2.1.2与圆有关的概念 讲义2025-2026学年苏科版（2012）数学九年级上册

本讲义聚焦“与圆有关的概念”核心知识点，系统梳理弦、直径、弧（优弧、劣弧、半圆）、圆心角、同心圆、等圆等概念。通过学前准备复习点与圆位置关系铺垫旧知，探究活动结合动手操作与现实情境引入新知，小结梳理概念内涵，典型例题与分层练习巩固应用，构建从旧知到新知的完整学习支架。 资料以探究活动为主线，借助奥运五环等现实情境引导学生用数学眼光观察（几何直观），通过“直径是否为弦”等辨析发展推理意识（数学思维），设计证明与实际问题提升概念应用能力（数学语言）。课中辅助教师引导探究，课后助力学生巩固概念、弥补知识盲点。

2.1.2与圆有关的概念 一．学习目标 1、认识圆的弧、弦、直径、同心圆、等圆、等弧、圆心角等与其相关的概念； 2、理解“同圆或等圆的半径相等”，并能应用它们解决相关的问题。 二．学习过程 学前准备： 1．⊙O的半径10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在 ；点B在 ；点C在 ． 2.⊙O的半径6cm，当OP=6cm时，点P在 ；当OP 时，点P在圆内；当OP 时，点P不在圆外． 3．到定点O的距离为2cm的点的集合是以 为圆心， 为半径的圆． 探究活动 独立思考·解决问题 活动（一）：学习圆的弦、直径、弧、优弧与劣弧、圆心角的概念． 1．圆上有多少点？请你任意选两点用线段连接起来，这条线段叫做⊙O的 弦 ． 2．在圆的所有弦中有无特殊的弦？这条特殊的弦叫做⊙O的 直径 ． 3．在圆上任意找出两点，描画出两点间的曲线部分，这条曲线叫做⊙O的 弧 ． 4．你找的两点将圆分成了两条弧： （1）有无可能这两条弧大小相等，互相重合？这种特殊的弧叫做 半圆 ． （2）有无可能其中的一条弧比另一条弧大？小于半圆的弧叫做 劣弧 ，大于半圆的弧叫做 优弧 ． 5．图形中的角有什么特征？你能给它起个名字吗？ 活动（二）：学习同心圆的概念． 1．下面3幅图片中都有一组圆，这些圆有什么共同特征？ 2．画出右面这组圆的半径，它们的半径有什么关系？ 活动（三）：学习等圆的概念． 1．右图是奥运五环图形，请你用透明塑料纸描画其中的一个圆，并把它和其它几个圆比较，看看能否重合？ 2．这种特征的圆，它们的半径有什么关系？ 3．这种特征的圆，你能给它取个名字吗？ 小结： 1、__连接圆上任意两点的线段______叫做弦（如图中线段_AC__是弦）； __连接圆上任意两点并且过圆心的线段_叫做直径（如图中线段_AB_是直径）。 思考：直径是弦吗？ 2、__在圆上任意两点之间的部分_叫做圆弧（简称弧）； 弧用符号“__⌒___”表示，以A、B为端点的弧记作__（如图中_____是弧）。 3、圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧___叫做半圆； _ 大于半圆的弧_____________叫做优弧（如图中___是优弧）；[来源:Z|xx|k.Com] __小于半圆的弧_______ ___叫做劣弧（如图中__是劣弧）。 4、__顶点在圆心的角___________叫做圆心角（如图中_∠AOB_是圆心角）。 5、__圆心一样半径不同的圆________叫做同心圆； __能够重合的两个圆__叫做等圆； 同圆或等圆的____半径___相等。 6、__在同圆或等圆中能够互相重合的弧 _叫做等弧。 三．典型例题 例1、判断题： 1．直径是弦 （ ） 2．弦是直径 （ ） 3．半圆是弧，但弧不一定是半圆（ ） 4．半径相等的两个半圆是等弧 （ ） 5．长度相等的两条弧是等弧 （ ） 6．半圆是弧 （ ） 7．弧是半圆 （ ） 8．两个劣弧之和等于半圆 （ ） 9．两个劣弧之和等于圆周长 （ ） 例2、已知：如图，点A、B和点C、D分别在同心圆上.且∠AOB＝∠COD，∠C与∠D相等吗？为什么？ 例3、如图，⊙O的半径OA、OB分别交弦CD于点E、F，且CE=DF. 求证：△OEF是等腰三角形 例4、已知：如图，两个同心圆的圆心为O，大圆的半径OA、OB分别交小圆于点C、D，AB与CD有怎样的位置关系？为什么？ [来源:学.科.网] 例5、已知⊙O的直径AB=10,点C在⊙O上，且CD⊥AB，垂足为D，CD=4，求AD与DB的长。（先画出符合条件的图形，再求解） 例6、如图，在⊙O中，AB、BC为弦，OC与AB相交于点D.试判断∠ODB、∠OCB与∠OBD的大小关系。 四．练一练 1.判断，对的画“√”，错的画“╳”． （1）直径是圆中最长的弦( ) ． （2）长度相等的两条弧是等弧( ) ． （3）半径相等的两个半圆是等弧( ) ． （4）面积相等的两个圆是等圆( ) ． （5）同一个弦所对的两条弧一定是等弧( ) ． 2.如图,点A , B ,C ,D都在⊙O上.在图中画出以这4点中的2点为端点的弦.这样的弦共有多少条? 3．过圆上一点可以作圆的最长弦有( )条. A. 1 B. 2 C. 3 D.无数条 4．下列说法：①直径是弦 ②弦是直径 ③半圆是弧，但弧不一定是半圆 ④长度相等的两条弧是等弧中，正确的命题有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．图中有____ 条直径,___ _条非直径的弦,圆中以A为一个端点的优弧有__ __条,劣弧有____ 条. 6.一点和⊙O上的最近点距离为4cm,最远距离为10cm,则这个圆的半径是多少？ 五．课堂练习 1、下列说法中正确的有__________________（填序号）。 (1)直径是圆中最大的弦；(2)长度相等的两条弧一定是等弧；(3)半径相等的两个圆是等圆；(4)面积相等的两个圆是等圆；(5)同一条弦所对的两条弧一定是等弧。 4、如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D.已知CD=4，OD=3.则AB=______. 5、如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A=35°.则∠B=______. 6、已知OA、OB是⊙O的半径，C、D分别是OA、OB的中点。求证：AD=BC. 7、(1)在图中，画出⊙O的两条直径; (2)依次连接这两条直径的端点，得一个四边形.判断这个四边形的形状，并说明理由. 8、 如图，⊙O的直径AB=4，半径OC⊥AB，D为 上一点，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E、F.求EF的长. 2 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $