精品解析：福建省厦门大学附属科技中学2025-2026学年高三上学期期中数学试题

2025-2026学年（上）厦门大学附属科技中学期中阶段性检测 高三数学试题 （考试时长：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色水笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出复数，再利用复数的模长公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先解对数不等式求出集合，再由集合可知集合中的元素为整数，将集合中的进行赋值即可求解. 【详解】由得，，所以，所以， 对于集合，因为，所以当时，； 当时，；当时，； . 故选：B. 3. 以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为，则该勒洛三角形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设等边的边长为，根据题意，求得，结合三角形和扇形的面积公式，以及勒洛三角形的面积是，即可求解. 【详解】设等边的边长为，因为的长度为，可得，解得， 所以， 则勒洛三角形的面积是. 故选：D. 4. 若两个正实数满足且不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】将代数式变形后与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为正实数、满足，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为不等式有解，则，即， 即，解得或. 故选：D. 5. 已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得曲线在时的解析式，再利用导数几何意义即可求得曲线在点处的切线方程. 【详解】设，则，由为偶函数，且当时，， 可得，则， 则， 则曲线在点处的切线方程是，即 故选：C 6. 在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数，公式和定理，若正整数只有1为公约数，则称互质，对于正整数是小于或等于的正整数中与互质的数的个数，函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，.记为数列的前项和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分析可得，结合等比数列求和公式运算求解. 【详解】由题意可知：若正整数与不互质，则为3的倍数，共有个， 故， ∵，即数列是以首项，公比的等比数列， 故. 故选：D. 7. 若，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知角的范围确定三角函数值的正负，再利用两角和的余弦公式求出的值，最后根据的范围确定其具体值. 【详解】因，所以，又， 根据，得，同时也能确定. 因为，，，所以. . 将转化为. 所以 因为，，所以. 在这个区间内，时，. 故选：C. 8. 已知函数，若函数的所有零点依次记为，且，则= A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得的对称轴方程为，即可判断在上有31条对称轴，即可求得函数与的交点有31个，且相邻交点都关于对称轴对称，可得：，将以上各式相加，利用等差数列求和公式即可得解． 【详解】函数，令得，即的对称轴方程为. ∵的最小正周期为.当时，可得， ∴在上有31条对称轴， 根据正弦函数的性质可知：函数与的交点有31个， 且交点关于对称，关于对称，……， 即， 将以上各式相加得： 则 故选C. 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及函数零点个数问题，还考查了等差数列的前项和公式，考查了中点坐标公式及计算能力，属于难题． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则实数的值为 C. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 D. 在上的投影向量的坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用向量的模的坐标公式计算即得；对于B，利用向量共线的坐标公式解方程即得；对于C，利用向量数量积的意义与向量共线的坐标公式列不等式求解即得；对于D，利用向量投影的计算公式即得. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因，则， ，由可得，解得，故B正确； 对于C，因，则， 由与的夹角为锐角，可得：，解得且，故C错误； 对于D，因，在上的投影向量为，故D正确. 故选：ABD. 10. 如图所示，B､D为函数的图象与正六边形的两个公共点（点在轴上），正六边形与轴的一个交点为的图象与轴的交点为，其中正六边形关于坐标轴对称，且边长为，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的单调增区间为 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】求出点的坐标，可求出函数的最小正周期，可判断A的正误；利用图中信息求出函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断B的正误，利用正弦型函数的单调性可判断C的正误；求出点、、的坐标，可判断D的正误. 【详解】由于正六边形的边长为，易知点，所以，函数的最小正周期为，故A错误； 由题意可知，，由A可知，，则， 且函数在附近单调递增， 所以，，可得， ，所以，，故， ，故B错误； 由，解得， 因此，函数的单调增区间为，，故C正确； ，设点， 因为点为函数在轴右侧第一个最高点，可知，可得. 易知点、、， 所以， ，故D正确. 故选：CD 11. 已知定义在上的函数，其导函数分别为，若，，则（ ） A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过函数的奇偶对称性和图像的平移，结合导数的运算，得到函数的对称性，得到周期，再由周期计算函数值验证选项. 【详解】由知函数为偶函数，又， ，则的图像关于轴对称， 所以的图像关于直线对称，有，即， 设，则，（c为常数）， ，，所以； 由，两边同时求导，有，可知为奇函数， 函数仍然是奇函数，图像关于原点对称， 又，所以的图像关于点中心对称，有； 函数满足以上函数的性质，但不是奇函数，A选项错误； 和，得，令，则有，所以函数为周期函数，B选项正确； 为的一个周期，则，所以，，所以，D选项正确； 由周期为4知也是的一个周期，所以，即，即，C选项正确. 故选：BCD. 【点睛】此题通过函数的奇偶性和对称性，结合导数的运算，寻找函数图像的对称中心是解题关键，原函数与导函数图像的联系，奇偶性的联系，都是解题的思路. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由函数的解析式可得，求出的值，即可得结果． 【详解】因为当时，， 所以， 因为时，， 所以， 则， 故答案为． 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰. 当出现的形式时，应从内到外依次求值． 13. 设是的外心，满足，若，则面积的最大值为___________. 【答案】9 【解析】 【分析】设为边中点，化简已知得，由余弦定理得，再利用基本不等式求解. 【详解】 ，其中为边中点， 所以， 所以, 所以 又， 所以联立得， 因为, 所以 所以面积的最大值为9. 故答案为：9 【点睛】关键点睛：解答本题的关键有两点，其一是，化简已知得到，其二是转化为求的最大值，利用基本不等式求最大值. 14. 已知函数恰有一个零点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】将变为，令，则有一个根，然后按照和分类讨论，当时，分离参数，转化为和有一个交点，设，利用导数研究的单调性，数形结合求出的范围，即可得解. 【详解】， 令，易知是单调递增函数， 则有一个根，当时，等式，不符合题意， 故，等式转化为有两个根，即和有一个交点. 设，函数定义域为， 求得， 故当时，，在和上单调递减； 当时，，在上单调递增. 又时，时， 故的图象如下， 由图可得，的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可得解； （2）利用面积公式求出，再由余弦定理求出，即可得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 即， 由于 所以， 又，所以， 则， 又，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 由余弦定理，即， 即，所以， 所以（负值已舍去）， 所以的周长为. 16. 已知函数（）． （1）讨论函数的单调性； （2）对任意的，，当时，都有，求实数a的取值范围． 【答案】（1） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2） 【解析】 【分析】（1）结合导数，分及进行讨论即可得； （2）将不等式化简后可令，可得在上单调递增，结合导数正负与单调性的关系求导后参变分离计算即可得. 【小问1详解】 ，， 则当时，，故在上单调递减， 当时，若，则，若，则， 故在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 由题意可得， 整理得，令， 即对任意的，，当时，都有， 即在上单调递增， ， 则对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 由在上单调递增，则， 故. 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）若，，求的大小； （2）若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）将边化为角后，借助余弦定理的推论可求得，即可得，结合条件计算可得，再利用正弦定理，可用角表示出，计算即可得； （2）设，利用垂心性质计算可用表示出、，则可表示出，再利用三角恒等变换公式将其化简后结合计算即可得. 【小问1详解】 由，则， 又， 又，故， 由，，则，即，故， 由，则， ， 故 , 则，又，则， 则或，解得或； 【小问2详解】 由为锐角三角形，则垂心在内部， 如图，于点，设， 由为的垂心，，则， ，，则， ， 故 ， 由，则，故， 故. 18. 已知等差数列的前n项和为，且，；数列满足（） （1）求数列和的通项公式； （2）记，求数列的前n项和； （3）在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，1，，，，，3，3，3，，…，求数列的前2025项和． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设出公差，借助等差数列基本量计算可得；由题意可得，则可得，作差计算即可得，再验证时是否符合即可得； （2）借助裂项相消法计算即可得； （3）易得中从到共有项，再由时，有2016项，然后借助等差数列求和公式与并项求和法计算即可得解. 【小问1详解】 设数列的公差为，则有，解得， 故； 由，则， 则时，有， 故，即； 当时，，符合上式； 故； 【小问2详解】 ， 则； 【小问3详解】 ：， 从到共有项， 所以，当时，， ， ， ， . 19. 已知函数． （1）当时，判断在上的单调性，并说明理由； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）设，在的图象上有一点列，直线的斜率为，求证：． 【答案】（1）在上单调递减，理由如下： 当时，， ，， 所以函数在上单调递减， 当时，，所以， 所以，所以在上单调递减. （2） （3）证明：由（2）可知，当，时，恒成立， 即时，恒成立， 下证：， 时， ， 由上述分析可知，，即，则， 所以 ， ，即得证. 【解析】 【分析】（1）利用多次求导的方法来判断出在上的单调性. （2）利用多次求导的方法，结合恒成立，列不等式来求得的取值范围. （3）根据（2）的结论，得到，求得的不等关系式，然后根据分组求和法以及等比数列的前项和公式证得不等式成立. 【小问1详解】 在上单调递减，理由略 【小问2详解】 当时，恒成立①， 当时，②， ，设， 时， ，设， 当时，， ， 要使①恒成立，由于②，则需恒成立， 所以恒成立，所以，. 此时， 在上单调递增，， 在上单调递增，， 在上单调递增， 使得恒成立. 综上所述，的取值范围是. 【小问3详解】 略. 【点睛】思路点睛： 用导数分析单调性：首先对函数进行多次求导，通过分析导数符号来判断函数在不同区间的单调性，这一步为后续的不等式恒成立条件的推导奠定了基础. 结合不等式求参数范围：通过设定不等式恒成立，结合函数的单调性，逐步推导出参数 的取值范围. 利用等比数列和斜率关系进行证明：在小问3中，通过对等比数列的求和以及利用斜率条件，成功证明了所需的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年（上）厦门大学附属科技中学期中阶段性检测 高三数学试题 （考试时长：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色水笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为，则该勒洛三角形的面积是（ ） A. B. C. D. 4. 若两个正实数满足且不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 6. 在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数，公式和定理，若正整数只有1为公约数，则称互质，对于正整数是小于或等于的正整数中与互质的数的个数，函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，.记为数列的前项和，则（ ） A. B. C. D. 7. 若，，且，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数的所有零点依次记为，且，则= A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则实数的值为 C. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 D. 在上的投影向量的坐标为 10. 如图所示，B､D为函数的图象与正六边形的两个公共点（点在轴上），正六边形与轴的一个交点为的图象与轴的交点为，其中正六边形关于坐标轴对称，且边长为，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的单调增区间为 D. 11. 已知定义在上的函数，其导函数分别为，若，，则（ ） A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则的值为______． 13. 设是的外心，满足，若，则面积的最大值为___________. 14. 已知函数恰有一个零点，则的取值范围为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，的面积为，求的周长． 16. 已知函数（）． （1）讨论函数的单调性； （2）对任意的，，当时，都有，求实数a的取值范围． 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）若，，求的大小； （2）若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围． 18. 已知等差数列的前n项和为，且，；数列满足（） （1）求数列和的通项公式； （2）记，求数列的前n项和； （3）在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，1，，，，，3，3，3，，…，求数列的前2025项和． 19. 已知函数． （1）当时，判断在上的单调性，并说明理由； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）设，在的图象上有一点列，直线的斜率为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $