专题20 用公式法分解因式【考点梳理+重点题型+中考真题】 2025-2026学年人教版八年级数学上册

专题20 用公式法分解因式 （重难点题型专训） 【知识考点 用公式法分解因式】 【解题知识必备】 1.公式法分解因式的定义 如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫作公式法． 2.用平方差公式分解因式 （1）语言表述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． （2）式子表达：()() （3）特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反； ②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积． 3.用完全平方公式分解因式 （1）语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． （2）, （3）特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可． ②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方． 4．因式分解的步骤 一提：有公因式的先提公因式． 二套：套用公式，两项式考虑平方差公式，三项式考虑完全平方公式． 三查：检查乘积中的每一个多项式因式是否分解彻底． 【重难点常考题型梳理】 【题型01】 用平方差公式分解因式 【题型02】 平方差公式分解因式的应用 【题型03】 用完全平方公式分解因式 【题型04】 完全平方公式分解因式的应用 【题型05】 平方差公式与完全平方公式分解因式的综合 【题型06】 提公因式法与公式法分解因式的综合 【题型07】 因式分解在有理数简算中的应用 【题型08】 综合强化提升 【特训09】 直通中考真题 【题型01】 用平方差公式分解因式 【例1】（2024-2025八年级上·山西临汾·期中）课堂上老师在黑板上布置了如下框所示的题目：涛涛发现其中有一道题目错了，错误的题目是（   ） 用平方差公式分解因式： （1） （2） （3） （4） A．第（1）题 B．第（2）题 C．第（3）题 D．第（4）题 【变式1-1】（2025-2026八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025-2026八年级上·北京海淀·期中）因式分解 ． 【变式1-3】（2024-2025八年级下·内蒙古包头·期中）因式分解： (1) (2) 【题型02】 平方差公式分解因式的应用 【例2】（2025-2026八年级上·江苏南通·期中）已知，，则的值是（ ） A．2 B． C．4 D． 【变式2-1】（2024-2025八年级下·湖北宜昌·期中）已知，，为一个三角形的三边长，则的值（ ） A．一定为负数 B．一定为正数 C．可能为正数，也可能为负数 D．可能为零 【变式2-2】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）如图，把，，三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则．当，，，时， V． 【变式2-3】（2024-2025八年级上·福建泉州·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”． (1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和． 【题型03】 用完全平方公式分解因式 【例3】（2024-2025八年级下·陕西西安·阶段练习）若多项式能直接用完全平方公式进行因式分解，则“”所代表的单项式不可以是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024-2025八年级下·山西临汾·期末）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ）． A． B． C． D． 【变式3-2】（2025-2026八年级上·江苏苏州·期中）因式分解： ． 【变式3-3】（2025-2026八年级上·湖南岳阳·阶段练习）若可直接用完全平方公式分解因式，则m的值等于 ． 【题型04】 完全平方公式分解因式的应用 【例4】（2024-2025七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，，，则代数式的值为（ ） A．5 B．6 C．3 D．8 【变式4-1】（2024-2025七年级下·安徽合肥·期中）已知（为任意有理数），的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【变式4-2】（2024-2025七年级下·浙江宁波·专题练习）已知是三边的长，且满足，则的形状为 ． 【变式4-3】（2024-2025八年级上·福建泉州·期中）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块是长为，宽为的相同的小长方形，且． (1)观察图形，可以发现式子可以因式分解为______． (2)若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为，求图中空白部分的面积． 【题型05】 平方差公式与完全平方公式分解因式的综合 【例5】（2025-2026八年级上·湖南常德·期中）因式分解： (1) (2) 【变式5-1】（2025-2026八年级上·全国·期中）已知，且满足两个等式，，则的值为 ． 【变式5-2】（2024-2025八年级下·陕西西安·阶段练习）把下列各式因式分解： (1) (2) (3) 【变式5-3】（2024-2025七年级下·四川成都·期中）分解因式：． 分析：由于常数项数值较大，所以采用变为差的平方形式进行分解： ． 请按照上面的方法分解因式：． 【题型06】 提公因式法与公式法分解因式的综合 【例6】（2025-2026八年级上·湖南益阳·期中）因式分解 (1) (2) 【变式6-1】（2025-2026八年级上·福建福州·期中）因式分解 (1) (2) 【变式6-2】（2024-2025八年级上·甘肃张掖·期末）分解因式： (1) (2) 【变式6-3】（2025-2026八年级上·四川眉山·期中）因式分解： (1) (2) 【题型07】 因式分解在有理数简算中的应用 【例7】（2024-2025七年级下·江苏淮安·阶段练习）用乘法公式简便计算： (1) (2) 【变式7-1】（2025-2026八年级上·吉林长春·期中）利用公式简便运算： (1)； (2)． 【变式7-2】（2025-2026八年级上·湖南邵阳·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式7-3】（2025-2026八年级上·山东泰安·阶段练习）利用因式分解计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【特训08】 综合强化提升 1．（2025-2026八年级上·福建漳州·期中）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024-2025七年级下·广西百色·期末）下列多项式能用公式法分解因式的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.（2024-2025七年级下·浙江温州·期中）若是方程组的解，则的值为（   ） A． B． C． D．16 4.（2024-2025八年级下·四川成都·期末）小明在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式因式分解，他抄在作业本上的式子是，则这个指数的可能结果共有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 5.（2024-2025八年级下·河北保定·期末）若多项式在有理数范围内能利用平方差公式进行因式分解，则的值不可能是（   ） A．1 B．5 C．9 D．16 6．（2023-2024八年级下·四川巴中·期中）若可以用完全平方式来分解因式，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 7．（2025-2026八年级上·福建泉州·月考）已知，，，则的值是（   ） A．3 B． C．2025 D． 8.（2024-2025七年级下·江苏南京·期中）观察下列等式，回答问题 ①； ②； ③； ④； …… (1)写出第个等式：_____________； (2)证明第个等式成立； (3)若两个奇数中较小的为，它们的差值为，则它们的平方差一定是______．（选出所有正确答案） A．8的倍数    B．的倍数    C．的倍数    D．的倍数 9.（2024-2025八年级上·湖北孝感·期末）已知，则的值是 ． 10．（2025-2026八年级上·重庆·阶段练习）等腰的两边长为，，且则的周长为 ． 11.（2024-2025八年级下·湖北黄石·阶段练习）当为整数时，试说明：能被整除． 12.（2025-2026八年级上·四川成都·阶段练习）（1）已知的平方根是，b是8的立方根，c是的整数部分，求的算术平方根． （2）已知，，求的值． 13．（2025-2026八年级上·湖南·阶段练习）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： (1)类比应用，求______； (2)通过计算，证明：不论取何值，总有比大2； (3)若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 14．（2025-2026八年级上·山东淄博·阶段练习）阅读材料，并解答问题． 例题：求多项式的最小值． 解：， ，， 多项式的最小值是． (1)请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是________； 当取最小值时，______，______． (2)求多项式的最大值． 15．（2023-2024八年级上·四川资阳·期末）阅读材料1：若一个正整数x能表示成（a、b是正整数，且）的形式，则称这个数为“风月同天数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为，所以5 是“风月同天数”，叫做5的平方差分解． 阅读材料2：如果一个自然数各位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”．例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”；再如：656，9898，37373，171717，…，都是“摆动数”． (1)在7和2中是“风月同天数”的是 ； (2)已知（x、y是正整数，k是常数，且），要使M是“风月同天数”，试求出符合条件的一个k，并说明理由； (3)对于一个三位数N，N的十位数字是9，个位数字与百位数字相等且小于或等于2，N既是“摆动数”又是“风月同天数”，请求出N的所有平方差分解． 16．（2024-2025八年级上·福建福州·阶段练习）已知三个正数a，b，c满足（温馨提示：、 对于任意正数 x， 都有） (1)求证：； (2)a 是大于1的整数，且有，， ①若 ，求的值； ②当（，且n是整数）时，比较b与的大小，并说明理由． 17.（2025-2026八年级上·北京海淀·期中）若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．因为． 再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． (1)请说明29是“完美数”． (2)已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． (3)如果数m，n都是“完美数”，试说明也是“完美数”． (4)已知实数x，y满足，则的最小值等于______． 18．（2025-2026八年级上·湖南长沙·期中）定义：若多项式有一个大于1的整数因式，则称该多项式是这个整数的半完美多项式，若多项式有一个一次因式，则称该多项式是这个因式的完美多项式． (1)当，为整数时，下列式子中是16的半完美多项式的有________． ①  ②  ③  ④ (2)若关于的多项式是的完美多项式，求的值． (3)已知正整数，，满足不等式，且，若关于的多项式（为常数）是的完美多项式，此完美多项式的另一个因式最小值为，求，的值． 【特训09】 直通中考真题 1．（2025·广西·中考真题）因式分解：（   ） A． B． C． D． 2．（2024·云南·中考真题）分解因式：（   ） A． B． C． D． 3．（2024·广西·中考真题）如果，，那么的值为（   ） A．0 B．1 C．4 D．9 4．（2024·福建福州·中考真题）若，则M的最小值是（   ） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 5．（2023·河北·中考真题）若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 6．（2025·江苏苏州·中考真题）因式分解： ． 7．（2025·山西·中考真题）因式分解： ． 8．（2025·甘肃·中考真题）因式分解： ． 9．（2025·北京·中考真题）分解因式： ． 10．（2025·黑龙江绥化·中考真题）分解因式： ． 11．（2025·四川成都·中考真题）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）． 12．（2024·北京·中考真题）分解因式： . 13．（2024·甘肃临夏·中考真题）因式分解： ． 14．（2024·江苏常州·中考真题）分解因式： ． 15．（2024·山东威海·中考真题）因式分解： ． 16．（2024·四川凉山·中考真题）已知，且，则 ． 17．（2024·四川广元·中考真题）分解因式： ． 18．（2024·四川达州·中考真题）若，且，则的值为 ． 19．（2023·四川凉山·中考真题）已知是完全平方式，则的值是 ． 20．（2024·福建·中考真题）已知实数满足． (1)求证：为非负数； (2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由． 21．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（   ）（   ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 22．（2023·浙江嘉兴·中考真题）观察下面的等式： (1)写出的结果． (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数） (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20 用公式法分解因式 （重难点题型专训） 【知识考点 用公式法分解因式】 【解题知识必备】 1.公式法分解因式的定义 如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫作公式法． 2.用平方差公式分解因式 （1）语言表述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． （2）式子表达：()() （3）特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反； ②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积． 3.用完全平方公式分解因式 （1）语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． （2）, （3）特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可． ②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方． 4．因式分解的步骤 一提：有公因式的先提公因式． 二套：套用公式，两项式考虑平方差公式，三项式考虑完全平方公式． 三查：检查乘积中的每一个多项式因式是否分解彻底． 【重难点常考题型梳理】 【题型01】 用平方差公式分解因式 【题型02】 平方差公式分解因式的应用 【题型03】 用完全平方公式分解因式 【题型04】 完全平方公式分解因式的应用 【题型05】 平方差公式与完全平方公式分解因式的综合 【题型06】 提公因式法与公式法分解因式的综合 【题型07】 因式分解在有理数简算中的应用 【题型08】 综合强化提升 【特训09】 直通中考真题 【题型01】 用平方差公式分解因式 【例1】（2024-2025八年级上·山西临汾·期中）课堂上老师在黑板上布置了如下框所示的题目：涛涛发现其中有一道题目错了，错误的题目是（   ） 用平方差公式分解因式： （1） （2） （3） （4） A．第（1）题 B．第（2）题 C．第（3）题 D．第（4）题 【答案】B 【分析】本题考查了用公式法进行因式分解，根据平方差公式分别判断即可． 【解答】解：（1）； （3）； （4）； 故（1）（3）（4）都可以用平方差公式进行因式分解，（2）不能用平方差公式进行因式分解， 故选：B． 【变式1-1】（2025-2026八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的应用．根据平方差公式，解答即可． 【解答】解：A、，为两平方项相加，无法用平方差公式分解，故本选项不符合题意； B、，不符合平方差公式条件，故本选项不符合题意； C、，符合平方差公式，可分解为，故本选项符合题意； D、，不符合平方差公式条件，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】（2025-2026八年级上·北京海淀·期中）因式分解 ． 【答案】 【分析】本题考查了公式法分解因式．利用平方差公式直接分解即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【变式1-3】（2024-2025八年级下·内蒙古包头·期中）因式分解： (1) (2) 【答案】(1)． (2) 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解． （1）直接利用平方差公式分解因式，再提公因式分解因式即可； （2）用平方差公式分解即可． 【解答】（1）解： ． （2）解： ． 【题型02】 平方差公式分解因式的应用 【例2】（2025-2026八年级上·江苏南通·期中）已知，，则的值是（ ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是因式分解的应用．利用平方差公式将分解为，再代入已知条件求解． 【解答】解：∵， 又∵且， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2-1】（2024-2025八年级下·湖北宜昌·期中）已知，，为一个三角形的三边长，则的值（ ） A．一定为负数 B．一定为正数 C．可能为正数，也可能为负数 D．可能为零 【答案】A 【分析】本题考查了利用平方差公式因式分解，三角形的三边关系，利用平方差公式因式分解成两个因式乘积的形式是解题的关键．先利用平方差公式因式分解成两个因式乘积的形式，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行判断． 【解答】解：， ，，为一个三角形的三边长， 即． 故选：A． 【变式2-2】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）如图，把，，三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则．当，，，时， V． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题目特点可用提公因式的方法进行因式分解．用提公因式法把，因式分解为，再进行计算求值． 【解答】解： 故答案为： ． 【变式2-3】（2024-2025八年级上·福建泉州·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”． (1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和． 【答案】(1)是“登高数”，详见解析； (2)“登高数”能被整除，详见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式进行计算，难点是理解“登高数”都是的倍数，即如果一个数是的倍数，那么这个数一定是“登高数”． （1）设求出方程的解，然后由计算结果可得出答案； （2）利用平方差公式计算，然后由计算结果可得出答案； （3），通过计算即可得出不超过的所有“登高数”的和． 【解答】（1）解：（1）是“登高数”， 理由：设， 解得：， ， 是 “登高数”； （2）解：“登高数”能被整除， 理由：， ， ， 是正整数， 能被整除， 能被整除， “登高数”都能被整除； （3）解：由（2），可知“登高数”能被整除， ， 不超过的所有“登高数”有，，，，，， ， ， ， ， ． 【题型03】 用完全平方公式分解因式 【例3】（2024-2025八年级下·陕西西安·阶段练习）若多项式能直接用完全平方公式进行因式分解，则“”所代表的单项式不可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方式分解因式，根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的2倍在中间，进行判断即可． 【解答】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，无法用完全平方公式进行因式分解，符合题意； 故选D． 【变式3-1】（2024-2025八年级下·山西临汾·期末）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的因式分解，熟练掌握完全平方公式的形式是解题的关键． 根据完全平方公式的形式，逐一分析每个选项是否符合该形式． 【解答】解： 完全平方公式为 选项A，，是平方差公式，不符合完全平方公式； 选项B，，中间项与完全平方公式中形式不匹配（若，，则），不符合完全平方公式；； 选项C，，常数项为，不是非负数，不符合的形式即不符合完全平方公式； 选项D，，其中，，，且， ∴ ，符合完全平方公式因式分解． 故选：D． 【变式3-2】（2025-2026八年级上·江苏苏州·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．该多项式为完全平方式，可直接应用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【解答】解：， 故答案为：． 【变式3-3】（2025-2026八年级上·湖南岳阳·阶段练习）若可直接用完全平方公式分解因式，则m的值等于 ． 【答案】11或/或11 【分析】本题考查完全平方公式分解因式，由题意得，根据对应系数相等即可求解． 【解答】解：可直接用完全平方公式分解因式， ， ， 或， 故答案为：11或． 【题型04】 完全平方公式分解因式的应用 【例4】（2024-2025七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，，，则代数式的值为（ ） A．5 B．6 C．3 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式，把所求式子变形为含、、的形式是关键．由，，，得，，，将进行因式分解变形，即可得结论． 【解答】解： ，，， ，，， ， 故选：C． 【变式4-1】（2024-2025七年级下·安徽合肥·期中）已知（为任意有理数），的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】此题考查因式分解的应用，用求差比较法比较大小，掌握比较大小的常用方法是关键． 【解答】解：， ，即， 故选：C． 【变式4-2】（2024-2025七年级下·浙江宁波·专题练习）已知是三边的长，且满足，则的形状为 ． 【答案】等边三角形 【分析】见解析 【解答】因为， 所以， 所以， 即， 所以， 故是等边三角形． 【变式4-3】（2024-2025八年级上·福建泉州·期中）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块是长为，宽为的相同的小长方形，且． (1)观察图形，可以发现式子可以因式分解为______． (2)若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为，求图中空白部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的几何意义以及完全平方公式的应用，解决本题的关键是观察图形，找到a与b与面积的关系． （1）通过长方形的面积表示，将长方形拆解为2块大正方形，2块小正方形，5块小长方形的面积和，由此可因式分解； （2）根据完全平方公式结合长方形的周长，面积公式求解即可． 【解答】（1）解：观察图形可知，表示的是长方形的总面积， ∴， 故答案为：； （2）解：∵阴影部分的面积为，大长方形的周长为， ∴，， 化简可得，， ∵， ∴， ∴空白部分的面积为． 答：图中空白部分的面积为． 【题型05】 平方差公式与完全平方公式分解因式的综合 【例5】（2025-2026八年级上·湖南常德·期中）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． （2）先运用平方差公式进行因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【解答】（1）解： ； （2）解： 【变式5-1】（2025-2026八年级上·全国·期中）已知，且满足两个等式，，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查因式分解的应用，联立方程，通过因式分解求出的值，再将因式分解得，将的值代入求解． 【解答】解：∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，则 ∴，则， ∴． 故答案为：4． 【变式5-2】（2024-2025八年级下·陕西西安·阶段练习）把下列各式因式分解： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查因式分解，正确选用因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式直接提取公因式即可； （2）原式先运用平方差公式进行因式分解，再运用完全平方公式分解即可； （3）原式整理后．运用完全平方公式进行因式分解即可． 【解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式5-3】（2024-2025七年级下·四川成都·期中）分解因式：． 分析：由于常数项数值较大，所以采用变为差的平方形式进行分解： ． 请按照上面的方法分解因式：． 【答案】 【分析】根据举例利用公式法进行因式分解即可； 【解答】， ． 【点评】本题主要考查了因式分解的应用，准确计算是解题的关键． 【题型06】 提公因式法与公式法分解因式的综合 【例6】（2025-2026八年级上·湖南益阳·期中）因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，熟知因式分解的方法是解题的关键． （1）先提取公因式x，再利用平方差公式因式分解即可； （2）先提取公因式x，再利用完全平方公式因式分解即可． 【解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式6-1】（2025-2026八年级上·福建福州·期中）因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式提取公因式，再运用完全平方公式进行因式分解即可； （2）原式提取公因式即可． 【解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式6-2】（2024-2025八年级上·甘肃张掖·期末）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式时首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：； （2）先去括号，再利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 【变式6-3】（2025-2026八年级上·四川眉山·期中）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，掌握分解因式的方法是解题关键． （1）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】（1）解： ； （2）解： 【题型07】 因式分解在有理数简算中的应用 【例7】（2024-2025七年级下·江苏淮安·阶段练习）用乘法公式简便计算： (1) (2) 【答案】(1)1600 (2)9 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． （1）运用完全平方公式进行计算即可； （2）运用平方差公式进行计算即可． 【解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式7-1】（2025-2026八年级上·吉林长春·期中）利用公式简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)900 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，掌握公式的逆用是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算，即可求解； （2）根据完全平方公式进行计算即可求解． 【解答】（1）原式 ； （2）原式 ． 【变式7-2】（2025-2026八年级上·湖南邵阳·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟知因式分解的方法是解题的关键． （1）利用平方差公式把原式分解因式得到，据此计算求解即可； （2）把原式提取公因数20，再利用完全平方公式分解因式得到，据此计算求解即可． 【解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式7-3】（2025-2026八年级上·山东泰安·阶段练习）利用因式分解计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2)4 (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式、提公因式法进行简便计算，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据完全平方公式进行计算即可； （3）利用提公因式法进行计算即可； （4）整理后，利用提公因式法进行计算即可． 【解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【特训08】 综合强化提升 1．（2025-2026八年级上·福建漳州·期中）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的正确性．因式分解需将多项式化为几个整式的乘积形式，且应分解到不能再分解为止．逐项验证各选项即可． 【解答】解：选项A：∵，∴错误； 选项B：∵，等式成立且为乘积形式，∴正确； 选项C：∵，但可进一步分解为，因式分解不彻底，∴错误； 选项D：∵右边不是乘积形式，∴不是因式分解，错误； 故选：B． 2．（2024-2025七年级下·广西百色·期末）下列多项式能用公式法分解因式的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键，直接利用平方差公式、完全平方公式分别分解因式进而判断即可． 【解答】 ①不能用公式法分解因式； ②不能用公式法分解因式； ③可以用公式法分解因式； ④可以用公式法分解因式； ⑤可以用公式法分解因式； 综上，③、④、⑤能用公式法分解因式，共3个， 故选C． 3.（2024-2025七年级下·浙江温州·期中）若是方程组的解，则的值为（   ） A． B． C． D．16 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程和利用平方差公式分解因式，学生们熟练掌握二元一次方程的计算和平方差公式的计算即可． 把代入原方程组得，解出与，再进一步即可求出答案． 【解答】解：把代入原方程组 得， ∴两个方程相加得：即， 两个方程相减得：， ∴， 故答案选D． 4.（2024-2025八年级下·四川成都·期末）小明在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式因式分解，他抄在作业本上的式子是，则这个指数的可能结果共有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】D 【分析】能利用平方差公式分解因式，说明漏掉的是平方项的指数，只能是偶数，又只知道该数为不大于10的正整数，则该指数可能是2、4、6、8、10五个数． 【解答】解：∵当这个指数是偶次方时，这个多项式能利用平方差公式因式分解， 又因为该指数为不大于10的正整数， ∴该指数可能是2、4、6、8、10五个数． 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解-运用公式法．能熟练掌握平方差公式的特点，是解答这道题的关键，还要知道不大于就是小于或等于． 5.（2024-2025八年级下·河北保定·期末）若多项式在有理数范围内能利用平方差公式进行因式分解，则的值不可能是（   ） A．1 B．5 C．9 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，根据平方差公式的公式结构对各选项分析判断即可．熟记平方差公式的公式结构是解题的关键． 【解答】解：A、时，，可以用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意； B、时，，不可以用平方差公式分解因式，故该选项符合题意； C、时，，可以用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意； D、时，，可以用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意； 故选：B． 6．（2023-2024八年级下·四川巴中·期中）若可以用完全平方式来分解因式，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方式，因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式即可得解． 【解答】解：∵可以用完全平方式来分解因式， ， 即， ，解得或． 故选：D ． 7．（2025-2026八年级上·福建泉州·月考）已知，，，则的值是（   ） A．3 B． C．2025 D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式分解因式，求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式将式子进行变形，得到，再代入数据计算即可得出答案． 【解答】解： ， ∵，，， ∴，，， ∴原式． 故选：A． 8.（2024-2025七年级下·江苏南京·期中）观察下列等式，回答问题 ①； ②； ③； ④； …… (1)写出第个等式：_____________； (2)证明第个等式成立； (3)若两个奇数中较小的为，它们的差值为，则它们的平方差一定是______．（选出所有正确答案） A．8的倍数    B．的倍数    C．的倍数    D．的倍数 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，因式分解的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）观察可知，两个连续奇数的平方差等于两个奇数的差（大数减小数）的8倍，据此规律求解即可； （2）把式子分解因式即可得到答案； （3）设，另一个奇数为（k、t都是整数）可求出，再讨论k、t的奇偶性即可得到答案． 【解答】（1）解：①； ②； ③； ④； ……， 以此类推，可知，第个等式为； （2）证明： ， ∴； （3）解：设，另一个奇数为（k、t都是整数） ， 当t、k同为奇数或同为偶数时，为偶数，则一定能被8整除，当k、t一奇一偶时，一定为偶数，则一定能被8整除， ∵， ∴， ∴能被a和整除， 故答案为：ABD． 9.（2024-2025八年级上·湖北孝感·期末）已知，则的值是 ． 【答案】25 【分析】本题考查了因式分解的应用，把变形为，将代入，整理后再次代入即可． 【解答】解：∵， ∴ ． 故答案为：25． 10．（2025-2026八年级上·重庆·阶段练习）等腰的两边长为，，且则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，三角形三边关系，非负数性质，求得的值是解题的关键．根据完全平方公式因式分解，根据平方的非负性，求得的值，根据等腰的性质，即可求解． 【解答】解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴，， 解得，， ∵等腰的三边长为、、， 当时，,不能构成三角形； 当时，的周长为； 综上，的周长为． 故答案为：． 11.（2024-2025八年级下·湖北黄石·阶段练习）当为整数时，试说明：能被整除． 【答案】见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． 利用平方差公式对原式进行因式分解，然后进行判断即可． 【解答】解：， 为整数， 为整数， 能被整除． 12.（2025-2026八年级上·四川成都·阶段练习）（1）已知的平方根是，b是8的立方根，c是的整数部分，求的算术平方根． （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查平方根、立方根、无理数的估算、乘法公式及实数的运算，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据题意易得，然后问题可求解； （2）由题意易得，然后问题可求解． 【解答】解：（1）∵的平方根是，b是8的立方根， ∴， ∴， ∵，且c是的整数部分， ∴， ∴， ∴的算术平方根为； （2）∵，， ∴，， ∴． 13．（2025-2026八年级上·湖南·阶段练习）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： (1)类比应用，求______； (2)通过计算，证明：不论取何值，总有比大2； (3)若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是，理由见详解 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式的应用，需熟练完全平方公式，掌握解题的关键是理解并掌握整体思想和换元思想． （1）利用整体思想和完全平方公式进行化简即可； （2）利用多项式乘多项式法则计算左右两边的算式即可； （3）利用乘法的结合律和多项式乘多项式的法则对原式进行整理，再利用整体思想和完全平方公式进行整理即可． 【解答】（1）解：， 将看成整体，令， 则原式， 再将“A”还原，可得原式， ∴； 故答案为：． （2）证明：∵，． ∴， ∴不论取何值，总有比大2． （3）解：是，理由如下： 对进行分组：． 分别展开可得． 令，则原式可化为． 展开式子得． 根据完全平方公式，． 再将还原， 可得． 因为为正整数， 所以也是整数， 所以的值是某一个整数的平方． 14．（2025-2026八年级上·山东淄博·阶段练习）阅读材料，并解答问题． 例题：求多项式的最小值． 解：， ，， 多项式的最小值是． (1)请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是________； 当取最小值时，______，______． (2)求多项式的最大值． 【答案】(1)完全平方公式，， (2)16 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式以及完全平方数的非负性是解题的关键． （1）观察例题分解过程，确定用到的公式，再根据完全平方数的非负性求出、的值； （2）通过配方法将多项式转化为含有完全平方的形式，再根据完全平方数的非负性求最大值． 【解答】（1）解：过程中使用了完全平方公式． 故答案为：完全平方公式． 原式， 当，时，式子取到最小值， 此时，，，； （2）解：原式 ， ，， ， 即所求最大值为，当且仅当时取到最大值． 15．（2023-2024八年级上·四川资阳·期末）阅读材料1：若一个正整数x能表示成（a、b是正整数，且）的形式，则称这个数为“风月同天数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为，所以5 是“风月同天数”，叫做5的平方差分解． 阅读材料2：如果一个自然数各位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”．例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”；再如：656，9898，37373，171717，…，都是“摆动数”． (1)在7和2中是“风月同天数”的是 ； (2)已知（x、y是正整数，k是常数，且），要使M是“风月同天数”，试求出符合条件的一个k，并说明理由； (3)对于一个三位数N，N的十位数字是9，个位数字与百位数字相等且小于或等于2，N既是“摆动数”又是“风月同天数”，请求出N的所有平方差分解． 【答案】(1)7 (2) (3)或 【分析】本题考查了平方差公式的应用，完全平方公式的应用，因式分解的应用，二元一次方程组的解法，体现了分类讨论的数学思想，解题时不要漏解． （1）根据风月同天数的定义进行判断． （2）由题意可得，结合概念可得，进一步可得答案． （3）根据题意得：或，然后分情况分别计算即可． 【解答】（1）解：7是风月同天数，2不是风月同天数，理由如下： 设，a，b均为正整数，且 ， 所以， 则， ∴，， 解得，， 则，即7是风月同天数； 设，a，b均为正整数，且， 所以， 则， ∴，， 解得，， 因为a，b的值不是正整数，所以2不是“风月同天数”； （2）解：∵ ， ∵M是“风月同天数”， ∴， 解得：． （3）解：根据题意得：或， 当时，设，a，b均为正整数，且 ， 所以， 则， ∴，， 解得，， 则； 当时，设，a，b均为正整数，且， 所以， 则， 当，， 解得，， a，b不是正整数，不符合题意，这种情况不存在； 当，， 解得，， a，b是正整数，符合题意，故； 当，， 解得，， a，b不是正整数，不符合题意，故这种情况不存在； 综上所述：N的所有平方差分解为：或． 16．（2024-2025八年级上·福建福州·阶段练习）已知三个正数a，b，c满足（温馨提示：、 对于任意正数 x， 都有） (1)求证：； (2)a 是大于1的整数，且有，， ①若 ，求的值； ②当（，且n是整数）时，比较b与的大小，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②当时，；当时，；当时，即． 【分析】本题考查的是应完全平方公式分解因式，算术平方根的含义，利用平方根的含义解方程； （1）利用完全平方公式把原式化为，进一步可得答案； （2）①由两式相加可得，再利用两式相减即可得到答案；②根据作差法得到，分三种情况：当时；当时；当时进行讨论即可求解． 【解答】（1）解：∵三个正数a，b，c满足， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：①∵，， ∴两式相加得，， ∴； 两式相减得，． ②∵（，且n是整数）， ∴， ∴， 又由①中，， 而，， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴两式相加得， ∴， ∴， 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即． 17.（2025-2026八年级上·北京海淀·期中）若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．因为． 再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． (1)请说明29是“完美数”． (2)已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． (3)如果数m，n都是“完美数”，试说明也是“完美数”． (4)已知实数x，y满足，则的最小值等于______． 【答案】(1)是 (2) (3)见解析 (4)9 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方公式的应用，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据29是“完美数”定义证明即可； （2）利用完全平方公式，将配成完美数，可求的值， （3）设，，再证明即可; （4）由得到，，那么，再由完全平方的非负性求解最值． 【解答】（1）解：∵， ∴29是“完美数”； （2）解：，是完美数，理由如下： ， ∵是整数， ∴也是整数， ∴当，即，是完美数； （3）证明：设，，，，，为整数）， ， ∵是整数， ∴都是整数， 是完美数． （4）解： ， ∴， ∵， ∴，即， 故的最小值等于，当时取得最小值， 故答案为：9． 18．（2025-2026八年级上·湖南长沙·期中）定义：若多项式有一个大于1的整数因式，则称该多项式是这个整数的半完美多项式，若多项式有一个一次因式，则称该多项式是这个因式的完美多项式． (1)当，为整数时，下列式子中是16的半完美多项式的有________． ①  ②  ③  ④ (2)若关于的多项式是的完美多项式，求的值． (3)已知正整数，，满足不等式，且，若关于的多项式（为常数）是的完美多项式，此完美多项式的另一个因式最小值为，求，的值． 【答案】(1)②④ (2) (3)， 【分析】本题考查了新定义，整式的混合运算，因式分解的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新定义判断即可； （2）根据新定义，设，则，得到，求解即可； （3）由，得到，得到当时，，得到，根据新定义得到，则此完美多项式的另一个因式为，根据且最小值为，得到，求解即可． 【解答】（1）解：①，是一个单项式，故①不符合题意； ②，该式有因子，是的半完美多项式，故②符合题意； ③，没有等于的因子，故③不符合题意； ④，因为，为整数，所以与中必有一个为偶数，则是2的倍数，所以是16的倍数，是的半完美多项式，故④符合题意； 故答案为：②④； （2）解：设 ， ； （3）解：， ， ，为正整数， 当时，， 当取其它值时，与题意不符，舍去； ， 是的完美多项式 此完美多项式的另一个因式为， 且最小值为， ， ． 【特训09】 直通中考真题 1．（2025·广西·中考真题）因式分解：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解．利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【解答】解：． 故选：A 2．（2024·云南·中考真题）分解因式：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了提取公因式和公式法进行因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键． 将先提取公因式，再运用平方差公式分解即可． 【解答】解：， 故选：A． 3．（2024·广西·中考真题）如果，，那么的值为（   ） A．0 B．1 C．4 D．9 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可． 【解答】解：∵，， ∴ ； 故选D． 4．（2024·福建福州·中考真题）若，则M的最小值是（   ） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式变形得到，再根据非负数的性质即可求出M的最小值． 【解答】解： ， ∵，， ∴， ∴M的最小值是2020． 故选：C． 5．（2023·河北·中考真题）若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 【答案】B 【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 【解答】解： ， 能被3整除， ∴的值总能被3整除， 故选：B． 【点评】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为通过因式分解，可以把多项式分解成若干个整式乘积的形式． 6．（2025·江苏苏州·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，直接利用分解因式即可. 【解答】解：， 故答案为： 7．（2025·山西·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，掌握平方差公式的特点是解题的关键；由平方差公式分解即可． 【解答】解：； 故答案为：． 8．（2025·甘肃·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 直接根据完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：， 故答案为：． 9．（2025·北京·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 原式提取7，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解： ， 故答案为：． 10．（2025·黑龙江绥化·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：． 故答案为：． 11．（2025·四川成都·中考真题）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，根据题意可得多项式加上一个单项式后可以变为一个多项式的平方的展开式，据此根据完全平方公式的特点求解即可． 【解答】解：由题意得，加上的单项式可以为，理由如下： ， ∴符合题意， 故答案为：（答案不唯一）． 12．（2024·北京·中考真题）分解因式： . 【答案】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【解答】． 故答案为：． 13．（2024·甘肃临夏·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，掌握公式法分解因式是解题关键．直接利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：． 故答案为：． 14．（2024·江苏常州·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查的是公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解本题的关键． 利用完全平方公式分解． 【解答】解：． 故答案为：． 15．（2024·山东威海·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多项式乘以多项式展开，然后利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解： 故答案为：． 16．（2024·四川凉山·中考真题）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，先把的左边分解因式，再把代入即可求出的值． 【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 17．（2024·四川广元·中考真题）分解因式： ． 【答案】/ 【分析】首先利用完全平方式展开，然后合并同类项，再利用完全平方公式进行分解即可． 【解答】． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式：． 18．（2024·四川达州·中考真题）若，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用以及代数式的化简求值，熟练掌握平方差公式和代数式的变形方法是解题的关键．先通过已知条件得出的值，再将和用含、的式子表示，代入所求式子化简计算． 【解答】解：∵， ∴， ∵，， ∴，即 ∴， ∴由得， 由得， ∴ ， 当时，原式， 故答案为：． 19．（2023·四川凉山·中考真题）已知是完全平方式，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据，计算求解即可． 【解答】解：∵是完全平方式， ∴， 解得， 故答案为：． 【点评】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于熟练掌握：． 20．（2024·福建·中考真题）已知实数满足． (1)求证：为非负数； (2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)不可能都为整数，理由见解析． 【分析】本小题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力． （1）根据题意得出，进而计算，根据非负数的性质，即可求解； （2）分情况讨论，①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数，根据奇偶数的性质结合已知条件分析即可． 【解答】（1）解：因为， 所以． 则 ． 因为是实数，所以， 所以为非负数． （2）不可能都为整数． 理由如下：若都为整数，其可能情况有：①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数． ①当都为奇数时，则必为偶数． 又，所以． 因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾． ②当为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数． 又因为，所以． 因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾． 综上所述，不可能都为整数． 21．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（   ）（   ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 【答案】(1)（），；（）； (2) 【分析】（）（）根据规律即可求解；（）根据规律即可求解； （）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可； 本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键． 【解答】（1）（）由规律可得，， 故答案为：，； （）由规律可得，， 故答案为：； （2）解：假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 故答案为：． 22．（2023·浙江嘉兴·中考真题）观察下面的等式： (1)写出的结果． (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数） (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题干的规律求解即可； （2）根据题干的规律求解即可； （3）将因式分解，展开化简求解即可． 【解答】（1）； （2）； （3） ． 【点评】此题考查数字的变化规律，因式分解，整式乘法的混合运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中的变化规律． 学科网（北京）股份有限公司 $