专题7.7 锐角三角函数（章节复习）（知识梳理+21个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共57题）-2025-2026学年苏科版数学九年级下册同步培优精编讲练

专题7.7 锐角三角函数（章节复习） （知识梳理+21个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共57题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：锐角三角函数的概念 2 知识点梳理03：特殊角的三角函数值 3 知识点梳理04：解直角三角形 3 知识点梳理06：解直角三角形的应用 4 知识点梳理07：解直角三角形的应用-坡度坡角 5 知识点梳理08：解直角三角形应用-仰角俯角问题 5 知识点梳理10： 解直角三角形应用-方位角问题 5 优选题型 考点讲练 6 题型1：正切的概念辨析 6 题型2：求角的正切值 8 题型3：已知正切值求边长 9 题型4：正弦的概念辨析 12 题型5：求角的正弦值 14 题型6：已知正弦值求边长 15 题型7：求角的余弦值 18 题型8：余弦的概念辨析 21 题型9：已知余弦求边长 23 题型10：特殊三角形的三角函数 27 题型11：特殊角三角函数值的混合运算 27 题型12：根据特殊角三角函数值求角的度数 28 题型13：利用同角三角函数关系求值 30 题型14：三角函数综合 33 题型15：解直角三角形的相关计算 37 题型16：解非直角三角形 39 题型17：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 41 题型18：仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 47 题型19：方位角问题(解直角三角形的应用) 50 题型20：坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 53 题型21：其他问题(解直角三角形的应用) 56 中考真题 实战演练 58 难度分层 拔尖冲刺 67 基础夯实 67 培优拔高 69 知识点梳理01：锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 　 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；． 知识点梳理02：锐角三角函数的增减性 （1）在0°－90°之间，锐角的正弦值随角度的增大而增大 ； （2）在0°－90°之间，锐角的余弦值随角度的增大而减小 ； （3）在0°－90°之间，锐角的正切值随角度的增大而增大 . 知识点梳理03：特殊角的三角函数值 　利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° 知识点梳理04：解直角三角形 　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　　③边角之间的关系： 　　　，，， 　　　，，. 　　④，h为斜边上的高. 知识点梳理05：解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 知识点梳理06：解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是： (1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 知识点梳理07：解直角三角形的应用-坡度坡角 　在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 　坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. 知识点梳理08：解直角三角形应用-仰角俯角问题 　仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　　　　　　　　　 知识点梳理10： 解直角三角形应用-方位角问题 （1）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　　　　　　　 (2)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°. 注意： 1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图. 2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.　　　 　3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 题型1：正切的概念辨析 【典例精讲】（2025·四川成都·一模）在中，，，则 ． 【答案】60° 【思路点拨】本题考查了锐角三角函数的定义，锐角的对边与邻边的比叫做的正切．根据正切的定义得到，再根据直角三角形的两个锐角互余计算即可． 【规范解答】解：在中，， 则， ， ， 故答案为：． 【变式训练】（2025·重庆·模拟预测）如图，已知四边形是正方形，以为斜边在右侧作，使得且，在上取一点，使得，连接分别交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了正方形的性质，锐角三角函数，勾股定理等，过点作，分别与的延长线相交于点，可得四边形是矩形，即得，，利用余角性质可得，得到，即可得，设，则，利用勾股定理分别求出，再代入计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】解：如图，过点作，分别与的延长线相交于点， 则， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 题型2：求角的正切值 【典例精讲】（2025·甘肃临夏·二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心的圆，且圆心O在水面上方．若圆被水面截得的弦的长为，圆心O到的距离为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了垂径定理，求正切值，过O作半径于C点，根据垂径定理得到，然后根据锐角三角函数的定义即可求解． 【规范解答】解：过O作半径于C点， ∵，弦的长为， ∴， ∴. 故选：A． 【变式训练】（2024·广东·模拟预测）如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，的半径为1，圆心O在格点上，则等于 ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查圆周角定理，特殊角的正切值，先根据网格判断是等腰直角三角形，得出，根据同弧所对的圆周角相等可得，即可得出． 【规范解答】解：由图可知，，， ，则， ， ， 故答案为：1 题型3：已知正切值求边长 【典例精讲】（2024·广东·模拟预测）如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，已知，且，则折痕长是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，正切函数；能熟练，勾股定理，正切函数进行求解是解题的关键．结合矩形的性质和折叠的性质，由正切函数得 ，由勾股定理得，，即可求解． 【规范解答】解：由折叠的性质得：，， 四边形为矩形， ，，， ， ， 由勾股定理得， ， ， 设，则， 在中， ， ， 解得：， ， 在中， （）； 故答案为：． 【变式训练】（2025·贵州遵义·模拟预测）在海龙屯景区，同一平面内五个景点的道路分布如图所示．经测量，景点B、C均在景点A的正东方向，景点E在景点A的正北方向，景点B在景点E的南偏东方向且米，景点D在景点B的北偏西方向，景点D在景点C的西北方向且米． (1)请计算线段______米； (2)求道路的长度（结果保留根号）； 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题，包含解含有的直角三角形，勾股定理解三角形，在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，熟练掌握解直角三角形的相关知识是解决本题的关键． （1）可得，由米，可求解米，再由勾股定理求解即可； （2）添加适当的辅助线，过点D作于点F，先求解的长度，再求解的长度，根据求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得，，米， ∴， 在中，米， 由勾股定理可得，米； 故答案为：； （2）解：过点D作于点F，如图， 解：由题意可得，，米， 在中，， 即，解得米， ∴米， ∵， 在中，， 即，解得米， ∴米． 题型4：正弦的概念辨析 【典例精讲】（24-25九年级下·海南海口·阶段练习）如图，为半的直径，延长到，使切半于点，点是弧上和点不重合的一点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了切线的性质、直角三角形的性质以及圆周角定理的综合应用，连接，由，可得与的半径相等，即，由此可求得，，进而由圆周角定理求得的度数． 【规范解答】解：连接， ∵切半于点， ∴， ∵， ∴，即， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 【变式训练】（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，已知中，，，将绕点旋转至，如果直线，垂足记为点，那么的值为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正弦函数，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．设，则，，分两种情况讨论，画出图形，利用相似三角形的判定和性质，列式计算即可求解． 【规范解答】解：∵中，，， ∴， 设，则，， ∵将绕点旋转至， ∴，则，，，， 如图，，，， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∴； 如图，，，， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 题型5：求角的正弦值 【典例精讲】（2023·上海普陀·一模）在中，，，，那么 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查勾股定理逆定理以及正弦的定义，先通过勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，然后再利用正弦的定义解题即可． 【规范解答】解：在中，，，， ∵ ，， ∴ ， ∴ 是直角三角形，． ∴ ． 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级下·上海·阶段练习）已知：如图，中，，，，垂足为点，点关于直线、的对称点分别是点、．如果，那么的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了轴对称的性质、三角函数、勾股定理，根据对称的性质可证，，利用勾股定理可以求出，根据对称的性质可以求出，在根据正弦的定义即可求出结果． 【规范解答】解：如下图所示， 由对称可知，，，，， ， ， 在中，， ， ， 由对称可知， 在中，，， ． 故答案为：． 题型6：已知正弦值求边长 【典例精讲】（2025·宁夏银川·模拟预测）如图，正六边形和正八边形的顶点A，B，C，D在同一直线上，顶点E重合，若，则正六边形的边长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查正多边形和圆．根据正六边形、正八边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【规范解答】解：如图，过点E作，垂足为F， ∵是正六边形的外角， ∴， ∵是正八边形的外角， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴正六边形的边长为． 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，中，，点为上一点，且，过三点作，是的直径，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路点拨】（）由等腰三角形的性质和圆周角定理可得，进而由圆周角定理可得，即得，即可求证； （）过点作于点，由等腰三角形的性质得，由锐角三角函数可设，，即得，即得到，得到，即得，，再利用求出即可求解． 【规范解答】（1）解：如图， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是的直径， ∴是的切线； （2）解：如图，过点作于点，则， ∵，， ∴， 在中，∵， ∴， 设，，则， ∴， 解得， ∴，， ∴， 由（）知，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴的半径为． 题型7：求角的余弦值 【典例精讲】（2025九年级下·山东济南·专题练习）如图，已知是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点C，画射线．过点A作，交射线于点D，过点D作，交于点E．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点．熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 先根据作图和已知条件证明四边形是菱形，得出相关线段的长，再利用勾股定理以及面积转换法求出的长，再由勾股定理求出的长，即可求解． 【规范解答】解：如图，连接，过点D作于H， 由作图可知，，, ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ，， ， ， , ， ， ， ， , 即， ， 在中，, ． 故选：B． 【变式训练】（2024·广东·二模）已知：如图，在中，，，，，垂足为点D，E是的中点，连结并延长，交边于点F． (1)求的余弦值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）在 中，根据求出，再根据勾股定理求出，即可求出，再根据勾股定理求出，然后根据得出答案； （2）过点作，交于点，根据“角角边”证明可得，再说明，然后根据相似三角形的对应边成比例得，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 在中， ，， ∴， 由勾股定理得：， ∵E是的中点， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴． （2）解：如图所示，过点作，交于点， ， ， ， ， ， ， ． 题型8：余弦的概念辨析 【典例精讲】（2025·广东东莞·三模）如图，在矩形OABC中，，，将矩形OABC绕点C逆时针旋转至矩形DEFC，若DE经过点B，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查矩形的性质以及旋转的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 通过矩形的边长关系以及旋转后线段的位置关系，利用三角函数来求解角度． 【规范解答】解：，．矩形绕点逆时针旋转至矩形， ，． 在中，，， 根据余弦函数的定义， 将，代入可得 ． 是锐角，且， ． ，， ，即 ． 故选：B． 【变式训练】（2025·浙江·二模）如图，，是斜边上的高，点是边上的动点，连结，作交于点，连结，当点在上运动时，下列比值会变化的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，余弦的定义，证明，，推出，再根据为定值，可得，为定值，再根据是变值，即可得到是变化的，即可得出答案． 【规范解答】解：∵，是斜边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵为定值， ∴，为定值，故选项A，C，D不符合题意； ∵是变值， ∴是变化的，故选项B符合题意． 故选：B． 题型9：已知余弦求边长 【典例精讲】（24-25九年级下·湖南·期末）如图，四边形内接于，点O在上，，过点C作的垂线，分别交，的延长线于点E，F． (1)求证：为的切线； (2)若G为位于上下方的一点，且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了切线的判定、圆周角定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，，由推出，由得到，进而得到，再利用平行线的性质推出，再根据切线的判定定理即可证明； （2）连接，根据平行线的性质以及同弧所对的圆周角相等得到，得到，设的半径为，在中利用余弦的定义列出方程，求出的值，由是的直径，得出，，最后在中利用余弦的定义即可求出的长． 【规范解答】（1）证明：如图，连接，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的半径为，则， ∴， 在中，， 解得：， ∵是的直径， ∴，， ∵在中，， ∴． 【变式训练】（2025·湖南永州·模拟预测）如图，直线与双曲线相交于点，． (1)求双曲线及直线对应的函数表达式； (2)将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积． 【答案】(1)， (2)10 【思路点拨】（1）将代入双曲线，求出的值，从而确定双曲线的解析式，再将点代入，确定点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可； （2）由平行求出直线的解析式为，过点作交于，设直线与轴的交点为，与轴的交点为，可推导出，再由，求出，则的面积． 【规范解答】（1）解：将代入双曲线， ， 双曲线的解析式为， 将点代入， ， ， 将代入， ， 解得， 直线解析式为； （2）解：直线向下平移至， ， 设直线的解析式为， 将点代入， ， 解得 直线的解析式为， 如图，过点作交于，设直线与轴的交点为，与轴的交点为， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 的面积． 题型10：特殊三角形的三角函数 【典例精讲】（2025·甘肃定西·模拟预测）计算： 【答案】 【思路点拨】此题考查了绝对值，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先化简绝对值，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，然后计算加减即可． 【规范解答】解：原式 ． 【变式训练】（2025·云南·模拟预测）计算： 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂，化简绝对值等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键．先运用绝对值，零指数幂、负整数指数幂，特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可． 【规范解答】解： ． 题型11：特殊角三角函数值的混合运算 【典例精讲】（2025·江苏苏州·模拟预测）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了特殊三角函数值、负整数指数幂和算术平方根，解决此题的关键是正确的计算；先把特殊的三角函数值代入，算出负整数指数幂和算术平方根，再去绝对值符号，得到答案即可； 【规范解答】解：， ， ， ． 【变式训练】（24-25九年级下·甘肃武威·期中）计算：． 【答案】1 【思路点拨】此题主要考查了特殊角的三角函数值，以及实数的运算．直接利用乘方以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案． 【规范解答】解： ． 题型12：根据特殊角三角函数值求角的度数 【典例精讲】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，点是轴上的一个动点，以为边作等边，当点在第一象限内时，下列图象中可以表示与的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了动点问题的函数图象，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，在y轴上截取，作轴于点F，连接，，，作于P，由勾股定理求出，解直角三角形得则，进而推出是等边三角形，则，再证明得，进而可得，则，即，结合一次函数图象的性质可得结论． 【规范解答】解：在y轴上截取，作轴于点F，连接，，，作于P， ∵点A的坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 又， 则下列图象中，可以表示与的函数关系的是选项A． 故选：A． 【变式训练】（2025·山东菏泽·模拟预测）在锐角中，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查算术平方根和平方根的非负性，特殊角三角函数值，三角形内角和定理等．根据非负数的性质，两个非负数的和为零，则每个部分均为零．结合三角函数可求出和的度数，再利用三角形内角和计算． 【规范解答】解：由题意得：，， ，， 在锐角范围内，，， ． 故选A． 题型13：利用同角三角函数关系求值 【典例精讲】（2026·江西·模拟预测）在中，，，，点，分别是，上一动点，且，连接，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或或 【思路点拨】本题考查等腰三角形的存在性问题，三角函数以及分类讨论思想，先根据题意，画出大致图形，并求出图中相关的量，由等腰三角形的腰不确定，分三种情况讨论，求解即可． 【规范解答】解：如图（1），，，， ， ①当 时，如图（2）， ， ， ； ②当时，如图（3）， 过点作 于点， ， ， ， 即， ； ③当时，如图（4）， 过点作于点， ， ，， ， 即， ， 综上所述，的长为或或． 故答案为：或或 【变式训练】（24-25九年级下·河南驻马店·阶段练习）如图所示，在的边上取点O，以为半径作与边切于点C，交于点B．请用无刻度直尺和圆规在直线的上方作点E，使得，射线与射线交于点E．（不写作法，保留作图痕迹） (1)完成作图，并判定是否为的切线，说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)图见解析，是的切线，理由见解析 (2)6 【思路点拨】（1）根据作一个角等于已知角的作图方法，作即可；根据为直径，得出，即，根据，得出， 即，即可证明结论． （2）连接．根据勾股定理求出，根据，得出，求出． 【规范解答】（1）解：如图所示，点E即为所求． 为的切线．理由： 为直径， ， 即， 又， ， 即． 是的半径， 为的切线． （2）解：如图，连接． ， ， ， 即， 解得：，负值舍去． 在与中，， ， 解得． 答：的长为6． 题型14：三角函数综合 【典例精讲】（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）阅读下列材料：如图1，在中，，，的对边分别为，，．求证：． 证明：过点作于点． ，， ，， ，． 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，，，的对边分别为，，．求证：． (2)为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，） (3)你能直接写出图2中的面积吗？（用，，及角的锐角三角比表示） 【答案】(1)见解析 (2)这片区域的面积约为平方米 (3)见详解 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提． （1）过点作于点，利用三角函数表示后，即可建立关联并求解； （2）先根据题干结论求出，根据三角形内角和定理求出，过点作于点，解直角三角形即可． （3）根据题干和（1）中，结合三角形面积公式即可求解． 【规范解答】（1）证明：如图，过点作于点． ， ， ， ． （2）解：∵， ， 米， ， ， 如图，过点作于点， ， 米， 平方米， 答：这片区域的面积约为平方米． （3）解：根据题干可得，， ∴或； 根据（1）可得， ∴或； 同理，或． 【变式训练】（2025·山东青岛·模拟预测）如图①，在矩形中，，点E为的中点，连接．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为2；同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为1；当一个点停止运动，另一个点也停止运动． 连接，设运动时间为，解答下列问题：    (1)当为何值时，与相似； (2)设的面积为，求与的函数关系式； (3)如图②，点从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，连接．在运动过程中，是否存在某一时刻，使得为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，或 【思路点拨】（1）根据，线段的长度小于线段的长度，可推出若与相似，只有这一种情况；根据即可求解； （2）根据即可求解； （3）由题意得：，；分类讨论若，若，若，三种情况，结合等腰三角形的性质即可求解； 【规范解答】（1）解：由题意得：， ∴； ∵，线段的长度小于线段的长度， ∴若与相似，则； ∴，即， 解得：； 即：，与相似； （2）解：由题意得：， （3）解：由题意得：，； 若，则，解得：； 若，作，如图所示：    则； ∵， ∴，解得：； 若，作，如图所示：    则； ∵， ∴，解得：； 综上所述，当的值为，或时，可使得为等腰三角形； 题型15：解直角三角形的相关计算 【典例精讲】（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如图，是的直径，是弦，于F，交于点E，． (1)求证：为的切线； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查切线的判定，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）圆周角定理得到，进而得到，根据垂直得到，进而得到，即，即可得证； （2）勾股定理结合等积法求出的长，进而求出的长，垂径定理得到的长，线段的和差求出的长，勾股定理求出的长，再根据余弦的定义进行计算即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）∵，， ∴， ∵， ∴，，即， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴． 【变式训练】（25-26九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于点，设，根据题意可得，进而解直角三角形得出，，即可求解． 【规范解答】解：如图， 作于点， 设， ， ， ， ，． ． ． ． ． 故答案为：． 题型16：解非直角三角形 【典例精讲】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，则的长为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解． 【规范解答】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在中，， 即：， ， ， 故答案为：． 【变式训练】（2024·广东汕头·一模）如图，在中，，求和的长． 【答案】， 【思路点拨】本题考查了解直角三角形．作于点D，证明为等腰直角三角形，求得，在中利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【规范解答】解：作于点D， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，，． 题型17：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【典例精讲】（2024·吉林长春·一模）如图，在菱形中，，．点为线段延长线上一点，且，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点匀速运动．连结、，将绕点按逆时针方向旋转得到，设点运动的时间是秒． (1)菱形的面积是________； (2)用含的代数式表示线段的长； (3)当、、三点共线时，求的值； (4)当是直角三角形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)当时，，当时，， (3) (4)或 【思路点拨】（1）作棱形的高，由，，求出，根据棱形的面积公式即可求出面积； （2）分点P在线段上、在线段上两种情况求解即可； （3）根据当、、三点共线时，作出图形，得，，过点P作，，构造直角三角形，得，，解方程即可； （4）根据的直角位置不同分两种情况讨论，①当时，由旋转性质可知落在上，，②当时，如图3-2，过点作垂足为，在上取点使，过点作垂足为，将转换到内部，再解三角形即可． 【规范解答】（1）解：过点A作，垂足为H， ∵，即：， 设，则， 在中，，即：， 解得：，（负值已经舍去）， ∴， ∴菱形的面积是， 故答案为：． （2）解：由题意得： 当时，， 当时，， （3）当、、三点共线时，如图，过点P作，， 由旋转性质可知：，， ∵， ∴， 在图（1）中，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，，，， ∴， ∴ 解得：，（不合题意舍去）， 故当、、三点共线时， 的值为． （4）①当时，由旋转性质可知落在上， ∵ ∴， ∴即为直角三角形； ， ②当时，如图3-2，过点作垂足为，在上取点使，过点作垂足为， ∴四边形是矩形， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 由旋转性质可知：， 当时，， ∵，，， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，（此时、、三点共线，舍去，） 综上所述：当或时， 是直角三角形， 【变式训练】（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点坐标为 (1)求抛物线解析式； (2)点为抛物线上一点，连接交轴于点，设的横坐标为的长为，求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)当时，过点作交抛物线于点，连接，点分别是的边上的动点，且，连接，设，求的最小值，并直接写出当有最小值时的正切值． 【答案】(1) (2)， (3) 【思路点拨】（1）将把点坐标代入解析式，求出的值，即可求出抛物线的解析式； （2）过作轴于，可求出的长为5，，，，有，即，化简即可求解； （3）作，取，先求出点、的坐标，再证明≌ ，可求得当、、三点共线时，最小，最后求解即可． 【规范解答】（1）解：将把点坐标代入解析式可得： ，解得， 故抛物线的解析式为：． （2）解：过作轴于， 另，可得， ∴，又∵， ∴， 点横坐标为，有， 有， 即， 有，化简得： ∴． （3）解：时，； 将代入函数解析式有：， ∴， 设直线的函数关系式为，有： ，解得， ∴直线的函数关系式为， ∵， ∴设直线的函数解析式为：， 将代入得：，解得， 则直线的函数关系式为：， 联立方程组得： ，解得：， ∴， 如图：作，取， 在和中， ∴≌ ∴， ，， 当、、三点共线时，最小，最小值为： ， 此时：． 题型18：仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（2024·安徽·模拟预测）如图，无人机在A点测得飞行物B的仰角和水平地面上的小明同学C的俯角均为，且米，小明在C处测得飞行物B的仰角为．求飞行物B的高度．(结果精确到0.1米)参考数据：，，，，，． 【答案】飞行物B的高度约为36.9米． 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用．过点A作于点D，过点A作于点E，则四边形是矩形．在中，解直角三角形求得．设，用含x的式子表示出其他线段的长，利用等量关系列方程求解． 【规范解答】解：如图，过点A作于点D，过点A作于点E， , 则四边形是矩形． ∴, 由题意可得，． 在中，，， ∴． 设，则，， 在中，， ∵， ∴． 解得， ∴． 答：飞行物B的高度约为36.9米． 【变式训练】（2025·安徽·模拟预测）百年蚌埠，美誉珠城，缘起于古采珠之地．如图1，蚌埠市张公山南门前“珍珠女”巨型雕塑的设计就是借鉴了蚌埠“珍珠城”的美称．珍珠女为汉白玉加工而成，双手捧持珍珠，站在形似水浪的底盘上，动态优美，充满青春气息．身高米的小明同学，想测量珍珠顶的总高度，站在B点仰头正好平视到珍珠顶，向前走了米后，站在C点仰头正好平视到珍珠顶．帮小明算算珍珠女雕塑的总高度大约是多少（精确到米）．（参考数据：） 【答案】米 【思路点拨】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．设珍珠顶为点M，小明站在C点处头顶为点D，过点A作交于点E，则，且点D在上，设米，分别在和中，用x表示出的长，再由，求出x的值即可． 【规范解答】如图，设珍珠顶为点M，小明站在C点处头顶为点D，过点A作交于点E，则，且点D在上， 由题意可知米，米，， 设米， 在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∵， ∴， 解得：， ∴总高度米， 答：珍珠女雕塑的总高度大约是米． 题型19：方位角问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，年9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式．如图，、、、是长安街沿线的四个观看点且位于同一平面内，已知位于的正东方向且位于的西北方向上，位于的北偏东方向上且位于的北偏东方向上，位于的南偏东方向上．经测量，两点相距米．（参考数据：，，）． (1)求的长度（结果保留整数）； (2)小明和小亮同时从出发去往处，小明沿方向步行且速度为，小亮沿方向步行且速度为，请问小明和小亮谁先到达处，并说明理由． 【答案】(1) (2)小亮早到，理由见解析 【思路点拨】本题考查利用锐角三角函数解直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）延长交于，由题意，则在中，可求，进而在中，可求长，利用题目可解． （2）作，可求，，在和在中利用三角函数则线段可求，两人所走的距离即可求，除以各自的速度求出时间作比较即可． 【规范解答】（1）解：延长交于， 由题意， 在中， ∵米， ∴米， 米， 在中， ， ， 米，米， ， ， ， ， 米， 答：的长度为米； （2）解：， ∴，， ，， ， 作， 在中， 米， 米， 在中， 米， 米， 米， 小明沿方向步行且速度为，小亮沿方向步行且速度为， 米， 小明用时：， 米， 小亮用时， ， ∴小亮早到． 【变式训练】（2025·青海西宁·一模）今年年初西南五省的持续干旱，让许多网友感同身受、焦灼不安，更有不少网友自发组成水源行动小组到旱区找水．功夫不负有心人，终于有人在山洞处发现了暗河（如图）．经勘察，在山洞的西面有一条南北走向的公路连接着，两村庄，山洞位于村庄南偏东方向，且位于村庄南偏东方向．为方便，两村庄的村民取水，社会爱心人士准备尽快从山洞处向公路紧急修建一条最近的简易公路现已知，两村庄相距千米． (1)求这条最近的简易公路的长（保留3个有效数字）； (2)每修建千米的简易公路需费用16000元，请求出修建该简易公路的最低费用． 本题参考数据：， 【答案】(1)这条最近的简易公路长为5.20千米 (2)修建简易公路的最低费用为83200元 【思路点拨】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键： （1）过作于，根据垂线段最短得到为最近的简易公路，设，解直角三角形，求出的长，根据线段的和差关系列出方程进行求解即可； （2）用路长乘以单价，进行计算即可． 【规范解答】（1）解：如图：过作于，为最近的简易公路． 设，依题意得： 在中，，， ， ， 同理：． ， ， 解得：； 答：这条最近的简易公路长为5.20千米； （2）元． 答：修建简易公路的最低费用为元． 题型20：坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（24-25九年级下·安徽合肥·开学考试）如图，某人在山坡坡脚处测得一座建筑物顶点的仰角为，沿山坡向上走到处再测得该建筑物顶点的仰角为．已知米，且、、在同一条直线上，山坡坡度，求此人所在位置点的铅直高度．（结果精确到米，取，取）    【答案】米 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形．过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意设，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，从而表示出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，最后进行计算即可解答． 【规范解答】解：如下图所示，过点作，垂足为，过点作，垂足为，   ， 四边形是矩形， ，， 山坡坡度， ， 设，， 在中，，米， （米）， 米，米， 在中，， ， ， 经检验，是原方程的根， （米）， 此人所在位置点的铅直高度为米． 【变式训练】（2025·广东深圳·三模）如图，点C与某建筑物底端B相距75米，某同学从点C出发，沿斜坡行走52米至坡顶点D处，斜坡的坡度，在点D处测得该建筑物顶端的俯角为，求建筑物的高度． 【答案】米 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用仰角、俯角问题，坡度、坡角问题，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点D作，垂足为E，延长交水平线于点G，根据题意可得：，，米，米，，根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算可求出，的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【规范解答】解：如图：过点D作，垂足为E，延长交水平线于点G， 由题意得：，，米，米，， 斜坡的坡度， ， 设米，则米， 在中，（米）， ， 解得：， （米），（米）， 米， 在中，， （米）， 米， 建筑物的高度为米． 题型21：其他问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（2025·甘肃甘南·中考真题）某校数学兴趣小组通过对如图所示靠墙的遮阳篷进行实际测量，得到以下数据：遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（参考数据：，，）． 【答案】 【思路点拨】本题考查了矩形的判定和性质，解直角三角形实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点A作于点G，作于点F，解求，再由，求出，然后根据等腰求出，最后由计算即可． 【规范解答】解：过点A作于点G，作于点F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴． 答：阴影的长为． 【变式训练】（24-25九年级下·山西晋中·阶段练习）一场突如其来的病毒，让我们的寒假变得不平凡，在这关键时刻，教育部门决定采取“停课不停学”的网络授课，为了更方便的使用手机听课，有的家长给孩子们购买手机支架．图1是一种手机支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长，底座长，托板固定在支撑板顶端点处，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动． (1)为了观看舒适，把绕点逆时针旋转，使，如图2，求到直线的距离． (2)在（1）的条件下，再将绕点顺时针旋转，使，求到直线的距离．（结果保留1位小数）（参考数据：） 【答案】(1)到直线的距离为 (2)到直线的距离为 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是通过作高构造直角三角形，利用旋转前后边长不变和角度变化，结合三角函数求解距离． （1）过点 B 作 于点 F，在 中，由已知条件可得 ，利用三角函数关系，代入数据计算得，即点 B 到直线 的距离为 （2）过 作于 M，此时 ，在 中，利用 ，得 ，进一步求得即可． 【规范解答】（1）解：如图1，过点作于点， ∵， ∴， ∴ 答：到直线的距离为. （2）如图2，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ 答：到直线的距离为. 1．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在矩形中，．点是边上的一个动点，将沿折叠，点落在点处，连接，，若是等腰三角形，则的值为 ． 【答案】或 【思路点拨】由题意知，分三种情况求解：①若，如图2，过点F作于H，HF的延长线交AB于点G，则，，在中，由勾股定理得求出的值，根据求出的值，证明，则，根据求解即可；②若，如图3，过点F作于M，过点F作，交CD的延长线于点N，，在中，，，计算求解即可；③若，由，可判断该情况不成立；进而可得所有可能情况的正切值． 【规范解答】解：∵四边形是矩形，， ∴，，， 由题意知，分三种情况求解：①若，如图，过点F作于H，的延长线交于点G， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∵翻折， ∴，，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②若，如图3，过点F作于M，过点F作，交的延长线于点N， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴ ③若， ∵点E是边AB上的一个动点，， ∴， ∴不合题意，舍去； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 2．（2024·江苏南通·中考真题）如图，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C都在格点上，连接，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理及其逆定理，利用勾股定理求出的三边的长，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据正切的定义求解即可． 【规范解答】解：如图所示，连接， 由网格的特点和勾股定理可得， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2024·江苏扬州·中考真题）如图， 将长为4， 宽为1的矩形纸片沿折叠， 使A点落到处， B点落到边上的处， 如果是正三角形， 则折痕的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查矩形的性质，图形翻折的应用，等边三角形和菱形的性质，通过连接，证明四边形为菱形，从而得出四边相等，对角相等，再利用可推出，已知，在利用余弦定义可知的长度即为折痕的长度． 【规范解答】解：如图：连接， ∵是等边三角形， ∴，， 又∵四边形为矩形， ∴，， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵四边形沿翻折成四边形， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故选：B． 4．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，为的角平分线，点F为上一动点，点G为的中点，连接，则的最小值是（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【思路点拨】连接，分别取的中点，连接，由三角形中位线定理得出点在上运动，当时，的值最小，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，求出得出的最小值为，求出的长即可得解． 【规范解答】解：如图所示，连接，分别取的中点，连接， ∵点G为的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， ∵点F在上运动， ∴， ∴三点共线， ∴点G在线段上运动， ∴当时，的值最小， 在中，，，， ，， ，， ， 为的角平分线， ， ∵， ， ，即， 的最小值为， ， ， ，， ， 故选：B． 5．（2024·江苏泰州·中考真题）若一个三角形中存在一个内角的两倍与另一个内角的和等于，我们称该三角形为倍余三角形： (1)a．倍余三角形一定是______________三角形（填“钝角”、“锐角”或“直角”）； b．顶角为的等腰三角形______________倍余三角形（填“是”或“不是”）； (2)如图1，为倍余三角形，，过点C作边的垂线交其延长线于点D，若，求的度数； (3)如图2，中，，，，在的延长线上是否存在一点D，使得是倍余三角形，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)a．钝角；b．是 (2) (3)的长为或6 【思路点拨】++此题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形，勾股定理及三角函数， （1）根据倍余三角形定义解答即可； （2）在线段上截取，连接，证明，得，，根据推出，求出，进而求出； （3）由题意知，，是倍余三角形，分两种情况讨论：①是倍余三角形且，②是倍余三角形且，根据定义求解． 【规范解答】（1）解：a.由倍余三角形定义得：若，则故，则倍余三角形一定是钝角三角形， 故答案为：钝角； b.顶角为的等腰三角形的底角为， ∵， 故顶角为的等腰三角形是倍余三角形， 故答案为：是； （2）如图，在线段上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴； （3）存在， 由题意知，，是倍余三角形， ∴分两种情况讨论： ①如图，是倍余三角形且， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴平分， 过点A作于点P， ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 设，则， 在中，， 即 解得（负值已舍去）， ∴； ②如图，是倍余三角形且， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵在中， 在中， ∴，即 ∴ 综上，的长为或6 基础夯实 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了100米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义计算，得到答案． 【规范解答】解：由题意可知：在中，米，， ∵， ∴（米）， 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）在中，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．9 【答案】B 【思路点拨】本题考查了直角三角形中锐角三角函数的定义（正弦函数），解题的关键是明确正弦函数的核心关系——，并准确对应直角三角形中的边（对边为，斜边为，代入已知条件计算． 在中，先根据确定的对边是、斜边是；再根据正弦定义列出的等式；最后将、代入等式，求解的长度，匹配选项得出答案． 【规范解答】解：在中，，． 已知，，代入得：． 解得． 故选：B． 3．（2024·重庆·模拟预测）计算： 【答案】 【思路点拨】本题考查了特殊角的三角函数值、负整数指数幂，先代入特殊角的三角函数值，再利用负整数指数幂的运算法则化简，最后利用实数的运算法则计算即可． 【规范解答】解：， 故答案为：． 4．（2025·广东韶关·模拟预测）计算： ． 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值，是解题的关键．根据特殊角的三角函数值，进行计算即可． 【规范解答】解： ． 故答案为：． 5．（24-25九年级下·上海长宁·期中）某小组同学对三角比展开主题研究活动，现在邀请你参加． 【问题提出】 （1）如果锐角的余弦值为，下列关于锐角的取值范围，正确的是______． A．    B．    C．    D． 【问题分析】 （2）余弦值、、的三角比分别是______、_______、____．你发现它们的分布特点是随着角度的______（选填“增大”或“减小”）而减小． 【综合运用】 （3）写出下列角度的正弦值的取值范围． ，． 【答案】（1）C；（2），，，增大；（3）， 【思路点拨】本题考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数中的正、余弦函数的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）根据特殊角的余弦值，即可判断锐角的取值范围； （2）熟记特殊角（、、）的余弦值即可得出它们的三角比，通过观察即可得出它们的分布特点； （3）根据特殊角的正弦值和锐角正弦函数的增减性即可求解． 【规范解答】解：（1），，，, 又 且为锐角， ； 故选C． （2）由，，可得，它们的三角比分别为 ，，；通过观察可知，它们的三角比会随角度的增大而减小； 故答案为：，，，增大； （3）由锐角正弦函数的增减性可知，锐角的正弦值会随角度的增大而增大 ，， 又，，， ，． 培优拔高 6．（2024·天津·模拟预测）梯形中，，对角线和相互垂直相交于O点，， ，记、、、的面积为、、、，则下列结论不正确的是 （   ） A．梯形的高为 B．与，与的夹角都为定值 C．为定值 D．为定值 【答案】D 【思路点拨】过点作，交延长线于点，过点作于点，先证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，，利用勾股定理可得，再利用三角形的面积公式即可得选项A正确；先根据平行线的性质可得，，再解直角三角形可得，为定值，由此即可得选项B正确；设，则，先证出，根据相似三角形的性质可得，，则可得，，再代入化简即可得选项C正确，选项D不正确． 【规范解答】解：如图，过点作，交延长线于点，过点作于点， ∵对角线和相互垂直相交于点，， ， ∴梯形的面积为， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴，即梯形的高为，选项A正确； ∵，， ∴，， ∴，是定值， ，是定值， ∴和都是定值， 即与，与的夹角都为定值，选项B正确； 设，则， ∵， ∴， ∴，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ，是定值，则选项C正确； ， ∴的值随的变化而变化，不是定值，则选项D不正确； 故选：D． 7．（2024·天津·模拟预测）已知P是边长为x的正n边形内的一点，则P到各边的距离之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了正多边形的性质，等腰三角形的性质，利用锐角三角函数解直角三角形，解题的关键是掌握以上性质． 取正n边形内的中心为点，连接各个顶点，构成n个全等的等腰三角形，根据等腰三角形的三线合一，得出角的度数和边的长度，然后利用锐角三角函数求解即可． 【规范解答】解：如图，取正n边形内的中心为点，连接各个顶点，构成n个全等的等腰三角形，，， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴，， ∴， ∴则P到各边的距离之和为， 故选：C． 8．（2025·浙江丽水·二模）如图，正方形中，E为边上一点，，点F在上，连接，满足，过点F作交于点G，若正方形的边长为，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】过点作于点，过点作于点，过点作于点，先导角得到，然后证明，则，则，解中，求出，，再由面积法求得，那么，则，可得，证明出，再解斜即可． 【规范解答】解：过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，由勾股定理得，， 解得（负值舍去）， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， 设，则， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在矩形中，，垂足为点，若，，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查矩形的性质、解直角三角形；在中，由正弦定义解得，再由勾股定理解得的长，根据同角的余角相等，得到，最后根据正弦定义解得的长即可解题． 【规范解答】解：在中， ∵，在中， ∵在矩形中，，， 又， ∴ 故答案为：． 10．（2025·浙江丽水·二模）如图，四边形为圆内接四边形，对角线与交于点E，点F在上，，． (1)求证：； (2)若点D为的中点， ①求证：； ②若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【思路点拨】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）证即可得证； （2）①先证，得到，再根据，证出，，即可得证； ②设，证出，，得，由此证明，根据相似三角形的性质求出,再证，推出，由此求出，过点D作于点H，则，根据三角函数定义求出的值． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； ②设， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴， 设， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴, ∵， ∴， ∴，即, 解得， ∴， 过点D作于点H，则， ∴． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.7 锐角三角函数（章节复习） （知识梳理+21个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共57题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：锐角三角函数的概念 2 知识点梳理03：特殊角的三角函数值 3 知识点梳理04：解直角三角形 3 知识点梳理06：解直角三角形的应用 4 知识点梳理07：解直角三角形的应用-坡度坡角 5 知识点梳理08：解直角三角形应用-仰角俯角问题 5 知识点梳理10： 解直角三角形应用-方位角问题 5 优选题型 考点讲练 6 题型1：正切的概念辨析 6 题型2：求角的正切值 7 题型3：已知正切值求边长 7 题型4：正弦的概念辨析 8 题型5：求角的正弦值 8 题型6：已知正弦值求边长 9 题型7：求角的余弦值 9 题型8：余弦的概念辨析 10 题型9：已知余弦求边长 11 题型10：特殊三角形的三角函数 12 题型11：特殊角三角函数值的混合运算 12 题型12：根据特殊角三角函数值求角的度数 12 题型13：利用同角三角函数关系求值 13 题型14：三角函数综合 13 题型15：解直角三角形的相关计算 15 题型16：解非直角三角形 15 题型17：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 16 题型18：仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 17 题型19：方位角问题(解直角三角形的应用) 18 题型20：坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 19 题型21：其他问题(解直角三角形的应用) 20 中考真题 实战演练 21 难度分层 拔尖冲刺 23 基础夯实 23 培优拔高 24 知识点梳理01：锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 　 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；． 知识点梳理02：锐角三角函数的增减性 （1）在0°－90°之间，锐角的正弦值随角度的增大而增大 ； （2）在0°－90°之间，锐角的余弦值随角度的增大而减小 ； （3）在0°－90°之间，锐角的正切值随角度的增大而增大 . 知识点梳理03：特殊角的三角函数值 　利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° 知识点梳理04：解直角三角形 　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　　③边角之间的关系： 　　　，，， 　　　，，. 　　④，h为斜边上的高. 知识点梳理05：解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 知识点梳理06：解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是： (1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 知识点梳理07：解直角三角形的应用-坡度坡角 　在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 　坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. 知识点梳理08：解直角三角形应用-仰角俯角问题 　仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　　　　　　　　　 知识点梳理10： 解直角三角形应用-方位角问题 （1）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　　　　　　　 (2)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°. 注意： 1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图. 2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.　　　 　3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 题型1：正切的概念辨析 【典例精讲】（2025·四川成都·一模）在中，，，则 ． 【变式训练】（2025·重庆·模拟预测）如图，已知四边形是正方形，以为斜边在右侧作，使得且，在上取一点，使得，连接分别交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型2：求角的正切值 【典例精讲】（2025·甘肃临夏·二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心的圆，且圆心O在水面上方．若圆被水面截得的弦的长为，圆心O到的距离为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（2024·广东·模拟预测）如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，的半径为1，圆心O在格点上，则等于 ． 题型3：已知正切值求边长 【典例精讲】（2024·广东·模拟预测）如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，已知，且，则折痕长是 ． 【变式训练】（2025·贵州遵义·模拟预测）在海龙屯景区，同一平面内五个景点的道路分布如图所示．经测量，景点B、C均在景点A的正东方向，景点E在景点A的正北方向，景点B在景点E的南偏东方向且米，景点D在景点B的北偏西方向，景点D在景点C的西北方向且米． (1)请计算线段______米； (2)求道路的长度（结果保留根号）； 题型4：正弦的概念辨析 【典例精讲】（24-25九年级下·海南海口·阶段练习）如图，为半的直径，延长到，使切半于点，点是弧上和点不重合的一点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，已知中，，，将绕点旋转至，如果直线，垂足记为点，那么的值为 ． 题型5：求角的正弦值 【典例精讲】（2023·上海普陀·一模）在中，，，，那么 ． 【变式训练】（24-25九年级下·上海·阶段练习）已知：如图，中，，，，垂足为点，点关于直线、的对称点分别是点、．如果，那么的值为 ． 题型6：已知正弦值求边长 【典例精讲】（2025·宁夏银川·模拟预测）如图，正六边形和正八边形的顶点A，B，C，D在同一直线上，顶点E重合，若，则正六边形的边长为 ． 【变式训练】（24-25九年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，中，，点为上一点，且，过三点作，是的直径，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 题型7：求角的余弦值 【典例精讲】（2025九年级下·山东济南·专题练习）如图，已知是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点C，画射线．过点A作，交射线于点D，过点D作，交于点E．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2024·广东·二模）已知：如图，在中，，，，，垂足为点D，E是的中点，连结并延长，交边于点F． (1)求的余弦值； (2)求的值． 题型8：余弦的概念辨析 【典例精讲】（2025·广东东莞·三模）如图，在矩形OABC中，，，将矩形OABC绕点C逆时针旋转至矩形DEFC，若DE经过点B，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·浙江·二模）如图，，是斜边上的高，点是边上的动点，连结，作交于点，连结，当点在上运动时，下列比值会变化的是（   ） A． B． C． D． 题型9：已知余弦求边长 【典例精讲】（24-25九年级下·湖南·期末）如图，四边形内接于，点O在上，，过点C作的垂线，分别交，的延长线于点E，F． (1)求证：为的切线； (2)若G为位于上下方的一点，且，，求的长． 【变式训练】（2025·湖南永州·模拟预测）如图，直线与双曲线相交于点，． (1)求双曲线及直线对应的函数表达式； (2)将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积． 题型10：特殊三角形的三角函数 【典例精讲】（2025·甘肃定西·模拟预测）计算： 【变式训练】（2025·云南·模拟预测）计算： 题型11：特殊角三角函数值的混合运算 【典例精讲】（2025·江苏苏州·模拟预测）计算：． 【变式训练】（24-25九年级下·甘肃武威·期中）计算：． 题型12：根据特殊角三角函数值求角的度数 【典例精讲】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，点是轴上的一个动点，以为边作等边，当点在第一象限内时，下列图象中可以表示与的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·山东菏泽·模拟预测）在锐角中，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 题型13：利用同角三角函数关系求值 【典例精讲】（2026·江西·模拟预测）在中，，，，点，分别是，上一动点，且，连接，当为等腰三角形时，的长为 ． 【变式训练】（24-25九年级下·河南驻马店·阶段练习）如图所示，在的边上取点O，以为半径作与边切于点C，交于点B．请用无刻度直尺和圆规在直线的上方作点E，使得，射线与射线交于点E．（不写作法，保留作图痕迹） (1)完成作图，并判定是否为的切线，说明理由； (2)若，求的长． 题型14：三角函数综合 【典例精讲】（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）阅读下列材料：如图1，在中，，，的对边分别为，，．求证：． 证明：过点作于点． ，， ，， ，． 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，，，的对边分别为，，．求证：． (2)为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，） (3)你能直接写出图2中的面积吗？（用，，及角的锐角三角比表示） 【变式训练】（2025·山东青岛·模拟预测）如图①，在矩形中，，点E为的中点，连接．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为2；同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为1；当一个点停止运动，另一个点也停止运动． 连接，设运动时间为，解答下列问题：    (1)当为何值时，与相似； (2)设的面积为，求与的函数关系式； (3)如图②，点从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，连接．在运动过程中，是否存在某一时刻，使得为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 题型15：解直角三角形的相关计算 【典例精讲】（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如图，是的直径，是弦，于F，交于点E，． (1)求证：为的切线； (2)若，求的值． 【变式训练】（25-26九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，则的长为 ． 题型16：解非直角三角形 【典例精讲】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，则的长为 ． 【变式训练】（2024·广东汕头·一模）如图，在中，，求和的长． 题型17：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【典例精讲】（2024·吉林长春·一模）如图，在菱形中，，．点为线段延长线上一点，且，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点匀速运动．连结、，将绕点按逆时针方向旋转得到，设点运动的时间是秒． (1)菱形的面积是________； (2)用含的代数式表示线段的长； (3)当、、三点共线时，求的值； (4)当是直角三角形时，直接写出的值． 【变式训练】（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点坐标为 (1)求抛物线解析式； (2)点为抛物线上一点，连接交轴于点，设的横坐标为的长为，求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)当时，过点作交抛物线于点，连接，点分别是的边上的动点，且，连接，设，求的最小值，并直接写出当有最小值时的正切值． 题型18：仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（2024·安徽·模拟预测）如图，无人机在A点测得飞行物B的仰角和水平地面上的小明同学C的俯角均为，且米，小明在C处测得飞行物B的仰角为．求飞行物B的高度．(结果精确到0.1米)参考数据：，，，，，． 【变式训练】（2025·安徽·模拟预测）百年蚌埠，美誉珠城，缘起于古采珠之地．如图1，蚌埠市张公山南门前“珍珠女”巨型雕塑的设计就是借鉴了蚌埠“珍珠城”的美称．珍珠女为汉白玉加工而成，双手捧持珍珠，站在形似水浪的底盘上，动态优美，充满青春气息．身高米的小明同学，想测量珍珠顶的总高度，站在B点仰头正好平视到珍珠顶，向前走了米后，站在C点仰头正好平视到珍珠顶．帮小明算算珍珠女雕塑的总高度大约是多少（精确到米）．（参考数据：） 题型19：方位角问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，年9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式．如图，、、、是长安街沿线的四个观看点且位于同一平面内，已知位于的正东方向且位于的西北方向上，位于的北偏东方向上且位于的北偏东方向上，位于的南偏东方向上．经测量，两点相距米．（参考数据：，，）． (1)求的长度（结果保留整数）； (2)小明和小亮同时从出发去往处，小明沿方向步行且速度为，小亮沿方向步行且速度为，请问小明和小亮谁先到达处，并说明理由． 【变式训练】（2025·青海西宁·一模）今年年初西南五省的持续干旱，让许多网友感同身受、焦灼不安，更有不少网友自发组成水源行动小组到旱区找水．功夫不负有心人，终于有人在山洞处发现了暗河（如图）．经勘察，在山洞的西面有一条南北走向的公路连接着，两村庄，山洞位于村庄南偏东方向，且位于村庄南偏东方向．为方便，两村庄的村民取水，社会爱心人士准备尽快从山洞处向公路紧急修建一条最近的简易公路现已知，两村庄相距千米． (1)求这条最近的简易公路的长（保留3个有效数字）； (2)每修建千米的简易公路需费用16000元，请求出修建该简易公路的最低费用． 本题参考数据：， 题型20：坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（24-25九年级下·安徽合肥·开学考试）如图，某人在山坡坡脚处测得一座建筑物顶点的仰角为，沿山坡向上走到处再测得该建筑物顶点的仰角为．已知米，且、、在同一条直线上，山坡坡度，求此人所在位置点的铅直高度．（结果精确到米，取，取）    【变式训练】（2025·广东深圳·三模）如图，点C与某建筑物底端B相距75米，某同学从点C出发，沿斜坡行走52米至坡顶点D处，斜坡的坡度，在点D处测得该建筑物顶端的俯角为，求建筑物的高度． 题型21：其他问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（2025·甘肃甘南·中考真题）某校数学兴趣小组通过对如图所示靠墙的遮阳篷进行实际测量，得到以下数据：遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（参考数据：，，）． 【变式训练】（24-25九年级下·山西晋中·阶段练习）一场突如其来的病毒，让我们的寒假变得不平凡，在这关键时刻，教育部门决定采取“停课不停学”的网络授课，为了更方便的使用手机听课，有的家长给孩子们购买手机支架．图1是一种手机支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长，底座长，托板固定在支撑板顶端点处，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动． (1)为了观看舒适，把绕点逆时针旋转，使，如图2，求到直线的距离． (2)在（1）的条件下，再将绕点顺时针旋转，使，求到直线的距离．（结果保留1位小数）（参考数据：） 1．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在矩形中，．点是边上的一个动点，将沿折叠，点落在点处，连接，，若是等腰三角形，则的值为 ． 2．（2024·江苏南通·中考真题）如图，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C都在格点上，连接，则的值为 ． 3．（2024·江苏扬州·中考真题）如图， 将长为4， 宽为1的矩形纸片沿折叠， 使A点落到处， B点落到边上的处， 如果是正三角形， 则折痕的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 4．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，为的角平分线，点F为上一动点，点G为的中点，连接，则的最小值是（　　） A．2 B． C．4 D． 5．（2024·江苏泰州·中考真题）若一个三角形中存在一个内角的两倍与另一个内角的和等于，我们称该三角形为倍余三角形： (1)a．倍余三角形一定是______________三角形（填“钝角”、“锐角”或“直角”）； b．顶角为的等腰三角形______________倍余三角形（填“是”或“不是”）； (2)如图1，为倍余三角形，，过点C作边的垂线交其延长线于点D，若，求的度数； (3)如图2，中，，，，在的延长线上是否存在一点D，使得是倍余三角形，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由． 基础夯实 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了100米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）在中，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．9 3．（2024·重庆·模拟预测）计算： 4．（2025·广东韶关·模拟预测）计算： ． 5．（24-25九年级下·上海长宁·期中）某小组同学对三角比展开主题研究活动，现在邀请你参加． 【问题提出】 （1）如果锐角的余弦值为，下列关于锐角的取值范围，正确的是______． A．    B．    C．    D． 【问题分析】 （2）余弦值、、的三角比分别是______、_______、____．你发现它们的分布特点是随着角度的______（选填“增大”或“减小”）而减小． 【综合运用】 （3）写出下列角度的正弦值的取值范围． ，． 培优拔高 6．（2024·天津·模拟预测）梯形中，，对角线和相互垂直相交于O点，， ，记、、、的面积为、、、，则下列结论不正确的是 （   ） A．梯形的高为 B．与，与的夹角都为定值 C．为定值 D．为定值 7．（2024·天津·模拟预测）已知P是边长为x的正n边形内的一点，则P到各边的距离之和为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·浙江丽水·二模）如图，正方形中，E为边上一点，，点F在上，连接，满足，过点F作交于点G，若正方形的边长为，则的长为 ． 9．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在矩形中，，垂足为点，若，，则的长为 ． 10．（2025·浙江丽水·二模）如图，四边形为圆内接四边形，对角线与交于点E，点F在上，，． (1)求证：； (2)若点D为的中点， ①求证：； ②若，求的值． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $