专题5.5 三元一次方程组（举一反三讲义）数学北师大版2024八年级上册

专题5.5 三元一次方程组（举一反三讲义） 【北师大版2024】 【题型1 三元一次方程（组）的定义】 2 【题型2 消元法解三元一次方程组的步骤判断】 4 【题型3 解三元一次方程组】 6 【题型4 求三元一次方程组中字母的值】 10 【题型5 三元一次方程组中利用整体法求代数式的值】 12 【题型6 构造三元一次方程组求值】 14 【题型7 由两个三元一次方程求值】 15 【题型8 判断三元一次方程（组）的解】 17 【题型9 三元一次方程（组）的应用】 19 知识点1 三元一次方程组的相关概念 1. 三元一次方程 含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程． 2. 三元一次方程组 （1）共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组． （2）三元一次方程组需具备的3个条件 ①含有三个未知数； ②每个方程中含未知数的项的次数都是1； ③是整式方程组． 三者缺一不可． 3. 三元一次方程组的解 （1）三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解． （2）判断一组数是否为三元一次方程组的解时，将各数分别代人三个方程，若三个方程均成立，则这组数是该方程组的解． 知识点2 三元一次方程组的解法 1. 解三元一次方程组的基本思路 用代入法或加减法消去一个未知数，化成二元一次方程组，再解这个二元一次方程组． 2. 解三元一次方程组的一般步骤 （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另外两个方程分别组成方程组，消去方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代人原方程组中一个系数比较简单的方程中，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用大括号合写在一起． 【题型1 三元一次方程（组）的定义】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程组中，不属于三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组的定义，即含有三个未知数，并且所含未知数的次数都是1的整式方程组叫做三元一次方程组，再根据三元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； B．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； C．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； D．方程组含有两个未知数，不是三元一次方程组，符合题意； 故选：D． 【变式1-1】下列方程中，是三元一次方程的是（    ） A．y＝2 015＋2x B．x＋y＝ C．xy＝z D．x＋y－z＝2 015 【答案】D 【解析】解：根据三元一次方程的定义， x＋y－z＝2 015是三元一次方程，故选D. 【变式1-2】下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三元一次方程组的定义（方程组中含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组）逐项判断即可得． 【详解】解：A、是三元一次方程组，则此项符合题意； B、方程组中含有4个未知数，不是三元一次方程组，则此项不符合题意； C、方程组中含有2个未知数，不是三元一次方程组，则此项不符合题意； D、方程组的每个方程中含未知数的项的次数不都是1，不是三元一次方程组，则此项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了三元一次方程组，熟记三元一次方程组的概念是解题关键． 【变式1-3】（24-25七年级下·全国·假期作业）若是一个三元一次方程，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程的定义． 根据三元一次方程的定义，各未知数的次数均为1，且系数不为零． 【详解】解：∵是一个三元一次方程， ∴，，， 即，，即或， ∴，， 故选：A． 【题型2 消元法解三元一次方程组的步骤判断】 【例2】《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如，对于方程组，将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似．其本质就是在消元．那么其中的a，b的值分别是（    ） A．24，4 B．17，4 C．24，0 D．17，0 【答案】A 【分析】根据题意逐步求解三元一次方程即可 【详解】解： 由，得， 由，得， 由，得， ∴， 由，得， 由，得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是根据题干信息将方程组中的数字与图一一对应． 【变式2-1】三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握加减消元法是解本题的关键，先消去未知数可得，从而可得答案． 【详解】解：， ②③得：即， ③①得：， ∴， 故选A 【变式2-2】解三元一次方程组：， 具体过程如下： (1)②－①，得b＝2， (2)①×2＋③，得4a－2b＝7， (3)所以， (4)把b＝2代入4a－2b＝7，得4a－2×2＝7(以下求解过程略)． 其中开始出现错误的一步是(　　) A．(1) B．(2) C．(3) D．(4) 【答案】B 【分析】根据所给提示进行计算验证即可. 【详解】解：第（2）步①×2＋③，得4a-b=7, 所以第（2）错误, 故选B. 【点睛】本题考查解三元一次方程组,中等难度,熟悉解三元一次方程组的一般步骤即可解题. 【变式2-3】解方程组时，第一次消去未知数的最佳方法是(　 ) A．加减法消去x，将①－③×3与②－③×2 B．加减法消去y，将①＋③与①×3＋② C．加减法消去z，将①＋②与③＋② D．代入法消去x，y，z中的任何一个 【答案】C 【分析】根据加减消元的方法,当未知数的系数相等或互为相反数时即可进行加减消元.据此即可解题. 【详解】解：∵三个方程中z的系数已经相等或互为相反数, ∴第一次消去未知数的最佳方法是加减法消去z，将①＋②与③＋② 故选C. 【点睛】本题考查了三元一次方程组的求解,中等难度,熟悉加减消元法的应用条件是解题关键. 【题型3 解三元一次方程组】 【例3】三元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】利用消元法求解三元一次方程组即可． 【详解】解： 由可得： 由可得： 将，代入可得： 解得 将分别代入，可得，， 则方程组的解为； 故答案为：． 【点睛】此题考查了三元一次方程组的求解，解题的关键是掌握消元法求解三元一次方程组． 【变式3-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列三元一次方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键． （1）把消去x，得出关于y，z的二元一次方程组求解，然后把代入①求出x的值； （2）把消去y，得出关于x，z的二元一次方程组求解，然后把x，z代入③求出y的值； （3），得，用④分别与①，②，③相减即可求解； （4），得，，得，联立④⑤，得出关于x，y的二元一次方程组求解，然后把x，y代入③求出z的值； 【详解】（1） ，得 联立②④，得 解得 把代入①，得 ∴ ∴ （2） ，得 联立①④，得 ，解得 把代入③，得 ∴ ∴ （3） ，得 用④分别与①，②，③相减，得 ∴ （4） ，得 ，得 联立④⑤，得 解得 把代入③，得 ∴ ∴ 【变式3-2】若同时满足：，，，则 ； 【答案】 【分析】利用加减消元法求出x，y，z的值，再代入计算即可． 【详解】解：，，， 得：， ∴， 得：， 得：， 得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 【变式3-3】（24-25七年级下·全国·假期作业）、、各代表一个数，已知，，，则、、分别等于（　　） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】B 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，解三元一次方程组的关键思想是消元，常用的消元方法有代入消元法、加减消元法，本题中首先消去未知数求出的值，再消去未知数求出，再把和代入求出的值即可． 【详解】解：由题意可得：， 得：， 解得：， 得：， 解得：， 把和代入得：， ，，， 故选：B． 【题型4 求三元一次方程组中字母的值】 【例4】已知是三元一次方程组的解，那么的值为（    ） A． B．6 C．9 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，转化新方程组解答即可． 【详解】∵知是三元一次方程组的解， ∴， 三式相加，得， 解得， 故选A． 【变式4-1】关于的方程组的解是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组的解，代数式求值，把代入方程求出的值，再把的值代入代数式计算即可求解，掌握三元一次方程组解的定义是解题的关键． 【详解】解：把 代入得，， ∴， ∴， 故选：． 【变式4-2】已知方程组与方程组有相同的解，则a、b、c的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将两方程组中不含a，b，c项的方程联立，求出x，y，z的值，代入两方程组中的含a，b，c项的方程中得到关于a，b，c的方程组，求出方程组的解即可得到a，b，c的值． 【详解】解方程组 ， 解得 ， 代入可得方程组 ， 解得， 故选D． 【点睛】此题考查了三元一次方程组的解，解三元一次方程组的方法是进行消元，化为二元一次方程组，再进行求解，三元一次方程组的解必须同时满足方程组中的三个方程． 【变式4-3】已知x＝2，y＝﹣1，z＝﹣3是三元一次方程组的解，则m2﹣7n+3k的值为(   ) A．125 B．119 C．113 D．71 【答案】C 【分析】把x、y、z的值代入方程组，求出m、n、k的值，最后代入求出代数式的值即可． 【详解】∵x=2，y=﹣1，z=﹣3是三元一次方程组的解，∴代入得：，解得：k=﹣2，m=7，n=﹣10，∴m2﹣7n+3k=49+70﹣6=113． 故选C． 【点睛】本题考查了方程组的解、解三元一次方程组、求代数式的值等知识点，能求出m、n、k的值是解答此题的关键． 【题型5 三元一次方程组中利用整体法求代数式的值】 【例5】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值； (2)【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ (3)【拓展延伸】对于有理数，定义新运算，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知．求的值． 【答案】(1)19 (2)30元 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键． （1）将方程即可求解； （2）设每只铅笔元，每块橡皮元，每本日记元，由题意列出方程组，即可求解； （3）由题意列出方程组，再计算出的结果即可得到答案，即可求解． 【详解】（1）解：解： 得，， 得，； （2）解：解：设一支铅笔的单价为元，一块橡皮的单价为元，一本日记本的单价为元， 根据题意得， 得，， 得，， 得，， 答：购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需30元； （3）解：解：根据新定义运算得， 得， ∴． 【变式5-1】（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知三元一次方程组，则（   ） A．5 B．20 C．15 D．10 【答案】D 【分析】本题考查解三元一次方程组，利用加减消元法进行求解即可． 【详解】解：， ，得：， ∴； 故选D． 【变式5-2】若，则 ． 【答案】 【分析】已知等式变形得到三个等式，相加即可确定出所求式子的值． 【详解】根据题意得， ①+②+③得：， 解得：． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式5-3】若对于有理数x和y，定义一种运算“”，，其中a、b、c为常数．已知，求5△4的值 ． 【答案】6 【分析】本题考查新定义运算，理解新定义运算法则，列出三元一次方程组并利用整体思想求解是关键． 根据新定义运算列出方程组，然后用加减法及整体思想计算求解． 【详解】解：∵， ，可得：， ， ， 故答案为：6． 【题型6 构造三元一次方程组求值】 【例6】已知x、y、z满足，则的值为 . 【答案】 【分析】根据非负数的性质可得，再解三元一次方程组求得x、y、z的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式6-1】在等式中，当时，当时；当时，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，代数式求值，根据题意可列得三元一次方程组，求出三元一次方程组的解，再把的值代入到代数式计算即可求解，正确求出三元一次方程组的解是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式6-2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组，代数式求值，非负数的性质：绝对值；偶次方；解决本题的关键是当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目． 先根据非负数的性质列出方程组，求出x、y、z的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意得，解得， 故． 故答案为：． 【变式6-3】如图，两台天平都保持平衡，则与2个球体质量相等的圆柱体的个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质、三元一次方程组，设每个球体的质量为，每个正方体的质量为，每个圆柱体的质量为，根据天平可得，，进而利用等式的性质解答即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：设每个球体的质量为，每个正方体的质量为，每个圆柱体的质量为， 根据题意得，，， 根据等式的基本性质，将的两边同时除以得，， 将代入得，， 根据等式的基本性质，将的两边同时减得，， ∴与个球体质量相等的圆柱体的个数为， 故答案为：． 【题型7 由两个三元一次方程求值】 【例7】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，满足且，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查解三元一次方程组，把当作常数，解关于、的方程组，求出、的值，再求出比值即可． 【详解】解：， 由①得，③， 将③代入②，得， 整理得，， 将代入③，， ， ， 故答案为：． 【变式7-1】（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知，（），则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的求解，用z将x、y表示出来，并代入代数式求解即可． 【详解】解∶联立，， 得， 解得， ∴， 故答案为∶． 【变式7-2】若且，则的值是 ． 【答案】 【分析】已知两式相减就将系数都化为2，两边除以2即可得出结果． 【详解】解： 得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是将系数化为相同，便于整体计算． 【变式7-3】已知、、是三个非负实数，满足，，若，则的最大值与最小值的差为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，根据题意，先推断出S取最大值与最小值时的x、y、z的值，再求S的最大值与最小值的和． 【详解】解：要使S取最大值，最大，z最小， ∵x、y、z是三个非负整数， ∴， 解方程组 ， 解得：， ∴S的最大值； 要使S取最小值， 联立得方程组 ， 得， ， 得，， ∴， 把，代入， 整理得，，当x取最小值时，S有最小值， ∵x、y、z是三个非负整数， ∴x的最小值是0， ∴， ∴S的最大值与最小值的差：； 故答案为：1 【题型8 判断三元一次方程（组）的解】 【例8】方程组（　　） A．无解． B．有组解． C．有组解． D．有无穷多组解． 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组，利用 “加减消元法” 即可求解． 【详解】解：根据题意可知三元一次方程组为： 将可得， 将和联立可得： 由于，所以原方程组无解． 故选：． 【变式8-1】三元一次方程有无数个解，下列四组值中不是该方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把x、y和z的值代入方程检验即可． 【详解】因为方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值， 所以把A、B、C、D选项中x，y与z的值代入方程检验可得：只有D选项能使方程左右两边相等. 故选：D 【变式8-2】三元一次方程的正整数解有（    ） A．2组 B．4组 C．6组 D．8组 【答案】C 【分析】最小的正整数是1，当x=1时，y+z=4，y分别取1，2,，3，此时z分别对应3，2，1；当x=2时，y+z=3，y分别取1，2，此时z分别对应2，1；当x=3时，y+z=2，y分别取1，此时z分别对应1；依此类推，然后把个数加起来即可． 【详解】解：当x=1时，y+z=4，y分别取1，2,，3，此时z分别对应3，2，1，有3组正整数解； 当x=2时，y+z=3，y分别取1，2，此时z分别对应2，1，有2组正整数解； 当x=3时，y+z=2，y分别取1，此时z分别对应1，有1组正整数解； 所以正整数解的组数共：3+2+1=6（组）． 故选：C． 【变式8-3】三元一次方程x＋y＋z＝1999的非负整数解的个数有（    ） A．20001999个 B．19992000个 C．2001000个 D．2001999个 【答案】C 【分析】先设x＝0，y+z＝1999，y分别取0，1，2…，1999时，z取1999，1998，…，0，有2000个整数解；当x＝1时，y+z＝1998，有1999个整数解；…当x＝1999时，y+z＝0，只有1组整数解，依此类推，然后把个数加起来即可得到答案． 【详解】当x＝0时，y+z＝1999，y分别取0，1，2…，1999时，z取1999，1998，…，0，有2000个整数解； 当x＝1时，y+z＝1998，有1999个整数解； 当x＝2时，y+z＝1997，有1998个整数解； … 当x＝1999时，y+z＝0，只有1组整数解； ∴非负整数解的个数有2000+1999+1998+…+3+2+1＝＝2001000个 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程、三元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程、三元一次方程、有理数运算的性质，从而完成求解 【题型9 三元一次方程（组）的应用】 【例9】（24-25七年级下·江苏南京·期中）用方程组解决问题：某动物保护机构要准备三种类型的食物共310份给需要救助的动物，现安排40名志愿者来准备这些食物，每名志愿者只能准备同一种类型的食物，且要求每名志愿者满工作量．根据以下表格信息，回答问题． 食物类型 每名志愿者准备量（份） 6 8 9 (1)如果类型食物安排了16名志愿者，那么两种类型食物各需多少名志愿者？ (2)现要求每种类型的食物至少安排11名志愿者，求三种类型的食物各需安排多少名志愿者，写出所有可行的方案． 【答案】(1)两种类型食物各需13名，11名志愿者 (2)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解答本题的关键． （1）设两种类型食物各需x名，y名志愿者，根据共有40名志愿者和共310份食物列方程组求解即可； （2）设三种类型的食物各需x，y，z名志愿者，根据共有40名志愿者和共310份食物列方程组求解即可． 【详解】（1）设两种类型食物各需x名，y名志愿者，由题意，得 ， 解得， 所以两种类型食物各需13名，11名志愿者； （2）设三种类型的食物各需x，y，z名志愿者，由题意，得 ， 得： ， ∴， ∵每种类型的食物至少安排11名志愿者， ∴当时，， 当时，， 当时，， 所以方案一：A类型11人，B类型17人，C类型12人；方案二：A类型12人，B类型14人，C类型14人；方案三：A类型13人，B类型11人，C类型16人． 【变式9-1】（25-26八年级上·四川绵阳·开学考试）有甲、乙、丙三种商品，如果购买甲件，乙件，丙件共需元，购买甲件，乙件，丙件共需元钱，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（　　） A．200元 B．300元 C．350元 D．400元 【答案】A 【分析】本题考查了方程的实际应用，根据题意设甲、乙和丙三种商品每件钱数为、和元，得到方程组，两式相加即可得出结论． 【详解】解：设甲、乙和丙三种商品每件的单价为、和元， 根据题意可列方程为 将可得， 即， 答：购买甲、乙、丙三种商品各一件共需元． 故选：． 【变式9-2】已知青铜含有的铜，的锌和的锡，而黄铜是铜和锌的合金，今有黄铜和青铜的混合物一块，其中含有的铜，的锌和的锡，则黄铜含有铜和锌的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，设黄铜含有铜的百分比是，锌的百分比是，青铜在混合物中的百分比是，根据题意列出方程组为，解方程组即可解答，找准等量关系，正确列出三元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设黄铜含有铜的百分比是，锌的百分比是，青铜在混合物中的百分比是， 根据题意得为， 解得：， ∴黄铜含有铜和锌的比， 故选：． 【变式9-3】小满时节，日照增，气温升，降雨多，清热利湿很重要，中医记载：取茯苓、陈皮、白扁豆，可制成一包祛湿茶，可以宁神、健脾、化湿、开胃，某中药店购入一批茯苓、陈皮、白扁豆各若干克，按标准制成100包袪湿茶，茯苓刚好用完，剩余的白扁豆比陈皮多； (1)购入茯苓的质量为______；这100包祛湿茶所用原料陈皮与白扁豆的质量比为_______； (2)若第二批购入茯苓若干克、陈皮、白扁豆，和剩余原料一起按标准制成第二批祛湿茶，所有原料恰好用完，则第二批能制成祛湿茶多少包？ (3)药店将第一批制成的100包祛湿茶全部售出后，获得900元的利润（利润祛湿茶销售额所用原料的成本），若第二批购入的茯苓价格上涨，陈皮和白扁豆的价格不变，于是药店将祛湿茶单价上涨，将第二批祛湿茶也全部售出，药店两次销售共获得2410元的利润，则两次购买的陈皮和白扁豆共花费多少元？ 【答案】(1)1500； (2)第二批能制成祛湿茶151包 (3)两次购买的陈皮和白扁豆共花费251元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，三元一次方程组的实际应用： （1）根据每包祛湿茶需要茯苓进行求解即可；再根据每包祛湿茶需要陈皮、白扁豆求出一共需要陈皮、白扁豆的重量，进而求出对应的比值即可； （2）设第一批剩下的陈皮有，白扁豆克，根据剩余的白扁豆比陈皮多且所用原料陈皮与白扁豆的质量比为列出方程组求解即可； （3）设第一次祛湿茶定价为x元每包，第一次购入的茯苓价格为y元每克，第一次购入的陈皮和白扁豆共花费z元，根据两次的利润列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：， ∴购入茯苓的质量为； ， ∴这100包祛湿茶所用原料陈皮与白扁豆的质量比为； （2）解：设第一批剩下的陈皮有，白扁豆克， 由题意得，， 解得， ∴， 答：第二批能制成祛湿茶151包； （3）解：设第一次祛湿茶定价为x元每包，第一次购入的茯苓价格为y元每克，第一次购入的陈皮和白扁豆共花费z元， 由题意得， 解得， ∴， ∴， 答：两次购买的陈皮和白扁豆共花费251元． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.5 三元一次方程组（举一反三讲义） 【北师大版2024】 【题型1 三元一次方程（组）的定义】 2 【题型2 消元法解三元一次方程组的步骤判断】 2 【题型3 解三元一次方程组】 3 【题型4 求三元一次方程组中字母的值】 4 【题型5 三元一次方程组中利用整体法求代数式的值】 4 【题型6 构造三元一次方程组求值】 5 【题型7 由两个三元一次方程求值】 5 【题型8 判断三元一次方程（组）的解】 6 【题型9 三元一次方程（组）的应用】 6 知识点1 三元一次方程组的相关概念 1. 三元一次方程 含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程． 2. 三元一次方程组 （1）共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组． （2）三元一次方程组需具备的3个条件 ①含有三个未知数； ②每个方程中含未知数的项的次数都是1； ③是整式方程组． 三者缺一不可． 3. 三元一次方程组的解 （1）三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解． （2）判断一组数是否为三元一次方程组的解时，将各数分别代人三个方程，若三个方程均成立，则这组数是该方程组的解． 知识点2 三元一次方程组的解法 1. 解三元一次方程组的基本思路 用代入法或加减法消去一个未知数，化成二元一次方程组，再解这个二元一次方程组． 2. 解三元一次方程组的一般步骤 （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另外两个方程分别组成方程组，消去方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代人原方程组中一个系数比较简单的方程中，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用大括号合写在一起． 【题型1 三元一次方程（组）的定义】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程组中，不属于三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列方程中，是三元一次方程的是（    ） A．y＝2 015＋2x B．x＋y＝ C．xy＝z D．x＋y－z＝2 015 【变式1-2】下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25七年级下·全国·假期作业）若是一个三元一次方程，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 消元法解三元一次方程组的步骤判断】 【例2】《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如，对于方程组，将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似．其本质就是在消元．那么其中的a，b的值分别是（    ） A．24，4 B．17，4 C．24，0 D．17，0 【变式2-1】三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】解三元一次方程组：， 具体过程如下： (1)②－①，得b＝2， (2)①×2＋③，得4a－2b＝7， (3)所以， (4)把b＝2代入4a－2b＝7，得4a－2×2＝7(以下求解过程略)． 其中开始出现错误的一步是(　　) A．(1) B．(2) C．(3) D．(4) 【变式2-3】解方程组时，第一次消去未知数的最佳方法是(　 ) A．加减法消去x，将①－③×3与②－③×2 B．加减法消去y，将①＋③与①×3＋② C．加减法消去z，将①＋②与③＋② D．代入法消去x，y，z中的任何一个 【题型3 解三元一次方程组】 【例3】三元一次方程组的解是 ． 【变式3-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列三元一次方程组： (1) (2) (3) (4) 【变式3-2】若同时满足：，，，则 ； 【变式3-3】（24-25七年级下·全国·假期作业）、、各代表一个数，已知，，，则、、分别等于（　　） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【题型4 求三元一次方程组中字母的值】 【例4】已知是三元一次方程组的解，那么的值为（    ） A． B．6 C．9 D．18 【变式4-1】关于的方程组的解是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知方程组与方程组有相同的解，则a、b、c的值为（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知x＝2，y＝﹣1，z＝﹣3是三元一次方程组的解，则m2﹣7n+3k的值为(   ) A．125 B．119 C．113 D．71 【题型5 三元一次方程组中利用整体法求代数式的值】 【例5】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值； (2)【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ (3)【拓展延伸】对于有理数，定义新运算，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知．求的值． 【变式5-1】（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知三元一次方程组，则（   ） A．5 B．20 C．15 D．10 【变式5-2】若，则 ． 【变式5-3】若对于有理数x和y，定义一种运算“”，，其中a、b、c为常数．已知，求5△4的值 ． 【题型6 构造三元一次方程组求值】 【例6】已知x、y、z满足，则的值为 . 【变式6-1】在等式中，当时，当时；当时，则的值为 ． 【变式6-2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知，则代数式的值为 ． 【变式6-3】如图，两台天平都保持平衡，则与2个球体质量相等的圆柱体的个数为 ． 【题型7 由两个三元一次方程求值】 【例7】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，满足且，则为 ． 【变式7-1】（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知，（），则 ． 【变式7-2】若且，则的值是 ． 【变式7-3】已知、、是三个非负实数，满足，，若，则的最大值与最小值的差为 ． 【题型8 判断三元一次方程（组）的解】 【例8】方程组（　　） A．无解． B．有组解． C．有组解． D．有无穷多组解． 【变式8-1】三元一次方程有无数个解，下列四组值中不是该方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】三元一次方程的正整数解有（    ） A．2组 B．4组 C．6组 D．8组 【变式8-3】三元一次方程x＋y＋z＝1999的非负整数解的个数有（    ） A．20001999个 B．19992000个 C．2001000个 D．2001999个 【题型9 三元一次方程（组）的应用】 【例9】（24-25七年级下·江苏南京·期中）用方程组解决问题：某动物保护机构要准备三种类型的食物共310份给需要救助的动物，现安排40名志愿者来准备这些食物，每名志愿者只能准备同一种类型的食物，且要求每名志愿者满工作量．根据以下表格信息，回答问题． 食物类型 每名志愿者准备量（份） 6 8 9 (1)如果类型食物安排了16名志愿者，那么两种类型食物各需多少名志愿者？ (2)现要求每种类型的食物至少安排11名志愿者，求三种类型的食物各需安排多少名志愿者，写出所有可行的方案． 【变式9-1】（25-26八年级上·四川绵阳·开学考试）有甲、乙、丙三种商品，如果购买甲件，乙件，丙件共需元，购买甲件，乙件，丙件共需元钱，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（　　） A．200元 B．300元 C．350元 D．400元 【变式9-2】已知青铜含有的铜，的锌和的锡，而黄铜是铜和锌的合金，今有黄铜和青铜的混合物一块，其中含有的铜，的锌和的锡，则黄铜含有铜和锌的比为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】小满时节，日照增，气温升，降雨多，清热利湿很重要，中医记载：取茯苓、陈皮、白扁豆，可制成一包祛湿茶，可以宁神、健脾、化湿、开胃，某中药店购入一批茯苓、陈皮、白扁豆各若干克，按标准制成100包袪湿茶，茯苓刚好用完，剩余的白扁豆比陈皮多； (1)购入茯苓的质量为______；这100包祛湿茶所用原料陈皮与白扁豆的质量比为_______； (2)若第二批购入茯苓若干克、陈皮、白扁豆，和剩余原料一起按标准制成第二批祛湿茶，所有原料恰好用完，则第二批能制成祛湿茶多少包？ (3)药店将第一批制成的100包祛湿茶全部售出后，获得900元的利润（利润祛湿茶销售额所用原料的成本），若第二批购入的茯苓价格上涨，陈皮和白扁豆的价格不变，于是药店将祛湿茶单价上涨，将第二批祛湿茶也全部售出，药店两次销售共获得2410元的利润，则两次购买的陈皮和白扁豆共花费多少元？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $