专题04 一次函数5大高频考点（期末真题汇编，山东专用）八年级数学上学期北师大版

专题04 一次函数 常考考点概览 考点01 一次函数的定义 考点02 一次函数的性质 考点03 一次函数的图像 考点04 一次函数的应用 考点05 一次函数与几何综合 地 城 考点01 一次函数的定义 一、单选题 1．(24-25八上·山东青岛·期末)下列命题中，是真命题的有（   ） ①如果两个数的和是有理数，那么它们可能是无理数 ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ③一个数的平方根等于它本身，这个数一定是0 ④一次函数的图像经过原点，这个函数一定是正比例函数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据实数的性质、垂线的性质、平方根的概念、正比例函数的性质判断即可． 【详解】解：①如果两个数的和是有理数，那么它们可能是无理数，选项说法正确，是真命题，例如：是有理数，和是无理数，故符合题意； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，选项说法错误，是假命题，故不符合题意； ③一个数的平方根等于它本身，这个数一定是0，选项说法正确，是真命题，故符合题意； ④一次函数的图像经过原点，这个函数一定是正比例函数，选项说法正确，是真命题，故符合题意； 则是真命题的有①③④，共3个． 故选：C． 二、填空题 2．(24-25八上·山东枣庄滕州北辛街道北辛中学·期末)已知点A是直线上一点，其横坐标为，若点B与点A关于y轴对称，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，解题的关键是点坐标． 把代入，求出点坐标，再利用轴对称的性质求出点坐标即可． 【详解】解：点是直线上一点，其横坐标为， 把代入得，， ， 点与点关于轴对称， ， 故答案为：． 3．(23-24八上·山东枣庄中区·期末)点在直线上，则代数式的值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查代数式求值，一次函数上的点与其解析式的关系，根据题意，将点代入直线得到，恒等变形得到，整体代入代数式即可得到答案，熟练掌握整体代入求代数式值的方法是解决问题的关键． 【详解】解：点在直线上， 将点代入直线得到， ， 故答案为：． 地 城 考点02 一次函数的性质 一、单选题 1．(24-25八上·山东济南·期末)已知点，都在直线上，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，分别把点，代入直线，求出，的值，再比较大小即可．熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解：点，都在直线上， ，． ， ． 故选：B． 2．(24-25八上·山东济南长清区·期末)已知点，在函数图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象的增减性是解答此题的关键．先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴y随着x的增大而增大． ∵点，是一次函数图象上的两个点，， ∴． 故选：A． 3．(23-24八上·山东济南·期末)若一次函数的函数值y随x的增大而减小，则k的值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的增减性．对于一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．熟记相关结论即可． 【详解】解：由题意得：， ∴ 故选：A 4．(23-24八上·山东青岛城阳区·期末)已知点在第二象限，一次函数与正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象以及点的坐标，先根据点在第二象限，得，再根据一次函数与正比例函数的图象性质，即可作答． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴ ∵一次函数 ∴一次函数经过第一、二、四象限； ∵正比例函数，且 ∴正比例函数经过第二、四象限 观察A、B、C、D四个选项，只有A选项符合题意， 故选：A 二、填空题 5．(23-24八上·山东青岛即墨区·期末)如果点和都在直线上，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质．根据“一次函数中，当，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”即可求解． 【详解】∵， ∴y随x的增大而减小， ∵点和都在直线上，且， ∴． 故答案为：． 6．(23-24八上·山东济南东南片区·期末)若点与点都在直线上，那么m n（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合，即可得出． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而增大， 又∵点与点都在直线上，且， ∴． 故答案为：． 地 城 考点03 一次函数的图像 一、单选题 1．(23-24八上·山东济南平阴县·期末)关于正比例函数，下列结论正确的是（    ） A． B．随的增大而减小 C．图象不经过原点 D．图象必经过点 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质；根据正比例函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：对于正比例函数，，图象过原点，且随的增大而减小，当时，，即图象不经过点；所以A、C、D三个选项错误，选项B正确； 故选：B． 2．(23-24八上·山东济南·期末)如图，直线与x轴、y轴分别相交于E，F．点F的坐标为，点P是直线上的一动点，若的面积为4，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的解析式以及一次函数与坐标轴的交点问题．将代入可得解析式，令，可得，据此即可求解． 【详解】解：将代入可得： ∴ 令，可得； ∴ 设点 ∴的面积， 解得：或 ∴或 ∴点P的坐标为或 故选：D． 3．(23-24八上·山东济南·期末)已知点在第二象限，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查判断一次函数经过的象限，根据第二象限内点的符号特征，得到，进一步得到，即可得出结果． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴， ∴一次函数经过第二，三，四象限， 故选：B． 4．(22-23八上·山东枣庄第十五中学西校区·期末)在平面直角坐标系中，直线是函数的图象，将直线l平移后得到直线，则下列平移方式正确的是（　　） A．将l向右平移4个单位长度 B．将l向左平移4个单位长度 C．将l向上平移4个单位长度 D．将l向下平移4个单位长度 【答案】C 【分析】利用一次函数图象的平移规律，右加左减，上加下减，即可得出答案． 【详解】解：设将直线向左平移a个单位后得到直线（）， ∴， 解得：， 故将直线向左平移个单位后得到直线， 同理可得，将直线向上平移4个单位后得到直线， 观察选项，只有选项C符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数图象与平移变换，解题的关键是掌握一次函数图象的平移规律：右加左减，上加下减． 二、解答题 5．(24-25八上·山东济南·期末)某学校社团开展了《哪一款手机资费套餐更合适》学习活动．下表是调查的有关信息： 项目主题 哪一款手机资费套餐更合适 调查方式 资料查阅，实际访谈 调查内容 请根据表中的信息完成下列问题： (1)根据调查内容，某用户使用流量为，使用语音分钟，按A套餐月资费为______元，按B套餐月资费为______元； (2)根据访谈内容，小明妈妈每月语音通话不超过分钟，设她每月使用流量为，每月的手机资费为元． ①若她使用的是A套餐，与的函数关系为：当时，；时，．如图为与的函数图象．若她使用套餐，请求出与之间的函数关系式，并在坐标系中画出它的图象； ②若她某月使用流量为，则使用______（填：A或B）套餐月资费更少； ③若她某月的月资费为元，请判断使用哪种套餐流量更多，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①,图象见解析；②B；③使用B种套餐流量更多，理由见解析 【分析】此题考查了一次函数的实际应用， （1）分别根据两种套餐求出费用即可； （2）①分两种情况求出函数解析式，画出函数图象即可；②根据图象回答问题即可；③分别求出当时，A套餐的流量为，B套餐，比较后后即可得到答案． 【详解】（1）按A套餐：（元）， 按B套餐：元， 故答案为：， （2）解：当时，； 当时，； ∴ B套餐的大致图象如图； ； ②由图象可知，若她某月使用流量为，则使用B套餐月资费更少； 故答案为：B ③使用B种套餐流量更多，理由： 当时，A套餐，，， B套餐，，， ∴使用B种套餐流量更多 地 城 考点04 一次函数的应用 一、单选题 1．(24-25八上·山东枣庄薛城区·期末)人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小语从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小语先出发，且速度保持不变，小语出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为（），小数和小语行走的路程分别为（），（），，与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的有（   ）个． ①小数比小语先出发秒；②小语提速后的速度为；③；④从小数出发至送餐结束，小语和小数最远相距 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息．根据图象信息求出运动速度进而判断①②③；分别求得以及各段的函数解析式，结合函数图象即可判断④． 【详解】解：结合图象可知，小数比小语早出发15秒，故①正确； ∵当秒时，，当秒时，厘米， 故小语提速前的速度是厘米/秒， ∵小语出发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴小语提速后速度为30厘米/秒，故②正确； 故提速后小语行走所用时间为：秒， ∴秒， ∴， ∴小数的速度为厘米/秒 ∴秒，故③正确； 设段对应的函数表达式为 ， 将点代入，可得， 可得， ∴可有， 当时，小数和小语之间距离最大值为厘米； 当时，设 ， 将，代入， 可得，解得， ∴此阶段有， ∴小数和小语之间距离， 当时，取最大值，最大值为厘米； 设段对应的函数表达式为 ， 将，代入， 可得，解得， ∴此阶段有， 当时，小数和小语之间距离， 当时，取最大值，最大值为厘米； 当时，小数和小语之间距离最大值为厘米． 综上所述，从小数出发直至送餐结束，小数和小语之间距离的最大值为150厘米，故选项④正确． 故正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 2．(23-24八上·山东青岛崂山区·期末)甲车从城出发匀速行驶至城，乙车从城出发匀速行驶至城，在整个行驶过程中，甲、乙两车距离城的距离与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（    ） A．两城相距 B．乙车比甲车晚出发1小时 C．甲乙两车相遇时甲车行驶了2.5小时 D．当甲、乙两车相距96千米时， 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意t是甲车所用的时间．观察图象可判断A、B，由图象所给数据可求得甲、乙两车的速度，然后根据两车相遇时所走路程之和为360列出方程，解方程即可求出t，从而判断C；分甲、乙两车相遇前、后两种情况，根据两车所走路程与A，B两地之间距离和甲、乙位置列出方程求出t即可判断D． 【详解】解：由图象可知A、B两城市之间的距离为，乙是在甲出发1小时后出发的， 故A、B都正确，不符合题意； 甲车速度为：，乙车的速度为， 设甲车出发t小时，两车相遇， 根据题意得：， 解得， ∴甲车出发2.5小时，两车相遇， 故C正确，不符合题题； 两车相遇前，甲、乙两车相距96千米， 根据题意得，， 解得； 两车相遇后，甲、乙两车相距96千米， 根据题意得，， 解得， 综上所述，当或3时甲、乙两车相距96千米， 故D错误，符合题意． 故选：D． 二、填空题 3．(24-25八上·山东青岛·期末)某校八年级同学到距学校6千米的郊外春游，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，沿相同路线前往．如图，、分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程（千米）与所用时间（分钟）之间的函数图象，则以下四个结论中正确的有 （填序号）． ①骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟； ②步行的速度是千米/时； ③骑车的同学从出发到追上步行的同学用了20分钟； ④骑车的同学和步行的同学同时到达目的地． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据一次函数的图象上特殊点的坐标和实际意义逐项判断即可求解，熟练掌握函数图象信息是解题的关键． 【详解】解：①骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟，①正确； ②，步行的速度是（千米/时），②正确； ③骑车的同学从出发到追上步行的同学用了（分钟），③正确； ④骑车的同学到达目的地时间为54分钟，步行的同学到达目的地时间为60分钟，不同时到达目的地，④不正确． ∴正确的有①②③， 故答案为：①②③． 4．(24-25八上·山东青岛南区·期末)同一条公路连接，，三地，在，之间．小明和小张两人分别乘车从、同时出发匀速前往．小张乘坐的汽车中途出现故障，维修后继续行驶，最终两人同时到达．如图，表示小明、小张两人之间的距离与时间的函数关系．下列结论正确的是 ． ①小明的速度是；     ②，两地相距； ③小张中途休息40分钟； ④小明行驶与小张相遇． 【答案】①②④ 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程的关系是解题的关键． ①当时，小明落后于小张，当时，小明超过小张，这个期间小张处于静止状态，根据速度路程时间列式计算出小明的速度即可； ②根据小明的速度行驶时间列式计算，两地的距离即可； ③当时，小张乘坐的汽车中途出现故障；当时，小张乘坐的汽车维修结束后开始继续行驶，据此计算小张中途休息的时间即可； ④从到两人相遇时，小张处于静止状态，小明行驶了，根据时间路程速度求出从到两人相遇所用的时间，从而计算出两人何时相遇． 【详解】解：小明的速度是， ①正确，符合题意； ，两地相距， ②正确，符合题意； 小张中途休息的时长为， ③不正确，不符合题意； ， 小明行驶与小张相遇， ④正确，符合题意． 故答案为：①②④． 5．(23-24八上·山东青岛南区·期末)甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发匀速驶向B地，后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了，结果与甲车同时到达B地．甲乙两车距A地的路程与乙车行驶时间之间的函数图象如图所示，则下列说法：①；②甲的速度是；③乙出发追上甲；④乙刚到达货站时，甲距B地．其中正确的有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， ，故①正确， 甲的速度是：，故②正确， 设乙刚开始的速度为，则，得， 则设经过，乙追上甲， ， 解得，，故③正确， 乙刚到达货站时，甲距B地：，故④正确， 综上，四个选项都是正确的， 故答案为：①②③④ 三、解答题 6．(23-24八上·山东枣庄薛城区·期末)我国传统的计重工具——秤的应用，方便了人们的生活，如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量. 称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（斤）．如表中为若干次称重时所记录的一些数据． （厘米） 1 2 4 8 （斤） 0.75 1.00 1.50 2.5 (1)在图2中先将表，的数据通过描点的方法表示出来，再观察判断，的函数关系并求出该函数关系式，最后求秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少斤？ (2)已知这杆秤的可称物重最重是13斤，求秤砣到秤纽的最大水平距离． 【答案】(1)，杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5斤； (2)秤砣到秤纽的最大水平距离为50厘米． 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）描点，连线，得到函数图象，利用待定系数法求解即可； （2）把代入求解即可． 【详解】（1）解：描点，连线，函数图象如图： 观察图象得，的函数关系为一次函数， 设的函数关系式， 图象过，， ∴， 解得，， ， 验证：把代入，， 点在这个函数图象上， 把代入得,， 点在这个函数图象上， 此函数是一次函数； 把代入， 得， 杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5斤； （2）解：把代入， 得，． 求秤砣到秤纽的最大水平距离50厘米． 7．(23-24八上·山东济南东南片区·期末)A，B两地相距360千米，甲、乙两车先后从A地出发到B地．如图，线段表示甲车离A地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线表示乙车离A地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系．根据图象回答下列问题． (1)求线段所在直线的函数解析式； (2)乙车到达B地后，甲车距B地多少千米？ (3)求点P的坐标，并说明点P坐标的实际意义． 【答案】(1) (2)60千米 (3)，点P坐标的实际意义是：甲出发3.5小时，在距A地210千米处，乙追上甲 【分析】本题主要考查待定系数法确定函数关系式以及一次函数的应用， 根据题意找到过线段的点，利用待定系数法求的解析式即可； 根据图象的到甲的速度和乙到达B地的时间，即可求得甲车距B地路程； 根据图象联立求得点P，结合实际说明点P的意义即可． 【详解】（1）解：（1）设的解析式为，将，代入得： ， 解得， ∴的解析式为； （2）由图可得甲的速度为（千米/时）， 乙5小时到达B后，甲车距B地正好还有1小时路程，（千米）； （3）由甲的速度为60(千米/时)，可得解析式为， 由题意得方程组 解得， ∴， ∴点P坐标的实际意义是：甲出发3.5小时，在距A地210千米处，乙追上甲． 8．(23-24八上·山东济南·期末)今年寒假，小明的父母为了培养他阅读的习惯，采用奖励金的方式．于是制定了两种方案： 方案一：先预支元的奖励金，另外再按读书本数计费： 方案二：无预支奖励金，直接按所读书本数计费，每读一本奖励元． 根据如图信息，解答下列问题： (1)设读书本数为x本，采用方案一所得奖励金为y1（元），采用方案二所得奖励金为y2（元），分别求出y1，y2关于x的函数解析式； (2)请你结合图象，帮助小明计算并选择哪种方案所得奖励金更多． 【答案】(1)， (2)当读书少于本时，选择方案一所得奖励金更多；当读书多于本时，选择方案二所得奖励金更多． 【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，掌握待定系数法是解题关键． （1）设方案一的解析式为，设方案二的解析式为，分别代入图象上的点即可求解； （2）求出的自变量取值，结合函数图像即可求解． 【详解】（1）解：设方案一的解析式为， 把点代入得， 解得 ； 设方案二的解析式为， 把点代入得， ； （2）解：当时，， 解得：， ∴当读本书时选择方案一、二所得奖励金相等； 由图象可知： 当读书少于本时，选择方案一所得奖励金更多；当读书多于本时，选择方案二所得奖励金更多． 9．(24-25八上·山东青岛李沧区·期末)如图1是甲、乙两个圆柱形容器的轴截面示意图，乙容器中有一圆柱形铁块（圆柱形铁块的下底面始终完全落在容器底面上）．现将甲容器中的水匀速注入乙容器，甲、乙两个容器中水的深度与注水时间之间的关系如图2所示． 根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)图2中折线表示______容器中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示______容器中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点的纵坐标表示的实际意义是______； (2)注水多长时间时，甲、乙两个容器中水的深度相同？ (3)若乙容器的底面积为平方厘米（壁厚不计）． ①求甲容器的底面积（壁厚不计）； ②求乙容器中铁块的体积． 【答案】(1)乙，甲，圆柱形铁块的高度为cm (2)注水时，甲、乙两个容器中水的深度相同 (3)① ；② 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式、圆柱的体积公式是解题的关键． （1）根据甲容器中水的深度逐渐减小、乙容器中水的深度逐渐增加分别判断折线、线段表示哪个容器中水的深度与注水时间之间的关系；从点开始，乙容器中单位时间内水的深度的增加开始变小，由此判断此时水的深度为圆柱形铁块的高度； （2）利用待定系数法分别求出线段和的函数关系式，当甲、乙两个容器中水的深度相同时两函数值相等，据此列关于的方程并求解即可； （3）①设甲容器的底面积为，利用圆柱的体积公式，根据时间从到时，甲容器中水的体积的减少量等于乙容器中水的体积的增加量列关于的方程并求解即可； ②设乙容器中铁块的体积为，利用圆柱的体积公式，根据时间从到时，甲容器中水的体积的减少量与乙容器中铁块的体积之和等于乙容器的底面与水深之积． 【详解】（1）解：图2中折线表示乙容器中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示甲容器中水的深度与注水时间之间的关系，点的纵坐标表示的实际意义是圆柱形铁块的高度． 故答案为：乙，甲，圆柱形铁块的高度为cm； （2）解：设线段的函数关系式为（为常数，且， 将坐标代入， 得， 解得， 线段的函数关系式为 ， 设线段的函数关系式为（、为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 线段的函数关系式为 ， 当甲、乙两个容器中水的深度相同时，得， 解得， 答：注水时，甲、乙两个容器中水的深度相同； （3）解：①当时间从到时： 乙容器中水的深度增加了， 当时，甲容器中水的深度为； 当时，甲容器中水的深度为； 甲容器中水的深度减少了， 设甲容器的底面积为， 则， 解得， 答：甲容器的底面积为； ②当时间从到时： 当时，甲容器中水的深度为； 当时，甲容器中水的深度为； 甲容器中水的深度减少了， 设乙容器中铁块的体积为， 则， 解得 答：乙容器中铁块的体积为． 地 城 考点05 一次函数与几何综合 一、单选题 1．(23-24八上·山东济南济南实验初级中学·期末)在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点、、的坐标分别为、、，点是直线与轴的交点，点在直线上，若点关于直线的对称点恰好落在四边形内部（不包括正好落在边上），则的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，解题的关键是明白该题涉及直线垂直时“”之间的关系；直线的交点坐标与对应方程组的解之间的关系；中点坐标公式需要熟悉． 【详解】解：∵点在直线上， ∴，得到， 于是直线的表达式是． 于是过点与直线垂直的直线解析式为． 联立方程组， 解得，则交点． 根据中点坐标公式可以得到点， ∵点在长方形的内部， ∴， 解得或者． 本题答案：或者． 故选：C． 2．(23-24八上·山东济南·期末)在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点和点的关联值如下：若，，在一条直线上；若，，不在一条直线上．已知点坐标为，点坐标为，有下列结论： ①； ②若，，则点坐标为； ③满足的点，都在一三象限角平分线和二四象限角平分线上； ④若平面中任意一点满足，则满足条件的点的全体组成的图形面积为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形、一次函数的应用，理解题中定义是解答的关键．根据三角形的面积公式结合坐标与图形求解即可． 【详解】解：∵点坐标为，点坐标为， ∴，， ∴，故①正确； 若，，则O、A、P共线，， ∴，则， ∴点P坐标为或，故②错误； 若，则，设， ∴， ∴，即点P到坐标轴的距离不相等， 故满足条件的点P，不在一三象限角平分线和二四象限角平分线上，故③错误； 若平面中任意一点满足，设， 则，即， ∴， 对于， 当，时，，与x轴交点坐标为，与y轴的交点坐标为； 当，时，，与x轴交点坐标为，与y轴的交点坐标为； 当，时，，与x轴交点坐标为，与y轴的交点坐标为； 当，时，，与x轴交点坐标为，与y轴的交点坐标为， 在同一坐标系中画出它们的图象，如图， ∴满足围起来的图形面积为， 即满足条件的点的全体组成的图形面积为，故④正确， 综上，正确的结论为①和④， 故选：B． 3．(23-24八上·山东济南中区·期末)一次函数，，点是，与轴围成的三角形内一点（含边界），令，的最大值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查两条直线相交的问题，掌握一次函数图象的性质，点坐标的特点，明确点在交点处S最大是解题的关键． 根据题意可求出点的坐标，可得，根据两条直线的交点处，图形的面积最大，由此可得，再根据即可求解． 【详解】解：一次函数，令，则；令，则； 一次函数与轴的交点为， ∵点是，与轴围成的三角形内一点（含边界）， ∴， 如图所示， ∴当点在点处，的值最大，即点在直线的图象上， ∴， ∴， 解得，， ∴交点坐标为：， ∴点在一次函数的图象上， ∴， 解得，， 故选：． 二、填空题 4．(24-25八上·山东济南长清区·期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点B在x轴负半轴上，且．若点为边的中点，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点A匀速运动，设点M运动的时间为t（秒）．下列结论：①点B的坐标为；②直线的关系式为；③当时，的面积为3；④在点M运动的过程中，为直角三角形，则点M的坐标为或．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①③/③① 【分析】①由勾股定理求出，则，即可得出点B的坐标； ②利用待定系数法即可求出所在直线的解析式； ③把代入得出，求出点M的坐标为，再求出三角形面积即可； ④当点M在上，即时，为钝角三角形不能成为直角三角形；当时，点M运动到点O，点不构成三角形，当时，点M运动到点A，点不构成三角形，当点M在上（除点），即时，当时，当时，作，根据勾股定理以可求出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴，故①正确； 设所在直线解析式为， 则， 解得：， ∴所在直线解析式为，故②错误； 把代入得：， ∴， 当时，点M的坐标为， ∴，故③正确； 当点M在上，即时，为钝角三角形不能成为直角三角形； 当时，点M运动到点O，点不构成三角形， 当时，点M运动到点A，点不构成三角形， 当点M在上（除点），即时， 如图，当时， 则， ∵点， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 此时，； 如图，当时，作于H， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 此时，； 综上所述，符合要求时，点或，故④错误； 综上分析可得：正确的是①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形三线合一的性质，坐标与图形的性质，正确画出图形进行分类讨论是解题的关键． 三、解答题 5．(24-25八上·山东枣庄·期末)如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的，并写出的坐标； (2)计算：的面积； (3)若点P为轴上一动点，使得的值最小，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析， (2) (3) 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，利用网格求三角形面积，一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可，再结合图形写出的坐标； （2）利用割补法求三角形面积即可； （3）连接交轴于，连接，此时的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式为，即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为所作， 由图可得：； （2）解：的面积为； （3）解：连接交轴于，连接， 由轴对称的性质可得：， ∴， 故当点、、在同一直线上时，的值最小， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为． 6．(24-25八上·山东济南·期末)如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，交轴于点，过点的直线交轴正半轴于点，点是线段的中点． (1)求直线的关系式； (2)将沿着射线方向平移到如图2的位置，得到，若线段恰好经过点，求平移的距离； (3)将沿着射线方向平移个单位至，如图3所示．点的对应点为，点为轴上一动点，连接，试探究：在直线上是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)存在，F的坐标为，或，或 【分析】（1）求出，由可求出直线的关系式为 ； （2）取的中点H，连接，求出，由得，由三角形中位线性质得，，由平移性质得四边形是平行四边形，即得； 取的中点H，连接，利用三角形的中位线求出的长即可求解；（3）设，过点作轴于点Q，求出，得，由 ，得，∴，得，由平移知，当时，过点E作直线轴于点I，过点F作于点J，证明 ，得,由，得，解得，或，得或； 当时，分别过点E、F作轴于点K，轴于点L，同理，,∴，得，由，得，得． 【详解】（1）解：∵中， 当时，， ∴， 设直线的关系式为， ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：取的中点H，连接， ∵中， 当时，， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点 ∴，， 由平移知，： ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴平移的距离为3； （3）解：设， 过点作轴于点Q， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是向右平移3个单位再向下平移3个单位至的， ∵，D是的中点， ∴， ∴， 当时， 过点E作直线轴于点I，过点F作于点J， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， 或， 解得， ∴或； 　　　 当时， 分别过点E、F作轴于点K，轴于点L， 同理，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴ F的坐标为，或，或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，平移性质，三角形中位线性质，平行四边形判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质，分类讨论，是解答本题的关键． 7．(24-25八上·山东济南钢城区·期末)如图，直线与轴，轴交于点，点在直线上，点的横坐标为1． (1)求点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了一次函数的几何综合，一次函数与坐标轴的交点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为直线与轴，轴交于点，故当时，，当时，，然后把代入计算，即可作答． （2）先得，结合，故，即可作答． 【详解】（1）解：∵直线与轴，轴交于点， 当时，， 当时，，解得：， ，， 当时，则， ； （2）解：， ， ， ． 8．(24-25八上·山东济南·期末)如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点，点是线段上的任意一点，过点作直线∥y轴，直线交直线于点，交直线于点． (1)求直线的函数表达式； (2)当时，求的面积； (3)连接，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）把代入，求出直线的关系式，再求出点，然后根据待定系数法求出直线的关系式； （2）先设点，可表示，再根据纵坐标的差表示，然后根据，求出m的值，接下来分两种情况求出，即可得出面积； （3）过点A作于点H，过点H作轴于点K，过点B作于点T，先说明是等腰直角三角形，接下来证明，即可得出点，再求出直线的关系式，然后得出点，进而得出答案． 【详解】（1）解：把代入，得 ， 解得， ∴直线的关系式为． 当时，， ∴点． 将点和点代入直线的关系式，得 ， 解得， 所以直线的关系式； （2）解：设，则， ∴． ∵， ∴， 解得或． 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴． 综上所述，的面积是或； （3）解：过点A作于点H，过点H作轴于点K，过点B作于点T， ∵点， ∴， ∴， ∴． ∴， 即． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 设， ∵， ∴， 解得， ∴． 由点，可知直线的关系式：． 当时，， ∴． 在中，当时，， ∴点； 综上所述，点Q的坐标为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求直线关系式，一次函数与几何图形，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，作出辅助线构造全等三角形式解题的关键． 9．(24-25八上·山东枣庄滕州·期末)如图，直线与轴、轴分别交于点和点是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处．求： (1)求、两点坐标； (2)求坐标； (3)在轴上找一点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或或 【分析】本题考查一次函数、勾股定理于折叠、等腰三角形的定义等知识点，将图形与数学知识相结合是解题的关键． （1）令可求得A点坐标；令，得B点坐标； （2）由勾股定理可得线段，由折叠的性质可知，，进而得到，设，则，在中，由勾股定理可得m值，即可确定点M坐标； （3）由勾股定理可得，然后分三种情况分别画出图形并运用等腰三角形的定义和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解： ， 令，则；，则； ，； （2）解： ，， ，， ， 由折叠的性质可知，， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得， 解得， ； （3）解：由（2）知，， ； 以点M为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时， ； ； 以点为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时， 或， 或； 如图：作线段的垂直平分线交x轴于一点P，此时，， 设，则， 在中，由勾股定理可得， 解得， ； 综合上述，点P的坐标为或或或． 10．(24-25八上·山东枣庄中区·期末)数学中，常对同一图形的面积用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，这是一种重要的数学方法．如图1，两个直角边分别为，斜边长为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形． (1)［探究发现］解：有三个直角三角形其面积分别为和，直角梯形的面积为．由图形可知：．整理得，即结论为：直角边长分别为，斜边为的直角三角形中：______． (2)［尝试应用］ 如图2，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，若是的边上的高．求： ①面积； ②的长． (3)［联系拓展］ 如图3，在坐标系中，直线与轴、轴分别交于点和，直线经过坐标原点，且，垂足为．求： ①点和点的坐标． ②点到轴的距离． 【答案】(1) (2)①，② (3)①，，② 【分析】（1）结合梯形面积和三角形面积公式列出等式，然后整理即可得出答案； （2）①利用割补法解得面积即可；②首先根据勾股定理解得的值，然后利用面积法计算的长即可； （3）①令时，，令时，，即可求出点的坐标；②首先利用勾股定理解得，得的长度，再利用面积法解得得长度，进而利用勾股定理可得的值，设点到轴的距离为，然后利用面积法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，结论为：直角边长分别为，斜边为的直角三角形中：． 故答案为：； （2）①的面积； ②由勾股定理知， ， ，解得； （3）①由得，当时，， 当时，， ，； ②由，得，， ， ∵， ， 在中，由勾股定理得， 设点到轴的距离为， ， ， 解得， 点到轴的距离为． 【点睛】本题主要考查了一次函数、图形的面积、一次函数图像上点的坐标特征、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握对同一图形的面积用两种不同的方法计算，从而得出等式． 11．(24-25八上·山东滕州洪绪中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)若直线 ：与轴、轴、直线分别交于点、、，求面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，坐标与图形面积，一次函数的交点坐标问题，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）把代入可得答案； （2）先求解点的坐标为，、，联立与可得，则，再利用三角形的面积公式计算即可； 【详解】（1）解：把代入， 得， ， ∴直线：； （2）解：直线：， ∴点的坐标为， ∵直线：与轴、轴、直线分别交于点、、， 当时，，当时，，解得， 、， 联立与得， 解得， ， ， ， 的面积为； 12．(23-24八上·山东枣庄滕州·期末)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，点是线段上一点（不与点重合）．    (1)求点的坐标． (2)连接，将沿直线翻折得到，点为点的对应点，点在第一象限，且． ①求点的坐标． ②若直线与交于点，在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点，点； (2)①；②存在，或或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，轴对称的性质，等腰三角形的判定等知识，求出直线解析式和分类讨论是解题的关键． （1）将点代入先求出b的值，即可得点A，点B坐标； （2）①过点P作于F，由折叠的性质可得 ，，可得则，即可求解；②求出点E的坐标，利用勾股定理得，再分三种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，有，解得：， ∴点，点 （2）解：①过点P作于F，    ∵将沿直线翻折得到， ∴, ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ②如图：    ∵， ⋅ ∵，直线与交于点E， ∴，解得， ∴点E的坐标, ∴， 当是以为腰的等腰三角形时，， ∴, ∴点Q的坐标为 当是以为腰的等腰三角形时，， ∴， ∴点Q的坐标为， 当是以为腰的等腰三角形时，， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴点Q的坐标为； 综上，存在点Q，使是以为腰的等腰三角形，点Q的坐标为或或． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一次函数 常考考点概览 考点01 一次函数的定义 考点02 一次函数的性质 考点03 一次函数的图像 考点04 一次函数的应用 考点05 一次函数与几何综合 地 城 考点01 一次函数的定义 一、单选题 1．(24-25八上·山东青岛·期末)下列命题中，是真命题的有（   ） ①如果两个数的和是有理数，那么它们可能是无理数 ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ③一个数的平方根等于它本身，这个数一定是0 ④一次函数的图像经过原点，这个函数一定是正比例函数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 2．(24-25八上·山东枣庄滕州北辛街道北辛中学·期末)已知点A是直线上一点，其横坐标为，若点B与点A关于y轴对称，则点B的坐标为 ． 3．(23-24八上·山东枣庄中区·期末)点在直线上，则代数式的值是 ． 地 城 考点02 一次函数的性质 一、单选题 1．(24-25八上·山东济南·期末)已知点，都在直线上，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 2．(24-25八上·山东济南长清区·期末)已知点，在函数图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 3．(23-24八上·山东济南·期末)若一次函数的函数值y随x的增大而减小，则k的值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 4．(23-24八上·山东青岛城阳区·期末)已知点在第二象限，一次函数与正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．(23-24八上·山东青岛即墨区·期末)如果点和都在直线上，则与的大小关系是 ． 6．(23-24八上·山东济南东南片区·期末)若点与点都在直线上，那么m n（填“”、“”或“”）． 地 城 考点03 一次函数的图像 一、单选题 1．(23-24八上·山东济南平阴县·期末)关于正比例函数，下列结论正确的是（    ） A． B．随的增大而减小 C．图象不经过原点 D．图象必经过点 2．(23-24八上·山东济南·期末)如图，直线与x轴、y轴分别相交于E，F．点F的坐标为，点P是直线上的一动点，若的面积为4，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 3．(23-24八上·山东济南·期末)已知点在第二象限，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 4．(22-23八上·山东枣庄第十五中学西校区·期末)在平面直角坐标系中，直线是函数的图象，将直线l平移后得到直线，则下列平移方式正确的是（　　） A．将l向右平移4个单位长度 B．将l向左平移4个单位长度 C．将l向上平移4个单位长度 D．将l向下平移4个单位长度 二、解答题 5．(24-25八上·山东济南·期末)某学校社团开展了《哪一款手机资费套餐更合适》学习活动．下表是调查的有关信息： 项目主题 哪一款手机资费套餐更合适 调查方式 资料查阅，实际访谈 调查内容 请根据表中的信息完成下列问题： (1)根据调查内容，某用户使用流量为，使用语音分钟，按A套餐月资费为______元，按B套餐月资费为______元； (2)根据访谈内容，小明妈妈每月语音通话不超过分钟，设她每月使用流量为，每月的手机资费为元． ①若她使用的是A套餐，与的函数关系为：当时，；时，．如图为与的函数图象．若她使用套餐，请求出与之间的函数关系式，并在坐标系中画出它的图象； ②若她某月使用流量为，则使用______（填：A或B）套餐月资费更少； ③若她某月的月资费为元，请判断使用哪种套餐流量更多，并说明理由． 地 城 考点04 一次函数的应用 一、单选题 1．(24-25八上·山东枣庄薛城区·期末)人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小语从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小语先出发，且速度保持不变，小语出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为（），小数和小语行走的路程分别为（），（），，与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的有（   ）个． ①小数比小语先出发秒；②小语提速后的速度为；③；④从小数出发至送餐结束，小语和小数最远相距 A．1 B．2 C．3 D．4 2．(23-24八上·山东青岛崂山区·期末)甲车从城出发匀速行驶至城，乙车从城出发匀速行驶至城，在整个行驶过程中，甲、乙两车距离城的距离与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（    ） A．两城相距 B．乙车比甲车晚出发1小时 C．甲乙两车相遇时甲车行驶了2.5小时 D．当甲、乙两车相距96千米时， 二、填空题 3．(24-25八上·山东青岛·期末)某校八年级同学到距学校6千米的郊外春游，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，沿相同路线前往．如图，、分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程（千米）与所用时间（分钟）之间的函数图象，则以下四个结论中正确的有 （填序号）． ①骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟； ②步行的速度是千米/时； ③骑车的同学从出发到追上步行的同学用了20分钟； ④骑车的同学和步行的同学同时到达目的地． 4．(24-25八上·山东青岛南区·期末)同一条公路连接，，三地，在，之间．小明和小张两人分别乘车从、同时出发匀速前往．小张乘坐的汽车中途出现故障，维修后继续行驶，最终两人同时到达．如图，表示小明、小张两人之间的距离与时间的函数关系．下列结论正确的是 ． ①小明的速度是；     ②，两地相距； ③小张中途休息40分钟； ④小明行驶与小张相遇． 5．(23-24八上·山东青岛南区·期末)甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发匀速驶向B地，后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了，结果与甲车同时到达B地．甲乙两车距A地的路程与乙车行驶时间之间的函数图象如图所示，则下列说法：①；②甲的速度是；③乙出发追上甲；④乙刚到达货站时，甲距B地．其中正确的有 ． 三、解答题 6．(23-24八上·山东枣庄薛城区·期末)我国传统的计重工具——秤的应用，方便了人们的生活，如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量. 称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（斤）．如表中为若干次称重时所记录的一些数据． （厘米） 1 2 4 8 （斤） 0.75 1.00 1.50 2.5 (1)在图2中先将表，的数据通过描点的方法表示出来，再观察判断，的函数关系并求出该函数关系式，最后求秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少斤？ (2)已知这杆秤的可称物重最重是13斤，求秤砣到秤纽的最大水平距离． 7．(23-24八上·山东济南东南片区·期末)A，B两地相距360千米，甲、乙两车先后从A地出发到B地．如图，线段表示甲车离A地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线表示乙车离A地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系．根据图象回答下列问题． (1)求线段所在直线的函数解析式； (2)乙车到达B地后，甲车距B地多少千米？ (3)求点P的坐标，并说明点P坐标的实际意义． 8．(23-24八上·山东济南·期末)今年寒假，小明的父母为了培养他阅读的习惯，采用奖励金的方式．于是制定了两种方案： 方案一：先预支元的奖励金，另外再按读书本数计费： 方案二：无预支奖励金，直接按所读书本数计费，每读一本奖励元． 根据如图信息，解答下列问题： (1)设读书本数为x本，采用方案一所得奖励金为y1（元），采用方案二所得奖励金为y2（元），分别求出y1，y2关于x的函数解析式； (2)请你结合图象，帮助小明计算并选择哪种方案所得奖励金更多． 9．(24-25八上·山东青岛李沧区·期末)如图1是甲、乙两个圆柱形容器的轴截面示意图，乙容器中有一圆柱形铁块（圆柱形铁块的下底面始终完全落在容器底面上）．现将甲容器中的水匀速注入乙容器，甲、乙两个容器中水的深度与注水时间之间的关系如图2所示． 根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)图2中折线表示______容器中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示______容器中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点的纵坐标表示的实际意义是______； (2)注水多长时间时，甲、乙两个容器中水的深度相同？ (3)若乙容器的底面积为平方厘米（壁厚不计）． ①求甲容器的底面积（壁厚不计）； ②求乙容器中铁块的体积． 地 城 考点05 一次函数与几何综合 一、单选题 1．(23-24八上·山东济南济南实验初级中学·期末)在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点、、的坐标分别为、、，点是直线与轴的交点，点在直线上，若点关于直线的对称点恰好落在四边形内部（不包括正好落在边上），则的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 2．(23-24八上·山东济南·期末)在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点和点的关联值如下：若，，在一条直线上；若，，不在一条直线上．已知点坐标为，点坐标为，有下列结论： ①； ②若，，则点坐标为； ③满足的点，都在一三象限角平分线和二四象限角平分线上； ④若平面中任意一点满足，则满足条件的点的全体组成的图形面积为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．(23-24八上·山东济南中区·期末)一次函数，，点是，与轴围成的三角形内一点（含边界），令，的最大值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．(24-25八上·山东济南长清区·期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点B在x轴负半轴上，且．若点为边的中点，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点A匀速运动，设点M运动的时间为t（秒）．下列结论：①点B的坐标为；②直线的关系式为；③当时，的面积为3；④在点M运动的过程中，为直角三角形，则点M的坐标为或．其中正确的结论是 ．（填序号） 三、解答题 5．(24-25八上·山东枣庄·期末)如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的，并写出的坐标； (2)计算：的面积； (3)若点P为轴上一动点，使得的值最小，直接写出点P的坐标． 6．(24-25八上·山东济南·期末)如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，交轴于点，过点的直线交轴正半轴于点，点是线段的中点． (1)求直线的关系式； (2)将沿着射线方向平移到如图2的位置，得到，若线段恰好经过点，求平移的距离； (3)将沿着射线方向平移个单位至，如图3所示．点的对应点为，点为轴上一动点，连接，试探究：在直线上是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．(24-25八上·山东济南钢城区·期末)如图，直线与轴，轴交于点，点在直线上，点的横坐标为1． (1)求点的坐标； (2)求的面积． 8．(24-25八上·山东济南·期末)如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点，点是线段上的任意一点，过点作直线∥y轴，直线交直线于点，交直线于点． (1)求直线的函数表达式； (2)当时，求的面积； (3)连接，若，求点的坐标． 9．(24-25八上·山东枣庄滕州·期末)如图，直线与轴、轴分别交于点和点是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处．求： (1)求、两点坐标； (2)求坐标； (3)在轴上找一点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点的坐标． 10．(24-25八上·山东枣庄中区·期末)数学中，常对同一图形的面积用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，这是一种重要的数学方法．如图1，两个直角边分别为，斜边长为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形． (1)［探究发现］解：有三个直角三角形其面积分别为和，直角梯形的面积为．由图形可知：．整理得，即结论为：直角边长分别为，斜边为的直角三角形中：______． (2)［尝试应用］ 如图2，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，若是的边上的高．求： ①面积； ②的长． (3)［联系拓展］ 如图3，在坐标系中，直线与轴、轴分别交于点和，直线经过坐标原点，且，垂足为．求： ①点和点的坐标． ②点到轴的距离． 11．(24-25八上·山东滕州洪绪中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)若直线 ：与轴、轴、直线分别交于点、、，求面积． 12．(23-24八上·山东枣庄滕州·期末)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，点是线段上一点（不与点重合）．    (1)求点的坐标． (2)连接，将沿直线翻折得到，点为点的对应点，点在第一象限，且． ①求点的坐标． ②若直线与交于点，在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $