专题12 平行线重点模型（四大必考模型）-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版新教材）

专题12 平行线重点模型 【模型一：“铅笔模型”】......................................................1 【模型二：“猪蹄模型”】......................................................2 【模型三：“臭脚模型”】......................................................7 【模型四：“抬头模型”】......................................................8 【模型一：“铅笔模型”】 1．若两根平行木条与钉子E的位置如图所示，求证：． 2.如图，已知AB∥CD． （1）如图1所示，∠1+∠2＝　 　； （2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝　 　；并写出求解过程． （3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　； （4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝　 　． 【模型二：“猪蹄模型”】 1．已知直线，且、和、分别交于A、B和C、D两点，（如图）点P在上．设，，， (1)探究、、之间的关系，下面给出推导过程请你填写理由． 证明：过点P作 （已作） （    ） ，（已知） （    ） （    ） (2)如果点P在A、B两点之间运动时，、、之间的关系 发生变化（填会或不会） (3)如果点P在A、B两点外侧运动时，①当点P在射线上时，猜想、、之间的关系为 （点P和A、B不重合）；②当点P在射线上时，猜想∠1、∠2、∠3之间的关系为 （点P和A、B不重合）． 2．如图，，．试说明与之间的关系，并说明理由． 3．如图，直线，被直线所截，且，点E在线段上，P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，，．若，请利用（1）中的结论，求的度数． (3)如图3，若，，请写出和之间的数量关系，并说明理由． 4．（1）已知直线，点为平行线，之间的一点．如图，若，，平分，平分，求的度数． （2）（探究）如图，当点在直线的上方时，若，，和的角平分线交于点，求的度数；若与的角平分线交于点 与的角平分线交于点．以此类推，求的度数． （3）（变式）如图，的角平分线的反向延长线和的补角的角平分线交于点，试猜想与的数量关系，并说明理由． 5．已知，，点为射线上一点． (1)如图1，当点在线段上时，若，求的度数． (2)如图2，当点在的延长线上时，此时与交于点，则之间满足怎样的等量关系，请说明你的结论． 6．平面内和，存在一个常数，使得，则称为的k倍补角，例如，，，则为的2倍补角． (1)是的5倍补角，，则 ； (2)如图1，在平面内，，点E在左侧，连接、． ①若，是的3倍补角，求； ②在①的条件下，点F在直线、之间，且在折线右侧，为的k倍补角，为的k倍补角，求（用k表示）． 7．如图1，一个直角三角板的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于点E、F．    (1)如图1，若，请判断直线a与b的位置关系，并说明理由； (2)如图2，在问题（1）的条件下，若N为上一点，且，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 8．【感知】 （1）如图1，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线之间一点，连接．求证：； 小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程． 证明：过点B作， ∴ （两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（ ）， ∴， ∵， ∴． 【类比探究】 （2）如图2，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B、F是直线之间的点，连接平分，平分，设，若，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线之间一点，连接平分，平分，已知，试探究的度数，若不变求其值，若变化说明理由． 【模型三：“臭脚模型”】 1.已知，    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若平分平分，则与有怎样的数量关系，并说明理由 2.如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 如图，，，，，则为(　　)      A． B． C． D． 【模型四：“抬头模型”】 1．已知直线，点A在上，点B在上． (1)如图1，点C在上方，连、，求证：； (2)如图2，点C在与之间，连、，延长交于点D，点S在直线上 ①当点S在点D的左边时，则、、、之间有何数量关系？请说明理由； ②当点S在点D的右边时，直接写出、、、之间的数量关系． 2.如图，，点E，G分别在直线，上，F是平面内任意一点，连接，． (1)探究：如图1，当点F在直线的左侧时，试说明：． (2)问题迁移：如图2，当点F在的上方时，，，之间有何数量关系？请说明理由． (3)联想拓展：如图3，若，的平分线和的平分线交于点P，用含的式子表示的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 平行线重点模型 【模型一：“铅笔模型”】......................................................1 【模型二：“猪蹄模型”】......................................................3 【模型三：“臭脚模型”】......................................................18 【模型四：“抬头模型”】......................................................22 【模型一：“铅笔模型”】 1．若两根平行木条与钉子E的位置如图所示，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理的推论可得，然后根据平行线的性质可得，由此即可得证． 【详解】证明：如图，过点作． ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 2.如图，已知AB∥CD． （1）如图1所示，∠1+∠2＝　 　； （2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝　 　；并写出求解过程． （3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　； （4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝　 　． 【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180° 【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案； （2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案； （3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案； （4）由（2）（3）类比可得答案． 【详解】解：（1）如图1，∵AB∥CD， ∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：180°； （2）如图2，过点E作AB的平行线EF， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF，CD∥EF， ∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°， ∴∠1+∠2+∠3=360°； （3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线， 类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°， 故答案为：540°； （4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°， 故答案为：（n-1）×180°． 【点睛】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键． 【模型二：“猪蹄模型”】 1．已知直线，且、和、分别交于A、B和C、D两点，（如图）点P在上．设，，， (1)探究、、之间的关系，下面给出推导过程请你填写理由． 证明：过点P作 （已作） （    ） ，（已知） （    ） （    ） (2)如果点P在A、B两点之间运动时，、、之间的关系 发生变化（填会或不会） (3)如果点P在A、B两点外侧运动时，①当点P在射线上时，猜想、、之间的关系为 （点P和A、B不重合）；②当点P在射线上时，猜想∠1、∠2、∠3之间的关系为 （点P和A、B不重合）． 【答案】(1)见解析 (2)不变 (3)；． 【分析】本题考查平行线的判定及性质，掌握平行线的判定及性质是解题的关键． （1）根据平行线的判定及性质即可解答； （2）点P在A、B两点之间运动时，同（1）可得，即可解答； （3）分两种情况：①当点P在射线上时，②点P在射线上时，同（1）思路即可求解． 【详解】（1）证明：过点P作 ∵（已作） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵ ∴； 故答案为：两直线平行，内错角相等；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等． （2）解：如果点P在A、B两点之间运动时，同（1）可得 ，关系不变． 故答案为：不变； （3）解：①当点P在射线上时，如图， 过点P作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴即；； 当点P在射线上时，如图， 过点P作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴即． 综上所述，当点P在A、B两点外侧运动时或． 故答案为：；． 2．如图，，．试说明与之间的关系，并说明理由． 【答案】互余，理由见详解 【分析】本题考查了平行公理的推论，平行线的性质、垂直的定义等知识，根据题意正确添加辅助线是解题关键．作,即可证明，从而得到，根据即可证明与互余． 【详解】解：与互余，理由如下： 如图，作, ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与互余． 3．如图，直线，被直线所截，且，点E在线段上，P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，，．若，请利用（1）中的结论，求的度数． (3)如图3，若，，请写出和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，通过构造平行线利用平行线的性质是解决问题的关键． （1）过点E作，得到，利用平行线的性质得到，，得出结论； （2）根据（1）的结论得到，利用平行线的性质得到，结合角平分线定义以及利用（1）的结论得出结果； （3）设，，得到，利用（1）的结论得出结果． 【详解】（1）解：过点E作． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． （2）解：由（1）的结论得， ∴， ∵，， ∴， 由（1）的结论得； （3）解：．理由如下： 如图，设，． ∵，， ∴，， ∴， 由（1）的结论得，， ∴， 即． 4．（1）已知直线，点为平行线，之间的一点．如图，若，，平分，平分，求的度数． （2）（探究）如图，当点在直线的上方时，若，，和的角平分线交于点，求的度数；若与的角平分线交于点 与的角平分线交于点．以此类推，求的度数． （3）（变式）如图，的角平分线的反向延长线和的补角的角平分线交于点，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】； ； ． 【分析】过点作，根据平行线的判定可知，利用平行线的性质可证，，再根据角之间的位置关系可得； 过点作，可得，利用平行线的性质可得：，同理可得：，根据规律可得：； 过点作，可得：，根据平行线的性质可得：，由可得：，所以可得． 【详解】解：如下图所示，过点作， ， ， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ，， ； 解：如下图所示，过点作， ， ， ，， ， ， 和分别是和的角平分线， ，， ， 同理：， 以此类推，可得：； 解：， 理由如下： 如下图所示，过点作， ， ， ，， ， 平分，平分， ，， ， 由可知， ． 【点睛】本题考查了平行线性质以及类比思想的运用、探索图形的规律，解决本题的关键是作辅助线，构造出平行线，利用平行线的性质找角之间的关系，运用类比的思想推导出角之间的规律． 5．已知，，点为射线上一点． (1)如图1，当点在线段上时，若，求的度数． (2)如图2，当点在的延长线上时，此时与交于点，则之间满足怎样的等量关系，请说明你的结论． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，正确作出辅助线是解决问题的关键． （1）过E作，根据平行线的性质得到，，即可求得. （2）过E作，根据平行线的性质得到，，即． 【详解】（1）解：过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴. （2）解：． 理由如下： 过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 6．平面内和，存在一个常数，使得，则称为的k倍补角，例如，，，则为的2倍补角． (1)是的5倍补角，，则 ； (2)如图1，在平面内，，点E在左侧，连接、． ①若，是的3倍补角，求； ②在①的条件下，点F在直线、之间，且在折线右侧，为的k倍补角，为的k倍补角，求（用k表示）． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了平行线的性质、余角与补角、新定义等问题． （1）根据k倍补角的定义求解即可； （2）①过点E作，所以，进而求出的度数； ②分类讨论，点F在右侧或者左侧，画出图形，利用k倍角定义建立方程从而得出关于k的关系式，即可得解． 【详解】（1）解：∵是的5倍补角， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①如图1，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由题意得，， ∴， ∴，即； ②∵，， ∴， 由①得， ∴， ∴， 分以下两种情况讨论： 如图2，若点F在右侧， 则； 如图3，若点F在左侧，连接并延长， ∵ 是 的外角， ∴， 同理可得， ∴ ； 综上所述，或． 7．如图1，一个直角三角板的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于点E、F．    (1)如图1，若，请判断直线a与b的位置关系，并说明理由； (2)如图2，在问题（1）的条件下，若N为上一点，且，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)．理由见解析 (2)．理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质； （1）根据，，求得，根据平行线的判定定理即可得到结论； （2）如图，过点C作，等量代换得到，求得，于是得到． 【详解】（1）解：．理由： ∵，， ∴， ∴． （2）解：．理由： 如图，过点C作，    ∵， ∴． ∵， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 8．【感知】 （1）如图1，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线之间一点，连接．求证：； 小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程． 证明：过点B作， ∴ （两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（ ）， ∴， ∵， ∴． 【类比探究】 （2）如图2，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B、F是直线之间的点，连接平分，平分，设，若，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线之间一点，连接平分，平分，已知，试探究的度数，若不变求其值，若变化说明理由． 【答案】（1）；平行于同一直线的两直线平行；（2）；（3）的值不变，为． 【分析】此题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的判定与性质及角的和差求解即可； （2）根据角平分线定义、结合（1）结论求解即可； （3）根据角平分线定义、结合（1）结论求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，过点B作， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴， ∵， ∴． 故答案为：；平行于同一直线的两直线平行； （2）∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴由（1）可得， ∴ ， ∴的度数为； （3）解：的值不变，为， 理由：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 由（1）可得， ∴ ， ∵， ∴． 【模型三：“臭脚模型”】 1.已知，    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若平分平分，则与有怎样的数量关系，并说明理由 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）如图所示，过点E作，则，根据平行线的性质分别求出，则； （2）如图所示，过点F作，过点E作，则，则有，，再根据角平分线的定义得到，再证明，，由此即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴    （2）解：，理由如下： 如图所示，过点F作，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．    【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，正确作出辅助线并且熟知平行线的性质是解题的关键． 2.如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，正确添加辅助线是解决本题的关键．过点A作，过点E作，则，由题意可设，，则，，，，因此，，，则． 【详解】解：过点A作，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴. 故选：B． 如图，，，，，则为(　　)      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过E作，过H作，利用平行线的性质解答即可． 【详解】解：过E作，过H作， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 同理∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 故选：B．    【点睛】此题考查平行线的性质和平行公理的推论，关键是作出辅助线，利用平行线的性质解答． 【模型四：“抬头模型”】 1．已知直线，点A在上，点B在上． (1)如图1，点C在上方，连、，求证：； (2)如图2，点C在与之间，连、，延长交于点D，点S在直线上 ①当点S在点D的左边时，则、、、之间有何数量关系？请说明理由； ②当点S在点D的右边时，直接写出、、、之间的数量关系． 【答案】(1)见详解 (2)①，理由见详解；② 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，能熟练利用平行线的判定及性质探究角之间的关系是解题的关键． （1）过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，即可得证； （2）①过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，，即可求解； ②当在线段上（不与重合）时，过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质，，，即可求解； 当在的右边时，同理可求． 【详解】（1）证明：过作， ， ， ，， ； （2）解：①； 理由如下：过作， ， ， ， ， ， ； ②当在线段上（不与重合）时， 过作， ， ， ， ， ， ； ； 当在的右边时， 过作， 同理可求：； 综上所述：． 2.如图，，点E，G分别在直线，上，F是平面内任意一点，连接，． (1)探究：如图1，当点F在直线的左侧时，试说明：． (2)问题迁移：如图2，当点F在的上方时，，，之间有何数量关系？请说明理由． (3)联想拓展：如图3，若，的平分线和的平分线交于点P，用含的式子表示的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】该题主要考查了平行线的性质和判定，解题的关键是正确做出辅助线． （1）如图1，过点F作，根据平行线性质得出．再结合，得出，得出，即可证明． （2）如图2，过点F作，根据平行线性质得出．结合，得出，根据平行线性质得出，即可证明． （3）如图3，过点F作，过点P作，得出，．证明，，根据平行线性质得出，．结合角平分线的定义即可求解； 【详解】（1）解：如图1，过点F作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：． 理由：如图2，过点F作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）解：如图3，过点F作，过点P作， 则，． ∵， ∴，， ∴，． ∵，， ∴，． ∵的平分线和的平分线交于点P， ∴，， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $