专题7.4 由三角函数值求锐角（知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题）-2025-2026学年苏科版数学九年级下册同步培优精编讲练

专题7.4 由三角函数值求锐角 （知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 1 优选题型 考点讲练 2 题型1：根据特殊角三角函数值求角的度数 2 题型2：给出三角函数值，用计算器求锐角度数 6 题型3：已知角度比较三角函数值的大小 7 题型4：根据三角函数值判断锐角的取值范围 8 题型5：利用同角三角函数关系求值 11 题型6：求证同角三角函数关系式 17 题型7：互余两角三角函数的关系 20 题型8：三角函数综合 21 中考真题 实战演练 32 难度分层 拔尖冲刺 37 基础夯实 37 培优拔高 45 计算器—三角函数 （1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数． （2）求锐角三角函数值的方法： 如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“＝”即可得到结果． 注意：不同型号的计算器使用方法不同． （3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是： 如已知sinα＝0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“＝”即可得到结果． 注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键． 题型1：根据特殊角三角函数值求角的度数 【典例精讲】（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，过点作交轴于点；过点作交轴于点；过点作交轴于点；，依次进行下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了点坐标的规律探索、解直角三角形．通过，求得，再求得，，，依此类推，，代入求出的长，再根据坐标系得出点落在y轴的正半轴，即可求解． 【规范解答】解：由条件可知， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理，∴， 同理，∴， ⋯， ∴依此类推，， ∴当时，， 由坐标系可得，点落在轴的正半轴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【变式训练1】（2024·湖南·模拟预测）如图，以的三边为边分别作为等边、等边和等边，连接和． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是平行四边形，证明见解析 (3) 【思路点拨】（1）由与都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对应边相等，，利用等式的性质得到夹角相等，利用得到，同理可证，再进一步可得结论． （2）利用（1）中全等三角形对应边相等得到，同理可证，利用对边相等的四边形为平行四边形得到为平行四边形． （3）如图，过作于，过作于，可得， 四边形是菱形，证明，，三点共线，再进一步求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵、、为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴，； 同理可得：， ∴， ∴． （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ∴， 又∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （3）解：如图，过作于，过作于， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴三点共线， ∵，，， ∴， ∴四边形的面积为． 【变式训练2】（2024·江西·模拟预测）如图1，点P以每秒1个单位长度的速度从的顶点B处出发，沿着方向运动到点C处停止，连接．设点P的运动时间为，的面积为S，若S是t的一次函数，其图象如图2所示． (1)根据图2，可推出 ，的面积为 ． (2)若，求的度数． 【答案】(1)4；4 (2) 【思路点拨】本题考查动点与函数图象，平行四边形的性质，锐角三角函数解直角三角形，读懂图象是解题的关键． （1）由图2可得，点P从点B运动到点C需要，即可求出的长．由时，，得到，根据平行四边形的性质即可求出的面积； （2）过点C作于点E．由的面积求出的长，从而根据特殊角三角函数值得到，即可求出，再根据平行四边形的对角相等即可求解． 【规范解答】（1）解：由图2可得，， ∴点P从点B运动到点C需要， ∵点P以每秒1个单位长度的速度运动， ∴． 由图2可得，当时，， ∴点P运动到点C时，， ∴． 故答案为：4；4 （2）解：过点C作于点E． ∵，即， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 题型2：给出三角函数值，用计算器求锐角度数 【典例精讲】（24-25九年级下·山东淄博·期中）为了方便行人推车过某天桥，市政府在高的天桥一侧修建了长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了利用计算器求出角度的度数，根据题意可得，据此即可求解，掌握正弦的定义是解题的关键． 【规范解答】解：由图可得，， ∴按键顺序是， 故选：． 【变式训练1】（23-24九年级下·山东淄博·期中）如图，在中，，，，用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了正弦三角函数的定义，及其用计算器求值．根据正弦函数的定义，可得，然后根据科学计算器的应用进一步计算即可得出答案． 【规范解答】解：∵，，， ∴， 用科学计算器计算，按键顺序是  ． 故选：B． 【变式训练2】（24-25九年级下·全国·课后作业）已知，求锐角的度数． 【答案】 【思路点拨】利用计算器查表求值． 【规范解答】解：∵， 利用计算器按键, ∴. 题型3：已知角度比较三角函数值的大小 【典例精讲】（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）若，，，则由小到大的顺序为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查锐角三角函数的应用，熟练掌握锐角三角函数的性质及特殊的锐角三角函数值是解题关键．根据锐角三角函数的性质及正弦值与余弦值的关系解答即可． 【规范解答】解：，， ． 故答案为：． 【变式训练1】（2025·广东·三模）已知为锐角，当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了余弦函数值的变化，根据余弦函数在锐角范围内的角度越大，余弦值越小．因此，在到的区间内，当取最小值时，取得最大值． 【规范解答】解：在锐角范围内，余弦函数的值随角度的增大而减小．已知，当取最小值时，即，的值最大，即最大值为． 故选A． 【变式训练2】（2024·广东茂名·一模）物理中，我们学习过“杠杆原理”，即阻力×阻力臂＝动力×动力臂．如图，小伟用撬棍撬动某个物体，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力越来越 （填“大”或“小”）． 【答案】小 【思路点拨】本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性，熟练掌握相关知识是解决本题的关键．根据杠杆原理及的值随着α的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案． 【规范解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂， ∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0， ∴动力随动力臂的增大而减小， ∵杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时的值越来越大，β的度数越来越大，此时的值越来越小， ∴阻力臂越来越小，阻力不变， ∴动力×动力臂越来越小，而动力臂越来越大， ∴此时动力越来越小， 故答案为：小． 题型4：根据三角函数值判断锐角的取值范围 【典例精讲】（24-25九年级下·安徽亳州·期末）若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查根据三角函数值判断锐角的取值范围，根据一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，进行判断即可． 【规范解答】解：∵，，且， ∴； 故选A． 【变式训练1】（24-25九年级下·上海·阶段练习）是锐角三角形的一个内角，已知关于的函数图像与轴没有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查三角函数，二次函数的图象与轴的交点问题，解利用二次函数解二次不等式，熟练掌握三角函数的性质和应用、二次函数的图象与轴的交点个数是解题的关键．先利用是锐角三角形的一个内角，确定，再利用函数图像与轴没有交点，结合，得关于的不等式，求解即可． 【规范解答】解：∵是锐角三角形的一个内角， ∴， ∴， ∵函数图像与轴没有交点， ∴， ∵， ∴， 即， 对于，看作关于的二次函数， ∵， ∴的图象开口向上， 又时， 解得：或， 利用二次函数与不等式的关系， 得的解为：或（舍）， ∴， 则的取值范围是， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25九年级下·江苏常州·期中）如图，平面直角坐标系中，点A，点B在x轴上，点C，点D在y轴上，且，，E、F分别是和的中点，当最大时，的长为 ． 【答案】 【思路点拨】连接，过O作于H，根据直角三角形斜边中线的性质求出，，在中，，当最大时，最大，而在中，，则的最大值为，然后根据勾股定理求解即可． 【规范解答】解：连接，过O作于H， ∵，，E、F分别是和的中点， ∴，， 在中，， ∴当最大时，最大， 在中，， ∴当H、E重合时，取最大值，最大值为， ∴， 故答案为：． 题型5：利用同角三角函数关系求值 【典例精讲】（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图，是的直径，连接并延长至点，使得，连接交于点． (1)证明：； (2)用无刻度的直尺和圆规作出所对弧的中点；（不写作法，保留作图痕迹） (3)在（2）基础上连接，交于点，连接，若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路点拨】（1）利用圆的性质证出为的垂直平分线，得到即可解答； （2）尺规作图作角平分线即可； （3）连接，判定出，再通过相似三角形的比值关系列式运算即可 【规范解答】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴； （2）解：如图所示，点E即为所求； （3）解：连接，如图： ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式训练1】（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图，在中，，，，点从点出发，以个单位长度每秒的速度沿射线运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，点的运动时间为 s． 【答案】或或 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的判定及性质，勾股定理解直角三角形，三角函数的比值关系，合理分类讨论和作出相关辅助线是解题的关键． 分类讨论等腰三角形边相等的情况，再结合勾股定理列出方程运算即可． 【规范解答】解：由题可知是边上的中线，所以不会出现，则可分两种情况讨论： ①当时，如图，过作，交延长线于点， ， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得（舍去）或， ∴ 此时； ②当时，且在线段上，如图，过作于点， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 此时； ③当时，且在线段延长线上，如图，过作于点， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得（舍去）或， 即此时与重合， ∴， ∴， 此时； 综上，的值为或或； 故答案为：或或． 【变式训练2】（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）已知，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线上方抛物线上一点，满足，求点的坐标； (3)已知点，，若抛物线与线段有公共点，结合函数图象，求出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路点拨】（1）根据对称轴的定义求出，再根据点，可得，即可求解； （2）设直线与轴交于点，过点作于点，先求出，，得到，，推出，，结合，可得，设，则，得到，由，可得，列方程求出，得到，进而求出直线的解析式，最后联立抛物线的解析式和直线的解析式即可求解； （3）分两种情况：当点在抛物线上时，当点在抛物线上时，分别求出的值，再结合图象即可求解． 【规范解答】（1）解：抛物线与轴交于点，抛物线的对称轴为直线， ，， ， 抛物线的解析式为； （2）如图，设直线与轴交于点，过点作于点， 令，则， 解得：或， ，， ，， 点， ， ， ，， ， ， 设，则， ， ， ，即， ， 解得：， ， ， ， 设直线的解析式为，将、代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或， ； （3）当点在抛物线上时， ， 解得：或， ，或，， 当点在抛物线上时， ， 解得：， ，， 结合图象可得：或． 题型6：求证同角三角函数关系式 【典例精讲】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查锐角三角函数，熟练掌握正弦和余弦的定义，是解题的关键： （1）根据正弦和余弦的定义，结合勾股定理进行证明即可； （2）利用（1）中关系进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵中，的对边分别为a、b、c． ∴，， ∴； （2）解：由（1）知：， ∵ ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 【变式训练1】（24-25九年级下·河南周口·月考）如图，在中，． (1)求证：． (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查锐角三角形函数的知识，解题的关键是掌握正弦，余弦的应用，勾股定理的应用，利用完全平方公式，对式子进行变形，进行解答，即可． （1）根据正弦，余弦，勾股定理，可得，，，通过变形可得，，，再进行计算即可； （2）根据题意，，变形可得，再根据，即可求出． 【规范解答】（1）解：证明如下： ∵中，， ∴，，， ∴，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练2】（2025·广东佛山·一模）（1）解方程：； （2）已知是锐角，求证：． 【答案】（1）或；（2）见解析 【思路点拨】本题考查了解分式方程，证明同角三角函数关系式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用换元法解分式方程即可； （2）利用平方差公式将 化简，再结合即可得证． 【规范解答】（1）解：设，则原方程化为， 方程两边同时乘得， 解得，． 经检验，，都是方程的解． 当时，，解得： 当时，，解得． 经检验，或都是原分式方程的解． ∴原分式方程的解为或． （2）证明：∵； 又； ∴． 题型7：互余两角三角函数的关系 【典例精讲】（2025九年级下·云南楚雄·学业考试）在中，，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查互余两角三角函数的关系，掌握互余两角三角函数的关系以及锐角三角函数的定义是正确判断的前提．利用锐角三角函数的定义得出互余两角三角函数之间的关系，进而得出答案． 【规范解答】解：在直角中，， ， 所以， 故答案为：． 【变式训练1】（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）在中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是互余两角三角函数的关系，掌握在直角三角形中，时，正余弦之间的关系为：一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即是解题的关键． 根据互余两角三角函数的关系解答即可． 【规范解答】解：， 故选：C． 【变式训练2】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）比较大小： ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了互余两个角的三角函数关系，熟练掌握互余两个角的三角函数关系是解题的关键．先变形，再根据，即可得出答案． 【规范解答】解：∵，而， ∴， 故答案为：． 题型8：三角函数综合 【典例精讲】（2025·山东烟台·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交于点，，交轴正半轴于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，点为直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴于点，求 的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，点是线段的中点，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点，使得，请写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个的求解过程． 【答案】(1) (2)最大值为， (3)或 【思路点拨】本题考查了二次函数综合、待定系数法、配方法求二次函数最值、等腰直角三角形的性质、三角函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）过点作轴交于点，求出直线的解析式，证明是等腰直角三角形，得到，设，用代数式表示，进而求最值即可； （3）先求出新抛物线的表达式，分类讨论当点在轴下方和上方时，可分别求出直线的表达式，与抛物线联立即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意得：， ∵抛物线过点， ∴有：， ∴， 代入中，有， 则抛物线的表达式为：； （2）解：过点作轴交于点，则有， 设直线的解析式为：， 代入，，有： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵ ，轴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 则， 设点，则点， ∴，， 则， 当时，上式有最大值，此时， ∴的最大值为，此时点； （3）解：如图，原抛物线沿射线方向平移个单位长度， ∵， 相当于抛物线先向左平移1个单位长度、再向上平移3个单位长度， 则新抛物线的表达式为：， 当点在轴下方时， 设直线交轴于点，过点作于点，此时， ∵为中点，，， ∴， 在中，， ， 当时，为等腰直角三角形， 设， 则， ∴， 则， ∵， ∴； ∴， ∴ ∴， 设直线的解析式为：， 代入，，有： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立直线和新抛物线： ， 有：， ， ， ， ∴， ∵，舍去， ， 即点的横坐标为：； 当点在轴上方时，此时， 设直线与轴交于， 在中，， ， 当时，， ∴， ∴， 即， 设直线的解析式为：， 代入，，有： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立直线和新抛物线： ， 有：， ， ， ， ∴， ∵，舍去， ∴， 即点的横坐标为：； 综上，点的横坐标为：或． 【变式训练1】（24-25九年级下·上海·期中）已知抛物线的图象与x轴交于、（）两点，与轴交于点，是原点． (1)求的取值范围； (2)若，且，求抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，点P、Q分别从A、O出发，以相同的速度分别沿、向B、C运动，连接与交于点M，设，问是否存在的值，使与相似，若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【思路点拨】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、三角函数的定义、相似三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据抛物线与轴交于、两点，则判别式大于0，解此不等式即可求解； （2）由抛物线与一元二次方程的关系以及，可求出的值，进而求出抛物线的解析式； （3）分两种情况：①当时，∽；②当不与平行，时，∽；运用三角函数的定义及相似三角形的对应边成比例可求解． 【规范解答】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴对于方程：， ， ∴； （2）解：由（1）知，，， ∵，，，， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ， ∴或（舍去）， ∴抛物线的解析式为：， （3）解：令，有， ， ， ∴或， ∴，，， ，，， 由题意知：， 当时，∽， 则， 即， ， 整理得：， ∴； 当不与平行，时，∽， 过作的垂线，为垂足， ， ， ∴， ∵， ∴∽， ∴， ， ∴， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，或时，与相似． 【变式训练2】（2025·浙江·模拟预测）如图1，是的直径，以为边在内作等腰三角形，且，过点D作的垂线，交于C，E两点，连结，，． (1)①求证：； ②若，，，求的长． (2)当时，求的值． (3)如图2，连结，设，，求y关于x的函数表达式． 【答案】(1)①见解析；②8； (2)； (3) 【思路点拨】（1）①可得，，从而； ②根据得出，从而，进而得出结果； （2）连接，根据，得出，可证得，从而得出，即，根据得出，设，，则，，从而得出，进一步得出结果； （3）作于G，连接，可证得，从而，从而得出，根据定义得出，从而得出，从而得出结果． 【规范解答】（1）①证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：由①知， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图1， 连接， 由①知， ， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，，则，， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴； （3）解：如图2， 作于G，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 1．（2024·江苏淮安·中考真题）如图①为边长为4的正方形七巧板，拼成如图②所示的四边形，连接交于点H，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查正方形相关的图形变换，锐角三角函数， 根据正方形的拼法求出每段的长度，过点作于，设长为,根据三角函数表示出，，求解． 【规范解答】解：如图，过点作于，令、交于点， 由图①为边长为4的正方形七巧板可知, ，， 为等腰直角三角形， ，， 设，则，， ， ， ， ． 故答案为：． 2.（2024·江苏无锡·中考真题）如图，某房屋建筑的棚顶为圆弧形，若该圆弧形棚顶在地面的跨度长为米，该圆弧的半径长为12米，则该屋顶弧的弧长为 米．（结果保留） 【答案】 【思路点拨】本题考查垂径定理，弧长的计算等知识，过点O作于点C，解直角三角形求出，则，根据弧长公式求解即可． 【规范解答】解：过点O作于点C，交于点D， ∵， ∴米， 在中，， ∴， ∴， ∴该屋顶弧的弧长为（米）， 故答案为：． 3．（2024·江苏南京·中考真题）如图，等边三角形的边长为6，点D在上，，于点E，点F为的中点， 点M为边的三等分点，连接，则的长为 ． 【答案】3或 【思路点拨】连接，证明是等边三角形，利用三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理，三角函数的应用，勾股定理，解答即可． 【规范解答】解：设是边的三等分点，连接， ∵等边三角形的边长为6，点D在上，，于点E，点F为的中点， 点M为边的三等分点， ∴，，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 取的中点P，则， 连接， 则是的中位线，， ∴，， 延长交于点， ∴， ∴ ∴， ∴点N是的一个三等分点， ∴点M与点N重合， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 综上所述，的长为3或， 故答案为：3或． 4．（2024·江苏镇江·中考真题）已知，则（　　） A． B． C．或 D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查同角三角函数的关系，理解锐角三角函数的意义是解决问题的关键． 设直角三角形中，锐角所对的边为a，邻边为b，斜边为c，则， ， ，由，得到，设，则，由勾股定理得，可得，或，，由得到，，根据正切的定义即可求解． 【规范解答】解：设直角三角形中，锐角所对的边为a，邻边为b，斜边为c， 则， ， ， ∵，即， ∴， 设，则， 由勾股定理可得，， ∴， ∴，或，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 5．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，对折边长为4的正方形纸片，为折痕，以点O为圆心，为半径作弧，分别交，于E，F两点，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是正方形的性质，求解扇形面积，锐角三角函数的应用，过点E作的垂线，垂足为N，证明，由，可得，可得，再进一步求解即可. 【规范解答】解：过点E作的垂线，垂足为N， ，， ， 由折叠可知，， ． 在中，， ， ， ， 正方形的边长为4， 正方形的面积为16，扇形的面积为：， 阴影部分的面积为：． 故答案为：D． 基础夯实 1．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）在，已知、都是锐角，，那么是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【思路点拨】本题考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，由题意得：，进而得，推出、即可求解； 【规范解答】解：由题意得：， ∴； ∴、； ∴； ∴是直角三角形； 故选：B 2．（24-25九年级下·甘肃临夏·月考）若，则锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】此题主要考查了特殊角的三角函数值．直接利用特殊角的三角函数值得出即可． 【规范解答】解：∵，， ∴． 故选：A 3．（24-25九年级下·福建莆田·阶段练习）若中，所对的边是c，所对的边是b，满足，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【思路点拨】本题考查了等边三角形的判定，非负数的性质，特殊角的三角函数值，先根据非负数的性质得，且，进而得，且，，据此可得出的形状． 【规范解答】解：∵，，， ∴，且， ∴，且， ∴， ∴是等边三角形， 故选：C． 4．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）在中，，，，则的度数为 ． 【答案】/45度 【思路点拨】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，根据题意可得，则． 【规范解答】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）在中，已知．则 ． 【答案】/45度 【思路点拨】本题考查的是已知锐角的正弦求解锐角的大小，先求解，再进一步可得答案． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）若，则锐角的度数是 ． 【答案】/70度 【思路点拨】本题考查特殊角的三角函数值．根据特殊角三角函数值，可得的度数，进一步计算可得答案． 【规范解答】解：由，得 ， 解得， 故答案为：． 7．（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，，点D在边上，且，点E在边上，直线把分成两部分，若与相似，则 ． 【答案】或 【思路点拨】本题主要考查了相似三角形的性质、三角函数等知识点，掌握分类讨论数学是解题的关键． 先根据三角形函数求得，即；根据点E在上情况分别根据相似三角形的性质求解即可． 【规范解答】解：∵在中，，，， ∴， ∴，即， ∴， 如图：当点E在上，且时，，则； 如图：当点E在上，且时，即，， ∵ ∴ ， ∵， ∴，即点E与点C重合， 故为或， 故答案为：或. 8．（24-25九年级下·安徽阜阳·期末）如图，是的弦，过圆心作于点，延长交于点，与过点的的切线交于点，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，，求线段的长及阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)，阴影部分的面积为 【思路点拨】本题考查圆的综合运用，涉及垂径定理，切线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，圆中阴影面积的计算，特殊角的三角函数值，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． （1）连接，，利用得出垂直平分，得出，证明，结合切线的性质得出即可证明； （2）设的半径为，则，，在中，利用列式求出，利用， 求出，则，即可求出和，则可求出，求出，利用即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，连接，， 为的切线， ， ． ， ， 即垂直平分， ． 在和中， ， ， ， ． 又是的半径， 是的切线； （2）解：设的半径为，则，， 由（1）可知． ， ， 解得：， ， ， ， ， ，， ． ， ， ． 9．（24-25九年级下·云南昆明·期中）如图，在四边形中，，，平分交于点，连接，，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角函数，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握这些判定与性质是解题的关键． （1）利用平行得出，，再利用得出的度数，再利用平行结合角平分线得出，即可证明； （2）先利用等边三角形和证明四边形是菱形，再利用三角函数求出，即可求出四边形的周长． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴, 又∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 10．（23-24九年级下·全国·课后作业）根据下列条件用计算器求锐角的度数（精确到）： (1)，求的度数； (2)，求的度数； (3)，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】此题主要考查了利用计算器根据已知的三角函数值求角度，熟练掌握计算器的操作方法是解决问题的关键． （1）先按“”键，接着按“”键，再输入“0.675”，然后按“”得出答案即可； （2）先按“”键，接着按“”键，再输入“0.0789”，然后按“” 得出答案即可； （3）先按“”键，接着按“”键，再输入“35.6”，然后按“” 得出答案即可； 【规范解答】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， ∴． 培优拔高 11．（2025·天津·二模）如图，在中，以O为圆心，为半径的切于点B，F是圆上一动点，作直线交于另一点E，当时，的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】如图，当在的上方，连接，，，过O作于H，根据全等三角形的判定定理得到，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，求得，当在的下方时，同理可得，于是得到结论． 【规范解答】解：如图，当在的上方，连接，，，过O作于H， ∵，， ∴， ∴， ∵为半径的圆切于点B， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当在的下方时，同理可得， 综上所述，的度数为， 故选：B． 12．（2024九年级下·安徽宣城·竞赛）如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为F，连接，下列四个结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】由题意易得，即可排除A选项；由，推出，推出，由，推出，即；需证明垂直平分，即可证明；设，则，由，有，即，然后问题可求解． 【规范解答】解：如图，过D作交于N， ∵四边形是矩形， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ， ，， ， 垂直平分， ， 设，则， 同理可得， ∴， ∴，即， ∴； 综上所述：只有B选项错误． 故选：B． 13．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知，，，则（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【思路点拨】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理，直角三角形，如图①，过O作于H，由等腰三角形的性质推出，，由，求出，得到，由勾股定理的逆定理得到，求出，由等腰三角形的性质即可求出；如图②，求出，由等腰三角形的性质即可求出，于是得到答案． 【规范解答】解：如图①，过O作于H， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； 如图②， 由图①知，， ， ， ， 综上所述，或． 故选：D． 14．（25-26九年级下·山东聊城·阶段练习）若，则是 三角形． 【答案】直角 【思路点拨】本题主要考查了非负数的性质和特殊角的三角函数值，关键是掌握角的各种三角函数值． 直接绝对值的性质以及偶次方的性质得出，，再利用特殊角的三角函数值求出答案． 【规范解答】∵， ∴，， 即，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角． 15．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在菱形中，，．折叠该菱形，使点落在边上的点处，折痕分别与边，交于点，．当点与点重合时，的长为 ；当点的位置变化时，长的最大值为 ．    【答案】 / 【思路点拨】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形等知识点；①当点与点重合时，由折叠的性质知垂直平分，推出，求得；②连接，可知当长取得最小值时，长取得最大值；由折叠的性质知垂直平分，则，推出时，长取得最小值，此时长取得最大值；过点D作于点C，则四边形为矩形，推出，即可求解； 【规范解答】解：当点与点重合时，由折叠的性质知垂直平分， ∴； ； 连接，如图所示：    当长取得最小值时，长取得最大值； 由折叠的性质知垂直平分，则， ∴时，长取得最小值，此时长取得最大值， 过点D作于点G，则四边形为矩形， ∴， 在直角三角形中，， ∴， ∴长的最大值为； 故答案为：①② 16．（2025·安徽·模拟预测）如图，在扇形中，，C为中点，过C作交于点D．则阴影部分面积为           【答案】 【思路点拨】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，不规则图形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，设交于点E，证明是等腰直角三角形，利用锐角三角函数可得，再由阴影部分面积，即可求解． 【规范解答】解：如图，连接，设交于点E， ∵，C为中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 在中，， ∴， ∴阴影部分面积 ． 故答案为：． 17．（2023·广东茂名·模拟预测）如图，在矩形中，，，是上一点，且，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了矩形的性质和判定，直角三角形的性质，锐角三角函数等，过作于，取的中点，连接，可得四边形是矩形，即得，又由直角三角形的性质可得，即得，由锐角三角函数得到，即得到，最后根据三角形的外角性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】解：如图，过作于，取的中点，连接，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，是中点， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 18．（2025·江苏镇江·一模）如图①，已知点A，B，C，D在二次函数的图像上，且，分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足为F，G，E，H．    (1)若轴，则与的数量关系为 ，连接，直线与直线交于点K，点K的横坐标为 （用含a，b的代数式表示）． (2)若与x轴不平行，试判断与的数量关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图②，已知，抛物线的对称轴为直线，且与x轴存在唯一交点，点A在y轴上，且，直线与直线交于点K，且点K恰好落在抛物线的对称轴上． ① 补全图形，求二次函数的解析式； ②交对称轴于点M，若P，Q分别是线段上的点，求四边形周长的最小值． 【答案】(1)， (2)不发生变化；理由见解析 (3)①，图见解析；② 【思路点拨】（1）设，，，，根据轴易得点A与B，C与D关于该抛物线的对称轴对称，进而可知，即；由轴对称的性质可知直线与直线的交点K在该抛物线的对称轴上，即可确定点K的横坐标； （2）过点A，C分别作的垂线，垂足为S，T，设，，，，结合，易得，利用三角函数证明，进而可知，即； （3）①根据题意补画图形，进而确定，即可确定该函数解析式；②由①图，轴，易得，，，作点A关于的对称点，作点M关于的对称点，连接，则即为四边形周长的最小值，然后求解即可． 【规范解答】（1）解：如下图，    设，，，， ∵轴， ∴点A与B，C与D关于该抛物线的对称轴对称， ∴， ∴，即； ∵点A与B，C与D关于该抛物线的对称轴对称， ∴直线与直线的交点K在该抛物线的对称轴上， ∴点K的横坐标为． 故答案为：，； （2）不发生变化，证明如下： 如下图，过点A，C分别作的垂线，垂足为S，T，    设，，，， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，即； （3）①如下图，    由，解得， ∴； ②由①图，轴， ∴， ∵， ∴，， 作点A关于的对称点，作点M关于的对称点，连接，    则即为四边形周长的最小值， ∵， ∴， ∴四边形周长的最小值为． 19．（2024·安徽·模拟预测）抛物线与x轴交于点与点，与y轴交于点C，连接，抛物线的对称轴直线与交于点D． (1)求a，b的值； (2)点P为直线下方的抛物线上的一点，连接，求四边形的面积的最大值； (3)抛物线上是否存在一点Q，使？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【思路点拨】（1）将点与点代入即可求解； （2）求出直线的解析式，设点，则 ，根据、即可建立函数关系式求解； （3）作轴，设点，可求出；当时，，推出；分类讨论当点在轴上方时和当点在轴下方时两种情况即可求解； 【规范解答】（1）解：将点与点代入得： ， 解得：， （2）解：作轴交于点，如图所示： 由（1）可知：,； 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：； 当时，； ∴； ∴； 设点，则 ∴， ∵， ∴当，有最大值，且最大值为； （3）解：作轴，如图所示： 设点， 则； ∵， ∴； ∴当时，； 由可得， ∴当点在轴上方时，， 解得：（舍去）； 当点在轴下方时，， 解得：（舍去）； ∴点的坐标为或； 20．（2025·云南·模拟预测）如图所示，是的直径，四边形是的内接四边形，延长至点，连接，使得 作 垂足为点F， ， ． (1)作 交 于点G，求的长． (2)求证：是的切线． (3)①求 的长度． ②设三角形的面积为 ，三角形  的面积为 ，是否存在常数，使 成立?若存在，求常数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)作图见解析， (2)见解析 (3)①；②常数，使 成立 【思路点拨】本题考查了垂径定理、圆周角定理、切线的判定、相似三角形的性质和判定、三角函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接，根据垂径定理和勾股定理即可解题； （2）连接，证明，结合等腰三角形的性质和三角形内角和即可证明； （3）①连接，求出，结合三角函数求解；②直接计算，然后求出和的相似比，进而得到面积比，计算出，即可解题． 【规范解答】（1）解：如图，连接， ∵， ∴为的中点， ∵是直径， ∴是中点，且， ∴为的中位线， ∴； ∵， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵ ， ∴， ∵， ∴∽， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 即，， ∵为半径， ∴是的切线； （3）解：①如图，连接， 由（1）知，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ， ∴， ∴； ∵， ∴和的相似比为， ∴和的面积比为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即存在常数，使成立． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.4 由三角函数值求锐角 （知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 1 优选题型 考点讲练 2 题型1：根据特殊角三角函数值求角的度数 2 题型2：给出三角函数值，用计算器求锐角度数 3 题型3：已知角度比较三角函数值的大小 4 题型4：根据三角函数值判断锐角的取值范围 4 题型5：利用同角三角函数关系求值 5 题型6：求证同角三角函数关系式 6 题型7：互余两角三角函数的关系 7 题型8：三角函数综合 7 中考真题 实战演练 9 难度分层 拔尖冲刺 10 基础夯实 10 培优拔高 12 计算器—三角函数 （1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数． （2）求锐角三角函数值的方法： 如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“＝”即可得到结果． 注意：不同型号的计算器使用方法不同． （3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是： 如已知sinα＝0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“＝”即可得到结果． 注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键． 题型1：根据特殊角三角函数值求角的度数 【典例精讲】（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，过点作交轴于点；过点作交轴于点；过点作交轴于点；，依次进行下去，则点的坐标为 ． 【变式训练1】（2024·湖南·模拟预测）如图，以的三边为边分别作为等边、等边和等边，连接和． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，，求四边形的面积． 【变式训练2】（2024·江西·模拟预测）如图1，点P以每秒1个单位长度的速度从的顶点B处出发，沿着方向运动到点C处停止，连接．设点P的运动时间为，的面积为S，若S是t的一次函数，其图象如图2所示． (1)根据图2，可推出 ，的面积为 ． (2)若，求的度数． 题型2：给出三角函数值，用计算器求锐角度数 【典例精讲】（24-25九年级下·山东淄博·期中）为了方便行人推车过某天桥，市政府在高的天桥一侧修建了长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（23-24九年级下·山东淄博·期中）如图，在中，，，，用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（　　）    A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25九年级下·全国·课后作业）已知，求锐角的度数． 题型3：已知角度比较三角函数值的大小 【典例精讲】（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）若，，，则由小到大的顺序为 ． 【变式训练1】（2025·广东·三模）已知为锐角，当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2024·广东茂名·一模）物理中，我们学习过“杠杆原理”，即阻力×阻力臂＝动力×动力臂．如图，小伟用撬棍撬动某个物体，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力越来越 （填“大”或“小”）． 题型4：根据三角函数值判断锐角的取值范围 【典例精讲】（24-25九年级下·安徽亳州·期末）若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25九年级下·上海·阶段练习）是锐角三角形的一个内角，已知关于的函数图像与轴没有交点，则的取值范围是 ． 【变式训练2】（24-25九年级下·江苏常州·期中）如图，平面直角坐标系中，点A，点B在x轴上，点C，点D在y轴上，且，，E、F分别是和的中点，当最大时，的长为 ． 题型5：利用同角三角函数关系求值 【典例精讲】（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图，是的直径，连接并延长至点，使得，连接交于点． (1)证明：； (2)用无刻度的直尺和圆规作出所对弧的中点；（不写作法，保留作图痕迹） (3)在（2）基础上连接，交于点，连接，若，，求的值． 【变式训练1】（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图，在中，，，，点从点出发，以个单位长度每秒的速度沿射线运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，点的运动时间为 s． 【变式训练2】（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）已知，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线上方抛物线上一点，满足，求点的坐标； (3)已知点，，若抛物线与线段有公共点，结合函数图象，求出的取值范围． 题型6：求证同角三角函数关系式 【典例精讲】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【变式训练1】（24-25九年级下·河南周口·月考）如图，在中，． (1)求证：． (2)若，求的值． 【变式训练2】（2025·广东佛山·一模）（1）解方程：； （2）已知是锐角，求证：． 题型7：互余两角三角函数的关系 【典例精讲】（2025九年级下·云南楚雄·学业考试）在中，，，则 ． 【变式训练1】（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）在中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）比较大小： ． 题型8：三角函数综合 【典例精讲】（2025·山东烟台·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交于点，，交轴正半轴于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，点为直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴于点，求 的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，点是线段的中点，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点，使得，请写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个的求解过程． 【变式训练1】（24-25九年级下·上海·期中）已知抛物线的图象与x轴交于、（）两点，与轴交于点，是原点． (1)求的取值范围； (2)若，且，求抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，点P、Q分别从A、O出发，以相同的速度分别沿、向B、C运动，连接与交于点M，设，问是否存在的值，使与相似，若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由． 【变式训练2】（2025·浙江·模拟预测）如图1，是的直径，以为边在内作等腰三角形，且，过点D作的垂线，交于C，E两点，连结，，． (1)①求证：； ②若，，，求的长． (2)当时，求的值． (3)如图2，连结，设，，求y关于x的函数表达式． 1．（2024·江苏淮安·中考真题）如图①为边长为4的正方形七巧板，拼成如图②所示的四边形，连接交于点H，则 ． 2.（2024·江苏无锡·中考真题）如图，某房屋建筑的棚顶为圆弧形，若该圆弧形棚顶在地面的跨度长为米，该圆弧的半径长为12米，则该屋顶弧的弧长为 米．（结果保留） 3．（2024·江苏南京·中考真题）如图，等边三角形的边长为6，点D在上，，于点E，点F为的中点， 点M为边的三等分点，连接，则的长为 ． 4．（2024·江苏镇江·中考真题）已知，则（　　） A． B． C．或 D． 5．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，对折边长为4的正方形纸片，为折痕，以点O为圆心，为半径作弧，分别交，于E，F两点，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 基础夯实 1．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）在，已知、都是锐角，，那么是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 2．（24-25九年级下·甘肃临夏·月考）若，则锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·福建莆田·阶段练习）若中，所对的边是c，所对的边是b，满足，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 4．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）在中，，，，则的度数为 ． 5．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）在中，已知．则 ． 6．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）若，则锐角的度数是 ． 7．（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，，点D在边上，且，点E在边上，直线把分成两部分，若与相似，则 ． 8．（24-25九年级下·安徽阜阳·期末）如图，是的弦，过圆心作于点，延长交于点，与过点的的切线交于点，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，，求线段的长及阴影部分的面积． 9．（24-25九年级下·云南昆明·期中）如图，在四边形中，，，平分交于点，连接，，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求四边形的周长． 10．（23-24九年级下·全国·课后作业）根据下列条件用计算器求锐角的度数（精确到）： (1)，求的度数； (2)，求的度数； (3)，求的度数． 培优拔高 11．（2025·天津·二模）如图，在中，以O为圆心，为半径的切于点B，F是圆上一动点，作直线交于另一点E，当时，的度数是（　　） A． B． C． D． 12．（2024九年级下·安徽宣城·竞赛）如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为F，连接，下列四个结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知，，，则（ ） A． B． C．或 D．或 14．（25-26九年级下·山东聊城·阶段练习）若，则是 三角形． 15．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在菱形中，，．折叠该菱形，使点落在边上的点处，折痕分别与边，交于点，．当点与点重合时，的长为 ；当点的位置变化时，长的最大值为 ．    16．（2025·安徽·模拟预测）如图，在扇形中，，C为中点，过C作交于点D．则阴影部分面积为           17．（2023·广东茂名·模拟预测）如图，在矩形中，，，是上一点，且，则 ． 18．（2025·江苏镇江·一模）如图①，已知点A，B，C，D在二次函数的图像上，且，分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足为F，G，E，H．    (1)若轴，则与的数量关系为 ，连接，直线与直线交于点K，点K的横坐标为 （用含a，b的代数式表示）． (2)若与x轴不平行，试判断与的数量关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图②，已知，抛物线的对称轴为直线，且与x轴存在唯一交点，点A在y轴上，且，直线与直线交于点K，且点K恰好落在抛物线的对称轴上． ① 补全图形，求二次函数的解析式； ②交对称轴于点M，若P，Q分别是线段上的点，求四边形周长的最小值． 19．（2024·安徽·模拟预测）抛物线与x轴交于点与点，与y轴交于点C，连接，抛物线的对称轴直线与交于点D． (1)求a，b的值； (2)点P为直线下方的抛物线上的一点，连接，求四边形的面积的最大值； (3)抛物线上是否存在一点Q，使？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 20．（2025·云南·模拟预测）如图所示，是的直径，四边形是的内接四边形，延长至点，连接，使得 作 垂足为点F， ， ． (1)作 交 于点G，求的长． (2)求证：是的切线． (3)①求 的长度． ②设三角形的面积为 ，三角形  的面积为 ，是否存在常数，使 成立?若存在，求常数的值；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $