第3章 位置与坐标&第4章 一次函数&第5章 二元一次方程组-【追梦之旅·期末真题篇】2025-2026学年八年级数学上册（北师大版·新教材）河南专版

第三章 位置与坐标 ⊙)考点1 平面上确定物体位置 平面上确定物体位置的方法：在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据。 经纬定位法一用经度、纬度表示位置 用行数、列数表示位置一行列定位法 区域定位法一用划分的横、纵区域的 用方向和距离一方位角和距离定位法 确定位置 编号表示位置 表示位置 方格定位法一用横向格数、纵向格数 表示位置 ⊙)考点2) 平面直角坐标系及相关概念 1.平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。 2.点的坐标 过平面内任意一，点P向x轴作垂线，垂足在x轴上对应 横坐标 的数a叫作，点P的横坐标 P(,b) 纵坐标 过平面内任意一点P向y轴作垂线，垂足在y轴上对应 的数b叫作点P的纵坐标 点的坐标 有序数对(a,b)叫作点P的坐标 3.平面直角坐标系内点的坐标与有序数对的关系：在平面直角坐标系中，对于平面上的任意一 点，有唯一的一个有序实数对（即点的坐标）与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对， 都有平面上唯一的一点与它对应。 【拓展延伸】点坐标的几何意义：(1)点P(x,y)到x轴的距离为1yl,到y轴的距离为1x,点 P(x,y)到原点的距离为√x+y2。(2)若AB∥x轴，则A,B两点的纵坐标相同，横坐标之差 的绝对值为线段AB的长；若AB⊥x轴，则A,B两点的横坐标相同，纵坐标之差的绝对值为 线段AB的长。 4.象限：在平面直角坐标系中，两条坐标轴将坐标平面分成了四部分。右 上方的部分称为第一象限，其他三部分按逆时针方向依次称为第二象第二象限第一象限 限、第三象限和第四象限（如图）。坐标轴上的点不在任何一个象限内。 32123x 【注意】“象限”是按“逆时针”方向排列的，不要弄错方向。 第三象限第四象限 ⊙)考点3) 平面直角坐标系内点的坐标特征 点(a,b)的位置 横、纵坐标的符号 图示 第一象限 a>0,b>0 象限 第二象限 a<0,b>0 第三象限 a<0,b<0 1(0,+) 第四象限 a>0,b<0 +) (+,+) 正半轴 a>0,b=0 0, x轴 0)(+,0) 坐 负半轴 a<0,b=0 (+,- 正半轴 a=0,b>0 轴 y轴 (0,-） 负半轴 a=0,b<0 上 原点 a=0,b=0 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBB·八年级数学第4页 ⊙)考点4) 轴对称与坐标变化 1.图形上点的坐标变化与轴对称的关系 (1)关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数；反过来，横 坐标相同、纵坐标互为相反数的两个点关于x轴对称。 (2)关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数；反过来，纵坐标相同、横 坐标互为相反数的两个点关于y轴对称。 2.在直角坐标系中作关于坐标轴对称的图形的方法 确定已知图形中的一些特殊点的对称点的坐标 根据对称，点的坐标插点 按原图对应颅序依次连接所猫各，点得到对称图形 针对练习 1.如图，在平面直角坐标系中，已知A(-1,1),B(-1,-3),C(5,-3),D(5,1),一只瓢虫从 点A出发以1个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行。则第30秒瓢虫所在 点的坐标为( A.(-1,1) B.(-1,-3) C.(5,-3) D.(5,1) 2.在如图所示的平面直角坐标系中解答下列问题： (1)描出下列各点A(-4,1),B(-3,4),C(0,3),将这些点依次用线段连接起来； (2)画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C': (3)求△ABC的面积。 -上 4了-2-1012345式 2外 第四章 次函数 C)考点1 函数的定义及表示方法 1.函数：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个值，变量y 都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量。 2.如果两个变量xy之间的对应关系可以表示成y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的形式，则称y是x 的一次函数。特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。 3.函数的表示方法：①表格：②关系式：③图象。 4.“均匀”变化：一个变量增加固定的数值时，另一个变量的改变量是相同的。 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBB·八年级数学第5页 )考点2) 函数的图象与性质 1.图象 (1)一次函数y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的图象 是经过(0，b)、(-(,0)两点的一条直线。 (2)正比例函数y=x(k≠0)的图象是经过原点(0,0)的一条直线。 (3)一次函数y=kx+b由正比例函数y=kx向上(b>0)或向下(b<0)平移1b1个单位长度得到。 (4)一次函数y=kx+b的图象经过点(0，b),与函数y=hx的图象平行。 2.一次函数图象的平移规律： (1)上下平移：直线y=x+b向上平移n(n>0)个单位得到直线y=kx+b+n;直线y=x+b向下 平移n(n>0)个单位得到直线y=x+b-n.简记为：上加下减（只改变b)。 (2)左右平移：直线y=kx+b向左平移m(m>0)个单位得到直线y=k(x+m)+b;直线y=x+b 向右平移m(m>0)个单位得到直线y=k(x-m)+b.简记为：左加右减（只改变x)。 3.性质 一次函数 y=kx+b(k≠0) k>0 k<0 k,b的符号 b>0 b<0 b=0 b>0 b<0 b=0 图象 性质 y随着x的增大而增大 y随着x的增大而减小 与y轴交 正半轴 负半轴 原点 正半轴 负半轴 原点 点的位置 第一、二 第一、三、 第一、三 第一、二 第二、三、 第二、四 经过的象限 三象限 四象限 象限 四象限 四象限 象限 ⊙)考点3 一次函数的应用 1.用待定系数法求函数表达式 (1)设：设出含有未知数的函数表达式，若已知y与x成正比例，则设函数表达式为y=x(k≠ 0);若已知y是x的一次函数，则设函数表达式为y=kx+b(k≠0)。 (2)列：将已知条件代入函数表达式，得到关于待定系数的方程或方程组。 (3)解：解方程（组），求出待定系数。 (4)代：将求得的待定系数的值代回所设的函数表达式中，即可得出函数表达式。 2.一次函数与一元一次方程：一般地，当一次函数y=x+b的函数值为0时，相应的自变量的值 就是方程x+b=0的解。从图象上看，一次函数y=x+b的图象与x轴交点的横坐标就是方 程kx+b=0的解。 3.利用函数图象描述事物变化过程：解决函数图象信息题的关键是将图象信息转化为数字信 息，正确理解图象的起点、交点及终点表示的意义。 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBB·八年级数学第6页 4.一次函数和几何图形的综合探究：有关一次函数和几何图形的综合问题，要结合图形分析已 知条件，然后利用几何图形上点的坐标、点之间的距离、图形的周长以及面积的计算公式、特 殊图形的性质等，找出等量关系，列出一次函数表达式，从而求解相关问题。 5.列关系式，利用函数性质解决实际问题 审清避愈一列出函教关系式方案选择河题结合自实量的取值 比较方案伏 范围分情况讨沦 劣，得出结论 求最值问题 →根据一次函数的增减性，求出最值 叁针对练习 1.正比例函数y=x(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致 是( 2.一次函数的解析式为y=x-2,则下列说法正确的是( A.其图象与x轴的交点坐标为(2,0) B.y随x的增大而减小 C.此函数图象经过第一、二、三象限 D.当x>-2时，y>0 3.飞飞在研究物理学科中的拉力F和重力G的关系时，利用滑轮组及相关器材进行实验 他用电脑把得到的拉力和所悬挂物体的重力的几组数据绘制成如图所示的图象（不计绳 重和摩擦，拉力F和重力G的单位是N),哪个选项是错 4 误的( A.点(1,0.7)表示的是当物体的重力是1N时，拉力F 3 是0.7N 1.0.7) B.当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为0.5N 0.5 C.物体的拉力随着重力的增大而增大 123456786 D.拉力F与重力G成正比例函数关系 第五章 二元一次方程组 C)考点1 二元一次方程（组）及其解法 1.二元一次方程（组） (1)二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一 次方程。 (2)二元一次方程组：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次 方程组。 (3)二元一次方程的一个解：使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一组未知数的值，叫 作这个二元一次方程的一个解。 (4)二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组 的解。 2.二元一次方程组的解法 (1)代入消元法：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来， 并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方 程组的方法称为代入消元法。 (2)加减消元法：通过两式相加（或相减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方 法称为加减消元法。 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBB·八年级数学第7页 【拓展延伸】(1)若两方程中同一个未知数的系数的绝对值相等，则直接加减消元； (2)若同一个未知数的系数的绝对值不相等，则应选一个或两个方程进行变形，使同一个 未知数的系数的绝对值相等； (3)若方程组较复杂，则应先化简整理，再求解。 ⊙)考点2) 二元一次方程（组）的应用 1.列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： (1)审：认真审题，明确题目中的已知量和未知量； (2)找：找出能够表示题意的两个等量关系； (3)设：用字母表示题中的两个未知数： (4)列：根据找出的两个等量关系列出所需的代数式，从而列出方程组； (5)解：解方程组； (6)验：检验所得的解是不是方程组的解，并且要检验是否符合题意，不符合要舍去： (7)答：写出答案，包括单位名称。 2.二元一次方程（组）与一次函数：一般地，从图形的角度看，确定两条直线的交点的坐标，相当 于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的 坐标。 3.两条直线交点的个数与二元一次方程组解的个数的关系：(1)两条直线有一个交点，方程组 只有一个解：(2)两条直线平行（无交点），方程组无解：(3)两条直线重合（有无数个交点）， 方程组有无数个解。 4.利用二元一次方程组和一次函数综合解决实际问题 实际 提取两 判断这两个变 问题 个变量 量是否为一次 设一次函将两组对求得一次函一次函数解决 函数关系 数表达式应值代入]数表达式 的性质 问题 针对练习 .① 1.对于二元一次方程 x-3y=72将①式代人②式，消去y可以得x-3x+6=7,则方程① 是() A.y=x-2 B.y=x+2 C.x=2y-1 D.x=2y+1 2.我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九 个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千 个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，问甜果苦果各买 几个？若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为( x+y=1000 x+y=1000 A. x+y=1000 x+y=999 B. D.9 9x+7y=999 (11x+4y=1000 C.114 9x+7y=999 1Tx+4y=999 3.一次函数y,=x+5与一次函数y2=2x+k在同一坐标系中的图象如图 所示，两条直线交于点P(2,m),与两坐标轴分别交于A、B、C、D四个 则下列结论：①一元一次方程：+5=m的解为x=2:②k三三 x-y二-5的解为x=2 23 方程组 (2x-y=-k y-3:④四边形A0DP的面积为4。正确的是 A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBB·八年级数学第8页答案详解详析·易错剖析 十十十m+十十m+m十十十m十十十十 《课本知识集锦》答案 6A(0,5),D)O)四边形A0DP的面积为) 第一章 勾股定理 4 ,④正确..正确的结论是① 1.D2.A ③④。故选D。 第二章实数 第六章数据的分析 1.162.2 1.解：(1)a=(75+80+85+85+100)÷5=85,b=85,c= 第三章位置与坐标 80: 1.C (2)初中部和高中部成绩的平均数相等，但初中部 2.解：(1)如图所示，△ABC即为所求； 成绩的中位数大于高中部成绩的中位数，·初中 (2)如图所示，△A'B'C即为所求： 部的决赛成绩较好： (3)中=5×[(75-85)+(80-85)+(85-85)2x2 +(100-85)2]=70。:s初中<s中，.初中代表队选 7i 手成绩较为稳定。 第七章证明 - -1-」--L_i 1.D 1 (3)S△Bc=4×3 24x2 7x3x1-2x3x1=5 2.98°【解析】过点E向右作EF∥AB,.∠A= ∠AEF。:∠AEC=∠A+∠C,∴.∠AEF+∠CEF= 第四章一次函数 ∠A+∠C,∴.∠CEF=∠C,.EF∥CD。∴.AB∥CD, 1.B【解析】.正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y .∠1+∠2=180°。：∠1=82°，∴.∠2=98°。 随x的增大而减小，.k<0。一次函数y=x+k的 3.30° 一次项系数大于0，常数项小于0，一次函数y=x 4.(1)证明：CD平分∠ACB,∠DCB=∠1。 +k的图象经过第一、三、四象限。故选B。 ∠1=∠D,.∠DCB=∠D,∴.DFBC; 【归纳总结】一次函数y=x+b(k、b为常数，k≠0) (2)解：DF∥BC,∴.∠B=∠DFE=36°。∠A= 是一条直线，当k>0,图象经过第一、三象限，y随x 40°，∴.∠ACB=180°-40°-36°=104°，又.CD平 的增大而增大：当k<0,图象经过第二、四象限，y随 分∠ACB,∠1=1 ∠ACB=52°，·.∠2=180°- x的增大而减小：图象与y轴的交点坐标为(0，b)。 2 2.A【解析】B.在y=x-2中，k=1>0,y随x增大 40°-52°=88°。 m十十一十十十一■ 而增大；C.y=x-2的图象经过第一，三，四象限； D.当x>-2时，y>-4。故选A。 《课本回头练》答案 3.D【解析】点(1,0.7)表示当G=1时，F=0.7,即 基础知识抓分练1 当物体的重力是1N时，拉力F是0.7N,.A正 确；由图象可知，当G=0时，F=0.5,即当滑轮组 一、选择题 1.B 不悬挂物体时，所用拉力为0.5N,∴B正确：根据 2.C【解析】C.∠A:∠B:∠C=3:4:5,那么∠A= 图象可知，物体的拉力F随着重力G的增大而增 45°，∠B=60°，∠C=75°，△ABC不是直角三角形， 大，C正确：正比例函数的图象必过原点，.D 符合题意。故选C。 不正确，符合题意。故选D。 3.B【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定 第五章二元一次方程组 理得：AB2=AC2+BC2=17=289,∴.正方形AEDC 1.A2.C 和正方形BCGF的面积之和=AC2+BC2=289。故 3.D【解析】一次函数y1=x+5与一次函数y2=2x 选B。 +k在同一坐标系中的图象如图所示，两条直线交 4.A5.C 于点P(2,m),∴.一元一次方程kx+5=m的解为x 6.D【解析】设绳索AD的长度为x米，则AE=x米， =2,①正确；2k+5=4+k,解得k=-1,②错误；∴.一 AB=（x+0.4)米，CD=1.4-0.4=1(米)，.AC= 次函数为y1=-x+5,y2=2x-1,把P(2,m)代入得 AD-CD=(x-1)米，由题意得：∠ACE=90°，在 -2+5=m,∴.m=3,.P(2,3),方程组的解为 Rt△AEC中，由勾股定理得：CE2+AC2=AE2,即32+ 3,③正确：一次函数为=+5，=2x-1, x=2 (x-1)2=x2,解得：x=5,.5+0.4=5.4(米)，即立 柱AB的高度为5.4米。故选D。 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBB·八年级数学上第1页