专题01 勾股定理及逆定理7大高频考点（期末真题汇编，山东专用）八年级数学上学期北师大版

专题01 勾股定理及逆定理 常考考点概览 考点01 用勾股定理理解三角形 考点02 勾股定理与折叠问题 考点03 勾股定理与图形面积问题 考点04 勾股树（数）问题 考点05 赵爽弦图与勾股定理的证明 考点06 勾股定理的逆定理 考点07 勾股定理及逆定理的应用 地 城 考点01 用勾股定理理解三角形 一、单选题 1．(23-24八上·山东济南东南片区·期末)如图，在中，，平分，于D，如果，，那么的周长等于（　　） A．6 B．8 C．9 D．5 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理．先利用勾股定理求得的长，证明，得，，则，再由的周长公式求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ， ，， ， ∴的周长． 故选：A． 2．(23-24八上·山东济南长清区·期末)如图，于点B，于D，若，且，，则的长为（   ） A．1 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．证明，推出，再利用含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．(23-24八上·山东济南历下区·期末)在中，，，，是的角平分线，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．过点D作于点E，利用角平分线的性质，可得，从而得到，可得，然后设，则，在 中，利用勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 在 中，，，由勾股定理得： ， ∴， 设，则， 在 中， ， ∴ ， 解得： ， 即 ． 故选：B ． 二、填空题 4．(23-24八上·山东济南济南实验初级中学·期末)如图，，，，，，点是的中点，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，延长交于点F，然后证明，得到，然后利用勾股定理得到，然后解题即可． 【详解】解：延长交于点F， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 故答案为： 三、解答题 5．(23-24八上·山东济南东南片区·期末)如图，在中，，点D在边上，连接，将绕点C逆时针旋转得到，连接，． (1)求证：≌； (2)若时，求的长； (3)点D在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，9 【分析】（1）结合题目条件，根据即可证明≌； （2）根据第一问的三角形全等，得到，进而证明, 在中，根据勾股定理可求出的长， 在中,进而求出的长度； （3）先证,当值最小时，取最小值，此时,可求出的长，从而求解． 【详解】（1）证明：由题意，可知，，． ∴． 即． 在和中， ∴≌()； （2）解：∵在 中，， ∴，， ∴． ∵≌(）， ∴，， ∴． ∴， ∴在中，； （3）解：存在，理由： 由（2）可知，， ∴当最小时，有的值最小，此时 ． ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴． 即的最小值为9． 【点睛】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6．(24-25八上·山东济南·期末)【课本再现】 北师大版八年级上册第七章《平行线的证明》习题7.7第3题中，研究了这类图形中角之间的数量关系．某数学兴趣小组对这类图形进行深入探究．    【问题探究】 （1）如图1，在中，，点为线段上一点，连接和． ①若，，，则______； ②证明：． 【拓展延伸】 （2）如图2，在中，分别以直角边和斜边为边作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，，，连接，，． ①判断，的位置关系并说明理由； ②若，，请直接写出线段的长度．      【答案】（1）①；②见解析；（2）①，理由见解析；② 【分析】（1）①根据三角形外角的性质即可得到结论； ②根据垂直的定义得到，根据勾股定理即可得到结论； （2）①延长交于，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，得到，于是得到； ②根据勾股定理得到，根据等腰直角三角形的性质得到，，由（1）的结论即可得到答案． 【详解】解（1）①：，， ， ， 故答案为：； ②证明：， ， ①， ②， ②①得，， ． （2）①， 理由：延长交于，   ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ； ②在中，，， ， ， ， 由（1）知，， ， ． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质是解题的关键． 地 城 考点02 勾股定理与折叠问题 一、单选题 1．(24-25八上·山东济南·期末)如图，中，，，，将折叠后点恰好落在边上的点处，折痕为，，则线段的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查勾股定理和折叠问题，设，由折叠可知，，求出，由勾股定理得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，由折叠可知，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， 即线段的长为， 故选：C 2．(23-24八上·山东济南天桥区·期末)如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为(   ) A．6 B．10 C．24 D．48 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；由折叠可知，设利用勾股定理进行分析计算即可． 【详解】解：由折叠可知， 设 由勾股定理可得， 即， 解得， ， 故选：B． 3．(24-25八上·山东枣庄台儿庄区·期末)如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在点处，交于E．若，，则的面积是（） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解决本题的关键．证出，设，则，在直角中利用勾股定理即可列方程求得的值，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】∵四边形是长方形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则， 则． 故选B． 二、填空题 4．(23-24八上·山东济南历下区·期末)如图，三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质， 熟练利用勾股定理列方程． 根据翻折的性质得到得，， 即可得 设， 则， 可得即可得到结果． 【详解】解：∵沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处， ∴， ， ∵折叠纸片，使点与点重合， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 设， 则， ， 解得 ， 故答案为：． 5．(23-24八上·山东济南章丘区·期末)如图，矩形纸片的长，宽，将其折叠，使点与点重合，那么折叠后的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、翻折变换、勾股定理，由矩形的性质和折叠的性质以及勾股定理得出方程，解方程即可，熟练掌握矩形和翻折变换的性质，运用勾股定理进行计算是解题的关键． 【详解】∵点与点重合， ∴由折叠的性质得：，，， 设长为，则， ∵四边形是矩形， ∴，， 根据勾股定理得：，即， 解得：，即， ∴， 故答案为：． 地 城 考点03 勾股定理与图形面积问题 一、填空题 1．(24-25八上·山东济南东南片区·期末)如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理结合正方形的面积可知，再结合，求出解答即可． 【详解】解：由勾股定理结合正方形的面积可知，， 又∵， ， ， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 2．(22-23八上·山东枣庄薛城区·期末)张老师和“数学小分队”的队员们在学习数学史时，发现了一个著名的“希波克拉蒂月牙问题（）”：如图在中，，，，分别以的各边为直径作半圆，则图中两个“月牙”即阴影部分面积为 ． 【答案】6 【分析】先根据勾股定理求的长，再根据圆的面积公式和直角三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴图中两个“月牙”即阴影部分面积为 ， 故答案为：6． 【点睛】本题考查勾股定理、圆和三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理，找准求阴影面积的关系式是解答的关键． 3．(24-25八上·山东青岛崂山区·期末)如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是 ； 【答案】18 【分析】本题考查勾股定理，解决本题的关键是将面积转化为勾股定理求边长的平方即可．连接，构造和，然后在中利用勾股定理求出，在中求出，进而求得的值． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ． 在中，， ， 解得：． 故答案为：18． 4．(23-24八上·山东青岛即墨区·期末)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形）的面积为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，弄清阴影部分与两小正方形重叠部分面积相等是解题的关键．如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．设直角三角形的斜边长为，较长直角边为，较短直角边为，根据勾股定理得到，根据正方形的面积公式，结合图形得出阴影部分面积等于两个较小正方形纸片的重叠部分的面积，即可获得答案． 【详解】解：设直角三角形的斜边长为，较长直角边为，较短直角边为， 由勾股定理得，， ∴， ∴ ， ∴． 故答案为：． 地 城 考点04 勾股树（数）问题 一、单选题 1．(24-25八上·山东济南济阳区·期末)下列各组3个数是勾股数的是（  ） A．4，5，6 B． C．，， D．5，12，13 【答案】D 【分析】利用直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 本题考查了直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，熟练掌握定义，勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴最大角不是， ∴不能构成直角三角形， 故A不符合题意； ∵， ∴最大角是， ∴能构成直角三角形， 但边长不是整数，不是勾股数， 故B不符合题意； ∵， ∴不能构成直角三角形， 故C不符合题意； ∵， ∴最大角是， ∴能构成直角三角形，且各边都是整数，是勾股数， 故D符合题意； 故选：D． 2．(23-24八上·山东枣庄薛城区·期末)下列各组数中，是勾股数的是(   ) A．0.3，0.4，0.5 B．1，2，3 C．9，16，25 D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查勾股数．根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数解答即可． 【详解】解：A、不是整数， 不是勾股数，故本选项不符合题意； B、，， ，不是勾股数，故本选项不符合题意； C、，， ，不是勾股数，故本选项不符合题意； D、，， ，是勾股数，故本选项符合题意； 故选：D． 3．(23-24八上·山东泰安岱岳区·期末)下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．1，2， C．，， D．8，15，17 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数，熟记定义是解题关键．根据勾股数的定义（可以构成一个直角三角形三边的一组正整数）逐项判断即可得． 【详解】解：A、 则这组数不是勾股数，不符题意； B、是无理数，不是整数，不满足勾股数的定义，不符题意； C、，，这组数都是分数，不满足勾股数的定义，不符题意； D、，则这组数是勾股数，符合题意； 故选：D ． 地 城 考点05 赵爽弦图与勾股定理的证明 一、单选题 1．(22-23八上·山东济南钢城区·期末)“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是，小正方形的面积是，则大正方形的面积是（   ） A．121 B．144 C．169 D．196 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理和求正方形的面积，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，则，小正方形的面积为，则，可得，则大正方形的面积为，即可求解． 【详解】设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，则， 又∵小正方形的面积为，则， 解得， ∴大正方形的面积为， 故选：C． 2．(23-24八上·山东青岛城阳区·期末)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了“赵爽弦图”，流传至今．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，设每个直角三角形的两条直角边分别为a，，斜边为c，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式，三角形三边关系灵活运用完全平方公式是解题的关键．根据三角形三边关系可判断①正确；根据完全平方公式即可得到②③正确；将不等式两边平方再相减即可得出④正确． 【详解】解：①由三角形的两边之和大于第三边可知，故①正确； ②，， 即，故②正确； ③，， ，故③正确； ④， ， 、、都大于0， ，故④正确； 故选：D． 二、填空题 3．(23-24八上·山东济南历城区·期末)由四个全等的直角三角形组成如图所示的“赵爽弦图”，若每个直角三角形的面积为4，两直角边的和为6，则图中阴影部分的面积为 ．      【答案】 【分析】本题考查勾股定理、正方形的面积，完全平方公式变形求值；根据三角形的面积为和长边与短边的和为，列方程组，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：设较长直角边为，较短直角边为， 则， 阴影部分的面积为． 故答案为：． 三、解答题 4．(23-24八上·山东枣庄中区·期末)在我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从图1，图2，图3的证明方法中任选一种来证明该定理． (2)如图4所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明． 【答案】(1)任选一个即可，证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明，解决本题的关键是学会利用面积法证明勾股定理． （1）根据图中面积关系即可得证； （2）根据勾股定理及圆的面积公式解答即可得证． 【详解】（1）解：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即，化简得：； 在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即，化简得：； 在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即，化简得：； （2）解：，，满足的关系是， ，， ， ． 5．(23-24八上·山东济南钢城区·期末)如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)当时，写出该“勾系一元二次方程”； (2)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)如图，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 【答案】(1)“勾系一元二次方程”为： (2)见解析 (3) 【分析】（1）先根据勾股定理求出c的值，再代入方程求解即可； （2）通过判断根的判别式的正负来证明结论； （3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积． 【详解】（1）， “勾系一元二次方程”为：； （2）根据题意，得， “勾系一元二次方程”必有实数根； （3）当时，有，即， 四边形的周长是， ，即 【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，正确读懂题意是解题的关键． 地 城 考点06 勾股定理的逆定理 一、单选题 1．(23-24八上·山东济南章丘区·期末)的三边为、、，且，则是（　　） A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形 C．以为斜边的直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用，用勾股定理逆定理的条件去判断图中三角形是否为直角三角形即可，熟练掌握勾股定理的逆定理：若三角形三边满足，那么这个三角形是直角三角形是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则是以为斜边的直角三角形， 故选：． 2．(24-25八上·山东济南长清区·期末)木工师傅想利用木条制作一个直角三角形，那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是（    ） A．3，4，5 B．4，5，7 C．5，12，13 D．6，8，10 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，∴不能够成直角三角形，故本选项符合题意； C、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵，∴能够成直角三角形，故本不选项符合题意． 故选：B． 二、解答题 3．(24-25八上·山东济南·期末)在平面直角坐标系中，，，，与关于轴成轴对称． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)判断的形状并说明理由； (3)连接、，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了轴对称变换、勾股定理及其逆定理的应用． （1）根据轴对称的性质，找到关于轴的对称点，顺次连接，即可求解； （2）根据已知点的坐标，分别求得，进而根据勾股定理的逆定理进行判断，即可求解； （3）根据四边形的面积为即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求 （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴ ∴ ∴是直角三角形， （3）解：如图所示，连接、， 四边形的面积为 地 城 考点07 勾股定理及逆定理的应用 一、单选题 1．(24-25八上·山东济南天桥区·期末)如图，一根垂直于地面的木杆在一次强台风中于离地面处折断倒下，木杆顶端落在距离木杆底端处的地面上，这根木杆在折断前的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设折断部分的高度为，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设折断部分的高度为， 由勾股定理，得：， 木杆折断之前的高度为：． 故选：C． 二、填空题 2．(23-24八上·山东济南中区·期末)如图，在一个长方形草地上放着一根长方体木块，其中，，该木块较长的边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点处有一只蚂蚁，它从点出发，爬过木块到达点处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，两点之间线段最短，将木块表面展开，再根据平面中，两点之间线段最短即可，解题的关键是将侧面展开成长方形，从而用勾股定理求解． 【详解】如图， 由题意可知，将木块展开，， 即展开后长方形的长为米，宽为米， ∴需要走的最短路程是：， 故答案为：． 3．(24-25八上·山东济南济阳区·期末)在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是 米． 【答案】15 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：根据题意可知米， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 该河的宽度为15米． 故答案为：15． 三、解答题 4．(23-24八上·山东济南历下区·期末)数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据 抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15m，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17m．牵线放风筝的手到地面的距离为1.8m． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12m，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】（1）9.8米；（2）8米 【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理计算即可得到结论． 【详解】解：（1）由题意得，，米，米， 在中，由勾股定理，可得：（米）， （米）． 答：风筝离地面的垂直高度为9.8米； （2）如图，当风筝沿方向再上升12米， 所以米， 在中，，米， 由勾股定理，可得（米）， 则应该再放出（米）， 答：他应该再放出8米长的线． 5．(23-24八上·山东济南长清区·期末)“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，周末王明和李华去放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们利用学过的“勾股定理”知识，进行了如下操作： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为15米； ③牵线放风筝的王明放风筝时手离地面的距离为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果王明想让风筝沿方向再上升7米，长度不变，则他应该把线再放出 米． 【答案】(1)10.6米 (2)5米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意，画出图形是解决问题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上即可； （2）根据题意，画出图形，求出的长，进而解决问题． 【详解】（1）由题意可得， 米，米，，米， ∴（米）， ∴（米）， 即风筝的垂直高度的长为10.6米； （2）由题意知，（米），米， ∴（米）， ∴（米）， ∴他应该把线再放出5米， 故答案为：5． 6．(23-24八上·山东济南中区·期末)如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米． (1)为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出）?并计算新路的长度． (2)为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 【答案】(1)见解析，新路长度是80米 (2)该车没有超速，见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据垂线段最短，过点A作，交l于点D，则即为所求；根据等腰三角形和勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理求出，得出，求出该车的速度为，然后再进行比较即可． 【详解】（1）解：过点A作，交l于点D，则即为所求，如图所示： ∵，，， ∴，， ∴在中，， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴新路长度是80米． （2）解：该车没有超速．     理由：在中，， 由勾股定理得， ∴，， ∴， ∴， 该车经过区间用时， ∴该车的速度为， ∵． ∴该车没有超速． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 勾股定理及逆定理 常考考点概览 考点01 用勾股定理理解三角形 考点02 勾股定理与折叠问题 考点03 勾股定理与图形面积问题 考点04 勾股树（数）问题 考点05 赵爽弦图与勾股定理的证明 考点06 勾股定理的逆定理 考点07 勾股定理及逆定理的应用 地 城 考点01 用勾股定理理解三角形 一、单选题 1．(23-24八上·山东济南东南片区·期末)如图，在中，，平分，于D，如果，，那么的周长等于（　　） A．6 B．8 C．9 D．5 2．(23-24八上·山东济南长清区·期末)如图，于点B，于D，若，且，，则的长为（   ） A．1 B．4 C． D． 3．(23-24八上·山东济南历下区·期末)在中，，，，是的角平分线，则的长为（    ） A． B． C． D．2 二、填空题 4．(23-24八上·山东济南济南实验初级中学·期末)如图，，，，，，点是的中点，则的长为 ． 三、解答题 5．(23-24八上·山东济南东南片区·期末)如图，在中，，点D在边上，连接，将绕点C逆时针旋转得到，连接，． (1)求证：≌； (2)若时，求的长； (3)点D在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 6．(24-25八上·山东济南·期末)【课本再现】 北师大版八年级上册第七章《平行线的证明》习题7.7第3题中，研究了这类图形中角之间的数量关系．某数学兴趣小组对这类图形进行深入探究．    【问题探究】 （1）如图1，在中，，点为线段上一点，连接和． ①若，，，则______； ②证明：． 【拓展延伸】 （2）如图2，在中，分别以直角边和斜边为边作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，，，连接，，． ①判断，的位置关系并说明理由； ②若，，请直接写出线段的长度．      地 城 考点02 勾股定理与折叠问题 一、单选题 1．(24-25八上·山东济南·期末)如图，中，，，，将折叠后点恰好落在边上的点处，折痕为，，则线段的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 2．(23-24八上·山东济南天桥区·期末)如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为(   ) A．6 B．10 C．24 D．48 3．(24-25八上·山东枣庄台儿庄区·期末)如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在点处，交于E．若，，则的面积是（） A．5 B．10 C．15 D．20 二、填空题 4．(23-24八上·山东济南历下区·期末)如图，三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则 ． 5．(23-24八上·山东济南章丘区·期末)如图，矩形纸片的长，宽，将其折叠，使点与点重合，那么折叠后的长为 ． 地 城 考点03 勾股定理与图形面积问题 一、填空题 1．(24-25八上·山东济南东南片区·期末)如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为 ． 2．(22-23八上·山东枣庄薛城区·期末)张老师和“数学小分队”的队员们在学习数学史时，发现了一个著名的“希波克拉蒂月牙问题（）”：如图在中，，，，分别以的各边为直径作半圆，则图中两个“月牙”即阴影部分面积为 ． 3．(24-25八上·山东青岛崂山区·期末)如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是 ； 4．(23-24八上·山东青岛即墨区·期末)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形）的面积为 ．    地 城 考点04 勾股树（数）问题 一、单选题 1．(24-25八上·山东济南济阳区·期末)下列各组3个数是勾股数的是（  ） A．4，5，6 B． C．，， D．5，12，13 2．(23-24八上·山东枣庄薛城区·期末)下列各组数中，是勾股数的是(   ) A．0.3，0.4，0.5 B．1，2，3 C．9，16，25 D．5，12，13 3．(23-24八上·山东泰安岱岳区·期末)下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．1，2， C．，， D．8，15，17 地 城 考点05 赵爽弦图与勾股定理的证明 一、单选题 1．(22-23八上·山东济南钢城区·期末)“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是，小正方形的面积是，则大正方形的面积是（   ） A．121 B．144 C．169 D．196 2．(23-24八上·山东青岛城阳区·期末)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了“赵爽弦图”，流传至今．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，设每个直角三角形的两条直角边分别为a，，斜边为c，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 3．(23-24八上·山东济南历城区·期末)由四个全等的直角三角形组成如图所示的“赵爽弦图”，若每个直角三角形的面积为4，两直角边的和为6，则图中阴影部分的面积为 ．      三、解答题 4．(23-24八上·山东枣庄中区·期末)在我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从图1，图2，图3的证明方法中任选一种来证明该定理． (2)如图4所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明． 5．(23-24八上·山东济南钢城区·期末)如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)当时，写出该“勾系一元二次方程”； (2)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)如图，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 地 城 考点06 勾股定理的逆定理 一、单选题 1．(23-24八上·山东济南章丘区·期末)的三边为、、，且，则是（　　） A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形 C．以为斜边的直角三角形 D．钝角三角形 2．(24-25八上·山东济南长清区·期末)木工师傅想利用木条制作一个直角三角形，那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是（    ） A．3，4，5 B．4，5，7 C．5，12，13 D．6，8，10 二、解答题 3．(24-25八上·山东济南·期末)在平面直角坐标系中，，，，与关于轴成轴对称． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)判断的形状并说明理由； (3)连接、，求四边形的面积． 地 城 考点07 勾股定理及逆定理的应用 一、单选题 1．(24-25八上·山东济南天桥区·期末)如图，一根垂直于地面的木杆在一次强台风中于离地面处折断倒下，木杆顶端落在距离木杆底端处的地面上，这根木杆在折断前的高度为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．(23-24八上·山东济南中区·期末)如图，在一个长方形草地上放着一根长方体木块，其中，，该木块较长的边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点处有一只蚂蚁，它从点出发，爬过木块到达点处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是 ． 3．(24-25八上·山东济南济阳区·期末)在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是 米． 三、解答题 4．(23-24八上·山东济南历下区·期末)数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据 抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15m，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17m．牵线放风筝的手到地面的距离为1.8m． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12m，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 5．(23-24八上·山东济南长清区·期末)“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，周末王明和李华去放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们利用学过的“勾股定理”知识，进行了如下操作： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为15米； ③牵线放风筝的王明放风筝时手离地面的距离为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果王明想让风筝沿方向再上升7米，长度不变，则他应该把线再放出 米． 6．(23-24八上·山东济南中区·期末)如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米． (1)为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出）?并计算新路的长度． (2)为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $