精品解析：重庆市江津中学校2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

2025-2026学年度重庆市江津中学高2023级高三上期中考试 数学学科试题 说明：开考前，请考生先将自己的姓名、准考证号和座位号填写在答题卡对应位置.作答时，选择题部分必须用2B铅笔填涂，非选择题部分用0.5mm黑色墨迹签字笔书写. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则 A. B. C. D. 3. 已知的内角所对的边分别为，若，则（　　） A B. C. 或 D. 或 4. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A. 新农村建设后，种植收入减少 B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C 新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 5. 在同一坐标系中，直线与圆的图形情况可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（　　） A. 48种 B. 72种 C. 96种 D. 144种 7. 数列中，，，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数最小正周期为π D. 函数的值域为 10. 如图，在三棱锥中，，则（　　） A. 二面角的大小为 B. 三棱锥的体积为 C. 在棱上存在一点，使得 D. 三棱锥外接球的表面积为 11. 已知分别是双曲线左、右焦点，经过点且倾斜角为钝角的直线与的两条渐近线分别交于两点，点为上第二象限内一点，则（ ） A. 若双曲线与有相同渐近线，且的焦距为8，则的方程为 B. 若，则的最小值是 C. 若内切圆的半径为1，则点的坐标为 D. 若线段的中垂线过点，则直线的斜率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，若，则与之间的距离为__________. 13. 若曲线在处的切线的倾斜角为，则______. 14. 有6张卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，6，背面均写有数字7．先把这些卡片正面朝上排成一排，且第个位置上的卡片恰好写有数字．然后掷一枚质地均匀的骰子，若向上点数为n，则将第n个位置上的卡片翻面并置于原处．进行上述实验3次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，在这一条件下，计算骰子恰有一次点数为3的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期及的值； （2）若，求的取值范围. 16. 如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 17. 某制药公司研发一种新药，需要开展临床用药试验．随机征集了一部分志愿者作为样本参加试验，并得到一组数据，其中，表示连续用药i天，相应的临床药效指标值．已知该组数据中y与之间具有线性相关关系，令，经计算得到下面一些统计量的值： ，，，，， （1）求关于的经验回归方程； （2）该公司要用甲与乙两套设备同时生产该种新药，已知设备甲的生产效率是设备乙的1.5倍，设备甲生产药品的不合格率为0.008，设备乙生产药品的不合格率为0.006，且设备甲与乙生产的药品是否合格相互独立． ①从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率； ②在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中恰有二件是设备乙生产的概率． 参考公式：对于一组数据，其回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为经过点且倾斜角为的直线l与椭圆交于A，B两点（其中点A在x轴上方），且的周长为8．将平面沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后A，B在新图形中对应点记为，． （1）当时， ①求证：； ②求平面和平面所成角的余弦值； （2）是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 19. 设定义在上的函数满足：对于任意的、，当时，都有. （1）若，求的取值范围； （2）若为周期函数，证明：是常值函数； （3）设恒大于零，是定义在上、恒大于零的周期函数，是的最大值. 函数. 证明：“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度重庆市江津中学高2023级高三上期中考试 数学学科试题 说明：开考前，请考生先将自己的姓名、准考证号和座位号填写在答题卡对应位置.作答时，选择题部分必须用2B铅笔填涂，非选择题部分用0.5mm黑色墨迹签字笔书写. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】先求集合A，再根据交集运算求解. 【详解】由题意可得：，所以. 故选：B. 2. 若，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据复数运算法则求解即可. 【详解】．故选D． 【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题． 3. 已知的内角所对的边分别为，若，则（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理解三角形，求出角的正弦值，判断角的大小即可. 【详解】由正弦定理知，，即，解得， 又，所以，所以． 故选：A． 4. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A. 新农村建设后，种植收入减少 B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【答案】A 【解析】 【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项. 【详解】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M， 则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确； 新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确； 新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确； 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确； 故选A. 点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果. 5. 在同一坐标系中，直线与圆的图形情况可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】联立，可得，当时可判断BC；圆心为，由原点与圆的位置关系求出的范围，根据圆心所在象限及的符号即可判断AD. 【详解】联立，可得，解得, 当，则方程组无解，即直线与圆无交点，故BC错误. 化为标准方程为, 其圆心，半径为. 由选项可得，将化为斜截式可得. 对于A，圆心在第一象限，则，解得. 由原点在圆外，可得，故. 由直线方程可得，矛盾，故A错误. 对于D，圆心在第二象限，则，解得. 由原点在圆外，可得，故， 由直线方程可得，故D正确. 故选:D. 6. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（　　） A. 48种 B. 72种 C. 96种 D. 144种 【答案】B 【解析】 【分析】 区域与其他区域都相邻，从开始分步进行其它区域填涂可解 【详解】解：根据题意，如图，假设5个区域依次为，分4步分析： ①，对于 区域，有4种涂法， ②，对于区域，与 相邻，有3种涂法， ③，对于区域，与 相邻，有2种涂法， ④，对于区域，若其与 区域同色，则 有2种涂法， 若 区域与 区域不同色，则 有1种涂法，则 区域有2+1＝3种涂色方法， 则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种； 故选： B． 【点睛】本题考查两个计数原理的综合问题 使用两个计数原理进行计数的基本思想：对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数． 7. 数列中，，，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知得出，再应用等比数列求和公式计算求参即可. 【详解】令，则由，得，即， 所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，所以， 所以 ，解得. 故选:C. 8. 已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设切点分别为和，再由导数求得斜率相等，得到，构造函数由导数求得参数的范围． 【详解】的导数的导数为， 设与曲线相切的切点为相切的切点为， 则有公共切线斜率为， 又，即有，即为，即有， 则有，即为，恰好存在两条公切线，即有两解， 令，则， 当时，递减，当时，递增， 即有处取得极大值，也为最大值，且为， 由恰好存在两条公切线可得与 有两个交点， 可得的范围是， 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数的最小正周期为π D. 函数的值域为 【答案】BD 【解析】 【分析】举出反例判断A；化简，结合正弦函数性质可判断B；举反例判断C；分类讨论去掉绝对值符号，结合正弦函数性质判断D. 【详解】对于A，函数，定义域R， ，， 即，故函数的图象不关于直线对称，A错误； 对于B，当时，， 则，而， 故在上单调递增，B正确； 对于C，结合，，， 可知π不是函数的最小正周期，C错误； 对于D，当时，，，，此时最大值为2，最小值为-2， 当，时，， 则函数的值域为，D正确， 故选：BD 10. 如图，在三棱锥中，，则（　　） A. 二面角的大小为 B. 三棱锥的体积为 C. 在棱上存在一点，使得 D. 三棱锥外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：由二面角的定义以及条件可得到即为二面角的平面角，计算此角即可；对于B：容易得到平面，从而利用棱锥的体积公式计算即可；对于C：计算出与平面所成的角，由线面角为线与平面里的线所成角的最小值，可得到的最小值，从而可判断C；对于D：由平面，可把三棱锥补成圆柱体，利用圆柱体外接球的求法可得答案. 【详解】对于A：易知，所以， 又因为，所以， 又因为，平面，所以平面， 从而可得即为二面角的平面角， 因为是边长为2的等边三角形，所以二面角的大小为，故A正确； 对于B：三棱锥的体积为，故B正确； 对于C：易知在平面上的射影在棱上，则与平面所成的角为， 若点在棱上，则的取值范围为，故C错误； 对于D：由平面，可把三棱锥补成如图的圆柱体， 此圆柱体的外接球即为三棱锥的外接球. 等边三角形的外接圆半径，又因为， 所以此圆柱的外接球的半径， 故所求外接球的表面积为，故D正确． 故选：ABD 11. 已知分别是双曲线的左、右焦点，经过点且倾斜角为钝角的直线与的两条渐近线分别交于两点，点为上第二象限内一点，则（ ） A. 若双曲线与有相同的渐近线，且的焦距为8，则的方程为 B. 若，则的最小值是 C. 若内切圆的半径为1，则点的坐标为 D. 若线段的中垂线过点，则直线的斜率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据共渐近线设双曲线方程，结合双曲线得性质即可得双曲线方程，从而判断A；根据双曲线的定义转换可得的最小值，从而判断B；设内切圆圆心为，直线与圆的切点分别为，根据双曲线的定义结合与三角形内切圆的几何性质，即可得点的坐标，从而判断C；根据线段垂直平分线结合点差法确定直线与垂线斜率关系，并检验直线是否符合即可确定直线斜率，从而判断D. 【详解】对于A，依题意设双曲线（且），即， 又的焦距为8，所以，，所以的方程为或，故A错误； 对于B，因为，所以， ，当且仅当三点共线时等号成立，故B正确； 对于C，设内切圆圆心为，直线与圆的切点分别为． 则，，，所以， ，解得，， 连接，则内切圆半径，，，， 所以轴，点在第二象限，坐标为，故C正确； 对于D，设的中点为，两渐近线可写成，设，， 则，且，作差可得， 整理得，即（*）， 在中，，则， 故，即， 将此式代入（*）得，，解得，由直线的倾斜角为钝角知，则，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，若，则与之间的距离为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据两直线平行的充要条件求出，利用两平行线间距离公式求解. 【详解】由，可得，解得， 所以直线，即， 所以与间距离为. 故答案为：. 13. 若曲线在处的切线的倾斜角为，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求得，再利用正弦与余弦的齐次式计算即可. 【详解】因为， 所以，，则. 故答案为：3. 14. 有6张卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，6，背面均写有数字7．先把这些卡片正面朝上排成一排，且第个位置上的卡片恰好写有数字．然后掷一枚质地均匀的骰子，若向上点数为n，则将第n个位置上的卡片翻面并置于原处．进行上述实验3次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，在这一条件下，计算骰子恰有一次点数为3的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设事件3次试验后，卡片朝上的数字之和为偶数为，设事件三次试验中抛掷骰子所得点数恰有一次为3为，先计算，最后利用条件概率公式即可求解. 【详解】由已知，试验前卡片朝上的数字之和为，数字之和为奇数， 若抛掷骰子所得点数为奇数，则试验后卡片朝上的数字之和仍然为奇数， 若抛掷骰子所得点数为偶数，则试验后卡片朝上的数字之和变为偶数， 所以事件进行3次实验后卡片朝上的数字之和为偶数，等于事件三次试验中抛掷骰子所得点数有一次为偶数，余下两次为奇数，或三次试验中抛掷骰子所得点数都为偶数， 设事件3次试验后，卡片朝上的数字之和为偶数为， 设事件三次试验中抛掷骰子所得点数恰有一次为3为， 记表示第次试验中抛掷骰子所得点数为偶数，，则， 设表示第次试验中抛掷骰子所得点数为1或5，，则， 设表示第次试验中抛掷骰子所得点数为3，，则， 所以，所以， 事件表示三次试验中有一次骰子的点数为3，另两次的点数为一个奇数一个偶数其中奇数为1或5， 所以， 所以，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期及的值； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）最小正周期，；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据二倍角公式、辅助角公式化简函数式，即可求最小正周期及的值；（2）利用复合函数求值域方法求的范围； 【详解】（1）由题意知：，有， ∴， （2） . 【点睛】本题考查了三角函数的性质，利用二倍角公式、辅助角公式化简函数式，进而求周期、函数值，以及区间内的值域； 16. 如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直； (2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值. 【详解】(1)如图所示，连结， 等边中，，则， 平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面， 由面面垂直的性质定理可得：平面，故， 由三棱柱的性质可知，而，故，且， 由线面垂直的判定定理可得：平面， 结合⊆平面，故. (2)在底面ABC内作EH⊥AC，以点E为坐标原点，EH,EC,方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系. 设，则，,， 据此可得：， 由可得点的坐标为， 利用中点坐标公式可得：，由于， 故直线EF的方向向量为： 设平面的法向量为，则： ， 据此可得平面的一个法向量为， 此时， 设直线EF与平面所成角为，则. 【点睛】本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 17. 某制药公司研发一种新药，需要开展临床用药试验．随机征集了一部分志愿者作为样本参加试验，并得到一组数据，其中，表示连续用药i天，相应的临床药效指标值．已知该组数据中y与之间具有线性相关关系，令，经计算得到下面一些统计量的值： ，，，，， （1）求关于的经验回归方程； （2）该公司要用甲与乙两套设备同时生产该种新药，已知设备甲的生产效率是设备乙的1.5倍，设备甲生产药品的不合格率为0.008，设备乙生产药品的不合格率为0.006，且设备甲与乙生产的药品是否合格相互独立． ①从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率； ②在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中恰有二件是设备乙生产的概率． 参考公式：对于一组数据，其回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，． 【答案】（1）； （2）①0.0072；②. 【解析】 【分析】（1）应用最小二乘法求回归直线方程； （2）设事件A：随机抽取一件药品来自设备甲生产，事件B：随机抽取一件药品来自设备乙生产，事件C：随机抽取一件该公司生产的药品为不合格品，①应用全概率公式求概率即可；②应用贝叶斯公式求所抽药品为不合格品，该药品来自设备乙生产的概率，再应用独立重复试验的概率求法求目标概率. 【小问1详解】 ，，所以， 则，故y关于t线性回归方程为， 所以y关于x的回归方程为. 【小问2详解】 设事件A：随机抽取一件药品来自设备甲生产，事件B：随机抽取一件药品来自设备乙生产，事件C：随机抽取一件该公司生产的药品为不合格品． ①因为设备甲的生产效率是设备乙的1.5倍，所以，，则，． 所以． 故所抽药品为不合格品的概率为0.0072． ②，即所抽药品为不合格品，该药品来自设备乙生产的概率为， 所以三件不合格品中恰有二件是设备乙生产的概率为． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为经过点且倾斜角为的直线l与椭圆交于A，B两点（其中点A在x轴上方），且的周长为8．将平面沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后A，B在新图形中对应点记为，． （1）当时， ①求证：； ②求平面和平面所成角的余弦值； （2）是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①证明过程见解析；② （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）①根据椭圆定义得到，结合离心率得到，求出，得到椭圆方程，联立直线方程和椭圆，得到，得到⊥，结合二面角为直二面角，得到线面垂直，证明出结论； ②建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，从而求出面面角的余弦值； （2）设折叠前，折叠后对应的，设出直线的方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，根据折叠前后的周长关系得到，变形得到，代入两根之和，两根之积，求出，进而求出的值. 【小问1详解】 ①由椭圆定义可知， 所以的周长，所以， 因为离心率为，故，解得， 则，由题意，椭圆的焦点在轴上， 所以椭圆方程为， 直线，即， 联立得，解得或， 当时，，当时，， 因为点A在x轴上方，所以， 故⊥，折叠后有⊥， 因为二面角为直二面角，即平面⊥，交线为， 平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥； ②以为坐标原点，折叠后的轴负半轴为轴，原轴为轴，原轴正半轴为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 其中平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则， 令得，故， 设平面与平面夹角为， 则， 故平面与平面的夹角的余弦值为； 【小问2详解】 设折叠前，折叠后对应的， 设直线方程为， 将直线与椭圆方程联立得，， 则， 在折叠前可知， 折叠后，在空间直角坐标系中，，， 由，， 故， 所以①， 分子有理化得， 所以②， 由①②得， 因为 ， 故， 即， 将代入上式得 ， 两边平方后，整理得， 即，解得， 因为，所以. 【点睛】出题非常新颖，将立体几何和解析几何结合，考查学生的综合能力，在解决图形的翻折问题时，应找出其中变化的量和没有变化的量，包括位置关系和数量关系，通常翻折后还在同一平面上的元素之间的位置关系不发生变化，不在同一平面上的元素之间的位置关系发生变化，解题时应抓住不变量，利用平面几何知识或建立空间直角坐标系进行求解. 19. 设定义在上的函数满足：对于任意的、，当时，都有. （1）若，求的取值范围； （2）若为周期函数，证明：是常值函数； （3）设恒大于零，是定义在上、恒大于零的周期函数，是的最大值. 函数. 证明：“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”. 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）直接由f（x1）﹣f（x2）≤0求得a的取值范围； （2）若f（x）是周期函数，记其周期为Tk，任取x0∈R，则有f（x0）＝f（x0+Tk），证明对任意x∈[x0，x0+Tk]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+Tk），可得f（x0）＝f（x0+nTk），n∈Z，再由…∪[x0﹣3Tk，x0﹣2Tk]∪[x0﹣2Tk，x0﹣Tk]∪[x0﹣Tk，x0]∪[x0，x0+Tk]∪[x0+Tk，x0+2Tk]∪…＝R，可得对任意x∈R，f（x）＝f（x0）＝C，为常数； （3）分充分性及必要性证明．类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明． 【详解】（1）解：由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）＝a（x13﹣x23）≤0， ∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0． 故a的范围是[0，+∞）； （2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为Tk，任取x0∈R，则有 f（x0）＝f（x0+Tk）， 由题意，对任意x∈[x0，x0+Tk]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+Tk）， ∴f（x0）＝f（x）＝f（x0+Tk）． 又∵f（x0）＝f（x0+nTk），n∈Z，并且 …∪[x0﹣3Tk，x0﹣2Tk]∪[x0﹣2Tk，x0﹣Tk]∪[x0﹣Tk，x0]∪[x0，x0+Tk]∪[x0+Tk，x0+2Tk]∪…＝R， ∴对任意x∈R，f（x）＝f（x0）＝C，为常数； （3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）＝c1，设g（x）的一个周期为Tg，则 h（x）＝c1•g（x），则对任意x0∈R， h（x0+Tg）＝c1•g（x0+Tg）＝c1•g（x0）＝h（x0）， 故h（x）是周期函数； 必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为Th． 任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2Th≤x0﹣Tg， 即[x0﹣Tg，x0]⊆[x0﹣N2Th，x0]， ∵…∪[x0﹣3Tk，x0﹣2Tk]∪[x0﹣2Tk，x0﹣Tk]∪[x0﹣Tk，x0]∪[x0，x0+Tk]∪[x0+Tk，x0+2Tk]∪…＝R， ∴…∪[x0﹣2N2Th，x0﹣N2Th]∪[x0﹣N2Th，x0]∪[x0，x0+N2Th]∪[x0+N2Th，x0+2N2Th]∪…＝R． h（x0）＝g（x0）•f（x0）＝h（x0﹣N2Th）＝g（x0﹣N2Th）•f（x0﹣N2Th）， ∵g（x0）＝M≥g（x0﹣N2Th）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2Th）＞0． 因此若h（x0）＝h（x0﹣N2Th），必有g（x0）＝M＝g（x0﹣N2Th），且f（x0）＝f（x0﹣N2Th）＝c． 而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）＝f（x0）＝C，为常数． 综上，必要性得证． 【点睛】本题考查抽象函数及其应用，考查逻辑思维能力与理论运算能力考查分类讨论的数学思想方法，题目设置难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $