专题7.3 特殊角的三角函数（知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题）-2025-2026学年苏科版数学九年级下册同步培优精编讲练

专题7.3 特殊角的三角函数 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 1 优选题型 考点讲练 2 题型1：特殊三角形的三角函数 2 题型2：特殊角三角函数值的混合运算 3 题型3：由特殊角的三角函数值判断三角形形状 5 题型4：用计算器求锐角三角函数值 7 中考真题 实战演练 9 难度分层 拔尖冲刺 14 基础夯实 14 培优拔高 17 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角α 30° 45° 1 60° 【易错点拨】 (1) 通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角． (2)仔细研究表中数值的规律会发现： ①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)； ②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)． 题型1：特殊三角形的三角函数 【典例精讲】（2025·上海黄浦·一模）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合计算，牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．先用特殊角的三角函数值化简，然后再进行计算即可． 【规范解答】解： ． 【变式训练1】（2025·湖南·三模）计算：． 【答案】2 【思路点拨】本题考查了实数混合运算，涉及二次根式的性质、绝对值、特殊角三角函数、零指数幂等知识，掌握这些知识是关键；依次化简算术平方根，计算绝对值、特殊角三角函数、零指数幂，再相加减即可． 【规范解答】解：原式 ． 【变式训练2】（2024·湖北·模拟预测）如图，是的外接圆，的平分线交于点，连接，，若，则（　　） A． B．1 C． D． 【答案】A 【思路点拨】此题考查了圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，特殊角的三角函数值等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据圆内接四边形对角互补求出，然后由角平分线求出，得到，然后根据特殊角的三角函数值求解即可． 【规范解答】四边形是的内接四边形，， ， 平分， ， ， ， ． 故选：A． 题型2：特殊角三角函数值的混合运算 【典例精讲】（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）5；（2），当时，原式= 【思路点拨】此题主要考查了实数的混合运算以及分式的化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．也考查了特殊角的三角函数值． （1）直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、乘方分别化简，再加减得出答案； （2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可． 【规范解答】（1）原式； （2）原式 ， ∵， ∴或（舍去，此时分母为0）， 当时，原式． 【变式训练1】（23-24九年级下·上海·阶段练习）计算： 【答案】 【思路点拨】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，解题的关键是熟练记忆特殊角的三角函数值． 分别计算立方根，绝对值，特殊角的三角函数值，再进行加减计算． 【规范解答】解： 【变式训练2】（23-24九年级下·福建福州·阶段练习）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题考查实数的运算，包括零指数幂、绝对值、负整数指数幂和特殊角的三角函数值等知识点，解题时需分别计算各部分，再合并化简． 【规范解答】解： ． 题型3：由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【典例精讲】（22-23九年级下·全国·期中）若，则（　　） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 【答案】A 【思路点拨】由已知可得，，从而可得，进而可得的形状． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 故选：A． 【变式训练1】（2025·北京西城·一模）如图，是的直径，点C在上，连接，作直线，交直线于点E，交的角平分线于点D，连接． (1)求证：是的切线； (2)连接交于点F．若，，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)． 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、圆的切线的判定、相似三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）由角平分线的定义以及已知条件可证明可得，进而得到即可证明结论； （2）如图：连接．易证可得、，进而得到，易证可得，则、、，根据特殊角的三角函数值可得，则，进而得到，然后求得即可解答． 【规范解答】（1）证明：∵平分， ． ， ． ． ，垂足是C， ． ． ∴半径． ∴是的切线． （2）解：如图：连接． ． ， ． ． ，， ， ． ． ， ． ， ． ． ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，即的半径为． 【变式训练2】（2025九年级下·全国·专题练习）在中，满足：，则的形状为 ． 【答案】等边三角形 【思路点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的分类，先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数，最后根据三个内角的关系判断出其形状． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 题型4：用计算器求锐角三角函数值 【典例精讲】（2025·山东淄博·一模）如图，中，，，，若用科学计算器求的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了计算器的使用，勾股定理，熟练掌握计算器已知角的三角函数值求角的大小是解题的关键． 根据勾股定理求出，得到，再用计算器的功能和功能求解即可． 【规范解答】解： ，，， ， ， 用科学计算器求的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则按键顺序为， 故选：D． 【变式训练1】（2025九年级下·全国·专题练习）用计算器求下列各值精确到： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查利用计算器求正切值，直接利用计算器进行计算即可． 【规范解答】（1） 解：依次按键：， 显示结果为0.5317094317，得； （2） 依次按键：， 显示结果为0.790697482，得． 【变式训练2】（2024九年级下·全国·专题练习）已知，运用科学计算器求锐角A时，若要显示以“度”、“分”、“秒”为单位的结果，按下的键是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了用计算器求三角函数，解题的关键是熟练利用计算器．根据用计算器求锐角的方法和步骤，即可得出结论． 【规范解答】解：科学计算器求锐角A时，若要显示以“度”“分”“秒”为单位的结果，按下的键是“”． 故选：C． 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，已知，顶点在双曲线上，点的坐标为，延长至，使，过点作交双曲线于点，过点作轴于点，且，过点作交双曲线于点，过点作轴于点，且，…，以此类推，则点的坐标为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形．由结合函数解析式求出点的坐标，得到的坐标，再利用，得出，进而得到，以此类推，找出规律得到的坐标． 【规范解答】解：记与x轴的交点分别为点M、点N， 在中，， ∴， ∴可设点， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴（负值舍去）， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴点， ∴， 解得： ， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴点， ∴， 解得：， ∴， 由此可得：． 故答案为：． 2．（2024·江苏盐城·中考真题）已知如图，将圆的一部分沿着弦折叠，使圆上一点折叠后，恰好落在圆心上，切于点，直线交切线于D，交于另一点，已知圆的半径是2，那么如图所示阴影部分的面积是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了扇形面积、勾股定理，特殊角的三角函数等，设与的交点是F．求出，，则可求，求出图中①②③三部分面积，可求，从而得到答案． 【规范解答】解：设与的交点是F， 由题可知，，，， 在中，， ∴，， ∴， ∵是圆的切线， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． ， 易知①②③三部分面积相等，为， ∴， ∴阴影部分总面积为． 故答案为：． 3．（2024·江苏连云港·中考真题）若中，所对的边是，所对的边是，满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【答案】C 【思路点拨】本题考查了偶次方、绝对值、三角函数、等边三角形的判定等知识点，熟记等边三角形的判定是解此题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴且， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形． 故选：C． 4．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，切于点，，，弦，则劣弧的弧长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的性质以及弧长公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 连接、，根据切线的性质，特殊角的三角函数值，可求得是等腰直角三角形，又由弦，可得是等腰直角三角形，然后由弧长公式求解． 【规范解答】解：连接、， ∵切于点， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴， ∵弦， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴劣弧的弧长为：． 故选：C． 5．（2024·江苏泰州·中考真题）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了特殊角的三角函数值、二次根式的混合运算、零指数幂的运算，根据零指数幂的定义可知，根据特殊角的三角函数值可得：，根据绝对值的定义可知，把算式转化为：原式，再根据运算法则进行计算． 【规范解答】解： ． 基础夯实 1．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了特殊三角形的三角函数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据特殊三角形的三角函数求解． 【规范解答】解：， 故选：C． 2．（2025·上海·二模）下列各数中，有理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题主要考查有理数的判断，解题的关键是熟知无理数与有理数的区别．根据无理数的定义：实数中不能表示为整数或分数的数；有理数的定义：能够表示为两个整数比的数（，a、b为整数，），即整数和分子分母都是整数的分数（分母不为零），整数可以看作是分母是1的分数即可判断． 【规范解答】解：A、是无理数，不符合题意； B、中是无理数，减去1仍是无理数，不符合题意； C、是分数是有理数，符合题意； D、是无理数，不符合题意； 故选C． 3．（2025·天津·二模）计算：（　　） A． B．1 C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题主要考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，正确记忆相关数据是解题关键． 直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案． 【规范解答】解：依题意，， ∴． 故选：C． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）计算： ． 【答案】1 【思路点拨】本题主要考查特殊角的三角函数值、零次幂及二次根式，熟悉相关运算是解题的关键． 根据代入计算即可． 【规范解答】解：原式． 故答案为：1． 5．（2024·湖北·一模）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题的关键． 根据绝对值化简，特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，然后根据实数的运算，即可得答案． 【规范解答】原式， 故答案为：． 6．（2024·湖北·一模）计算： ． 【答案】0 【思路点拨】本题考查绝对值的化简，锐角三角函数，实数的混合运算． 根据负数的绝对值等于它的相反数，非零数的零次幂等于1，代入特殊角的三角函数值，计算即可． 【规范解答】解：， ， ． 故答案为：0． 7．（2025·山东青岛·模拟预测）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了负整数指数幂，二次根式，三角函数，零指数幂． 先计算负整数指数幂，二次根式，三角函数，零指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可． 【规范解答】 ， 故答案为：． 8．（2025·江西吉安·二模）解答题： (1)计算：； (2)化简：． 【答案】(1)； (2) 【思路点拨】本题考查了实数的混合运算、整式的乘法，关键是熟练应用运算法则； （1）先算乘方及特殊角的三角函数，最后算加减； （2）先算整式的乘法，再合并同类项化简. 【规范解答】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， . 9．（2025·甘肃武威·模拟预测）计算：． 【答案】2 【思路点拨】本题考查的是实数的运算，考查了锐角三角函数，算术平方根，零次幂，乘方的符号的确定，掌握以上知识是解题的关键．直接利用算术平方根的含义以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质，乘方的意义分别化简得出答案． 【规范解答】解： ． 10．（2025·湖北·模拟预测）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题考查实数的混合运算，先计算负指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂和绝对值的化简，再进行加减计算． 【规范解答】解： ． 培优拔高 11．（2025·青海西宁·中考真题）如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线交直线l于点O，连接，，，．根据以上作图过程，有以下结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③平分；④四边形是菱形；⑤．其中正确结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【思路点拨】本题考查尺规作图，垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，特殊角的三角函数值，掌握尺规作图是解题的关键． 由作图可得，，根据垂直平分线的判定即可判断结论②；根据等腰三角形的三线合一即可判断结论③；由作图可得，得到，根据特殊角的三角函数值即可判断结论⑤，由已知条件无法得到是等边三角形，四边形是菱形，即可判断①④错误． 【规范解答】解：由作图可得，， ∴垂直平分，故②正确． ∵，， ∴平分，故③正确． 由作图可得， ∴， ∴，故⑤正确． ∵，但无法判断， ∴无法得到是等边三角形，故①错误． ∵，，但无法得到， ∴无法证明四边形是菱形，故④错误． 综上所述，正确的结论是②③⑤，共3个． 故选：B 12．（2023·广东茂名·三模）如图，已知的弦，为上一动点（点与点、不重合），连接并延长交于点，交于点，为上一点，当时，则的最大值为（ ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】C 【思路点拨】延长交于，连接．设．构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可． 【规范解答】解：连接，延长交于，连接．设． ， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 时，的最大值为8， 故选：C． 13．（2025·广东佛山·模拟预测）已知，如图，在矩形的对角线在轴上，，矩形的面积为，若反比例函数的图象恰好经过点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了反比例函数值的几何意义、矩形性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键．根据矩形性质得到，根据条件证明 ，利用相似三角形性质得到，继而求出值即可． 【规范解答】解：如图，作轴，垂足为， 矩形的对角线在轴上，，矩形的面积为， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 14．（2025·浙江丽水·二模）如图，以菱形的顶点O为原点，边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，，，过C点的反比例函数部分图像交于点D，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例函数的图像和性质，菱形的性质，三角函数，解一元二次方程． 作轴交轴于，作轴交轴于，根据菱形的性质得到，，根据三角函数求出，，即，代入可求出，设，根据三角函数可知，，则，可得，求出，即可求出的值． 【规范解答】解：如图，作轴交轴于，作轴交轴于， ∵菱形，， ∴，， ∵， ∴，， 即， ∵过C点的反比例函数部分图像交于点D， ∴， 即， ∵，， ∴， 设，则，， ∴， 即， ∵过C点的反比例函数部分图像交于点D， ∴， 整理得： 解得，（舍去） ∴． 故答案为：． 15．（2025·山东滨州·中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，根据垂径定理，圆周角定理推出，再根据特殊角的三角函数值即可得出结果． 【规范解答】解：连接， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 16．（24-25九年级下·上海·自主招生）如图所示，半径为的圆内切于正，为边上一点，为边上一点，且直线与圆相切于点，的内切圆与相切于点．若圆的半径为，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】先根据切线的性质得，，，，，，，，根据题意得平分，同理得平分，再结合等边三角形的性质得，运用三角函数得，则，即①，同理得②，得：，结合矩形的判定与性质得，，再分别表示，即可作答． 【规范解答】解：如图1，设分别与相切于点、、，分别与相切于、，连接． 则，，，，，，，， ， 平分， 同理，平分， 、、三点共线， 是等边三角形， ， ， ，， ， ①， 在中，，， ，， ， ②， 得：， 如图2，过点作，交的延长线于， 则， 四边形是矩形， ，， ，， 在中，， ， ． 故答案为：． 17．（2024·安徽·二模）如图，点D是等边边上一点，将等边折叠，使点C与点D重合，折痕为（点E，F分别在边，上）． （1）当时， ； （2）连接，当时， ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了折叠的性质，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质； （1）根据折叠的性质求出，，然后利用三角函数的定义解答即可； （2）根据可得，然后证明，根据相似三角形的性质可得答案． 【规范解答】解：（1）∵是等边三角形， ∴由折叠得，，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵在等边三角形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 18．（2025·甘肃武威·模拟预测）先化简，再求值：  其中 【答案】， 【思路点拨】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用零指数幂、平方差公式以及特殊角的三角函数值求出x的值，代入化简后的式子计算求解，即可解题． 【规范解答】解：原式 ， 又 ， 将代入式子得：上式． 19．（2025·甘肃武威·模拟预测）计算： 【答案】 【思路点拨】本题考查了绝对值，特殊锐角三角函数值，零指数幂，负指数幂，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． 根据绝对值，特殊锐角三角函数值，零指数幂，负指数幂的运算法则化简各项，再计算乘法，最后进行加减运算，即可解题． 【规范解答】解： ． 20．（2025·浙江杭州·模拟预测）化简求值： 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次根式的化简，分母有理化，特殊角三角函数，0指数幂等知识．分别根据二次根式的性质，分母有理化，特殊角三角函数，0指数幂等知识进行化简，再进行计算即可求解． 【规范解答】解： ． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.3 特殊角的三角函数 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 1 优选题型 考点讲练 2 题型1：特殊三角形的三角函数 2 题型2：特殊角三角函数值的混合运算 2 题型3：由特殊角的三角函数值判断三角形形状 3 题型4：用计算器求锐角三角函数值 4 中考真题 实战演练 4 难度分层 拔尖冲刺 5 基础夯实 5 培优拔高 6 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角α 30° 45° 1 60° 【易错点拨】 (1) 通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角． (2)仔细研究表中数值的规律会发现： ①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)； ②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)． 题型1：特殊三角形的三角函数 【典例精讲】（2025·上海黄浦·一模）计算：． 【变式训练1】（2025·湖南·三模）计算：． 【变式训练2】（2024·湖北·模拟预测）如图，是的外接圆，的平分线交于点，连接，，若，则（　　） A． B．1 C． D． 题型2：特殊角三角函数值的混合运算 【典例精讲】（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【变式训练1】（23-24九年级下·上海·阶段练习）计算： 【变式训练2】（23-24九年级下·福建福州·阶段练习）计算：． 题型3：由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【典例精讲】（22-23九年级下·全国·期中）若，则（　　） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 【变式训练1】（2025·北京西城·一模）如图，是的直径，点C在上，连接，作直线，交直线于点E，交的角平分线于点D，连接． (1)求证：是的切线； (2)连接交于点F．若，，求的半径． 【变式训练2】（2025九年级下·全国·专题练习）在中，满足：，则的形状为 ． 题型4：用计算器求锐角三角函数值 【典例精讲】（2025·山东淄博·一模）如图，中，，，，若用科学计算器求的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2025九年级下·全国·专题练习）用计算器求下列各值精确到： (1)； (2)． 【变式训练2】（2024九年级下·全国·专题练习）已知，运用科学计算器求锐角A时，若要显示以“度”、“分”、“秒”为单位的结果，按下的键是（　　） A． B． C． D． 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，已知，顶点在双曲线上，点的坐标为，延长至，使，过点作交双曲线于点，过点作轴于点，且，过点作交双曲线于点，过点作轴于点，且，…，以此类推，则点的坐标为 ． 2．（2024·江苏盐城·中考真题）已知如图，将圆的一部分沿着弦折叠，使圆上一点折叠后，恰好落在圆心上，切于点，直线交切线于D，交于另一点，已知圆的半径是2，那么如图所示阴影部分的面积是 ． 3．（2024·江苏连云港·中考真题）若中，所对的边是，所对的边是，满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 4．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，切于点，，，弦，则劣弧的弧长为（ ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏泰州·中考真题）计算：． 基础夯实 1．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）的值是（   ） A．1 B． C． D． 2．（2025·上海·二模）下列各数中，有理数是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·二模）计算：（　　） A． B．1 C． D． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）计算： ． 5．（2024·湖北·一模）计算： ． 6．（2024·湖北·一模）计算： ． 7．（2025·山东青岛·模拟预测）计算： ． 8．（2025·江西吉安·二模）解答题： (1)计算：； (2)化简：． 9．（2025·甘肃武威·模拟预测）计算：． 10．（2025·湖北·模拟预测）计算：． 培优拔高 11．（2025·青海西宁·中考真题）如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线交直线l于点O，连接，，，．根据以上作图过程，有以下结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③平分；④四边形是菱形；⑤．其中正确结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 12．（2023·广东茂名·三模）如图，已知的弦，为上一动点（点与点、不重合），连接并延长交于点，交于点，为上一点，当时，则的最大值为（ ） A．4 B．6 C．8 D． 13．（2025·广东佛山·模拟预测）已知，如图，在矩形的对角线在轴上，，矩形的面积为，若反比例函数的图象恰好经过点，则的值为（　　） A． B． C． D． 14．（2025·浙江丽水·二模）如图，以菱形的顶点O为原点，边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，，，过C点的反比例函数部分图像交于点D，则的值为 ． 15．（2025·山东滨州·中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为 ． 16．（24-25九年级下·上海·自主招生）如图所示，半径为的圆内切于正，为边上一点，为边上一点，且直线与圆相切于点，的内切圆与相切于点．若圆的半径为，则的值为 ． 17．（2024·安徽·二模）如图，点D是等边边上一点，将等边折叠，使点C与点D重合，折痕为（点E，F分别在边，上）． （1）当时， ； （2）连接，当时， ． 18．（2025·甘肃武威·模拟预测）先化简，再求值：  其中 19．（2025·甘肃武威·模拟预测）计算： 20．（2025·浙江杭州·模拟预测）化简求值： 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $