第1章 勾股定理&第2章 实数-【追梦之旅·期末真题篇】2025-2026学年八年级数学上册（北师大版·新教材）河南专版

答案详解详析·易错剖析 十十十m+十十m+m十十十m十十十十 《课本知识集锦》答案 6A(0,5),D)O)四边形A0DP的面积为) 第一章 勾股定理 4 ,④正确..正确的结论是① 1.D2.A ③④。故选D。 第二章实数 第六章数据的分析 1.162.2 1.解：(1)a=(75+80+85+85+100)÷5=85,b=85,c= 第三章位置与坐标 80: 1.C (2)初中部和高中部成绩的平均数相等，但初中部 2.解：(1)如图所示，△ABC即为所求； 成绩的中位数大于高中部成绩的中位数，·初中 (2)如图所示，△A'B'C即为所求： 部的决赛成绩较好： (3)中=5×[(75-85)+(80-85)+(85-85)2x2 +(100-85)2]=70。:s初中<s中，.初中代表队选 7i 手成绩较为稳定。 第七章证明 - -1-」--L_i 1.D 1 (3)S△Bc=4×3 24x2 7x3x1-2x3x1=5 2.98°【解析】过点E向右作EF∥AB,.∠A= ∠AEF。:∠AEC=∠A+∠C,∴.∠AEF+∠CEF= 第四章一次函数 ∠A+∠C,∴.∠CEF=∠C,.EF∥CD。∴.AB∥CD, 1.B【解析】.正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y .∠1+∠2=180°。：∠1=82°，∴.∠2=98°。 随x的增大而减小，.k<0。一次函数y=x+k的 3.30° 一次项系数大于0，常数项小于0，一次函数y=x 4.(1)证明：CD平分∠ACB,∠DCB=∠1。 +k的图象经过第一、三、四象限。故选B。 ∠1=∠D,.∠DCB=∠D,∴.DFBC; 【归纳总结】一次函数y=x+b(k、b为常数，k≠0) (2)解：DF∥BC,∴.∠B=∠DFE=36°。∠A= 是一条直线，当k>0,图象经过第一、三象限，y随x 40°，∴.∠ACB=180°-40°-36°=104°，又.CD平 的增大而增大：当k<0,图象经过第二、四象限，y随 分∠ACB,∠1=1 ∠ACB=52°，·.∠2=180°- x的增大而减小：图象与y轴的交点坐标为(0，b)。 2 2.A【解析】B.在y=x-2中，k=1>0,y随x增大 40°-52°=88°。 m十十一十十十一■ 而增大；C.y=x-2的图象经过第一，三，四象限； D.当x>-2时，y>-4。故选A。 《课本回头练》答案 3.D【解析】点(1,0.7)表示当G=1时，F=0.7,即 基础知识抓分练1 当物体的重力是1N时，拉力F是0.7N,.A正 确；由图象可知，当G=0时，F=0.5,即当滑轮组 一、选择题 1.B 不悬挂物体时，所用拉力为0.5N,∴B正确：根据 2.C【解析】C.∠A:∠B:∠C=3:4:5,那么∠A= 图象可知，物体的拉力F随着重力G的增大而增 45°，∠B=60°，∠C=75°，△ABC不是直角三角形， 大，C正确：正比例函数的图象必过原点，.D 符合题意。故选C。 不正确，符合题意。故选D。 3.B【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定 第五章二元一次方程组 理得：AB2=AC2+BC2=17=289,∴.正方形AEDC 1.A2.C 和正方形BCGF的面积之和=AC2+BC2=289。故 3.D【解析】一次函数y1=x+5与一次函数y2=2x 选B。 +k在同一坐标系中的图象如图所示，两条直线交 4.A5.C 于点P(2,m),∴.一元一次方程kx+5=m的解为x 6.D【解析】设绳索AD的长度为x米，则AE=x米， =2,①正确；2k+5=4+k,解得k=-1,②错误；∴.一 AB=（x+0.4)米，CD=1.4-0.4=1(米)，.AC= 次函数为y1=-x+5,y2=2x-1,把P(2,m)代入得 AD-CD=(x-1)米，由题意得：∠ACE=90°，在 -2+5=m,∴.m=3,.P(2,3),方程组的解为 Rt△AEC中，由勾股定理得：CE2+AC2=AE2,即32+ 3,③正确：一次函数为=+5，=2x-1, x=2 (x-1)2=x2,解得：x=5,.5+0.4=5.4(米)，即立 柱AB的高度为5.4米。故选D。 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBB·八年级数学上第1页第一章 勾股定理 心考点1 勾股定理 1.勾股定理 文字语言 图示 符号语言 变式 应用 直角三角形两条 如果用a,b和c分别 c=√a2+b 直角边长度的平 表示直角三角形的两 a2=c2-b2 方和等于斜边长 条直角边和斜边的长 b2=c2-a2 a=vc2-b2 度的平方。 B 度，那么a2+b2=c2。 b=√c2-a 2.勾股定理的验证：验证勾股定理可以用测量和数格子等方法，也可以用等面积法证明，通过 面积相等证明是最常见的一种方法，而等面积法证明主要是用拼图法来进行，如下表： 方法 图形 推导过程 用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼成一个直角梯形。 1 拼接法 根据整体的面积等于各部分的面积之和，得S帮彩=2(a+b)(a+b)=2× 1 2b+2c2,所以a2+h2=c2 在边长为c的正方形的每条边上补上一个边长分别为a,b,c的直角三 角形(c为斜边)，得到-个以(a+b)为边长的正方形，则(a+b)2=4x 割补法 ab+c2,所以a2+b2=c2 把边长为C的正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形， 则4x)ab+(a-b)2=c2,所以a2+b=c2 3.利用勾股定理求面积：图形面积之间的关系：常见到以直角三角形的三边为基础，向外作半 圆、正方形、等边三角形，如图所示，它们具有相同的结论，即S3=S,+S2。与直角三角形的三 边相连的图形换成正五边形、正六边形等时，结论同样成立。 心考点2) 勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理：如果三角形三条边的长度a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角 三角形。 2.勾股数 (1)定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。 (2)常见的勾股数：①3,4,5；②6,8,10：③5,12,13；④9,12,15。 心)考点3)勾股定理的应用 1.勾股定理的简单应用：找出图中直角三角形，或作辅助线（作垂线）构造直角三角 形：确定待求线段与相关直角三角形已知边的关系；由勾股定理直接求线段长或 由勾股定理列方程求线段长。 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBB·八年级数学第1页 2.勾股定理在折叠问题中的应用：根据折叠前后图形是全等形，实现线段、角的转化；折痕常作 为“角平分线”使用：在折叠后形成的新直角三角形中利用勾股定理列方程求解。 3.利用勾股定理解决最短路径问题：所谓最短距离，就是无论在立体图形还是平面图形中，两点 间的距离都是最短的，常涉及的定理有：两点之间线段最短和垂线段最短。利用勾股定理解 决最短路径问题主要体现在：(1)台阶中的最短路径问题：(2)立体图形（圆柱、长方体或正方 体等)中的最短路径问题。 4.应用勾股定理及其逆定理解决实际问题：在解决一些有关求高度、宽度、长度、距离等问题时， 要先结合题意画出符合要求的直角三角形，也就是把实际问题转化为数学问题，进而把要求 的量看作直角三角形的一条边，然后利用勾股定理求解。 恩针对练习 1.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都 是直角三角形，若最大正方形G的边长是6cm,则正方形A,B,C,D,E,F,G 的面积之和是( G A.18 cm2 B.36 cm2 C.72 cm2 D.108 cm 2.如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm,底面周长为 10cm,在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好妈蚁4 在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短 路径是( ) A.13 cm B.2√/61cm C.√61cm D.2√/34cm 第二章 实数 )考点1 实数 1.无理数 定义 无限不循环小数称为无理数 特征 ①无限不循环小数：②不能化成分数 ①具有特殊意义的数。如 类型 ②具有规律但不循环的小数。如0.1010010001…（每相邻两个1之间依次 多一个0) ③开方开不尽的数 【拓展】(1)有理数与无理数的和或差，结果都是无理数；(2)无理数乘或除以一个不为0 的有理数，结果都是无理数。 2.实数：有理数和无理数统称为实数。 3.实数的分类：实数可以分为有理数和无理数：也可以分为正实数、0、负实数。 4.实数与数轴上点的关系：实数和数轴上的点是一一对应的 5.实数的性质：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数、倒数、绝 对值的意义完全一样 6.实数的运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减：同级运算按照从左到右的顺序进行，有括 号的先算括号里面的；有理数的运算法则与运算律，对实数仍然适用。 7.实数的大小比较：在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大：正数都大于0，负数 都小于0，正数大于一切负数：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 【拓展】比较两个实数大小的常用方法：(1)比较被开方数法；(2)数轴比较法；(3)法则比 较法；(4)作差比较法；(5)作商比较法；(6)倒数比较法；(7)平方比较法；(8)中间量比较 法（若a>b,b>c,则a>c);(9)估算比较法。 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBB·八年级数学第2页 心)》考点2)平方根与立方根 1.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫作a的算 术平方根，记作a,读作“根号a”。 【注意】0的算术平方根是0，即0=0：负数没有算术平方根；√a≥0(a≥0)。 2.平方根：(1)一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫作a的平方根 (也叫作二次方根)。 (2)一个正数有两个平方根：0只有一个平方根，它是0本身：负数没有平方根。 3.(a)2与a的性质：(1)(a)2=a(u≥0)：(2)V=1al=a(a≥0) -a(a<0)9 4.开平方：求一个数a的平方根的运算，叫作开平方，a叫作被开方数。 【注意】(1)开方时，被开方数α必须是非负数；(2)开平方是求一个非负数的平方根，而不是 算术平方根，应注意两者的区别，避免漏解。 5.立方根：(1)一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫作a的立方根 (也叫作三次方根)，记作ā，读作“三次根号a”。 (2)正数的立方根是正数：0的立方根是0：负数的立方根是负数。 6开立方：求一个数a的立方根的运算叫作开立方，a叫作被开方数。其中云=a,(a)3=a。 ⊙)考点3)估算 1.估算无理数的大小：对于带根号的无理数的近似值的求解，可以通过平方运算或立方运算采 用“夹逼法”（即两边无限逼近的方法）逐渐夹逼，首先确定其整数部分，再确定十分位，百分 位等小数部分。 2.用估算法比较数的大小：用估算法比较两个数的大小，若其中一个是无理数，一般先进行分 析，估算出无理数的取值范围，再进行具体的比较。 【拓展】比较两个数的大小时常用的结论：(1)若a>b≥0，则√a>b:(2)若a>b,则a>6; (3)若a,b都为正数，且a>b,则a2>b2;(4)若a,b都为负数，且0>a>b,则b2>a2。 心)考点4)二次根式 1.二次根式：一般地，形如a(a≥0)的式子叫作二次根式，a叫作被开方数。 2.最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。 3.二次根式的性质：(1)√ab=a·√6(a≥0，b≥0)；(2) a Ja (a≥0，b>0)。 4.二次根式的运算 （1系法达则除法法则：石·石=画u≥0.小≥0么 a b (a≥0，b>0)。 (2)加减运算：先将每个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的最简二次根式进 行合并。 (3)混合运算：二次根式运算顺序与实数运算顺序类似，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先 算括号里面的。在运算过程中，实数的运算法则、运算律在二次根式的运算中仍然适用。 针对练习 1.已知8的立方根是x,16的算术平方根是y,则x= 2.若√/3m-4是最简二次根式，且m为整数，则m的最小值是 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBB·八年级数学第3页