如何？直接写出猜想结论，不需证明． 16．（1）如图1，，，以点为直角顶点，为腰在第三象限作等腰．求点的坐标； （2）如图2，，为轴负半轴上的一个动点，当点向轴负半轴向下运动时，在轴下方，以为直角顶点，为腰作等腰，过作轴于点，求的值； （3）如图3，已知点坐标为，点在轴的负半轴上沿负方向运动时，作，始终保持，与轴负轴交于点，与轴正半轴交于点，当点在轴的负半轴上沿负方向运动时，求的值． 17．（24-25八年级上·安徽·期中）综合与实践 模型再现 如图1，在中，，垂足分别为，探究图中与之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：先根据同角的余角相等得，再证明，从而可得出结论，他的结论应是：____________； 直接运用 （1）请你写出上述结论，并填空： 已知，则____________；____________． 类比探究 （2）如图2，在中，，过点B作，过点A作，垂足分别为． ①猜想与，之间的数量关系，并说明理由； ②已知，求四边形的面积． 拓展应用 （3）如图3，在等腰中，，则点坐标为：____________；若点（不与点重合）在坐标平面内，若与全等，则点的坐标为：____________． 18.通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ， ， ，我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图3，，，，连接，，的面积为，的面积为，求的值． 19.【基础回顾】 （1）如图1，在中，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． 20．（23-24八年级上·安徽·单元测试）综合与实践 【问题引入】：课外兴趣小组活动时，老师提出这样的问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形的三边关系从而求出的取值范围．从中他总结出：解题时，条件中若出现“中线”“中点”等条件，可以考虑将中线加倍延长，构造全等三角形，把分散的条件和需求证的结论集中到同一个三角形中． 【理解应用】：（1）请你根据小明的思路，求的取值范围； 【感悟应用】：（2）如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，求证：； 21．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 22．利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半动倍． （1）尺规作图：作的平分线． 【模型构造】 （2）填空： ①如图．在中，，是的角平分线，则______．（填“”、“”或“”） 方法一：巧翻折，造全等 在上截取，连接， 则． ②如图，在四边形中，，，和的平分线，交于点．若，则点到的距离是______． 方法二：构距离，造全等 过点作，垂足为点， 则． 【模型应用】 （3）如图，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点． ①请直接写出______； ②试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 三角形全等的判定 教学目标 1.经历探索三角形全等的条件的过程，理解判定一般三角形和直角三角形全等的条件。 2.能灵活运用SSS,SAS,ASA和AAS证明两个三角形全等，会用HL证明两个直角三角形全等。 3.能综合运用全等三角形的判定和性质解决线段相等或角相等的问题，并能解决实际生活中的有关问题。 教学重难点 一、教学重点 1.明确SSS、SAS、ASA、AAS、HL 五种判定定理的本质，理解 “满足特定边角关系即可证明全等” 的逻辑。 2.学会规范推理表达，按 “已知→求证→证明” 的步骤，用定理推导全等结论。 二、教学难点 1.从复杂图形中分离出全等三角形，识别对应边、对应角（尤其图形旋转、翻折、平移后的隐蔽对应关系）。 2.避免 “SSA”“AAA” 的易错陷阱，理解为何这两种情况不能判定全等（可通过画图举例验证）。 3.结合实际情境或几何综合题，灵活选择判定定理。 4.证明过程中逻辑链条完整，不遗漏关键条件（如公共边、对顶角相等的隐含条件）。 知识点01 全等三角形的判定方法1“边角边” 1. 基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”). 2. 书写格式：如图 在△ ABC 和△ A′B′C′ 中， 把三个条件按顺序排列，并用大括号将其括起来 ∴△ ABC ≌△ A′B′C′(SAS). 【即学即练1】（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，已知点B，C在线段上，，求证：． 【详解】证明： ． ． 在和中， ， 【即学即练2】（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，B、A、D在同一直线上，，，，的延长线交于点． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，如图所示： ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 知识点02 全等三角形的判定方法2 “角边角” 1. 基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”). 2. 书写格式：如图 在△ ABC 和△ A′B′C′ 中， ∴△ ABC ≌△ A′B′C′( ASA). 【即学即练1】（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在和中，与共线，，，，求证：． 【详解】证明：，， ，， ， ， ， （）， ． 【即学即练2】（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，点D是边上一点，，，，求证： 【详解】解：在和中， ， ， 知识点03 全等三角形的判定方法3“边边边” 1. 已知三边作三角形 要求 作法 图示 用直尺和圆规作△ABC， 使AB＝c，AC＝b，BC＝ ①作线段BC＝， ② 分别以点B，C为圆心，c，b的长为半径画弧，两弧相交于点A； ③连接AB，AC. △ABC就是所求作的三角形 2. 基本事实：三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”). 这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定. 这是说明三角形具有稳定性的依据. 【即学即练1】（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）设置三角形支架可以使篮球架变得牢固，这样做所蕴含的数学道理是（   ） A．三角形的稳定性 B．三角形的不稳定性 C．两点之间，线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 【答案】A 根据三角形的性质可知三角形具有稳定性，由此求解即可 ． 【详解】解：设置三角形支架可以使篮球架变得牢固，这样做所蕴含的数学道理是三角形的稳定性 ． 故选：A ． 【即学即练2】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，为上一点，为上一点，且满足，，．证明： (1)； (2)． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴； （2）证明：延长交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 知识点04 全等三角形的判定方法4“角角边” 1. 定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”). 2. 书写格式：如图 在△ ABC 和△ A′B′C′ 中， ∴△ ABC ≌△ A′B′C′(AAS). 3.“ASA”和“AAS”的区别与联系 “S”的意义 书写格式 联系 ASA “S”是两角的夹边 把夹边相等写在两角相等的中间 由三角形内角和定理可知，“AAS”可由“ASA”推导得出 AAS “S”是其中一角的对边 把两角相等写在一起，边相等放在最后 【即学即练】（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 知识点05 直角三角形全等的判定方法“斜边、直角边” 1. 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). 2. 书写格式：如图 在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′ 中， ∴ Rt△ABC≌ Rt△A′B′C′(HL). 3. 判定两个三角形全等常用的思路方法 已知对应相等的元素 可选择的判定方法 需寻找的条件 锐角三角形或钝角三角形 两边(SS) SSS 或SAS 可证第三边对应相等或证两边的夹角对应相等 一边及其邻角(SA) SAS 或ASA或AAS 可证已知角的另一边对应相等或证已知边的另一邻角对应相等或证已知边的对角对应相等 锐角三角形或钝角三角形 一边及其对角(SA) AAS 可证另一角对应相等 两角(AA) ASA 或AAS 可证两角的夹边对应相等或证一相等角的对边对应相等 直角三角形 一锐角(A) ASA 或AAS 可证直角与已知锐角的夹边对应相等或证已知锐角(或直角)的对边对应相等 斜边(H) HL 或AAS 可证一条直角边对应相等或证一锐角对应相等 一直角边(L) HL 或ASA 或AAS 或SAS 可证斜边对应相等或证与已知边相邻的锐角对应相等或证已知边所对的锐角对应相等或证另一直角边对应相等 【即学即练】（24-25八年级上·安徽·期末）如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴； （2）解：∵，， ∴，, 又∵， ∴， ∴． 题型01 三角形全等条件的确定 【例1】（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）在与中，．下列条件中，不能判断两个三角形全等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：A．，， 则在和中， ，故选项不符合题意； B．，， 则在和中， 此时符合， 不能使，故选项B符合题意； C．，， 则在和中， ，故选项C不符合题意； D．，， 则在和中， ，故选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，点是延长线上一点，已知，要使，只需再添加的一个条件，不可以是（   ） A． B．平分 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， 、当时，在和中， ， ∴，该选项不合题意； 、当平分，， 在和中， ， ∴，该选项不合题意； 、当时，在和中， ， ∴，该选项不合题意； 、当时，两边及一边的对角相等不能判定，该选项符合题意； 故选：． 【变式1-2】（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，是高，将沿所在直线翻转，点与点重合，则图中有 组全等三角形． 【答案】3 【详解】∵将沿所在直线翻转，点与点重合， ∴，， ∵在中，是高， ∴， ∴三点共线， 在和中， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， 综上分析可得，图中有3对全等三角形， 故答案为：3． 题型02 三角形全等的判定与性质的综合应用 【例2】（24-25八年级上·安徽·阶段练习）如图，在四边形中，，是上一点，是延长线上一点，且． (1)求的度数； (2)求证：． 【详解】（1）解：在和中， ， ， ，， ， ，， ， ； （2）证明：， ． ， ． 在和中， ， ． ． 【变式2-1】（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）在中，． (1)如图1，点在的延长线上，连接，过点作，交于点，交于点． （i）填空：___________．（填“”“”或“”） （ii）求证：． (2)如图2，点在线段上，连接，过点作，点在点左侧，且，连接，交于点，求与之间的数量关系． (3)如图3，点在的延长线上，连接，且，连接，的延长线交于点．若，直接写出的值． 【详解】（1）解：（i），，， ， ， 故答案为：． （ii）， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作于点． ， ， ． ， ， ， . ， ， ， ． （3）解：过点作交的延长线于点． ， ． ， ， ， . ， ， ， ． ，设，则， ． 【变式2-2】（24-25八年级上·安徽淮北·月考）如图，在平面直角坐标系中，、分别是正半轴和正半轴上的点，是第三象限内的点，已知，，点坐标为． (1)如图1，过点作轴于点，证明：． (2)如图2，若与轴交于点，证明：； (3)交轴于点，连接，如图3，证明：． 【详解】（1）证明：由题意可知， ， ， 又， 在和中， ， ， ； （2）证明：如图2，过点分别作轴于点，轴于点， ， 则， ，， 由（1）可知， ， ， ，即点是BC的中点， ； （3）证明：如图3，在上截取，使得， ， 在和中， ， ， ，， ，则， 由（2）可知， ， ， ． 题型03 作符合条件的三角形 【例3】如图，已知线段a，b和，用直尺和圆规作一个，使得，．（保留作图痕迹，不写作法） 【详解】解：如图所示，即为所求． 【变式3-1】如图1，已知，，线段，求作． 作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由作图可知， ，，， 则这个作图的依据是：两角及夹边对应相等的两个三角形全等，即． 故选C． 【变式3-2】如图所示，已知，和线段a．只用直尺和圆规，求作，使，，． （不写作法，保留作图痕迹） 【详解】解：如图所示，即为所求． 【变式3-3】尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图，点P在上，过点P作． (2)已知：，和线段a，如图所示．求作：，使,   ． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）如图，即为所求， 题型04 全等三角形判定的实际应用 【例4】（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，教学楼与操场上的旗杆相距，小乐同学从点沿着走向点，一段时间后他到达点，已知与的夹角为，旗杆的高为，求教学楼的高． 【详解】解：与的夹角为，即， ． ， ， ． 在和中， ， ． ， ， ． 答：教学楼的高为. 【变式4-1】（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）某数学兴趣小组同学就“测量河两岸A，B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案： 课题 测量河两岸A，B两点间的距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点E，使得点A，B，C在一条直线上，且； ②测得，； ③在的延长线上取点D，使得； ④测得的长度为． 请你根据以上方案求出A，B两点间的距离． 【详解】解：，， ， ， ， ， （）， ， ， ， 故A，B两点间的距离为． 【变式4-2】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，延长线交于点．她两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．已知点距地面的高度，点，到的水平距离，分别为和，，点距地面的高度，求此时的长． 【详解】解：由题知，，，，， ， ． ， 在和中，． ， ，， ， 答：的长为． 【变式4-3】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案 示意图 （理想状态：地面水平，垂直于地面，点B、C、D在水平地面上） 测量步骤 （1）在教学楼外水平地面上，选定一点C； （2）测量教学楼顶点A视线与水平地面所成的角； （3）测量的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于水平地面（B、C、D三点共线）； （5）测量标杆顶部E视线与水平地面所成的角，再测量的长度． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度的值． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：教学楼高度为． 题型05 “一线三等角”全等模型的应用 【例6-1】（22-23八年级上·安徽·阶段练习）如图1，点是线段上一点，， (1)求证：． (2)如图2，点是线段延长线上的一点，其他条件不变，我们能得到什么结论？并证明． 【详解】（1）证明：，，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （2）解：；理由如下： ，，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 【例6-2】直线经过的顶点，．E，F分别是直线上两点，且． 【数学思考】若直线经过的内部，且E，F在射线上，请解决下面两个问题： （1）①如图1，若，，求证：； （2）②如图2，若，当与之间满足怎样的数量关系时，①中结论仍然成立，并给予证明． 【问题拓展】 如图3，若直线经过的外部，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，则与的面积之和为_____． 【详解】数学思考：（1）证明：，， ， ， ，，， ， ，， ， ； （2）解：当时，①中的结论仍然成立，理由如下： 当时，则， ， ，，， ， ，， ， ； 问题拓展： 解：， ， ，，， ， ，的面积是12， ． 【例6-3】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）综合与实践 在数学实践探究课上，王老师让同学们将等腰直角三角尺放在平面直角坐标系中展开探究： 【操作猜想】 （1）如图①，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点为坐标原点，顶点恰好落在点处，则顶点的坐标为； 【类比探究】 （2）如图②，直线与轴、轴分别交于点，，过点作线段且，直线交轴于点． ①求直线的函数表达式和点的坐标； 【拓展探究】 ②如图③，点'是点关于轴的对称点，，分别为直线，轴上的动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点，的坐标． 【详解】解：（1）分别过点，作轴于点，轴于点，则， ， 又， ， ， 又， ， ， ， 点； （2）①令，解得； 令，则， 点，点， ，， 过点作轴于点，则， ， 又， ， ， 又， ， ，， ， 点， 设直线的函数表达式为， 将点，分别代入， 得， 解得， 直线的函数表达式为， 当时， 解得， 点； ②点是点关于轴的对称点， 点， 设点，， 若是以点为直角顶点的等腰直角三角形， 分如下两种情况讨论： (i)当在点左侧时， 如答图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，则同①可得， ，， ，， 解得，， 此时点，； (ii)当在点右侧时，如图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，则同①可得， ，， ，， 解得，， 此时点，， 综上所述，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，点，的坐标分别为或 【变式6-1】如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：与全等，线段，理由： 当时，，， 由题意得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：若， ∴，， ， 解得； 若， ∴，， ， 解得， 综上所述，存在或使得与全等． 【变式6-2】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）几何世界就像一场探险，而“转化思想”就是你手中最明亮的那盏灯．请用“转化”的眼光去解决以下问题， (1)如图1，为上一点，，．求证：； (2)如图2，，，，的延长线交于点，猜想与的数量关系，并加以证明． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：，证明如下： 过点作，交的延长线于点， 同理（1）可得， ， ， ， ， ∴， ． 【变式6-3】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是直线上方第一象限内的动点，过点作轴于点，交直线于点． (1)求直线的表达式； (2)点是直线上一动点，当的面积与的面积相等时，求点的坐标； (3)当为等腰直角三角形时，请直接写出点的坐标． 【详解】（1）解：∵直线交y轴于点A，交x轴于点， ∴ 解得 ∴直线的解析式是； （2）解：将代入，解得， ， ， ， 点P是直线上一动点，D点在上，令，则， 则， 设， 的面积与的面积相等 解得或 或； （3）解：当，时，过点P作轴，，如图，∵轴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， 设 ∴，，，， ∴，解得：， ∴； 当，时，过点P作轴，如图， 同理可得： ， ∵，， 设 ∴，，，， ∴，，解得：， ∴； 当，时，过点P作轴，如图， 同理可得： ∴， ∵，， 设 ∴，，，， ∴，，解得：， ∴； 综上所述：点的坐标为或或． 一、单选题 1．（22-23八年级上·安徽蚌埠·期末）根据下列条件，能画出唯一的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，三角形三边关系，根据全等三角形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：A、根据，能够画出唯一确定的，符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、不能得到唯一三角形，不符合题意； D、不能得到唯一三角形，不符合题意； 故选A． 2．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图是个边长相等的小正方形组合成的图形，则的度数之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，先证明，得到，进而由得到，即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 3．（24-25八年级上·安徽·期中）在中，，，，在上取一点，使，过点作交的延长线于点，若，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂直的定义，全等三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定，结合垂直的定义证明，再利用全等是性质得到，，最后根据求解，即可解题． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 故选：C． 4．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，于点E，于点D，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．6 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据同角的余角相等，得到，证明，进而得到，线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 5．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，在中，，是高，是外一点，，，若，，，的面积为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，作出辅助线，根据证明全等，是解题的关键．在上截取，根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵是高， ∴， ∵， ∴， 在上截取，如图所示： 在与中 ， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，故A正确． 故选：A． 6．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在和中，，点分别在上，与交于点，连接．若，则图中的全等三角形一共有（   ） A．对 B．对 C．对 D．对 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由三角形内角和定理可得，进而可得，得到，，即得，进而可推出、和，即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， 综上，图中的全等三角形一共有对， 故选：． 7．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（   ） A．②③⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤ 【答案】C 【分析】此题重点考查角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键．连接，可证明，得到，故① 正确；由E、F分别是上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断，②错误；延长到点G，使，连接，先证明得，由，，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与题干互相矛盾，可得④错误． 【详解】解：如图所示，连接， ∵于点于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 延长到点G，使，连接，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，   ∴ ∴， ∴平分，故③⑤正确； 若平分，而， ∴，与题干信息矛盾，故④错误； 故选C. 8．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知，，为平面内一动点，，为上一点，，上两点，，．下面能表示最小值的线段是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】B 【分析】连接，根据， ， ， ，证明 ，结合，证明，得到，根据，得到 的最小值为的长． 本题主要考查了全等三角形，线段和的最小值．熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，是解决问题的关键． 【详解】如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为的长． 故选：B． 二、填空题 9．（24-25八年级上·安徽宣城·期末）如图，在中，，，点D在边上，，点E，F在线段上，，若的面积为2，的面积为24，则的面积为 ． 【答案】10 【分析】本题考查三角形外角的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的面积．根据三角形外角的性质结合题意可证，得出．根据可求出，，最后根据，求解即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为24， ∴，， ∵的面积为2， ∴， ∴． 故答案为：10． 10．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．由三角形的外角性质可得，根据推出，证明，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：，，， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，，与交于点O，．点M从点A出发，沿方向以的速度运动，同时点N从点D出发，沿方向以的速度运动，当点M回到点A时，M，N两点同时停止运动． （1） ； （2）连接，当线段经过点O时，点M的运动时间为 s． 【答案】 16 或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，分情况讨论． （1）证，可得答案； （2）设运动时间为，当线段经过点O时，证明，推出，分点M沿方向运动和沿方向运动两种情况，分别列式求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为： 16 ． （2）设运动时间为， 当线段经过点O时，如下图所示： 在和中， ， ∴， ∴， 当点M沿方向运动时， ∵，， ∴， ∴， 解得； 当点M沿方向运动时， ∵，， ∴， ∴， 解得； 综上可知，t的值为或． 故答案为： 或． 三、解答题 12．（24-25八年级上·安徽淮北·月考）八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点； （2）测量教学楼顶点A视线AC与地面夹角； （3）测的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面； （5）测量标杆顶部视线与地面夹角． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，求教学楼高度的值． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：，， ， ， 又， ， 在与中， ， ， ， 答：教学楼高度为． 13．（23-24八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型：垂线模型，熟悉模型的构成及相关结论是解题关键． （1）证即可求证； （2）由（1）可得，据此即可求证． 【详解】（1）证明：，， . 在和中， ， . ， ， 即. （2）解：， . 又，， . 14．如图，，，，，点在线段上以的速度，由向运动，同时点在线段上由向运动． (1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当运动时间，与是否全等？说明理由，并直接判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图2，将“，”改为“”，其他条件不变，若的运动速度与的运动速度不相等，当的运动速度为多少时，能使与全等． (3)在图2的基础上延长，交于点，使，分别是，中点，如图3，若点以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求出经过多长时间点与点第一次相遇． 【答案】(1)全等，理由见解析；垂直 (2) (3) 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、全等三角形综合问题 【分析】（1）利用证得，得出，进一步得出，得出结论即可； （2）根据的运动速度与的运动速度不相等，可得，那么要使与全等，则只存在这种情况，据此根据全等三角形的性质建立方程组求解即可； （3）因为以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，只能是点绕圈追上点，即点比点多走的路程，据此列出方程，解这个方程即可． 【详解】（1）解：全等，理由如下： 当时，，， ∵，， ∴， 在与中， ， ， ， ， ∴， 线段与线段垂直． （2）解：设点的运动速度， ∵的运动速度与的运动速度不相等， ∴， ∵， ∴要使与全等，则只存在这种情况， ∴，， ∴， 解得， ∴当点的运动速度为时，能使与全等． （3）解：，分别是，中点，， ， 以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动， 第一次二者相遇时，只能是点绕圈追上点，即点比点多走的路程， 设运动时间为秒， 则， 解得：， 故经过，点与点第一次相遇． 15.如图1所示，已知在中，，，直线经过点，过、两点分别作直线的垂线，垂足分别为、． (1)如图1，当直线在、两点同侧时，求证：①；②； (2)若直线绕点旋转到图2所示的位置时，其余条件不变，猜想与，有什么数量关系？并证明你的猜想； (3)若直线绕点旋转到图3所示的位置时其余条件不变，问与，的关系如何？直接写出猜想结论，不需证明． 【答案】(1)①证明见解析  ②证明见解析 (2)；见解析 (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等量代换等知识点，难度不大，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决本题的关键． （1）①先证得，，根据可证； ②由全等三角形的性质推出，即可得出； （2）类比（1）证得对应的两个三角形全等，由此可推出，，再根据即可得到； （3）类比（1）证得对应的两个三角形全等，由此可推出，，再根据即可得到． 【详解】（1）证明：①，，， ， ，， ， 在和中， ， ； ②， ，， ， ； （2）解：，理由如下： ，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （3）解：，理由如下： ，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 16．（1）如图1，，，以点为直角顶点，为腰在第三象限作等腰．求点的坐标； （2）如图2，，为轴负半轴上的一个动点，当点向轴负半轴向下运动时，在轴下方，以为直角顶点，为腰作等腰，过作轴于点，求的值； （3）如图3，已知点坐标为，点在轴的负半轴上沿负方向运动时，作，始终保持，与轴负轴交于点，与轴正半轴交于点，当点在轴的负半轴上沿负方向运动时，求的值． 【答案】（1）；（2）2；（3） 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、坐标与图形综合 【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质，坐标与图形，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）过点作轴于点，证明，得到，，求出点的坐标； （2）过点作轴于点，证明，得到，得到答案； （3）过点作轴于点，轴于点，证明，得到，根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为； （2）解：如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作轴于点，轴于点， 点坐标为， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ，， ， ． 17．（24-25八年级上·安徽·期中）综合与实践 模型再现 如图1，在中，，垂足分别为，探究图中与之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：先根据同角的余角相等得，再证明，从而可得出结论，他的结论应是：____________； 直接运用 （1）请你写出上述结论，并填空： 已知，则____________；____________． 类比探究 （2）如图2，在中，，过点B作，过点A作，垂足分别为． ①猜想与，之间的数量关系，并说明理由； ②已知，求四边形的面积． 拓展应用 （3）如图3，在等腰中，，则点坐标为：____________；若点（不与点重合）在坐标平面内，若与全等，则点的坐标为：____________． 【答案】，（1），；（2）①，见解析；②；（3），或或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形面积计算，坐标与图形，利用一线三垂直模型证明三角形全等是解题的关键． （1）利用一线三垂直模型证明得到，则，再利用三角形面积公式分别求出的面积即可得到答案； （2）①利用一线三垂直模型证明，得到，则；②利用三角形面积公式求出，，，，再由进行求解即可． （3）同理，根据一线三垂直模型结合等腰直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （1）∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． （2）①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，，，， ∴ ． （3）解：如图所示，过点作轴于点， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ 如图所示， 当公共边为时， ∵与全等， ∴是等腰直角三角形， ∴ 同理可得， ∴ ∴ 当为公共边时，且时， 同理可得 ∴ ∴ 当为公共边时，且时， 同理可得 ∴ ∴ 综上所述，的坐标为：或或 故答案为：，或或． 18.通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ， ， ，我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图3，，，，连接，，的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3)1012.5 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． （1）证明，根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； （2）过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得故可推出，同理可得，再证即可证明结论； （3）过作于，交于，过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得，，进一步可证，再求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 故答案为：，； （2）证明：如图2，过作于，过作于， 由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 点是的中点； （3）解：如图3，过作于，交于，过作于，过作于， ，，， 由“字”模型得：，， ，，， ∴， ，， ， 在与中， ， ， ，且， ， 即， ， 的值为1012.5． 19.【基础回顾】 （1）如图1，在中，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析    （2），证明见解析    （3），理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角全等模型，是解题的关键： （1）利用证明，即可； （2）利用证明，即可得出结论； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，证明，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）证明：直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： 是的外角， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， ∴； （3）大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ． 20．（23-24八年级上·安徽·单元测试）综合与实践 【问题引入】：课外兴趣小组活动时，老师提出这样的问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形的三边关系从而求出的取值范围．从中他总结出：解题时，条件中若出现“中线”“中点”等条件，可以考虑将中线加倍延长，构造全等三角形，把分散的条件和需求证的结论集中到同一个三角形中． 【理解应用】：（1）请你根据小明的思路，求的取值范围； 【感悟应用】：（2）如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，求证：； 【答案】（1）；（2）证明见解析 【知识点】确定第三边的取值范围、全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）延长至点E，使，连接，证明，得出，求出，得出即可； （2）延长至点F，使得，连接，则，证明，得出，，，证明，得出即可得出结论； 【详解】解：（1）如图，延长至点E，使，连接， ∵D是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中， ∴， 即， ∴， ∴； （2）如图，延长至点F，使得，连接，则， ∵是的中线，即E是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵，，， ∴， 在和中， 得， ∴， ∴， ∴； 21．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2），见解析；（3），见解析 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形三边关系的应用、全等三角形综合问题、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）由已知得出，即为的一半，即可得出答案； （2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长交于点G，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 【详解】解：（1）如图①，延长到点E，使，连接， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 延长至点M，使，连接，如图②所示． 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形的三边关系得： ， ∴； （3），理由如下： 如图③，延长交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ． 22．利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半动倍． （1）尺规作图：作的平分线． 【模型构造】 （2）填空： ①如图．在中，，是的角平分线，则______．（填“”、“”或“”） 方法一：巧翻折，造全等 在上截取，连接， 则． ②如图，在四边形中，，，和的平分线，交于点．若，则点到的距离是______． 方法二：构距离，造全等 过点作，垂足为点， 则． 【模型应用】 （3）如图，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点． ①请直接写出______； ②试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①；②6；（3）①120°；②，理由见解析． 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、其他模型(全等三角形的辅助线问题)、角平分线的性质定理 【分析】（1）直接利用角平分线的作法作图即可； （2）①根据三角形的性质：大边对大角即可解答； ②如图：过点作，垂足为点，利用角平分线的性质证得BE=EF=EC,即E为BC的中点，进而求得EF的长即可； （3）①利用角平分线的定义和三角形内角和即可解答； ②在上截取，连接；再证明得到，；再证明，最后利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：（1）如图所示 （2）①∵ ∴大于； 故答案为； ②如图：过点作，垂足为点， ∵和的平分线，交于点 ∴BE=EF=EC,即BE=BC=6 ∴EF=6,即点到的距离是6 故答案为6； （3）①∵∠A=60° ∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120° ∵，是的两条角平分线，且，交于点． ∴∠CBE+∠BCF==60° ∴180°-∠CBE+∠BCF=120°； ②，理由如下： 在上截取，连接，则， ∴，， 由①知：， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $