第10章 数的开方&第11章 整式的乘除-【追梦之旅·期末真题篇】2025-2026学年八年级数学上册（华东师大版·新教材）河南专版

第10章数的开方 ⊙)考点1 平方根和立方根 1.平方根：如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根 2.平方根的性质： (1)一个正数有两个平方根，它们互为相反数：(2)0只有一个平方根，就是它本身；(3)负数没 有平方根 3.算术平方根：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a,读作“根号a”:另一个平方 根是它的相反数，即-√a.因此，正数a的平方根可以记作±√a,其中a称为被开方数 【拓展】√a具有双重非负性：①被开方数a是一个非负数，即a≥0：②a本身就是非负数， 即√a≥0. 4.开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方. 5.立方根：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根.记作a,读作“三次根号 a”.其中a是被开方数，3是根指数. 6.立方根的性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 【拓展】(1)任何数的立方根只有一个，符号与原数相同.(2)a=a,(-a)=-a.(3)用 符号表示平方根时，根指数2可以省略，即ā(a≥0)可以写成Wa;而用符号表示立方根时， 根指数3不能省略 C)考点2 实数 1.无理数：无限不循环小数叫做无理数 2.实数：有理数和无理数统称为实数. 3.实数的分类 (1)按概念分类： (2)按符号分类： 正整数 整数{ 有理 负整数 正实数 正有理数生芬餐 分数 正无理数 实数 实数0 无理数质先理赞 ,负有到散资养教 负实数负无理数 4.实数与数轴上点的关系：数轴上的每一点必定表示一个实数：反过来，每一个实数（有理数或 无理数)都可以用数轴上的一个点来表示.换句话说，实数与数轴上的点一一对应， 5.实数的大小比较：有理数的大小比较的方法，对于实数仍然适用. (1)在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大：(2)用估算法求出无理数的近似值，再比 较两数的大小.除此之外还有“平方法”“倒数法”“作商法”等. 6.实数的运算：有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然适用.实数混合运算顺序与有理 数混合运算的顺序基本相同，先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减，同级运算按照从左到 右的顺序进行，有括号的先算括号里的. 针对练习 1下列各数2,3.1415926,7,32，-8，v36,2m中，无理数的个数有( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列说法正确的是( 10的价术平方根是 10 B.-0.36的平方根是-0.6 C.4是64的立方根 D.72的平方根是7 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBH·八年级数学第1页 第11章 整式的乘除 ⊙)考点1 幂的运算 法则 逆用 同底数幂的乘法 am·a”=am+"(m,n为正整数) am+n=am·a"(m,n为正整数) 幂的乘方 (am)”=amm(m,n为正整数) am=(am)”=(a”)m(m,n为正整数) 积的乘方 (ab)”=a"b"(n为正整数) a"b=(ab)"(n为正整数) am-n=am÷a 同底数幂的除法 a"÷a”=am-n (m,n为正整数，且m>n,a≠0) (m,n为正整数，且m>n,a≠0) 【注意】(1)三个或三个以上幂的运算同样适用以上法则；(2)公式中的α，b可以表示数、单独的 字母或其他单项式，也可以表示多项式。 ⊙)考点2 整式的乘除 1.整式的乘法 (1)单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式 中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式.例：2a2·3ab=6ab. (2)单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加.例：α(b+c +d)ab+ac+ad. (3)多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把 所得的积相加.例：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb. 2.乘法公式 （1)平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.例：(a+b)(a-b)=a2-b2 【拓展】平方差公式的几种常见形式：①符号变化：(-a-b)(a-b)=-(a2-b2);②位置变化： (a+b)(-b+a)=a2-b2;③系数变化：(2a+3b)(2a-3b)=4a2-9b2;④指数变化：(a2+b2)(a2 b2)=a4-b4:⑤增项变化：(a+b+c)(a+b-c)=(a+b)2-c2;⑥公式连用：(a+b)(a-b)(a2+b2) =a4-b4 (2)两数和（差）的平方公式：两数和（差）的平方，等于这两数的平方和加上（减去）它们的积 的2倍.例：(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2 【拓展】两数和（差）的平方公式的几种常见变形：①a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;② (a+b)2=(a-b)2+4ad,(a-6)2=(a+6)2-4b;③(a+6)2+(a-b)2=2(a2+6);④ab=4I(a+ b2-(a-b)]=(22-(2,⑤a+0te)2=+6e2+2ah*2ac+2c 3.整式的除法 (1)单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被 除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式， 【注意】两个单项式相除时，不要漏掉前面的符号；两个相同、但不等于0的单项式相除，结果 是1. (2)多项式除以单项式：多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项除以这个单项式，再把 所得的商相加. 【拓展】多项式除以单项式所得的商的项数与这个多项式的项数相同 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBH·八年级数学第2页 心)考点3)因式分解 1.因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解. 2.因式分解的实质：因式分解与整式的乘法是方向相反的变形，因式分解是一种 恒等变形，而不是一种运算」 【注意】(1)多项式因式分解的结果必须是乘积的形式.因式分解的结果中可以有单项式，也 可以有多项式，但必须是整式.（2)因式分解的对象是多项式，把一个单项式拆分成几个单项式 乘积的形式不能称为因式分解.(3)因式分解要求积中的每一个因式最后都不能再分解，即要 求分解“彻底”.(4)因式分解要求积中相同因式写成幂的形式 3.提公因式法 (1)公因式：多项式中的每一项都含有一个相同的因式，我们称之为公因式 (2)提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项 式写成因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法.例：ma+mb+mc=m(a+b+c). (3)提公因式法分解因式的一般步骤：①确定公因式：②用多项式除以公因式，所得的商就是 提公因式后剩下的另一个因式：③把多项式写成这两个因式的积的形式 【拓展】公因式的确定方法：1.确定公因式系数：①当多项式中各项系数都是整数时，公因 式的系数是多项式中各项系数的最大公因数：②当多项式中各项系数都是分数时，公因式 的系数是分数，而且分母取各项系数中分母的最小公倍数，分子取各项系数中分子最大公 因数.2.确定相同的字母：公因式应取多项式各项中相同的字母.3.确定公因式中相同字母 的指数：取相同字母的指数的最小值作为公因式中此字母的指数， 【易错点拨】(1)公因式要提“净”，即提出公因式后剩余的多项式中不能再有公因式：(2) 多项式有几项，提出公因式后括号内的多项式就有几项，当某一项与公因式相同时，提出公 因式后该项为1，不可漏掉 4.公式法 (1)平方差公式的逆用：a2-b2=(a+b)(a-b); (2)两数和（差）的平方公式的逆用：a2±2ab+b2=(a±b)2, 针对练习… 1.下列计算正确的是( A.m2·m4=m8 B.(m2)3=m C.(-3m)2=9m2 D.m4÷m4=m 2.如图1为某校八年级(1)(2)两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几 何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S,、S2分别表示 (1)、(2)两个班级的基地面积.若m+n=8,mn=15,则S,-S2=( A.12 B.14 C.16 D.22 2 图1 图2 3.多项式x2-2ax+m3分解因式的结果是 4.若m-n=-100,则m2-n2+200n= 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBH·八年级数学第3页答案详解详析·易错剖析 （AAS),.DP=AB=18米，18÷6=3（米），.每层楼的 1《课本知识集锦》答案！ 高度大约为3米 第13章勾股定理 第10章数的开方 1.C2.B 1.C 第14章数据的收集与表示 2.C【解析】Ag的算术手方根是 10 3 一，错误；B.负数 1.C2.B 没有平方根，错误：D.7的平方根是±7，错误.故选 3.B【解析】B.样本容量为：4+10+18+12+6=50，所以 本次共抽取了50位同学的成绩.故选B. C. 第11章整式的乘除 《课本回头练》答案 1.C 2.C【解析】m+n=8,mn=15,∴.(m+n)2=64,即m 基础知识抓分练1 +n2+2mn=64,.m2+n2=64-2×15=34,.(m-n)2= 1.B2.B m2+n2-2mn=34-2×15=34-30=4,.m-n=±2.m> 3.B【解析】由题意可得其边长为√49=7.故选B. n,.m-n=2,S,=m2-S地，S2=n2-S地，.S,-S2=m2 4.B S地-(n2-S地)=m2-n2=(m+n)(m-n)=16.故选C. 3.a(x-a)24.10000 5.D【解析】根据题意可知，a=-2,a=(-2)3=-8, 第12章全等三角形 -a=-(-8)=8,.8=2.故选D. 1.A 6.A【解析】B.T-3.14的绝对值是T-3.14:C.若x2= 2.C【解析】∠B=33°，∠ACB=77°，∴.∠BAC=70°， 6,则x=±√6；D.若x3=6,则x=6.故选A. AE平分∠BAC,EF垂直平分BC,.∠CAE= 7.1(答案不唯一)8.5 ∠BAC=35,BF=CF,LBCF=LB=33°， 1 9.2-3【解析】T<√3<√4，∴.1<3<2，∴.3的整 数部分a=1,b=√3-1，∴.a-b=1-(3-1)=2-√3. ∠ACF=∠ACB-∠BCF=44°，.∴.∠a=∠CAE+∠ACF 10.196【解析】由平方根的定义得，2x+6+x-18=0,解 =79°.故选C. 得x=4,.2x+6=14,x-18=-14,.这个正数a为 3.A (±14)2=196. 4.24【解析FAB=AC=5,△ABC是等腰三角形 11.√2 点D为边BC的中点，AD⊥BC,由题意知，BE最 12.2或3或4【解析】√a-3=a-3,当a-3=-1时，解 1 得a=2;当a-3=0时，解得a=3:当a-3=1时，解得 小时，即BE⊥AC时.：Sac=2AD·BC=2AC·BE a=4.综上所述，a的值为2或2或4. =12×5BE=12,BE的最小值为头 13.解：(1)√144=12； (2)√0.0036=0.06； 5.9cm【解析】DE⊥AB,∠C=90°，.∠C=∠BDE= (BE=BE 25_5 W,在△CBE和△DBE中，BC-BD△GBE (3)497 ≌Rt△DBE(HL),∴.CE=DE,.∴.AE+DE=AE+CE=AC= 14.解：根据题意可知，2a+3=9,解得：a=3,4-2b= 9cm. -2,.4-2b=-8,解得：b=6,.a+b=3+6=9,.a+b 6.3【解析】由题意得：CD⊥DB,AB⊥DB,∠CDP= 的算术平方根为3. ∠ABP=90°，∠APB=69°，∠PAB=90°-∠APB=21°， 15.解：(1)12 ∠CPD=21°，.∠PAB=∠CPD=21°，DB=30 (2)当s=60m时，60 30002=18000,=V1800 米，PB=12米，∴.DP=BD-BP=18米，在△BAP和 ∠ABP=∠PDC (km/h),所以速度v的值为√18000km/h. △DPC中，{∠PAB=∠CPD,.△BAP≌△DPC 16.解：任务1：两5 PB=CD 任务2：.1000=10，/1000000=100,1000< 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末ZBH·八年级数学上第1页