专题7.1-7.2 正切、正弦和余弦（知识梳理+9个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题）-2025-2026学年苏科版数学九年级下册同步培优精编讲练

专题7.1-7.2 正切、正弦和余弦 （知识梳理+9个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：正切 1 知识点梳理02：正弦、余弦 2 优选题型 考点讲练 3 题型1：正切的概念辨析 3 题型2：求角的正切值 4 题型3：已知正切值求边长 4 题型4：正弦的概念辨析 5 题型5：求角的正弦值 6 题型6：已知正弦值求边长 7 题型7：求角的余弦值 7 题型8：余弦的概念辨析 8 题型9：已知余弦求边长 8 中考真题 实战演练 9 难度分层 拔尖冲刺 11 基础夯实 11 培优拔高 13 知识点梳理01：正切 1.正切的概念：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边. 我们将∠A的对边BC与邻边AC的比称为∠A的正切，记作tanA，则. 2.tan A是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，tan A表示的是∠A的正切，不是tan与∠A的乘积. 3.若锐角是用一个字母表示的，“∠”符号可以省略不写，若锐角是用三个字母或数字表示的，“∠”不能省略. 4.表示，可以写成，不能写成. 5.锐角的正切的概念是在直角三角形中定义的，正切值表示的是锐角的对边与邻边的比值，它只是一个数值，没有单位，其大小只与角的大小有关，与三角形的大小无关. 知识点梳理02：正弦、余弦 如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定： 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 【易错点拨】 (1) 正弦、余弦、是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关. (2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示∠A是个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”， 但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC. (3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2. (4)三角函数有时还可以表示成等. 题型1：正切的概念辨析 【典例精讲】（2025·河南南阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数图象上的一点，以点为圆心，长为半径作圆，与轴交于点，与轴交于点，连接． (1)求证：为线段的中点． (2)若，求点的坐标， 【变式训练1】（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，是《周髀算经》中的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形都全等，如果大正方形的面积是小正方形面积的5倍，那么的余切值是 ． 【变式训练2】（24-25九年级下·浙江·阶段练习）在直角坐标系中，含的如图放置，，，的中点C在x轴上，第一象限内点A在反比例函数图象上，则过第四象限内点B的反比例函数表达式是 ． 题型2：求角的正切值 【典例精讲】（25-26九年级下·江苏淮安·阶段练习）在中，，如果，那么的值是（   ） A． B．2 C． D． 【变式训练1】（25-26九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，则的值为 ． 【变式训练2】（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为 ． 题型3：已知正切值求边长 【典例精讲】（23-24九年级下·黑龙江大庆·阶段练习）如图，在正方形和中，点在边上，，，若点共线，则__________． 【变式训练1】（2024·湖北·模拟预测）点A在第一象限，轴，垂足为C，，，反比例函数的图象经过的三等分点，则 【变式训练2】（24-25九年级下·江西赣州·阶段练习）已知，在中，以斜边上的高为直径作了一个圆，圆心为点，这个圆交线段于点，点为的中点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 题型4：正弦的概念辨析 【典例精讲】（24-25九年级下·陕西安康·阶段练习）若，，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【变式训练1】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025·安徽六安·模拟预测）如图，如果中是锐角，，．证明：． 题型5：求角的正弦值 【典例精讲】（25-26九年级下·山东东营·阶段练习）如图，在的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则的值是（   ） A． B． C． D．2 【变式训练1】（2024·甘肃嘉峪关·模拟预测）在中，，，，求，的值． 【变式训练2】（25-26九年级下·山东泰安·阶段练习）如图，A，B，C是小正方形的顶点，每个小正方形的边长为1，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型6：已知正弦值求边长 【典例精讲】（2025·广西·模拟预测）如图，在中，，，，F为的中点，E，P分别为，上一动点，则的最小值为 ． 【变式训练1】（22-23九年级下·上海·期中）如图，中，，过点作交于点，在上取一点使，过点作的垂线，与交于点，与的延长线交于点，已知，，则 ． 【变式训练2】（25-26九年级下·山东东营·开学考试）在中，若，则的长为（    ） A． B．2 C．8 D．10 题型7：求角的余弦值 【典例精讲】（2025·浙江丽水·二模）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2024·湖北武汉·模拟预测）经过坐标原点O，分别与x轴、y轴交于点A、点B，点C是位于第一象限部分上的一点，如图，若点A坐标为，点B坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2024·甘肃嘉峪关·模拟预测）已知为锐角，，求、的值． 题型8：余弦的概念辨析 【典例精讲】（24-25九年级下·山东日照·开学考试）在中，，所对的边分别为a、b、c，下列等式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知余弦函数的图象如图所示，当时，在该函数图象上可找到个不同的点使得，则的值不可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式训练2】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）已知在中，，D、E分别在，上，连，交于点F，若，，则的值为 ． 题型9：已知余弦求边长 【典例精讲】（24-25九年级下·甘肃兰州·期末）如图，在中，，则的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 【变式训练1】（2024·重庆·一模）如图，在中，，D是的中点，连接．将沿翻折得到，连接．若于点F，，则的长度为 ． 【变式训练2】（24-25九年级下·云南临沧·阶段练习）如图，在中，，设，，所对的边分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 1．（2024·江苏无锡·中考真题）在中，是锐角，，则 2．（2024·江苏常州·中考真题）在等腰梯形中，，，，P为的中点，则等于 ． 3．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，在中，，、分别是、的中点，若，，则的长为（  ） A． B． C． D． 4．（2024·江镇江·中考真题）如图，直线 与轴、轴分别交于，两点， ． (1)求点坐标和的值； (2)若点，是第一象限内的直线 上的一个动点．当点运动过程中，试写出 的面积与的函数关系式； (3)探索： ①当点A运动到什么位置时， 的面积为，并说明理由； ②在①成立的情况下，轴上是否存在一点，使 是等腰三角形．若存在，请写出满足条件的所有点坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 基础夯实 1．（2023·上海普陀·一模）在中，已知，，，那么的长是（   ） A．6 B．3 C． D． 2．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的余弦值是（    ） A．2 B． C． D． 3．（2025·甘肃陇南·模拟预测）如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，，点是的中点，则的长为 ． 5．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，，则的长为 ． 6．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上，则的值是 ． 7．（24-25九年级下·全国·期末）如图，点A，B，C是正方形网格中的格点，则的值为 ． 8．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，是平行四边形的一条对角线． (1)用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线，交于点，交于点，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，，四边形是什么特殊的四边形？请加以证明； (3)在的条件下，若，，且，则的长为______． 9．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）如图，矩形中，，，求的长． 10．（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，点在直线上，点B在曲线上． (1)求曲线的解析式； (2)连结，若直线和直线平行，求的度数和的正弦值． 培优拔高 11．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在正方形中，E 是边的中点，将沿直线翻折，点A落在点F 处， 连接，那么的正切值是（   ） A．2 B． C． D． 12．（2025·青海西宁·中考真题）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 13．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，分别与的外接圆相切，为切点，若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 14．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，内接于是的直径，若的半径为3，，则 ． 15．（2025·上海·模拟预测）在中，，点D是线段AB上一点，且满足，连接，作的平分线交线段于点E．若，则的余弦值为 ． 16．（2025·江西抚州·二模）如图，将图1的七巧板，拼成图2所示的平行四边形，则的值为 ． 17．（2024·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴和轴的正半轴上，顶点在第一象限，矩形的面积为21，矩形的顶点分别在矩形 的边上，矩形的面积为15，边相交于点，函数 的图象经过点，并交边于点，则 ；若，则点的坐标为 ． 18．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）我们定义：在内有一点，连接，，，在所得的，，中，有且只有两个三角形相似，则称点为的相似心． (1)如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若点为的相似心，则下列结论正确的是_______． A．        B．        C． (2)如图2，在中，，，是内一点，且点是的相似心，． ①求的度数． ②直接写出的值． 19．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，线段的端点在格点上，在图①、图②，图③中，只用无刻度的直尺按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中画，使； (2)在图②中画，使； (3)在图③中画，使． 20．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过点．过点作轴于点．点是直线上一动点，连接交抛物线于点，连接    (1)求抛物线的表达式； (2)当时，求的面积； (3)如图2，以为边向下作等腰直角三角形，，当点运动到某一位置时，连接，使得的周长最小，求此时周长的最小值． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.1-7.2 正切、正弦和余弦 （知识梳理+9个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：正切 1 知识点梳理02：正弦、余弦 2 优选题型 考点讲练 3 题型1：正切的概念辨析 3 题型2：求角的正切值 7 题型3：已知正切值求边长 9 题型4：正弦的概念辨析 13 题型5：求角的正弦值 14 题型6：已知正弦值求边长 16 题型7：求角的余弦值 19 题型8：余弦的概念辨析 20 题型9：已知余弦求边长 24 中考真题 实战演练 27 难度分层 拔尖冲刺 33 基础夯实 33 培优拔高 40 知识点梳理01：正切 1.正切的概念：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边. 我们将∠A的对边BC与邻边AC的比称为∠A的正切，记作tanA，则. 2.tan A是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，tan A表示的是∠A的正切，不是tan与∠A的乘积. 3.若锐角是用一个字母表示的，“∠”符号可以省略不写，若锐角是用三个字母或数字表示的，“∠”不能省略. 4.表示，可以写成，不能写成. 5.锐角的正切的概念是在直角三角形中定义的，正切值表示的是锐角的对边与邻边的比值，它只是一个数值，没有单位，其大小只与角的大小有关，与三角形的大小无关. 知识点梳理02：正弦、余弦 如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定： 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 【易错点拨】 (1) 正弦、余弦、是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关. (2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示∠A是个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”， 但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC. (3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2. (4)三角函数有时还可以表示成等. 题型1：正切的概念辨析 【典例精讲】（2025·河南南阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数图象上的一点，以点为圆心，长为半径作圆，与轴交于点，与轴交于点，连接． (1)求证：为线段的中点． (2)若，求点的坐标， 【答案】(1)见解析 (2)点的坐标为 【思路点拨】（1）证法一：利用直径所对的圆周角等于得出为的直径即可得证； 证法二：由题意得，证明点，，三点共线，即可得证； （2）过点分别作轴交轴于点，作轴交轴于点，由得为的中点，为的中点，由得，设，则，由作辅助线得四边形是矩形，所以点的坐标为，最后将点 的坐标代入反比例函数的解析式中解出的值即可． 【规范解答】（1）证法一：由题意，知点，，在上，且， 为的直径， 为线段的中点； 证法二：由题意得， ，， ， ， 点，，三点共线， 为线段的中点； （2）解：如解图，过点分别作轴交轴于点，作轴交轴于点， 由（1），知为线段的中点， ， 为的中点，为的中点， ， ， 设，则， ，， 由作辅助线得四边形是矩形， ， 点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 解得（负值已舍去）， 点的坐标为． 【变式训练1】（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，是《周髀算经》中的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形都全等，如果大正方形的面积是小正方形面积的5倍，那么的余切值是 ． 【答案】2 【思路点拨】此题中根据正方形以及直角三角形的面积公式求得直角三角形的三边，进一步运用锐角三角函数的定义求解． 小正方形面积是，则大正方形的面积是，则小正方形边长是，设，利用勾股定理求出，最后利用熟记函数即可解答． 【规范解答】解：设小正方形面积是，则大正方形的面积是， ∴小正方形边长是， ∵图中的四个直角三角形是全等的， ∴， 设， 在中，， 即， 解得：（舍去）， ∴， ∴的余切值， 故答案为：2． 【变式训练2】（24-25九年级下·浙江·阶段练习）在直角坐标系中，含的如图放置，，，的中点C在x轴上，第一象限内点A在反比例函数图象上，则过第四象限内点B的反比例函数表达式是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正切的定义、反比例函数与几何的综合等知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键． 如图：过A作轴，过B作轴，则，设，则；根据正切的定义可得，再证明可得，进而求得、，即，最后求得解析式即可． 【规范解答】解：如图：过A作轴于D，过B作轴于E，则， 设，则， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得：，， ∴点B的坐标为， ∵， ∴过第四象限内点B的反比例函数表达式是． 故答案为：． 题型2：求角的正切值 【典例精讲】（25-26九年级下·江苏淮安·阶段练习）在中，，如果，那么的值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查锐角三角函数定义，根据正切的定义即可求得答案． 【规范解答】解：∵在中，，如果， ∴， 故选：A． 【变式训练1】（25-26九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，则的值为 ． 【答案】/0.75 【思路点拨】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，掌握以上知识并正确作出辅助线是解题关键． 证明，从而可证明，设，正方形的边长设为，在中利用勾股定理建立方程，解得，进而可求出结论． 【规范解答】解：如图，连接， ∵在正方形纸片中，E是边的中点， ，， 由折叠性质可得，， ，， ． ， 设，正方形的边长设为， ， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式训练2】（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理、正切的定义、等面积法等知识点，灵活借助等面积法求线段的长度是解题的关键． 如图：分别过点A和点C作和的垂线，利用面积法求出垂线段的长，再利用正切的定义求解即可． 【规范解答】解：分别过点A和点C作和的垂线，垂足分别为M和N， 设正方形网格的边长为1，则， ∵， ∴，即， 在中，， ∴． 故答案为：． 题型3：已知正切值求边长 【典例精讲】（23-24九年级下·黑龙江大庆·阶段练习）如图，在正方形和中，点在边上，，，若点共线，则__________． 【答案】 【思路点拨】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、三角函数，掌握正方形的性质是解题的关键． 连接、，交于点N，根据正方形性质得出，根据已知条件求出和的值，利用勾股定理求出和的值即可． 【规范解答】解：连接、，交于点N，与交于点M，如图： 在正方形和中，，，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， ，即， 在中， ， 在中， ， ， , 即． 故答案为：． 【变式训练1】（2024·湖北·模拟预测）点A在第一象限，轴，垂足为C，，，反比例函数的图象经过的三等分点，则 【答案】3或12 【思路点拨】本题考查反比例函数图象上点的特征，三角形面积，解直角三角形．利用正切函数的定义求得，，得到点的坐标为，再分两种情况求得的三等分点的坐标，据此求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴设的三等分点为点，，则， ∵， ∴， 解得， ∴，则， ∴点的坐标为， 当点靠近点时，则点的坐标为， ∴； 当点靠近点时，则点的坐标为， ∴； 故答案为：3或12． 【变式训练2】（24-25九年级下·江西赣州·阶段练习）已知，在中，以斜边上的高为直径作了一个圆，圆心为点，这个圆交线段于点，点为的中点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查切线的判定、锐角三角函数． （1）连接、，利用圆周角定理可得，因为为的中点，由直角三角形的性质可得再由，易得可得由，可得，可得结论； （2）首先由垂直的定义易得，利用锐角三角函数可得可知 ，根据，列比例式即可求得答案． 【规范解答】（1）解：证明：连接， ∵为的直径， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线； （2）∵， ， ， ， ， ， ， ∴ ∴ 题型4：正弦的概念辨析 【典例精讲】（24-25九年级下·陕西安康·阶段练习）若，，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【思路点拨】本题考查了解直角三角形，根据，得出，然后根据余弦定义求解即可． 【规范解答】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式训练1】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查锐角三角函数的定义，理解和掌握三角函数的定义是解题的关键． 根据正弦和余弦的定义即可得出答案． 【规范解答】解： ，， ， 故选A． 【变式训练2】（2025·安徽六安·模拟预测）如图，如果中是锐角，，．证明：． 【答案】见解析． 【思路点拨】本题主要考查了锐角三角函数，作边上的高，可知，根据三角形的面积公式求解即可． 【规范解答】证明：如下图所示，作边上的高， 则， ． 题型5：求角的正弦值 【典例精讲】（25-26九年级下·山东东营·阶段练习）如图，在的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则的值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【思路点拨】本题考查了网格与勾股定理，求正弦，证明是直角三角形是解题的关键．先根据勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，进而根据正弦的定义即可求解． 【规范解答】解：根据网格可得： ，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， 故选：C． 【变式训练1】（2024·甘肃嘉峪关·模拟预测）在中，，，，求，的值． 【答案】， 【思路点拨】本题考查了解直角三角形，勾股定理，由题意求出，再由勾股定理可得，最后再由正弦和余弦的定义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：如图： ， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【变式训练2】（25-26九年级下·山东泰安·阶段练习）如图，A，B，C是小正方形的顶点，每个小正方形的边长为1，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了勾股定理和求三角函数值．过点A作于点D，根据，可得，即可求解． 【规范解答】解：如图，过点A作于点D， 根据题意得：，，， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故选：B． 题型6：已知正弦值求边长 【典例精讲】（2025·广西·模拟预测）如图，在中，，，，F为的中点，E，P分别为，上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题．作点关于的对称点，过点作于点，由对称性质可知，的最小值即为的值，再根据解直角三角形求出故可求解． 【规范解答】解：如图， 作点关于的对称点，过点作于点，由对称性质可知， 的最小值即为的值， ，，， ∴， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【变式训练1】（22-23九年级下·上海·期中）如图，中，，过点作交于点，在上取一点使，过点作的垂线，与交于点，与的延长线交于点，已知，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查同角的余角相等，锐角三角函数的知识. 设，则，可得，从而可得，由同角的余角相等，可得，根据锐角三角函数，即可得． 【规范解答】解：设， ∵， ∴， ∵，，于， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练2】（25-26九年级下·山东东营·开学考试）在中，若，则的长为（    ） A． B．2 C．8 D．10 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键． 根据正弦的定义即可解决问题． 【规范解答】解：∵， ∴， 故选：C． 题型7：求角的余弦值 【典例精讲】（2025·浙江丽水·二模）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查余弦函数的定义，在直角三角形中，余弦等于邻边比斜边．先利用勾股定理求出斜边，再计算． 【规范解答】解：在中，，，， ， ． 故选：B． 【变式训练1】（2024·湖北武汉·模拟预测）经过坐标原点O，分别与x轴、y轴交于点A、点B，点C是位于第一象限部分上的一点，如图，若点A坐标为，点B坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】此题考查了坐标与图形、勾股定理、圆周角定理以及锐角三角函数的定义．解题的关键是作辅助线，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，由圆周角定理可得，然后由锐角三角函数的定义，即可求解． 【规范解答】解∶连接， ，点A坐标为，点B坐标为， ． ∵， ∴， ∵， ． 故选：B． 【变式训练2】（2024·甘肃嘉峪关·模拟预测）已知为锐角，，求、的值． 【答案】， 【思路点拨】本题考查了解直角三角形，勾股定理，设，，则，由勾股定理可得，再由余弦和正切的定义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：如图： ， 在中，，， 故设，，则， ∴， ∴，． 题型8：余弦的概念辨析 【典例精讲】（24-25九年级下·山东日照·开学考试）在中，，所对的边分别为a、b、c，下列等式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了锐角三角函数的定义，把锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．锐角A的邻边b与斜边c的比叫做的余弦，记作．锐角A的对边a与邻边b的比叫做的正切，记作． 根据三角函数的定义逐项判断即可解答． 【规范解答】解：∵在中，，所对的边分别为a、b、c， ∴，故A选项成立，不符合题意； ，故B选项成立，不符合题意； ，故C选项成立，不符合题意； ，故D选项不成立，符合题意． 故选D． 【变式训练1】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知余弦函数的图象如图所示，当时，在该函数图象上可找到个不同的点使得，则的值不可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【思路点拨】本题可通过分析的几何意义，结合余弦函数（）的图象，判断过原点的直线与函数图象的交点个数，进而确定的可能取值． 【规范解答】解：设得， ∴点再直线上，如图， 当时，无意义． 当，即时，直线与的交点为, ,，此时． 当直线经过时，，此时直线与有个交点，如图， 当直线经过时，，此时直线与有个交点． 故选：D． 【变式训练2】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）已知在中，，D、E分别在，上，连，交于点F，若，，则的值为 ． 【答案】/ 【思路点拨】过作交过作的垂线于，连接，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形是性质得，由平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，可得，即可求解． 【规范解答】解：过作交，过点的垂线于，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 设，， ， ， ； 故答案为：． 题型9：已知余弦求边长 【典例精讲】（24-25九年级下·甘肃兰州·期末）如图，在中，，则的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了根据三角函数求线段长. 根据，可得，再把的长代入可以计算出的长． 【规范解答】解：， ， ， ， 故选：C． 【变式训练1】（2024·重庆·一模）如图，在中，，D是的中点，连接．将沿翻折得到，连接．若于点F，，则的长度为 ． 【答案】/ 【思路点拨】取中点，连接，取中点，连接，作于点．证明是的中位线，设，，则，由折叠可知，则，得到，进而推导出，证明，进而证明四边形是正方形，最后利用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：如图，取中点，连接，取中点，连接，作于点． ∵，是的中点，为的中点，， ∴，，， ∴． ∵点是的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， 设，，则， 由折叠可知，则， ∵， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴，即， ∴， 解得：， ∴， ∵是的中位线， ∴，， ∴， 由折叠知，， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 在中，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴，，即，， 在中，． 故答案为：． 【变式训练2】（24-25九年级下·云南临沧·阶段练习）如图，在中，，设，，所对的边分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是利用锐角三角函数求解直角三角形的边长，直接利用锐角的三角函数计算即可． 【规范解答】解：在中，，设，，所对的边分别为，，， ，，， ，，，， 故选：B 1．（2024·江苏无锡·中考真题）在中，是锐角，，则 【答案】或 【思路点拨】本题考查的是勾股定理的应用，锐角的余弦的含义，熟记余弦的定义再进行计算是解本题的关键．分和两种情况讨论即可，先利用勾股定理求解，再利用余弦的定义求解即可． 【规范解答】解：在中，是锐角，， 当时，如图， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， ∴； 故答案为：或． 2．（2024·江苏常州·中考真题）在等腰梯形中，，，，P为的中点，则等于 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了等腰梯形，锐角三角函数，平行线的性质，勾股定理，矩形的判定及性质、三角形全等，解题的关键是得出，然后利用勾股定理进行求解． 【规范解答】解：根据题意作图，过点，作的垂线交于点，，如下： ，， 等腰梯形中， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ，， ， ，     , ， ， ， 为的中点， ， ， 故答案为：． 3．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，在中，，、分别是、的中点，若，，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了直角三角形的性质，三角形中位线，解直角三角形的应用，掌握三角形中位线定理和直角三角形的性质是解题关键．根据题意得到是的中位线，从而得出，则，由直角三角形的性质：斜边中线等于斜边一半，得到，再利用特殊角的余弦值求解即可． 【规范解答】解：在中，、分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故选：B． 4．（2024·江镇江·中考真题）如图，直线 与轴、轴分别交于，两点， ． (1)求点坐标和的值； (2)若点，是第一象限内的直线 上的一个动点．当点运动过程中，试写出 的面积与的函数关系式； (3)探索： ①当点A运动到什么位置时， 的面积为，并说明理由； ②在①成立的情况下，轴上是否存在一点，使 是等腰三角形．若存在，请写出满足条件的所有点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)①当点A运动到时， 的面积为，理由见解析；②存在，或或 【思路点拨】本题主要考查了三角函数、一次函数图像与点的坐标之间的关系，等腰三角形定义等，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）由函数与轴交点可得，由三角函数可得，得点坐标，把点坐标代入解析式即可求值； （2）借助（1）的函数关系式，利用三角形面积公式即可求出； （3）①利用三角形面积即可求出； ②设，分三种情况讨论： 、、，先求出的长度，再分别列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：∵ 与轴相交于点， ∴， ∵， ∴=， ∴点坐标为 ， 把代入得 ， 解得； 故答案为：；． （2）把代入得， ∵， ∴； 故答案为：． （3）①当时，， 解得， 把代入，得， ∴当点A运动到时，的面积为； ②由，得，设 ， 是等腰三角形，分三种情况讨论： 当时，，解得或， ∴或； 当时，，解得或 (不符合题意，舍去）， ∴； 当时，，解得， ∴； 故答案为：①当点A运动到时， 的面积为；②存在，或或． 5．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了求角的正切值，根据网格可知，，即可知，即可得出，由即可推出． 【规范解答】解：由网格可知：，， ， ∴， ∵， ∴ ∴， 故选C 基础夯实 1．（2023·上海普陀·一模）在中，已知，，，那么的长是（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了正切，熟练掌握正切的定义是解题关键；利用正切函数的定义，在直角三角形中，利用． 【规范解答】解：∵在中，已知，， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 2．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的余弦值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查勾股定理及其逆定理，锐角三角函数的定义；一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；其逆定理为如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角；利用格点分别求出、、，可判断出是直角三角形，进而求出的余弦值. 【规范解答】解：∵由图可知，，，， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴ 故选：D． 3．（2025·甘肃陇南·模拟预测）如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了求正弦，勾股定理， 先画出图形，再根据勾股定理求出，然后根据正弦定义求解. 【规范解答】解：标注点D，， 根据勾股定理，得， ∴. 故选：D. 4．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，，点是的中点，则的长为 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查了直角三角形的边角间关系及直角三角形斜边上的中线与斜边的关系．掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解决本题的关键． 先根据锐角三角函数的边角间关系，求出的长，再根据直角三角形的斜边中线与斜边的关系得结论． 【规范解答】  解：在中，   ∵，，   ∴．   ∵M是的中点，   ∴， 故答案为3 5．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】5 【思路点拨】本题主要考查了利用正弦函数求线段长，掌握正弦的定义是解题的关键． 根据三角函数正弦函数的定义列方程求解即可． 【规范解答】解：∵在中，，，， ∴，即，解得：． 故答案为5． 6．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上，则的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中锐角的正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键． 根据题意构造直角三角形如图所示，点D在格点上，从而可以求出的值． 【规范解答】解：构造直角三角形如图所示，点D在格点上， 由图可得， 故答案为：． 7．（24-25九年级下·全国·期末）如图，点A，B，C是正方形网格中的格点，则的值为 ． 【答案】2 【思路点拨】连接，设格点正方形的边长为1，根据勾股定理，得，，，且，故，解答即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，正切的定义，熟练掌握勾股定理及其逆定理，正切的定义是解题的关键． 【规范解答】解：如图，连接， 设格点正方形的边长为1，根据勾股定理，得 ，，， 故， 故， 故， 故答案为：2． 8．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，是平行四边形的一条对角线． (1)用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线，交于点，交于点，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，，四边形是什么特殊的四边形？请加以证明； (3)在的条件下，若，，且，则的长为______． 【答案】(1)见解析 (2)菱形，见解析 (3) 【思路点拨】根据线段垂直平分线的作图方法作图即可． 由线段垂直平分线的性质可得，，，由平行四边形的性质可得，则，，可得，则，可得，则可得四边形是菱形． 由菱形的性质可得，，，，则过点作于点，根据，可得由，可得，再根据可得答案． 【规范解答】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：四边形是菱形．理由如下， 直线是线段的垂直平分线， ，，． 四边形为平行四边形， ， ，， ， ， ， 四边形是菱形． （3）解：四边形是菱形， ，，，， ， ． 过点作于点， ， ， ． ， ， ， ． 故答案为：． 9．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）如图，矩形中，，，求的长． 【答案】 【思路点拨】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，根据矩形的性质，三角函数的定义，勾股定理即可得到结论． 【规范解答】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，点在直线上，点B在曲线上． (1)求曲线的解析式； (2)连结，若直线和直线平行，求的度数和的正弦值． 【答案】(1) (2)°， 【思路点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式以及三角函数的求解，正确求出函数解析式是解题关键． （1）将代入求得，推出；将代入求得，即可求解； （2）由题意得直线的解析式为：；联立与得：；可推出是等腰直角三角形，得；根据，得；作，即可求解； 【规范解答】（1）解：将代入得：； 求得：； ∴； 将代入得：， 求得：； ∴； （2）解：由（1）可得：； ∵直线和直线平行， ∴直线的解析式为：； 联立与得：； ∴轴，且； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴； 作，如图所示： 则； ∵，， ∴； ∴ 培优拔高 11．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在正方形中，E 是边的中点，将沿直线翻折，点A落在点F 处， 连接，那么的正切值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】由折叠可得，再根据三角形的外角性质及折叠的性质得到，进而可得，求解即可． 本题考查了三角形的外角性质，折叠的性质及正方形的性质，解直角三角形． 【规范解答】解：由折叠可得 正方形中，E是边的中点， ∴ ， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴ ∴， ∴． 故选：A． 12．（2025·青海西宁·中考真题）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查求角的正切值，相似三角形的判定和性质，三线合一，全等三角形的性质，根据题意，设，，则：，三线合一，得到，进而得到，证明，得到，进而求出的数量关系，再根据正切的定义，进行求解即可． 【规范解答】解：由题意，得：， ∴设，，则：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 解得或（不合题意，舍去）； 在中，； 故选A． 13．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，分别与的外接圆相切，为切点，若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数等，设点为的外接圆圆心，连接，过点作于点，可得，即得到，由切线的性质和切线长定理得，，进而可得，即得到，即可得，得到，再根据三角形面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】解：设点为的外接圆圆心，连接，过点作于点， 则    ， ∵， ∴， ∵分别与的外接圆相切，为切点， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：． 14．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，内接于是的直径，若的半径为3，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查圆周角定理及推论、正弦的定义． 连接，根据圆周角定理及推论得到，根据正弦的定义解答． 【规范解答】解：连接， ∵是的直径， ∴， 的半径为3，， ∴, ， ∴ 故答案为：． 15．（2025·上海·模拟预测）在中，，点D是线段AB上一点，且满足，连接，作的平分线交线段于点E．若，则的余弦值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了解直角三角形、全等三角形的判定和性质及角平分线的性质．先证，得出，即可求出的余弦值． 【规范解答】解：如图，设交于F， 是的平分线， ． ， ． 在和中 ． ． ， ． ． ， ． 故答案为： 16．（2025·江西抚州·二模）如图，将图1的七巧板，拼成图2所示的平行四边形，则的值为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了七巧板问题，正方形的判定和性质，三角函数． 在图1中连接，证明四边形是正方形，得到，，在图2中可得，，根据三角函数计算即可． 【规范解答】解：如图1，连接， 由七巧板可知，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形， ∴，， 如图2，连接、，则， ∴， 由七巧板可知，， 则， ∴． 故答案为：． 17．（2024·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴和轴的正半轴上，顶点在第一象限，矩形的面积为21，矩形的顶点分别在矩形 的边上，矩形的面积为15，边相交于点，函数 的图象经过点，并交边于点，则 ；若，则点的坐标为 ． 【答案】 6 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数与几何的综合、矩形的性质、正切的定义等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 如图，连接，先求得，再根据反比例函数k的几何意义可得；再说明，易得设，则；设 ，则，进而得到，可求得a、b的值，进而确定点H的坐标． 【规范解答】解：如图，连接，    则 ， ， ； ∵矩形、矩形， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 设，则 ， 同理：设 ，则， ∴，， ∴，解得：， ∴， ∴． 故答案为：6，． 18．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）我们定义：在内有一点，连接，，，在所得的，，中，有且只有两个三角形相似，则称点为的相似心． (1)如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若点为的相似心，则下列结论正确的是_______． A．        B．        C． (2)如图2，在中，，，是内一点，且点是的相似心，． ①求的度数． ②直接写出的值． 【答案】(1)A (2)①；② 【思路点拨】（1）取格点、，连接、、、，，，，由勾股定理求得，，则，而，即可证明，求得，由，，可知与不相似，与不相似，于是得到问题的答案． （2）①由题意得，由得，，，结合三角形的内角和定理即可求解；②由可得，由相似三角形的性质得，则，，进而得到，求出，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图1，取格点、，连接、、、， 在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1， ，，， ，，， ，，， ， ， ， 与中的最大角，与中的最大角， 与不相似，与不相似， 故答案为：A； （2）解：①在中，，， ， 点是的相似心，， ，，， ， ； ② ， ， ， ， ，， ， ， ． 19．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，线段的端点在格点上，在图①、图②，图③中，只用无刻度的直尺按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中画，使； (2)在图②中画，使； (3)在图③中画，使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【思路点拨】该题是格点作图题，考查了角的正切，相似三角形的性质和判定． （1）取格点，使，连接，则即为所求； （2）取格点，使，连接，则即为所求； （3）取格点，连接交于点E，连接，则即为所求； 【规范解答】（1）解：如图，即为所求；； （2）解：如图，即为所求；； （3）解：如图，即为所求； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过点．过点作轴于点．点是直线上一动点，连接交抛物线于点，连接    (1)求抛物线的表达式； (2)当时，求的面积； (3)如图2，以为边向下作等腰直角三角形，，当点运动到某一位置时，连接，使得的周长最小，求此时周长的最小值． 【答案】(1) (2)的面积为或 (3) 【思路点拨】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，相似三角形的性质与判定，面积问题，线段周长问题； （1）将点代入解析式，待定系数法求解析式即可求解； （2）分点在轴上方和在轴的下方时，分别求得点的坐标，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）在直线上取一点，使，当点在点上方时，连接，，证明得出，得出点在直线上运动，作点关于的对称点，连接，，；与交于点 则点即为使得 最小时的点，进而求得的长，即可得出周长的最小值． 【规范解答】（1）解：抛物线过点． ∴ 解得：， ∴； （2）解：当在轴上方时，如图，过点作于点，   ，，轴 ∴，， 设， 将点代入得， ， （舍去）， ，， ， ， 当在轴下方时，如图，      将点代入得， ， （舍去）， ，， ， ， 综上所述，的面积为或； （3）解：如图，在直线上取一点，使，当点在点上方时，连接，，   ， ， ， ， ， ∴， ， ， 如图，则点在直线上运动，作点关于的对称点，连接，，；与交于点 则点即为使得 最小时的点， ， ， ， ， 设交于点， ，， ∴， ， ， ， 即的最小值为， ∵， ∴的最小值为． ∴的周长最小值为． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $