专题05 三角与三角函数（必备知识+25大考点+专练，复习讲义）（上海专用）2026年春季高考数学

专题05 三角与三角函数 目录 知识点1 正弦、余弦、正切、余切 3 1．扇形的弧长公式、面积公式 3 2．任意角、弧度制、象限角 3 3．任意角的正弦、余弦、正切、余切 4 知识点2 同角三角比的基本关系与诱导公式 4 1．同角三角比的关系 4 2．公式应用 4 3．变形公式 5 4．诱导公式（可用＂奇变偶不变，符号看象限＂来记忆） 5 知识点3 常用三角公式 5 1．两角和与差的公式 5 2．二倍角公式 5 3．降幂公式 5 4．辅助角公式 5 知识点4 三角函数的图像与性质（1） 6 知识点5 三角函数的图像与性质（2） 7 知识点6 解三角形 7 1正弦定理 7 2余弦定理 7 3三角形面积公式 8 4解斜三角形的三边、三角六元素，已知三个元素有五种情形 8 5.运用三角形内角和定理、正弦、余弦定理等知识解斜三角形 8 6.利用解斜三角形解决实际问题 8 考点1 象限角与弧度制 8 考点2 弧长公式、扇形面积公式 11 考点3 任意角的三角函数的定义 15 考点4 特殊角的三角函数值 18 考点5 各象限角三角函数值的符号 21 考点6 已知三角函数值求角 23 考点7 同角三角函数的基本关系 27 考点8 三角函数的诱导公式 30 考点9 正弦函数的图象与性质 34 考点10 余弦函数的图象与性质 42 考点11 正切函数的图象与性质 48 考点12 正（余）弦、正切型三角函数的图象 51 考点13 三角函数图象的综合应用 57 考点14 三角函数的图象变换 62 考点15 三角函数的应用 65 考点16 反三角函数 72 考点17 两角和与差公式 77 考点18 二倍角公式 80 考点19 积化和差与和差化积公式 84 考点20 辅助角公式 88 考点21 三角恒等变换的应用 92 考点22 正弦定理 97 考点23 三角形面积公式 101 考点24 余弦定理 105 考点25 解三角形的实际应用 112 一、单选题 119 二、填空题 122 三.解答题 125 1、 考试要求 知识点 新课程标准 重点 三角函数的基本概念与三角比 1. 理解任意角、弧度制的概念，能进行角度与弧度的互化； 2. 掌握扇形的弧长公式、面积公式； 3. 理解任意角的正弦、余弦、正切、余切的定义，能判断三角函数值的符号（象限角） 1. 角度与弧度的互化，扇形弧长、面积公式的应用； 2. 任意角三角比定义的理解及符号判断 同角三角比的基本关系与诱导公式 1. 掌握同角三角函数的基本关系式（平方关系、商数关系），能进行化简、求值； 2. 理解诱导公式的推导，掌握“奇变偶不变，符号看象限”的记忆方法，能运用诱导公式进行三角比的化简、求值 1. 同角三角比基本关系的灵活应用（化简、求值、证明）； 2. 诱导公式的熟练运用及符号判断 常用三角公式 1. 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式； 2. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能推导降幂公式； 3. 能运用辅助角公式将形如的式子化为正弦型函数 1. 两角和与差、二倍角公式的正用、逆用、变形用； 2. 辅助角公式的应用及三角恒等变换的技巧 三角函数的图像与性质 1. 能画出、、的图像，理解其周期性、奇偶性、单调性、最值等性质； 2. 掌握函数的图像与性质，理解、、对图像的影响 1. 三角函数单调性、奇偶性、周期性、最值的分析； 2. 的图像变换（平移、伸缩）及性质应用 解三角形 1. 掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解决三角形的边长、角度问题； 2. 掌握三角形的面积公式，能结合正、余弦定理解决面积问题； 3. 能运用解三角形知识解决实际问题（如测量、航海等） 1. 正弦定理、余弦定理的灵活应用（已知三个元素解三角形的五种情形）； 2. 三角形面积公式与正、余弦定理的综合应用； 3. 解三角形实际问题的建模与求解 二、命题分析 三角与三角函数考查信息表 模块 考频 考查内容 命题趋势 三角与三角函数 2025年第5题、2022年第4题；2025年第16题、2024年第21题；2021年第12题；2021年第18题、2024年第5题、2023年第18题、2025年第18题；2021年第5题 两角和与差的三角函数公式应用；三角函数的周期性、最值等性质；正弦定理、余弦定理解三角形；三角函数在几何（如角度计算）中的应用 高频考点，两角和与差、三角函数性质多以小题形式考查，难度中等，注重公式与性质的熟练掌握；解三角形为中高频考点，可在小题或综合题中考查，强调正余弦定理的灵活应用，难度中等；三角函数与几何结合考查知识综合运用，难度中等，注重三角与几何的衔接 -考查内容及命题趋势表（2021~2025年春考数据） 知识点1 正弦、余弦、正切、余切 1．扇形的弧长公式、面积公式 注意 . 2．任意角、弧度制、象限角 （1）任意角的概念：角可以看作平面内一条射线绕着端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所成的图形．按逆时针方向旋转所形成的角为正角；按顺时针方向旋转所形成的角为负角；没有旋转的角为零角； （2）与角 的终边相同的角的集合 ； （3）把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角， 弧度， 1 弧度 ． （4）象限角的集合表示： 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 （5）终边在 轴上的角的集合 ；终边在坐标轴上的角的集合 ． 3．任意角的正弦、余弦、正切、余切 （1）定义 在平面直角坐标系内，角 的顶点为原点，角的始边为 轴正半轴，在终边上任取一点且不与原点重合 ，则 ． （2）符号 知识点2 同角三角比的基本关系与诱导公式 1．同角三角比的关系 （1）平方关系： ，平方关系对任意角都成立； （2）商数关系： ； （3）倒数关系： ． 2．公式应用 （1）已知角 的一个三角比值，求其余的三角比； （2）化简三角式； （3）关于 与 的齐次形式． 3．变形公式 4．诱导公式（可用＂奇变偶不变，符号看象限＂来记忆） 知识点3 常用三角公式 1．两角和与差的公式 （1） ； （2） ； （3） ． 2．二倍角公式 （1） ； （2） ； （3） ． 3．降幂公式 （1） ； （2） ． 4．辅助角公式 ，其中 , 5．半角公式 6．积化和差公式 7．和差化积公式 ：（1）半角公式中，公式右边的＂＂号，根据角 所在象限由左侧值相应的符号确定； （2）半角的正切公式中，一定注意角的不同限制范围． 知识点4 三角函数的图像与性质（1） 正弦函数、余弦函数、正切函数的:图像与性质(表中所有 知识点5 三角函数的图像与性质（2） 振幅 周期 频率 圆频率 相位 初始相位 2．函数 的图像和性质． 3．三角函数图像的平移伸缩变换． 知识点6 解三角形 1．正弦定理 （其中 为 的外接圆的半径）． 2．余弦定理 等形式． 3．三角形面积公式 （其中 为 内切圆半径）． 4．解斜三角形的三边、三角六元素，已知三个元素有五种情形 （1）三边（SSS）；（2）两边一夹角（SAS）；（3）两边一对角（SSA）（直角三角形中为 HL）；（4）两角一夹边（ASA）；（5）两角一对边（AAS）．由全等三角形判定定理可知（1）（2）（4）（5）四种情况，当三角形存在时，解是唯一的，而对于（3），可有两解、一解及无解三种情形，应特别引起注意． 5.运用三角形内角和定理、正弦、余弦定理等知识解斜三角形 6.利用解斜三角形解决实际问题 考点1 象限角与弧度制 【解题方法点拨】 （1）注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角． （2）角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． （3）注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题． （4）角度制与弧度制不可混用.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． 设是第一象限的角，则所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第三象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 已知，，则为（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 密位制是度量角度的一种方法，我国在航海和军事领域采用的是6000密位制，即把一个周角等分为6000份，每一等份是1密位，则120密位等于（    ） A． B． C． D． 若圆上的一段圆弧长与该圆的内接正六边形的边长相等，则这段圆弧所对的圆心角的大小为 . 【变式1】所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】的终边在第 象限． 【变式3】已知是第二象限角，且其终边经过点，则 ． 考点2 弧长公式、扇形面积公式 【解题方法点拨】 弧长和扇形面积的计算方法 （1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷． （2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值． （3）记住下列公式：①l＝αR；②SlR；③SαR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积． （2025·上海普陀·二模）若一个圆锥的高为，侧面积为，则该圆锥侧面展开图中扇形的中心角的大小为 . （25-26高三上·上海闵行·期中）如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地AOB，扇形的半径为10米，AB是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路OC，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料．为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则该阴影部分面积的最小值为 平方米．（结果精确到0.01） 【变式1】（24-25高三上·上海金山·期末）已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为 ． 【变式2】（2025·上海徐汇·二模）如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地，扇形的半径为20米，是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料.为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则原直路与新直路的交叉点到的距离为 米. 考点3 任意角的三角函数的定义 利用三角函数的定义求三角函数值的方法 利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量： （1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）． （25-26高三上·上海·期中）若角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，它的终边过点，则 ． （2024·上海松江·二模）已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为 . 【变式1】（25-26高三上·上海·期中）已知点是角终边上的点，则 . 【变式2】（25-26高三上·上海·期中）如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于4的常数.阴影部分是一个半径为3米的扇形.设这个扇形已经锈蚀不能使用，但其余部分均完好.工人师傅想在未被锈蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上.设，矩形的面积为平方米. (1)求这块铁皮的可用部分的面积； (2)求关于的函数表达式； (3)当时，求的最值，并求出当取得最值时，所对应的的值. 考点4 特殊角的三角函数值 （2025·上海崇明·三模）设，则 . （2025·上海浦东新·三模）已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则以下关于“”的选项，结论正确的是（   ） A．存在满足 B．存在锐角满足 C．该表达式不存在最大值 D．该表达式不存在最小值 （2024·上海长宁·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若的面积为，请判断的形状，并说明理由． 【变式1】（25-26高三上·上海·期中）已知的三边长分别为3，5，7，则该三角形最大角的正弦值等于 . 【变式2】（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)求函数在区间上的零点； (2)函数在区间上恰有一个极值点，求的取值范围； (3)求函数的值域. 考点5 各象限角三角函数值的符号 （2024·上海闵行·一模）设，若、为同一象限的角，且不存在、，使得，则、所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （24-25高三上·上海浦东新·期中）若角满足，且，则角属于第 象限. 【变式1】（2025·上海普陀·二模）设，在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，若角的终边经过点，且，则角属于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（25-26高三上·上海·阶段练习）已知函数，则角所在象限是（   ） A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限 C．第三象限或第四象限 D．第二象限或第四象限 考点6 已知三角函数值求角 （2024·上海静安·一模）我国古代数学著作《九章算术》中将四个面都是直角三角形的空间四面体叫做“鳖臑”.如图是一个水平放置的.现将沿折起，使点移动到点，使得空间四面体恰好是一个“鳖臑”，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． （25-26高三上·上海·期中）已知函数，存在，使得，则的值是 . 【变式1】（24-25高三上·上海浦东新·期中）下面有四个命题： ①若点为角的终边上一点，则； ②同时满足，的角有且只有一个； ③如果角满足，那么角是第二象限的角； ④满足条件的角的集合为. 其中真命题的序号为 . 【变式2】若，则 ． 【变式3】（24-25高三上·上海·期中）已知函数 ． (1)若是三角形中一内角，且 ，求的值； (2)若，且，求的值． 考点7 同角三角函数的基本关系 （2025·上海徐汇·二模）已知，则的值为 . （2025·上海·三模）设复数（为虚数单位），则的最大值为 . （2024·上海嘉定·二模）已知，，则函数的最小值为 ． 【变式1】（2025·上海嘉定·二模）已知，若，则 ． 【变式2】（2025·上海徐汇·三模）已知，且，则 . 【变式3】（2024·上海黄浦·二模）若，，其中，则 . 【变式4】（2025·上海青浦·三模）在中，，. (1)求的值； (2)若，求的周长和面积. 考点8 三角函数的诱导公式 【解题方法点拨】 1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限． 2、在求值与化简时，常用方法有： （1）弦切互化法：主要利用公式tanα化成正、余弦． （2）和积转换法：利用（sin θ±cos θ）2＝1±2sin θcosθ的关系进行变形、转化． （3）巧用“1”的变换：1＝sin2θ+cos2θ＝cos2θ（1+tan2θ）＝tan45°＝…． 3、利用诱导公式化简求值的思路 （1）“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数． （2）“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数． （3）“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数． （4）“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得． 注意： （1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负→脱周→化锐．特别注意函数名称和符号的确定． （2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． （3）注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． （2025·上海宝山·三模）已知，则 . “角的终边关于轴对称”是“"的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 （2024·上海虹口·一模）已知，则“”是“”的（   ）条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【变式1】（2024·上海闵行·二模）始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则= . 【变式2】已知，则 ． 【变式3】（2024·上海奉贤·三模）已知三角形的三个角对应的边分别为、、 (1)求证：存在以为三边的三角形； (2)若以为三边的三角形为等腰直角三角形，求三角形的最小角． 考点9 正弦函数的图象与性质 （2025·上海嘉定·二模）已知关于x的不等式在区间内有k个整数解，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 （2025·上海·三模）函数的零点个数为 （2025·上海崇明·二模）函数的最小正周期是，则 ． （2025·上海·三模）如图是函数的图象，则的值为 . （2024·上海长宁·二模）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 1 0 (1)请在答题卷上将上表处的数据补充完整，并直接写出函数的解析式； (2)设，求函数的值域； 0 0 1 0 0 （2025·上海杨浦·模拟预测）设常数.已知函数. (1)若，求在区间上的零点； (2)若在上严格增，求的取值范围. 【变式1】已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式2】（2024·上海·三模）已知向量，函数，若函数在内有且只有一个零点，则实数的取值范围为 . 【变式3】（2025·上海·三模）已知函数．若存在，使得，则的最大值为 ． 【变式4】（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为，则对任意的实数，皆有成立的一个充分条件是 . 【变式5】（2025·上海徐汇·二模）设实数，若满足对任意，都存在，使得成立，则的最小值是 . 【变式6】（2025·上海金山·三模）已知，函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)在中，若，且的面积为，求． 考点10 余弦函数的图象与性质 （2025·上海奉贤·二模）若是函数的一个周期，则正整数所有可能取值个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 （2025·上海闵行·二模）已知函数在区间上既有最大值1又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（   ）． A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 （2025·上海·三模）函数，的零点是 ． （2025·上海浦东新·三模）已知函数，的最小值是，则实数 . （2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为. (1)若，设的内角的对边分别为，，且，求的面积. (2)对任意的，皆有成立，且该函数在区间上不存在最小值，求函数在的单调区间. 【变式1】（2025·上海崇明·二模）数列是等差数列，周期数列满足，若集合，n是正整数中恰有三个元素，则数列的周期T的取值不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为 ． 【变式3】（2025·上海浦东新·二模）若，则函数的最小正周期为 ． 【变式4】（2025·上海松江·三模）若不等式对恒成立，则 . 【变式5】（2025·上海·三模）设函数，其中向量，，，. (1)求函数的最大值及相应的值； (2)将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的. 考点11 正切函数的图象与性质 （2025·上海杨浦·三模）“”是“”的（ ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 （2024·上海虹口·二模）已知集合，则 . 【变式1】（2025·上海·模拟预测）已知，不等式在中的整数解有m个．关于m的个数，以下不可能的是（   ）． A．0 B．338 C．674 D．1012 【变式2】（2024·上海·三模）函数的最小正周期为 ． 【变式3】函数的定义域是 ． 考点12 正（余）弦、正切型三角函数的图象 （2025·上海黄浦·三模）已知函数的部分图像如下，将沿翻折至，使得二面角为.若，则 （2025·上海松江·三模）已知函数的图像相邻两个零点之间的距离为. (1)求的值及的解集； (2)在中，为的一个内角，若满足，，且，求周长. （2025·上海闵行·二模）已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点．    (1)求函数的解析式； (2)若的内角所对的边分别为，若，，求面积的取值范围． 【变式1】函数在区间上的零点为 ． 【变式2】（24-25高三下·上海静安·期中）设某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数近似满足．根据某一天的测量，港口水的深度在早上3点达到最大值18米，之后持续减少，并在上午9点达到最小值14米．则该港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数的近似表达式为 ． 【变式3】（2025·上海松江·二模）已知函数，当时函数取得最大值4，记. (1)求函数的表达式； (2)若数列为等差数列，，记，求数列的前项和. 【变式4】（2024·上海浦东新·三模）已知，其中，. (1)若，函数的最小正周期T为，求函数的单调减区间； (2)设函数的部分图象如图所示，其中，，求函数的最小正周期T，并求的解析式. 考点13 三角函数图象的综合应用 已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2024·上海·模拟预测）如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为 .    若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为 【变式1】已知，函数在区间上有唯一的最小值-2，则的取值范围为 ． 【变式2】设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小取值等于 . 【变式3】设，若存在，使成立的最大正整数为9，则实数的取值范围是 . 考点14 三角函数的图象变换 要得到的图象，只要把函数的图象（    ） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 为了得到函数的图象，只需把函数，的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变） B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变） D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变） 【变式1】函数的图像按向量平移后所得图像的函数解析式为，当函数为奇函数时，向量可以等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·上海虹口·二模）设，将函数的图像沿轴向右平移个单位，得到函数的图像，则（    ） A．函数是偶函数 B．函数的图像关于直线对称 C．函数在上是严格增函数 D．函数在上的值域为 【变式3】（2025·上海浦东新·模拟预测）把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则 . 考点15 三角函数的应用 解三角函数应用题的一般步骤 （1）阅读理解材料：将文字语言转化为符号语言； （2）建立变量关系：抽象成数学问题，建立变量关系； （3）讨论变量性质：根据函数性质讨论变量性质； （4）作出结论． （2025·上海·高考真题）小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角 ．（结果用角度制表示，精确到） （2025·上海松江·三模）如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为且直径平行坝面.坝面上点满足，且长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点到小岛修建三段栈道、与，在半圆小岛上再修建栈道、以及，水面上的点在线段上，且、均与圆相切，切点分别为、，其中栈道、、和小岛在同一个平面上.设，则需要修建的栈道总长度的最小值为 百米. 2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备． 如图所示，在某项运动赛事扇形场地中，，米，点是弧的中点，为线段上一点（不与点，重合）．为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道，，．记，三条轨道的总长度为米． (1)将表示成的函数，并写出的取值范围； (2)当三条轨道的总长度最小时，求轨道的长． 【变式1】（2025·上海金山·三模）我校南门有条长600米，宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有120个长5米，宽米的停车位（如矩形），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，学校保安李师傅提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中．按照李师傅的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加 个． 【变式2】（2025·上海浦东新·三模）著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．研究表明，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．若对应于的泛音是对应于的基本音的一个谐波，则正整数的所有可能取值之和为 【变式3】汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心：如图1，某汽车四轮中心分别为，向左转向，左前轮转向角为，右前轮转向角为，转向中心为.设该汽车左右轮距为米，前后轴距为米. (1)试用和表示； (2)如图2，有一直角弯道，为内直角顶点，为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮与路边相距2米.试依据如下假设，对问题*做出判断，并说明理由. 假设：①转向过程中，左前轮转向角的值始终为；②设转向中心到路边的距离为，若且，则汽车可以通过，否则不能通过；③.问题*：可否选择恰当转向位置，使得汽车通过这一弯道？ 考点16 反三角函数 （2025·上海·三模）若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角大小为 ． （2024·上海嘉定·一模）某公园为了美化环境，计划建造一座拱桥DACBE，已知该桥的剖面如图所示，共包括一段圆弧形桥面和两段长度相等的直线型桥面，圆弧形桥面所在圆的半径为4米，圆心在上，且和所在直线与圆分别在连结点和处相切.已知直线型桥面的修建费用是每米0.4万元，弧形桥面的修建费用是每米2.5万元，设，根据空间限制及桥面坡度的限制，的范围为，则当桥面修建总费用最低时的值为 . 如图，在正三棱柱中，已知，是的中点. (1)求直线与所成的角的大小； (2)求证：平面平面，并求点到平面的距离. 【变式1】（2025·上海闵行·二模）已知某星球的球心为，半径为，该星球的卫星的运行轨道是以为一个焦点的椭圆，该椭圆的离心率为，卫星运行过程中离该星球表面最近的距离为，若当卫星处于某位置时，用卫星上的光学仪器观测该星球，把光学仪器的镜头与星球表面被观测点的连线称为视线，任意两条视线所成的最大夹角称为张角，则卫星运行过程中张角的最小值为 ．（精确到0.1°） 【变式2】（24-25高二上·上海·阶段练习）直线和的夹角为 .（用反三角形式表示） 【变式3】如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，O是AC与BD的交点，，，平面ABCD，，M是PD的中点． (1)证明：平面ACM (2)求直线AM与平面ABCD所成角的大小． 考点17 两角和与差公式 若且，则 ． 若，则 ． 在中，． (1)求的值； (2)若，求的周长和面积． 【变式1】（2025·上海浦东新·二模）若，则函数的最小正周期为 ． 【变式2】（2025·上海青浦·三模）在中，，. (1)求的值； (2)若，求的周长和面积. 考点18 二倍角公式 【解题方法点拨】 ﹣利用二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α ﹣将具体角度值代入公式，求解二倍角的三角函数值． ﹣验证计算结果的正确性． （2025·上海普陀·二模）设，在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，若角的终边经过点，且，则角属于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （2025·上海·三模）已知，则 . （2025·上海嘉定·二模）已知关于x的不等式在区间内有k个整数解，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 （2024·上海静安·一模）在中，已知，则的值为 . （2025·上海嘉定·二模）已知，若，则 ． 【变式1】（2025·上海长宁·二模）顶角为的等腰三角形被称为黄金三角形，其底边和腰之比正好为黄金比，用黄金比表示 ． 【变式2】已知，且，则 ． 【变式3】（2024·上海虹口·一模）若，则 ． 【变式4】（2024·上海崇明·一模）在中，已知点D是BC边上一点，且，. (1)若，且，求AD的长； (2)若，，求AD的长（结果精确到0.01）. 考点19 积化和差与和差化积公式 设数列的前n项和为，若，则 . 函数在区间的零点个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1】（2025·上海杨浦·模拟预测）已知在底面半径为1且高为10的圆柱体的表面上有三个动点、、，则的最小值为 . 【变式2】已知等差数列的公差，且，若时，则数列的前项和为取得最小值时的值为 . 【变式3】若数列满足，则称数列为“k阶相消数列”.已知“2阶相消数列”的通项公式为，记，，，则当 时，取得最小值 考点20 辅助角公式 （2025·上海·三模）已知函数．若存在，使得，则的最大值为 ． （2024·上海·三模）若函数的一个零点是，则函数的最大值为 （2025·上海金山·三模）已知，函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)在中，若，且的面积为，求． 【变式1】（2024·上海·三模）正实数x，y满足：存在和，使得，，，则的最大值为 ． 【变式2】（2024·上海虹口·一模）设． (1)当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； (2)若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值． 考点21 三角恒等变换的应用 （2025·上海·模拟预测）已知，. (1)若函数的最小正周期为，求的值； (2)当时，设.若函数和在上有相同的最大值，求的取值范围. 设常数，函数． （1）若为奇函数，求的值； （2）若，求方程在区间上的解． 【变式1】设． (1)求的单调递增区间及对称中心； (2)当时，，求的值． 【变式2】在中，内角所对的边分别为，且． (1)判断的形状； (2)设，且是边的中点，当最大时，求的面积． 【变式3】（2025·上海·模拟预测）已知. (1)求函数的最小正周期和最大值； (2)在中，若，，求. 考点22 正弦定理 定理 正弦定理 内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） 变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA （2025·上海·三模）已知中，，且，，则的最大值为 . （2024·上海徐汇·二模）在中，，，，则的外接圆半径为 . （2025·上海·三模）在中，角，，所对边的边长分别为，，，且满足 (1)求角的值； (2)若，求周长的最大值. 【变式1】（2025·上海奉贤·二模）已知，“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的 条件． 【变式2】（24-25高三下·上海虹口·期中）若的三条边的长分别为、、，则的外接圆面积为 .（结果保留） 【变式3】（2024·上海宝山·一模）在中，已知. (1)若且，求的面积； (2)若求的取值范围. 【变式4】（2024·上海杨浦·一模）已知的内角所对边的长度分别为. (1)若，求的面积； (2)若，求的值. 考点23 三角形面积公式 三角形面积问题 ①S△ABCahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）； ②S△ABCabsinCbcsinAacsinB； ③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径） ④S△ABC； ⑤S△ABC，（s（a+b+c））； ⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径） （2025·上海长宁·二模）已知点D、E分别是三角形ABC的边AC、BC的中点，且，则三角形ABC的面积的取值范围是 ． （2025·上海崇明·二模）在中，若，其面积为，则 ． 【变式1】（2024·上海普陀·一模）设的内角，，的对边分别为，，，若，，的面积为，则的值为 . 【变式2】（2025·上海·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求的值； (2)若，为钝角，求面积的最大值． 【变式3】（2025·上海·模拟预测）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，求a； (2)若，求的面积的最大值． 考点24 余弦定理 正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccos A， b2＝a2+c2﹣2accos_B， c2＝a2+b2﹣2abcos_C 变形 形式 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； ②sin A，sin B，sin C； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A， cos B， cos C 解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角 （2025·上海·一模）在中，是边的中点.若，，，则 ． （2025·上海杨浦·模拟预测）在中，分别为角的对边.已知是一个面积为的锐角三角形，且，则的周长为 . （2024·上海嘉定·一模）在中，若，则 . （2024·上海长宁·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若的面积为，请判断的形状，并说明理由． 【变式1】（2025·上海松江·二模）在定向越野活动中，测得甲在乙北偏东的方向，甲乙两人间的距离为2km，丙在乙北偏西的方向，甲丙两人间的距离为，则乙丙两人间的距离为 km. 【变式2】（2025·上海金山·模拟预测）已知点O是△ABC外接圆圆心，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且有，若，则实数λ的值为 ． 【变式3】（2025·上海宝山·二模）空间中有相互垂直的两条异面直线，点，且，若，且，则二面角平面角的余弦值最小为 . 【变式4】（2025·上海·模拟预测）在中，若，，，则的长为 . 【变式5】（24-25高三上·上海黄浦·期末）双曲线的左、右焦点分别为、（），过点的直线与右支在轴上方交于点． (1)若，点的坐标为，求的值； (2)若，且是等比数列，求证：直线的斜率为定值； (3)设直线与左支的交点为，，当且仅当满足什么条件时，存在直线，使得成立． 考点25 解三角形的实际应用 （2025·上海浦东新·三模）如图，ABCD是四面体.已知，，以下两个语句中：①棱AB与棱CD一定相等；②棱AC与棱BD不一定相等；下列选项判断正确的是（   ） A．①，②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①，②都错误 （2025·上海浦东新·二模）如图，某建筑物垂直于地面，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，已知相距100米，，则该建筑物高度约为 米．（保留一位小数） 记的内角的对边分别为，已知 (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 【变式1】（2025·上海·模拟预测）某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中、均与水平面垂直.在已测得可直接到达的两点间距离、的情况下，四名同学用测角仪各自测得下列四组角中的一组角的度数，其中不能唯一确定与之间的距离的是（    ）. A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（2025·上海奉贤·二模）中企联合大厦是奉贤区的第一高楼，是奉贤美奉贤强的一个缩影．某数学建模兴趣小组的同学们去实地进行测量，经过多次的测量，最终在平行于地面的同一水平面上选取三个点：点、点、点作为测量基点．设大厦的最高点为，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，又测得米，，（见图）．现作出以下几个假设：            ①直线垂直于平面； ②平面到地面的距离等于测角仪高度，在计算过程中测角仪高度忽略不计； ③其它次要因素等忽略不计．根据以上信息估算奉贤第一高楼的高度约 米．（结果保留整数） 【变式3】（2024·上海宝山·二模）在中，角、、的对边分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状. 【变式4】在中，角，，所对的边分别为，，，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求的周长的最大值． 一、单选题 1.已知，，则的终边在（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 2.（2024·上海闵行·二模）已知，集合，，. 关于下列两个命题的判断，说法正确的是（     ） 命题①：集合表示的平面图形是中心对称图形； 命题②：集合表示的平面图形的面积不大于. A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 3.（24-25高三上·上海金山·期末）古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示．用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（   ）．    A． B． C． D． 二、填空题 1.（2025·上海奉贤·二模）已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ． 2.已知且，则为第 象限角． 3.已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为 4.公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则 ． 5.（2025·上海徐汇·二模）已知，则的值为 . 6.（2024·上海杨浦·二模）已知实数满足：①；②存在实数，使得，，是等差数列，，，也是等差数列.则实数的取值范围是 . 三.解答题 1.（2024·上海静安·一模）已知向量，且. (1)求及； (2)记，求函数的最小值. 2. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求； (2)若，，求. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角与三角函数 目录 知识点1 正弦、余弦、正切、余切 3 1．扇形的弧长公式、面积公式 3 2．任意角、弧度制、象限角 3 3．任意角的正弦、余弦、正切、余切 4 知识点2 同角三角比的基本关系与诱导公式 4 1．同角三角比的关系 4 2．公式应用 4 3．变形公式 5 4．诱导公式（可用＂奇变偶不变，符号看象限＂来记忆） 5 知识点3 常用三角公式 5 1．两角和与差的公式 5 2．二倍角公式 5 3．降幂公式 5 4．辅助角公式 5 知识点4 三角函数的图像与性质（1） 6 知识点5 三角函数的图像与性质（2） 7 知识点6 解三角形 7 1正弦定理 7 2余弦定理 7 3三角形面积公式 8 4解斜三角形的三边、三角六元素，已知三个元素有五种情形 8 5.运用三角形内角和定理、正弦、余弦定理等知识解斜三角形 8 6.利用解斜三角形解决实际问题 8 考点1 象限角与弧度制 8 考点2 弧长公式、扇形面积公式 11 考点3 任意角的三角函数的定义 15 考点4 特殊角的三角函数值 18 考点5 各象限角三角函数值的符号 21 考点6 已知三角函数值求角 23 考点7 同角三角函数的基本关系 27 考点8 三角函数的诱导公式 30 考点9 正弦函数的图象与性质 34 考点10 余弦函数的图象与性质 42 考点11 正切函数的图象与性质 48 考点12 正（余）弦、正切型三角函数的图象 51 考点13 三角函数图象的综合应用 57 考点14 三角函数的图象变换 62 考点15 三角函数的应用 65 考点16 反三角函数 72 考点17 两角和与差公式 77 考点18 二倍角公式 80 考点19 积化和差与和差化积公式 84 考点20 辅助角公式 88 考点21 三角恒等变换的应用 92 考点22 正弦定理 97 考点23 三角形面积公式 101 考点24 余弦定理 105 考点25 解三角形的实际应用 112 一、单选题 119 二、填空题 122 三.解答题 125 1、 考试要求 知识点 新课程标准 重点 三角函数的基本概念与三角比 1. 理解任意角、弧度制的概念，能进行角度与弧度的互化； 2. 掌握扇形的弧长公式、面积公式； 3. 理解任意角的正弦、余弦、正切、余切的定义，能判断三角函数值的符号（象限角） 1. 角度与弧度的互化，扇形弧长、面积公式的应用； 2. 任意角三角比定义的理解及符号判断 同角三角比的基本关系与诱导公式 1. 掌握同角三角函数的基本关系式（平方关系、商数关系），能进行化简、求值； 2. 理解诱导公式的推导，掌握“奇变偶不变，符号看象限”的记忆方法，能运用诱导公式进行三角比的化简、求值 1. 同角三角比基本关系的灵活应用（化简、求值、证明）； 2. 诱导公式的熟练运用及符号判断 常用三角公式 1. 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式； 2. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能推导降幂公式； 3. 能运用辅助角公式将形如的式子化为正弦型函数 1. 两角和与差、二倍角公式的正用、逆用、变形用； 2. 辅助角公式的应用及三角恒等变换的技巧 三角函数的图像与性质 1. 能画出、、的图像，理解其周期性、奇偶性、单调性、最值等性质； 2. 掌握函数的图像与性质，理解、、对图像的影响 1. 三角函数单调性、奇偶性、周期性、最值的分析； 2. 的图像变换（平移、伸缩）及性质应用 解三角形 1. 掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解决三角形的边长、角度问题； 2. 掌握三角形的面积公式，能结合正、余弦定理解决面积问题； 3. 能运用解三角形知识解决实际问题（如测量、航海等） 1. 正弦定理、余弦定理的灵活应用（已知三个元素解三角形的五种情形）； 2. 三角形面积公式与正、余弦定理的综合应用； 3. 解三角形实际问题的建模与求解 二、命题分析 三角与三角函数考查信息表 模块 考频 考查内容 命题趋势 三角与三角函数 2025年第5题、2022年第4题；2025年第16题、2024年第21题；2021年第12题；2021年第18题、2024年第5题、2023年第18题、2025年第18题；2021年第5题 两角和与差的三角函数公式应用；三角函数的周期性、最值等性质；正弦定理、余弦定理解三角形；三角函数在几何（如角度计算）中的应用 高频考点，两角和与差、三角函数性质多以小题形式考查，难度中等，注重公式与性质的熟练掌握；解三角形为中高频考点，可在小题或综合题中考查，强调正余弦定理的灵活应用，难度中等；三角函数与几何结合考查知识综合运用，难度中等，注重三角与几何的衔接 -考查内容及命题趋势表（2021~2025年春考数据） 知识点1 正弦、余弦、正切、余切 1．扇形的弧长公式、面积公式 注意 . 2．任意角、弧度制、象限角 （1）任意角的概念：角可以看作平面内一条射线绕着端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所成的图形．按逆时针方向旋转所形成的角为正角；按顺时针方向旋转所形成的角为负角；没有旋转的角为零角； （2）与角 的终边相同的角的集合 ； （3）把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角， 弧度， 1 弧度 ． （4）象限角的集合表示： 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 （5）终边在 轴上的角的集合 ；终边在坐标轴上的角的集合 ． 3．任意角的正弦、余弦、正切、余切 （1）定义 在平面直角坐标系内，角 的顶点为原点，角的始边为 轴正半轴，在终边上任取一点且不与原点重合 ，则 ． （2）符号 知识点2 同角三角比的基本关系与诱导公式 1．同角三角比的关系 （1）平方关系： ，平方关系对任意角都成立； （2）商数关系： ； （3）倒数关系： ． 2．公式应用 （1）已知角 的一个三角比值，求其余的三角比； （2）化简三角式； （3）关于 与 的齐次形式． 3．变形公式 4．诱导公式（可用＂奇变偶不变，符号看象限＂来记忆） 知识点3 常用三角公式 1．两角和与差的公式 （1） ； （2） ； （3） ． 2．二倍角公式 （1） ； （2） ； （3） ． 3．降幂公式 （1） ； （2） ． 4．辅助角公式 ，其中 , 5．半角公式 6．积化和差公式 7．和差化积公式 ：（1）半角公式中，公式右边的＂＂号，根据角 所在象限由左侧值相应的符号确定； （2）半角的正切公式中，一定注意角的不同限制范围． 知识点4 三角函数的图像与性质（1） 正弦函数、余弦函数、正切函数的:图像与性质(表中所有 知识点5 三角函数的图像与性质（2） 振幅 周期 频率 圆频率 相位 初始相位 2．函数 的图像和性质． 3．三角函数图像的平移伸缩变换． 知识点6 解三角形 1．正弦定理 （其中 为 的外接圆的半径）． 2．余弦定理 等形式． 3．三角形面积公式 （其中 为 内切圆半径）． 4．解斜三角形的三边、三角六元素，已知三个元素有五种情形 （1）三边（SSS）；（2）两边一夹角（SAS）；（3）两边一对角（SSA）（直角三角形中为 HL）；（4）两角一夹边（ASA）；（5）两角一对边（AAS）．由全等三角形判定定理可知（1）（2）（4）（5）四种情况，当三角形存在时，解是唯一的，而对于（3），可有两解、一解及无解三种情形，应特别引起注意． 5.运用三角形内角和定理、正弦、余弦定理等知识解斜三角形 6.利用解斜三角形解决实际问题 考点1 象限角与弧度制 【解题方法点拨】 （1）注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角． （2）角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． （3）注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题． （4）角度制与弧度制不可混用.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． 设是第一象限的角，则所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第三象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 【答案】C 【知识点】确定n分角所在象限 【分析】根据是第一象限的角，求出的范围判断即可得解. 【详解】因为是第一象限的角， 所以，， 所以， 当时，，为第一象限角； 当时，，为第三象限角. 故选：C 已知，，则为（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、确定已知角所在象限 【分析】利用诱导公式化简即可根据象限角的性质求解. 【详解】由，可得，， 故为第三象限角， 故选：C 密位制是度量角度的一种方法，我国在航海和军事领域采用的是6000密位制，即把一个周角等分为6000份，每一等份是1密位，则120密位等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】弧度的概念、角度化为弧度 【分析】根据弧度的定义求解120密位占6000密位的比例再乘以即可. 【详解】由题意可得120密位等于. 故选：C 若圆上的一段圆弧长与该圆的内接正六边形的边长相等，则这段圆弧所对的圆心角的大小为 . 【答案】1弧度 【知识点】弧度的概念 【分析】根据弧度的定义求解即可． 【详解】圆的内接正六边形的边长等于圆半径，弧长等于半径的弧所对圆心角为1弧度角． 故答案为：1弧度． 【变式1】所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】确定已知角所在象限 【分析】将，与的终边相同． 【详解】， 又终边在第三象限， 所在的象限为第三象限， 故选：C． 【变式2】的终边在第 象限． 【答案】三 【知识点】找出终边相同的角、确定已知角所在象限 【分析】由终边相同的角的概念求出的终边相同的角为，判断其所在的象限即可. 【详解】因为，所以与终边相同， 故的终边在第三象限. 故答案为：三 【变式3】已知是第二象限角，且其终边经过点，则 ． 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、由已知角所在的象限确定某角的范围、二倍角的正切公式 【分析】根据题意，求得，得到，再结合三角函数的定义和正切的倍角公式，即可求解. 【详解】因为是第二象限角，可得， 则，所以， 又因为的终边经过点，可得，可得， 解得或（舍去）． 故答案为：. 考点2 弧长公式、扇形面积公式 【解题方法点拨】 弧长和扇形面积的计算方法 （1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷． （2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值． （3）记住下列公式：①l＝αR；②SlR；③SαR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积． （2025·上海普陀·二模）若一个圆锥的高为，侧面积为，则该圆锥侧面展开图中扇形的中心角的大小为 . 【答案】 【知识点】圆锥表面积的有关计算、弧长的有关计算 【分析】根据圆锥的侧面积公式，扇形的弧长公式求解即可, 【详解】设底面半径为，母线长为l 由，得， 又，由勾股定理， 所以，解得， 底面圆周长，扇形中心角， 故答案为： （25-26高三上·上海闵行·期中）如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地AOB，扇形的半径为10米，AB是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路OC，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料．为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则该阴影部分面积的最小值为 平方米．（结果精确到0.01） 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、余弦定理解三角形、扇形面积的有关计算、正弦定理解三角形 【分析】设，得到，从而，则，在中，利用余弦定理得到，在中，利用正弦定理得到，，从而得到，然后由阴影部分的面积为求解. 【详解】设，则， 所以，则， 由，得， 在中，由余弦定理得， ，则， 在中， 即， 则，， 所以， 阴影部分的面积为：， ， ， ， 则，令，得或， 当或时，；当时，， 当时，，当时，， 而， 所以当时，阴影部分面积的最小值为平方米. 故答案为： 【变式1】（24-25高三上·上海金山·期末）已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为 ． 【答案】 【知识点】圆锥中截面的有关计算、弧长的有关计算、求线面角 【分析】根据扇形弧长与圆锥底面周长关系列方程求底面半径，结合圆锥的结构特征求该圆锥的母线与底面所成角余弦值，即可确定大小. 【详解】令底面半径为，则，可得，且圆锥母线为， 所以该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为，故其大小为. 故答案为： 【变式2】（2025·上海徐汇·二模）如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地，扇形的半径为20米，是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料.为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则原直路与新直路的交叉点到的距离为 米. 【答案】 【知识点】面积、体积最大问题、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】过点作，设,，根据正弦定理求得，求得阴影的面积为，令，求得，得出函数的单调性，得到时， 取得最小值，结合为等腰直角三角形，即可求解. 【详解】过点作垂足为，可得，， 设,，在中，由正弦定理得， 因为，所以， 又由阴影部分的面积： ，其中， 令， 可得， 令，可得，解得 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得最小值，则，所以为等腰直角三角形， 因为，所以. 故答案为：     考点3 任意角的三角函数的定义 利用三角函数的定义求三角函数值的方法 利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量： （1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）． （25-26高三上·上海·期中）若角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，它的终边过点，则 ． 【答案】/ 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式五、六 【分析】由三角函数定义和诱导公式计算即可求解. 【详解】因为角的终边过点， 所以， 所以. 故答案为： （2024·上海松江·二模）已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为 . 【答案】 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】由题意可求，，利用任意角的三角函数的定义即可求解． 【详解】因为点的坐标为，可得， 所以， 可得，， 所以点的坐标为， 故答案为：. 【变式1】（25-26高三上·上海·期中）已知点是角终边上的点，则 . 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数定义式直接可得解. 【详解】由已知角终边过点， 则， 故答案为：. 【变式2】（25-26高三上·上海·期中）如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于4的常数.阴影部分是一个半径为3米的扇形.设这个扇形已经锈蚀不能使用，但其余部分均完好.工人师傅想在未被锈蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上.设，矩形的面积为平方米. (1)求这块铁皮的可用部分的面积； (2)求关于的函数表达式； (3)当时，求的最值，并求出当取得最值时，所对应的的值. 【答案】(1) (2) (3)最小值是，或 【知识点】三角函数定义的其他应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、扇形面积的有关计算、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】（1）根据题意，利用矩形和圆的面积公式，即可求解； （2）过作，垂足为，得到，结合矩形的面积公式，即可求解； （3）由（2）知，化简得到，结合三角函数的基本关系式和二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：根据题意，矩形的面积为，阴影部分的面积为， 所以可用部分的面积为 （2）解：过作，垂足为， 由，且圆的半径为，可得， 所以， 所以矩形的面积. （3）解：由（2）知：矩形的面积， 故 ， 因为， 又因为，可得，所以， 则当时，矩形的面积取得最小值，即， 此时，所以， 解得或 所以的最小值是，当取得最小值时，所对应的的值是或. 考点4 特殊角的三角函数值 （2025·上海崇明·三模）设，则 . 【答案】 【知识点】特殊角的三角函数值 【分析】根据三角函数值求，以及，再求余弦值. 【详解】，则，，所以. 故答案为： （2025·上海浦东新·三模）已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则以下关于“”的选项，结论正确的是（   ） A．存在满足 B．存在锐角满足 C．该表达式不存在最大值 D．该表达式不存在最小值 【答案】C 【知识点】正弦定理边角互化的应用、由导数求函数的最值（不含参）、特殊角的三角函数值 【分析】由题意结合正弦定理，由可得，可得，所以，再结合的取值范围判断各选项的正误即可. 【详解】由题意得，因为，所以， 由正弦定理可得，，所以， 所以. 因为，所以， 设，则， 由得， 所以在上递减，在上递增， 又，所以， 所以无解，A错误； 若，则，与锐角相矛盾，B错误；由得C正确，D错误. 故选：C. （2024·上海长宁·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若的面积为，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形，理由见解析 【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、特殊角的三角函数值、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据正弦定理边角互化化简得出正切，结合范围求角； （2）应用面积公式计算得出，再结合余弦定理得出边长即可判断. 【详解】（1）由正弦定理可得, 因为，所以，,所以. （2）, 所以, 由余弦定理，得, 即，解得, 所以是等边三角形. 【变式1】（25-26高三上·上海·期中）已知的三边长分别为3，5，7，则该三角形最大角的正弦值等于 . 【答案】/ 【知识点】特殊角的三角函数值、余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理可求得最大角，进而求出正弦值即可. 【详解】中，最大的边长为7， 边长为7的边所对应的角最大，设最大的角为， 由余弦定理可得：， 又为三角形的内角，，， . 故答案为：. 【变式2】（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)求函数在区间上的零点； (2)函数在区间上恰有一个极值点，求的取值范围； (3)求函数的值域. 【答案】(1)或 (2) (3) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、特殊角的三角函数值、正弦函数图象的应用 【分析】（1）解三角函数对应方程即可得到解，再取区间内的解即可； （2）由三角函数的对称轴即是极值点，求得极值点，在区间内有且只有一个解得到不等式组，求得的取值范围； （3）代入解析式并化简，用换元法得到函数解析式，由导函数得到单调区间，求出最值后得出值域. 【详解】（1）令， ∴，∴或 ∵， ∴或 （2）， ∵，， ∴， ∴， ∴. （3）， 令，， ，， 令，∴， ∴函数增区间：；减区间：， ∴，， ∴， 即函数的值域：. 考点5 各象限角三角函数值的符号 （2024·上海闵行·一模）设，若、为同一象限的角，且不存在、，使得，则、所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系 【分析】根据给定条件，结合同角公式，逐项分析确定的取值的正负情况即可判断得解. 【详解】对于A，若，， 由，解得，显然， 令方程的根为，，当时，， 当时，，而当时，， 当时，，取，则，A不是； 对于B，当为第二象限时，，， 取，， 则，B不是； 对于C，当为第三象限时，，取， ，，C不是； 对于D，当为第四象限时，，， 则，当为第四象限时，，D正确. 故选：D （24-25高三上·上海浦东新·期中）若角满足，且，则角属于第 象限. 【答案】二 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】根据正弦值、正切值符号判断角所在的象限即可. 【详解】由且，根据各象限对应正弦、正切的函数值符号，知属于第二象限. 故答案为：二 【变式1】（2025·上海普陀·二模）设，在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，若角的终边经过点，且，则角属于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限、二倍角的正弦公式、诱导公式一 【分析】根据诱导公式和二倍角公式可得，再根据角的终边经过点，即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 所以，异号， 所以在第二、四象限， 又，所以在第二象限. 故选：. 【变式2】（25-26高三上·上海·阶段练习）已知函数，则角所在象限是（   ） A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限 C．第三象限或第四象限 D．第二象限或第四象限 【答案】A 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限、确定已知角所在象限、求对数函数的定义域 【分析】根据对数的性质可列不等式，即可根据三角函数的性质求解范围. 【详解】由题意可知：，解得或， 故或， 因此角所在象限是第一象限或者第二象限， 故选：A 考点6 已知三角函数值求角 （2024·上海静安·一模）我国古代数学著作《九章算术》中将四个面都是直角三角形的空间四面体叫做“鳖臑”.如图是一个水平放置的.现将沿折起，使点移动到点，使得空间四面体恰好是一个“鳖臑”，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知三角函数值求角、求二面角 【分析】设，根据题意求出四面体的棱长，二面角的平面角为，求的三角函数值即可. 【详解】中，. 不妨设，则， 空间四面体是一个“鳖臑”，则和都是直角三角形， 若，则中，，由勾股定理得， 此时不是直角三角形，不合题意； 所以，在中，，由勾股定理得， 此时满足是直角三角形，， 由，，二面角的平面角为， 中，，， 所以二面角的大小为. 故选：D. （25-26高三上·上海·期中）已知函数，存在，使得，则的值是 . 【答案】或 【知识点】已知三角函数值求角、辅助角公式 【分析】首先利用条件化简方程，结合辅助角公式及角的范围，即可求的值. 【详解】， ， ， ， 或， 当时，，又，所以； 当时，， 即，所以， 又，，则，解得， 综上：或. 故答案为：或. 【变式1】（24-25高三上·上海浦东新·期中）下面有四个命题： ①若点为角的终边上一点，则； ②同时满足，的角有且只有一个； ③如果角满足，那么角是第二象限的角； ④满足条件的角的集合为. 其中真命题的序号为 . 【答案】④ 【知识点】找出终边相同的角、由终边或终边上的点求三角函数值、已知三角函数值求角、确定已知角所在象限 【分析】①根据正弦函数定义求正弦值判断；②注意任意角定义即可判断；③直接判断角所在象限即可；④根据正切值及任意角定义求角即可判断. 【详解】①若点为角的终边上一点，（注意参数a的符号不确定），假命题； ②同时满足，，只要终边与相同的角都满足，假命题； ③如果角满足，那么角是第三象限的角，假命题； ④满足条件的角，，真命题. 故答案为：④ 【变式2】若，则 ． 【答案】 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、已知弦（切）求切（弦） 【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果. 【详解】因为，则， 又因为，则， 且，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 【变式3】（24-25高三上·上海·期中）已知函数 ． (1)若是三角形中一内角，且 ，求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、已知三角函数值求角、辅助角公式、sin2x的降幂公式及应用 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数性质求出值. （2）由（1）的信息，利用同角公式及和角的正弦公式计算得解. 【详解】（1）依题意，，由， 得，而为三角形内角，即，则， 因此或，所以或. （2）由，且，得，即， 又，则， 所以 . 考点7 同角三角函数的基本关系 （2025·上海徐汇·二模）已知，则的值为 . 【答案】 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦） 【分析】先根据同角三角函数关系得出，再根据两角差正切公式计算求解. 【详解】， 所以， 则. 故答案为：7. （2025·上海·三模）设复数（为虚数单位），则的最大值为 . 【答案】3 【知识点】求复数的模、求含sinx(型)函数的值域和最值、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】本题可先根据复数的模的计算公式求出的表达式，再结合三角函数的性质求出其最大值. 【详解】已知，则. 可得： 因为的取值范围是，所以当时，取得最大值. 此时. 那么的最大值为，即的最大值为. 故答案为：. （2024·上海嘉定·二模）已知，，则函数的最小值为 ． 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角恒等变换的化简问题、sinα±cosα和sinα·cosα的关系、辅助角公式 【分析】令，可求t的范围，利用同角的基本关系对已知函数化简计算，结合函数的单调性即可求解. 【详解】由题意知，， 令，由，得， 所以，则. 由，得， 所以，则原函数可化为， 又函数在上单调递增，所以在上单调递增， 故当时，取得最大值，此时取得最小值. 故答案为： 【变式1】（2025·上海嘉定·二模）已知，若，则 ． 【答案】/0.4 【知识点】二倍角的正弦公式、已知弦（切）求切（弦） 【分析】根据已知，应用商数关系及平方关系可得，再应用二倍角正弦公式求函数值. 【详解】由， 所以，则. 故答案为： 【变式2】（2025·上海徐汇·三模）已知，且，则 . 【答案】/ 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式五、六 【分析】由同角三角函数的基本关系和诱导公式进行求解. 【详解】由，， 则， 故. 故答案为： 【变式3】（2024·上海黄浦·二模）若，，其中，则 . 【答案】3 【知识点】数量积的坐标表示、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】利用平面向量数量积的坐标表示公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】， 故答案为： 【变式4】（2025·上海青浦·三模）在中，，. (1)求的值； (2)若，求的周长和面积. 【答案】(1)； (2)周长32，面积24. 【知识点】三角形面积公式及其应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用两角和的正弦公式即可求得的值； （2）先利用正弦定理求得的的长，进而求得的周长和面积． 【详解】（1）在中，，又， 则， 则. （2），又，， 则由正弦定理得， 则的周长为 的面积为． 考点8 三角函数的诱导公式 【解题方法点拨】 1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限． 2、在求值与化简时，常用方法有： （1）弦切互化法：主要利用公式tanα化成正、余弦． （2）和积转换法：利用（sin θ±cos θ）2＝1±2sin θcosθ的关系进行变形、转化． （3）巧用“1”的变换：1＝sin2θ+cos2θ＝cos2θ（1+tan2θ）＝tan45°＝…． 3、利用诱导公式化简求值的思路 （1）“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数． （2）“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数． （3）“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数． （4）“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得． 注意： （1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负→脱周→化锐．特别注意函数名称和符号的确定． （2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． （3）注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． （2025·上海宝山·三模）已知，则 . 【答案】/0.75 【知识点】诱导公式五、六 【分析】根据诱导公式化简即可得答案. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. “角的终边关于轴对称”是“"的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】三角函数恒等式的证明——诱导公式、充分条件、必要条件 【分析】先证明充分性，再举出反例说明必要性不成立，得到答案. 【详解】由角的终边关于轴对称，则，可知，即成立，充分性成立； 当时，角的终边关于轴对称或， 所以“角的终边关于轴对称”是“”的充分不必要条件， 故选：B. （2024·上海虹口·一模）已知，则“”是“”的（   ）条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【答案】C 【知识点】判断命题的必要不充分条件、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】集合角的范围和诱导公式计算出角的取值，再根据充分性和必要的用定义法进行判断. 【详解】充分性： 根据诱导公式，因为，所以或， 当时，；当时，； 所以由不能必然推出，充分性不成立； 必要性： 因为，所以，此时， 所以由可以推出，必要性成立； 综上，是的必要非充分条件； 故选：C. 【变式1】（2024·上海闵行·二模）始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则= . 【答案】/ 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式二、三、四 【分析】结合三角函数的诱导公式，以及任意角的三角函数的定义，即可求解． 【详解】始边与轴的正半轴重合的角的终边过点， 则， 故． 故答案为：． 【变式2】已知，则 ． 【答案】/ 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据题意，结合三角函数的诱导公式，即可求解. 【详解】因为，根据三角函数的诱导公式， 可得. 故答案为：. 【变式3】（2024·上海奉贤·三模）已知三角形的三个角对应的边分别为、、 (1)求证：存在以为三边的三角形； (2)若以为三边的三角形为等腰直角三角形，求三角形的最小角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、正弦定理边角互化的应用、二倍角的正弦公式 【分析】（1）利用正弦定理和三角形任意两边之和大于第三边即可证明； （2）由题意可得均为锐角，不妨设，则可得或，然后分情况讨论即可. 【详解】（1）证明：因为，所以， 因为三角形的三个角对应的边分别为、、， 所以，， 设三角形的外接圆半径为，则由正弦定理得 ， ， ， 所以，，， 所以存在以为三边的三角形； （2）因为以为三边的三角形为等腰直角三角形， 所以， 所以都为锐角， 不妨设，因为， 所以，或， 所以或， 当时，，则，不合题意，舍去， 当时，，则， 因为，所以, 因为，所以， 所以，因为， 所以，所以， 所以, 所以, 所以三角形的最小角为. 考点9 正弦函数的图象与性质 （2025·上海嘉定·二模）已知关于x的不等式在区间内有k个整数解，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】解正弦不等式、解余弦不等式、二倍角的正弦公式 【分析】由二倍角正弦公式有，讨论、，结合正余弦函数的性质解不等式求解集，进而确定整数解的个数. 【详解】由题设，显然， 当，则，此时， 当，则，此时， 所以，整数解有，共5个整数解. 故选：C （2025·上海·三模）函数的零点个数为 【答案】3 【知识点】求函数零点或方程根的个数、求函数的零点、正弦函数图象的应用 【分析】根据的零点转化为与的图象的交点，由图即可得出答案. 【详解】根据的零点个数转化为与的图象的交点个数，   时，函数取最大值， 时函数的值为， 又因为，结合图象可知，两函数图象具有个交点. 所以的零点个数为个. 故答案为：. （2025·上海崇明·二模）函数的最小正周期是，则 ． 【答案】 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】由正弦型函数的周期公式可求得的值. 【详解】因为函数的最小正周期是，则. 故答案为：. （2025·上海·三模）如图是函数的图象，则的值为 . 【答案】2 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】由函数的图象可求得最小正周期为，进而可求得. 【详解】因为的图象过点，所以，所以， 所以，解得. 故答案为：. （2024·上海长宁·二模）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 1 0 (1)请在答题卷上将上表处的数据补充完整，并直接写出函数的解析式； (2)设，求函数的值域； 【答案】(1)补充表格见解析， (2) 【知识点】五点法画正弦（型）函数的图象、求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、辅助角公式 【分析】（1）由表得，解方程组即可得，进一步可据此完成表格； （2）由题意结合二倍角公式、诱导公式以及辅助角公式先化简的表达式，进一步通过整体换元法即可求解. 【详解】（1）由题意，解得， 所以函数的解析式为， 令时，解得，当时，， 将表中处的数据补充完整如下表： 0 0 1 0 0 （2）若， 则 ， 因为，所以， 进而， 所以函数的值域为. （2025·上海杨浦·模拟预测）设常数.已知函数. (1)若，求在区间上的零点； (2)若在上严格增，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求函数的零点、利用正弦型函数的单调性求参数、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）由零点的定义建立方程，根据三角函数恒等式，结合正切函数，可得答案； （2）由函数求导，根据函数的单调区间，建立不等式，可得答案. 【详解】（1），当时，， ， 解得，即， 当时，，当时，. （2），求导可得 即在上恒成立，即 当时，，，故，所以. 【变式1】已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx的函数的单调性 【分析】根据给定条件，举例说明，结合正弦函数的性质排除不可能的选项作答. 【详解】因为函数的最小正周期是，因此只需考查离原点最近的右侧一个周期内的区间即可， 当时，，，而，， 因此在上的最小值，在上的最小值，A可能； 当时，，， 因此在上的最小值，在上的最小值，B可能； 当时，，， 因此在上的最小值，在上的最小值，D可能； 对于C，若，则， 若，则区间的长度，并且且， 即且与矛盾，所以C不可能. 故选：C 【点睛】结论点睛：闭区间上的连续函数既有最大值，又有最小值. 【变式2】（2024·上海·三模）已知向量，函数，若函数在内有且只有一个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、根据函数零点的个数求参数范围、正弦函数图象的应用、辅助角公式 【分析】函数在内有且只有一个零点，等价于其对应的方程在给定区间内只有一个根，进而转化为两个函数在给定区间内只有一个交点的问题，数形结合，即可求出参数的值. 【详解】， 因为函数在内有且只有一个零点， 所以在内有且只有一个实根， 得，即， 即函数在上的图象与直线只有一个交点， 当时，， 画出在上的图象如下， 结合函数图象可知，函数在区间上的图象与直线只有一个交点时， 所以，即的取值范围是． 故答案为： 【变式3】（2025·上海·三模）已知函数．若存在，使得，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、辅助角公式 【分析】将函数的解析式利用辅助角公式进行化简，根据题意可得是函数取得最大值的的值或取得最小值的的值，再分情况讨论即可. 【详解】因为， 则由题意可得或， 则①令，，解得，， 又，要求的最大值，只需令，则，令，则， 所以的最大值为． ②令，，解得，， 又，要求的最大值，只需令，则，令，， 所以的最大值为， 综上， 的最大值为． 故答案为：. 【变式4】（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为，则对任意的实数，皆有成立的一个充分条件是 . 【答案】 【知识点】充分条件、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】由题意分析出区间至少包含一个完整的周期，才能保证能取到时的所有函数值，再利用周期的公式求出的取值范围，结合充分条件的定义即可得到结果. 【详解】因为函数，要使， 则周期，即， 因为，所以一个充分条件是， 故答案为： 【变式5】（2025·上海徐汇·二模）设实数，若满足对任意，都存在，使得成立，则的最小值是 . 【答案】/ 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数 【分析】先证明，再说明满足条件，即可得到的最小值是. 【详解】假设，则由可知，取，则对任意，由于，故，从而，不满足条件，矛盾； 假设，取，则对任意，由于，故，从而，不满足条件，矛盾； 以上结果表明必有，而当时，对任意，由可知，故. 而，，所以一定存在，使得，即，满足条件. 综上，的最小值是. 故答案为：. 【变式6】（2025·上海金山·三模）已知，函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)在中，若，且的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的坐标表示、余弦定理解三角形、求sinx型三角函数的单调性、辅助角公式 【分析】（1）先利用三角恒等变换化简，进而利用正弦函数的单调性求解； （2）由可求角，进而由可求的值，从而利用余弦定理求出的值. 【详解】（1）由题意，， ∴ . 由，可得， 所以的单调递增区间为. （2）由，得， 因为，所以，所以，即. 因为，所以，得. 又，所以， 即， 所以 即． 考点10 余弦函数的图象与性质 （2025·上海奉贤·二模）若是函数的一个周期，则正整数所有可能取值个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】根据周期的定义以及三角函数诱导公式，由正整数以及因数，可得答案. 【详解】由题意可得 ， 则，，，， 或，，，， 解得，，，，① 或，，，，② ①由为正整数，且的因数为， 则的取值可能有， 此时的可能取值有， 由，则为的倍数，故的可能取值有. ②由为正整数，且的因数为， 则奇数的取值只可能有， 此时的可能取值有，由，则奇数，所以此时无取值. 故选：B. （2025·上海闵行·二模）已知函数在区间上既有最大值1又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（   ）． A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】由余弦函数的周期和最值点的分布，以及区间内包含最值点的条件逐项判断即可. 【详解】由题意可得函数的周期为， 最大值点满足，解得， 最小值点满足，解得， 因为函数在区间上既有最大值又有最小值，区间的长度为9， 对于A，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故A正确； 对于B，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故B正确； 对于C，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故C正确； 对于D，若，当时，最大值点为，当时，最大值点为2038，此时不位于区间内，故D错误. 故选：D （2025·上海·三模）函数，的零点是 ． 【答案】， 【知识点】求函数的零点、余弦函数图象的应用 【分析】令即可求出函数的零点. 【详解】令，则，， 当时，；当时，. 函数，的零点是，. 故答案为： （2025·上海浦东新·三模）已知函数，的最小值是，则实数 . 【答案】 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】由题意先求出时的取值范围，从而得到的值域，再根据最小值为-1求出实数a的值. 【详解】由题意得，当时，， 故在的值域为, 又因为最小值是-1，所以， 故答案为. （2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为. (1)若，设的内角的对边分别为，，且，求的面积. (2)对任意的，皆有成立，且该函数在区间上不存在最小值，求函数在的单调区间. 【答案】(1) (2)函数在单调递减，在单调递增 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、三角形面积公式及其应用、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、余弦定理解三角形 【分析】（1）由已知可得，由此解得的值，通过验证可得，然后根据余弦定理和面积公式即可求解； （2）由已知可得，又函数在无最小值，可得，再根据三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，解得或， 所以或， 若，则，不符；所以， 所以，所以， 由， 得，所以， ； （2）由，得，所以，， 令，因为，所以， 又函数在无最小值，所以函数的最小正周期,所以， 所以，则，此时，符合题意， 所以， 令，所以， 当时，， 因为， 所以在单调递减，在单调递增. 【变式1】（2025·上海崇明·二模）数列是等差数列，周期数列满足，若集合，n是正整数中恰有三个元素，则数列的周期T的取值不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、余弦函数图象的应用 【分析】现根据等差数列的通项公式和周期数列的定义，得到，然后对选项逐一分析即可. 【详解】, 取，则公差， 当，是，此时角度序列为： ， 取，则对应的余弦值为，此时，三个元素合题意； 当，是，此时角度序列为： ， 取，则对应的余弦值为， 又，此时也是三个元素，合题意； 当，是，此时角度序列为： ， 取，则对应的余弦值为，此时也是三个元素，合题意； 当，是，此时角度序列为： ， 由于是质数，角度间隔无法分解为更小的对称单元，余弦值的对称性不足以将个不同角度映射为个不同值， 故选：D. 【变式2】（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为 ． 【答案】 【知识点】求cosx(型)函数的值域 【分析】利用余弦函数的单调性可得. 【详解】由函数在上单调递增，在单调递减， 且， 故函数在上的值域为. 故答案为：. 【变式3】（2025·上海浦东新·二模）若，则函数的最小正周期为 ． 【答案】 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期、逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】利用两角和差的余弦公式化简，再利用周期公式求解. 【详解】， 故最小正周期为. 故答案为： 【变式4】（2025·上海松江·三模）若不等式对恒成立，则 . 【答案】 【知识点】利用cosx（型）函数的对称性求参数、二次函数的图象分析与判断、函数不等式恒成立问题 【分析】先分析当时，函数的对称轴，零点及函数值的变化情况，再分析二次函数的单调性与对称轴，结合不等式恒成立可得关于，的方程，求解即可． 【详解】当时，函数的对称轴为，零点为，， 且当时，，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，且对称轴为， 所以要使不等式恒成立， 于是，，，解得，，故. 故答案为：． 【变式5】（2025·上海·三模）设函数，其中向量，，，. (1)求函数的最大值及相应的值； (2)将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的. 【答案】(1)最大值为，，； (2). 【知识点】数量积的坐标表示、求cosx(型)函数的值域、求含cosx的函数的奇偶性、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）由向量数量积的坐标运算及三角恒等变换化简函数式得，根据正弦型函数的性质求最大值及其对应自变量； （2）设，根据图象平移得，由余弦函数的奇偶性列方程求得，（），，再由向量模长的最小值，即可得结果. 【详解】（1）， 故函数的最大值为，相应的值为，； （2）设，则平移后的函数为， 为奇函数，故，，得，， 于是，当时，最小，此时. 考点11 正切函数的图象与性质 （2025·上海杨浦·三模）“”是“”的（ ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】D 【知识点】判断命题的必要不充分条件、由正切函数的周期求值 【分析】根据充分条件和必要条件的概念，以及正切函数的性质，判断充分性和必要性，求得结果. 【详解】当时，，不能得出，不具备充分性， 当时，正切值不存在，所以不能得出，也不具备必要性. 故选：D. （2024·上海虹口·二模）已知集合，则 . 【答案】 【知识点】分式不等式、交集的概念及运算、解正切不等式 【分析】先求出集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】， ， 所以. 故答案为：. 【变式1】（2025·上海·模拟预测）已知，不等式在中的整数解有m个．关于m的个数，以下不可能的是（   ）． A．0 B．338 C．674 D．1012 【答案】D 【知识点】求正切（型）函数的周期 【分析】由题设可得，结合正切函数的周期分或时，和两种情况讨论求解即可. 【详解】由，即， 对于，周期为， 且，， 当或时，不等式在中无整数解； 当时，若不等式有在内只有1个整数解， 比如时，此时在内的整数解为， 而， 则在中可能有个整数解； 若不等式有在内只有2个整数解， 比如时，此时在内的整数解为或， 则在中可能有个整数解； 由于， 则在内最多只有2个整数解，因此在中不可能有1012个整数解. 故选：D. 【变式2】（2024·上海·三模）函数的最小正周期为 ． 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的周期 【分析】利用函数的最小正周期计算公式即可求解. 【详解】因为的最小正周期为, 所以函数的最小正周期为， 所以函数的最小正周期为, 故答案为：. 【变式3】函数的定义域是 ． 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的定义域 【分析】由可得答案. 【详解】，则，. 故答案为： 考点12 正（余）弦、正切型三角函数的图象 （2025·上海黄浦·三模）已知函数的部分图像如下，将沿翻折至，使得二面角为.若，则 【答案】/ 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】利用可求得；作出二面角的平面角，结合余弦定理和勾股定理可求得点坐标，由此可得的最小正周期，进而得到. 【详解】，又，； 记点为，翻折后，连接， ，，即为二面角的平面角，， ，， 轴，，，又，平面， 平面，又平面，， ，， 由图可知，的最小正周期， 又因为, . 故答案为：. （2025·上海松江·三模）已知函数的图像相邻两个零点之间的距离为. (1)求的值及的解集； (2)在中，为的一个内角，若满足，，且，求周长. 【答案】(1)2； (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、求函数的零点、余弦定理解三角形、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】（1）根据题设有，即可得解析式，再由正弦函数的性质求解方程即可； （2）根据已知可得，应用余弦定理、三角形面积公式得、，进而可得，即可得周长. 【详解】（1）由题设，则， 令或，， 所以或，，故解集为． （2）由题设，即，， 所以，，又是三角形内角，故， 由，即， 由，则，所以， 易得，所以周长为． （2025·上海闵行·二模）已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点．    (1)求函数的解析式； (2)若的内角所对的边分别为，若，，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）由点确定周期，可得，再由即可求解的值，从而得函数解析式； （2）由确定，得到，再结合正弦定理、三角恒等变换、正弦型函数的性质即可得的取值范围，由三角形面积公式得面积的取值范围． 【详解】（1）因为图像经过，， 所以得周期，由得，. 又得，， 又因为， 所以，所以． （2）因为，又， 结合图像对称性可知：，则， 又，由正弦定理得：， 则， 所以 ， 由，，可得， 所以，则， 故， 于是可得的面积为， 故面积的取值范围为. 【变式1】函数在区间上的零点为 ． 【答案】 【知识点】正切型三角函数图象的应用 【分析】令，在上求解即可. 【详解】令， ∵，∴， ∴，即， ∴函数在区间上的零点为. 故答案为：. 【变式2】（24-25高三下·上海静安·期中）设某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数近似满足．根据某一天的测量，港口水的深度在早上3点达到最大值18米，之后持续减少，并在上午9点达到最小值14米．则该港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数的近似表达式为 ． 【答案】 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】根据函数的最值求出和周期，进而可求出，再利用待定系数法求出即可. 【详解】由题意可知，解得， ，所以，所以， 所以， 又当时，函数取得最大值， 所以，所以，所以， 所以. 故答案为：. 【变式3】（2025·上海松江·二模）已知函数，当时函数取得最大值4，记. (1)求函数的表达式； (2)若数列为等差数列，，记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】（1）由时函数取得最大值4，可知值及关于的方程，由其范围可求得值，得解； （2）由（1）求得，进而求得，得，由等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）已知当时函数取得最大值4， 因为，所以.此时， 又，解得， 所以函数的表达式为. （2）由（1）知，则，. 因为是等差数列，设公差为，则，解得，， 所以. 又，数列是以为首项，为公比的等比数列， 可得. 【变式4】（2024·上海浦东新·三模）已知，其中，. (1)若，函数的最小正周期T为，求函数的单调减区间； (2)设函数的部分图象如图所示，其中，，求函数的最小正周期T，并求的解析式. 【答案】(1) (2)，. 【知识点】数量积的坐标表示、求正弦（型）函数的最小正周期、求sinx型三角函数的单调性、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】（1）根据求出，求出的解析式，利用整体代换法计算即可求解； （2）由图可知，，利用平面向量数量积的定义和坐标表示求出，进而求，将点D代入解析式计算即可求解. 【详解】（1）由题，，解得，故. 令， 所以的单调减区间为. （2）由题，可得，， 因此，，又，得. 由，得. 再将代入，即. 由，解得. 因此的解析式为. 考点13 三角函数图象的综合应用 已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、三角函数图象的综合应用、辅助角公式 【分析】根据正弦函数的图象特征和性质，结合定义域和值域，即可求解. 【详解】，因为，所以，因为，所以. 正弦函数在一个周期内，要满足上式，则， 所以，所以的取值范围是. 故选：D （2024·上海·模拟预测）如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为 .    【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、识别三角函数的图象（含正、余弦，正切） 【分析】根据题意，得到点，设，，根据，结合中点公式列出方程组，求得，结合，得到，即可求解. 【详解】由函数的图象，不妨令，则，所以， 设，， 因为，可得，解得， 所以 ，所以， 又由图可知，所以. 故答案为：. 若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为 【答案】 【知识点】三角函数图象的综合应用 【分析】利用的图像与性质，直接求出函数的零点，再利用题设条件建立不等关系且，从而求出结果. 【详解】因为，由，得到， 所以或， 所以或， 又因为存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，所以 且，即且，解得. 故答案为： 【变式1】已知，函数在区间上有唯一的最小值-2，则的取值范围为 ． 【答案】． 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、三角函数图象的综合应用、辅助角公式 【分析】先用辅助角公式得到，结合得到，求出，得到答案. 【详解】， 因为，，所以， 因为函数在上有唯一的最小值-2， 所以，解得， 故的取值范围是. 故答案为： 【变式2】设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小取值等于 . 【答案】2 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、三角函数图象的综合应用 【分析】对任意的实数x都成立，这个条件说明，解方程可得答案. 【详解】对任意的实数x都成立，， ， 又 故答案为：2 【变式3】设，若存在，使成立的最大正整数为9，则实数的取值范围是 . 【答案】/ 【知识点】三角函数图象的综合应用 【分析】依题意，分类讨论作出函数简图，求得最值解不等式组即可 【详解】 依题意 （1）当时, 函数草图如下图所示, 此时, , 则    满足条件; （2）当 时, 函数草图如下图所示, 此时, , 则无解 （3）当时, 函数草图如下图 此时, ,, 则, 无解; （4）当时, 函数草图如下图所示, 此时, , , 则 解得 , 满足条件 故答案为： 考点14 三角函数的图象变换 要得到的图象，只要把函数的图象（    ） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 【答案】C 【知识点】相位变换及解析式特征、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】先将变形为，再结合平移变换的左加右减原则即可得解. 【详解】因为， 所以只要把函数的图象向左移个单位即可得到的图象. 故选：C. 为了得到函数的图象，只需把函数，的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变） B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变） D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变） 【答案】C 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】按照平移变换和周期变换的结论，分别求出四个选项中得到的函数解析式可得答案. 【详解】对于，把函数，的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，故不正确； 对于，把函数，的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，故不正确； 对于，把函数，的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，故正确； 对于，把函数，的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，故不正确. 故选：C. 【点睛】本题考查了三角函数的平移变换与周期变换，属于基础题. 【变式1】函数的图像按向量平移后所得图像的函数解析式为，当函数为奇函数时，向量可以等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由左加右减上加下减的原则可确定函数到的路线，进而确定向量. 【详解】∵， ∴将函数向左平移个单位， 再向上平移2个单位可得到为奇函数， ∴， 故选：B. 【点睛】本题主要考查三角函数图象平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，注意向量的平移的方向，属于基础题. 【变式2】（2024·上海虹口·二模）设，将函数的图像沿轴向右平移个单位，得到函数的图像，则（    ） A．函数是偶函数 B．函数的图像关于直线对称 C．函数在上是严格增函数 D．函数在上的值域为 【答案】D 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式 【分析】利用两角和的正弦公式化简的解析式，再根据三角函数的变换规则得到的解析式，最后根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】因为， 将函数的图像沿轴向右平移个单位得到， 又，所以为奇函数，故A错误； 因为，所以函数的图像不关于直线对称，故B错误； 当时，因为在上单调递减， 所以函数在上是严格增减函数，故C错误； 当时，所以， 则，即函数在上的值域为，故D正确. 故选：D 【变式3】（2025·上海浦东新·模拟预测）把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则 . 【答案】 【知识点】相位变换及解析式特征、周期变换及解析式特征、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据三角函数图象的伸缩以及平移变换规律，即可求得答案. 【详解】函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），可得， 再将图象上所有的点向右平移个单位长度，可得， 即 故答案为： 考点15 三角函数的应用 解三角函数应用题的一般步骤 （1）阅读理解材料：将文字语言转化为符号语言； （2）建立变量关系：抽象成数学问题，建立变量关系； （3）讨论变量性质：根据函数性质讨论变量性质； （4）作出结论． （2025·上海·高考真题）小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角 ．（结果用角度制表示，精确到） 【答案】 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】先根据在处的旗杆算出阳光和水平面的夹角，然后结合处的旗杆算出斜面角. 【详解】如图，在处，，在处满足， （其中水平面，是射过处杆子最高点的光线，光线交斜面于）， 故设，则， 由勾股定理，，解得， 于是 故答案为： （2025·上海松江·三模）如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为且直径平行坝面.坝面上点满足，且长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点到小岛修建三段栈道、与，在半圆小岛上再修建栈道、以及，水面上的点在线段上，且、均与圆相切，切点分别为、，其中栈道、、和小岛在同一个平面上.设，则需要修建的栈道总长度的最小值为 百米. 【答案】 【知识点】三角函数在生活中的应用、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】连接CD，CE，设，建立出需要修建的栈道的函数关系式，利用导数求出最小值. 【详解】连接CD，CE，由半圆半径为1得：. 由对称性，可设，又，， 所以，， 易知，所以的长为. 又，故，故， 令且，则，， 所以. 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以栈道总长度最小值. 故答案为：. 2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备． 如图所示，在某项运动赛事扇形场地中，，米，点是弧的中点，为线段上一点（不与点，重合）．为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道，，．记，三条轨道的总长度为米． (1)将表示成的函数，并写出的取值范围； (2)当三条轨道的总长度最小时，求轨道的长． 【答案】(1)， (2) 【知识点】几何中的三角函数模型、三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）在中，利用正弦定理表示出，然后可得解析式，注意到即可得的范围； （2）变形，然后利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为点是弧的中点， 由对称性，知，， 又，， 由正弦定理，得， ． 因为，所以，， 所以． （2）由（1）得：，． 因为， 且，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 即当时，三条轨道的总长度最小，此时. 【变式1】（2025·上海金山·三模）我校南门有条长600米，宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有120个长5米，宽米的停车位（如矩形），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，学校保安李师傅提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中．按照李师傅的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加 个． 【答案】71 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】根据给定条件，结合直角三角形边角关系及同角公式求出，再求出距离最远的停车位边界点到的最大距离，列出不等式求解即得. 【详解】停车位相对道路倾斜的角度，， 依题意，， 则，而，于是， 整理得，又，因此， 化简得，由，得，则，， 设改造后停车位数量最大值为，过停车位顶点作射线垂线，垂足为，如图， 则顶点到线段距离， 由各矩形停车位大小相等，得，， 于是，而， 因此，，又， 则，由，得， 解得，即改造后最大停车位数量为， 所以改造后的停车位比改造前增加个. 故答案为：71 【变式2】（2025·上海浦东新·三模）著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．研究表明，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．若对应于的泛音是对应于的基本音的一个谐波，则正整数的所有可能取值之和为 【答案】12 【知识点】三角函数在物理学中的应用、三角函数新定义、三角恒等变换的化简问题 【分析】由所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，可得到，，代入分析整数解，可得到有限个正整数的解，一一验证，即可得到符合条件的. 【详解】因为所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，所以，, ，两式相加得：，， 又，且，，的可能值为：1，2，4，5，10，20， 一一代入式中能同时使，为整数的值即为正解； 经检验：的值为和； 所以正整数的所有可能取值之和为. 故答案为：. 【变式3】汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心：如图1，某汽车四轮中心分别为，向左转向，左前轮转向角为，右前轮转向角为，转向中心为.设该汽车左右轮距为米，前后轴距为米. (1)试用和表示； (2)如图2，有一直角弯道，为内直角顶点，为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮与路边相距2米.试依据如下假设，对问题*做出判断，并说明理由. 假设：①转向过程中，左前轮转向角的值始终为；②设转向中心到路边的距离为，若且，则汽车可以通过，否则不能通过；③.问题*：可否选择恰当转向位置，使得汽车通过这一弯道？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】几何中的三角函数模型、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）根据题意可知，，结合题中数据分析求解； （2）以EF和FS分别为轴和轴建立坐标系，设，结合题中假设运算求解即可. 【详解】（1）由已知，， 所以，， 所以. （2）以EF和FS分别为轴和轴建立坐标系， 则，，， 设， 可得，，， 由，可得，解得， 由，得， 所以当时，且，此时汽车可以通过弯道. 可知选择恰当转向位置，汽车可以通过弯道. 考点16 反三角函数 （2025·上海·三模）若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角大小为 ． 【答案】 【知识点】反三角函数、直线法向量的概念及辨析、直线的倾斜角 【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，即可得出该直线的倾斜角. 【详解】因为是直线的一个法向量，故直线的斜率为，则该直线的倾斜角为． 故答案为：. （2024·上海嘉定·一模）某公园为了美化环境，计划建造一座拱桥DACBE，已知该桥的剖面如图所示，共包括一段圆弧形桥面和两段长度相等的直线型桥面，圆弧形桥面所在圆的半径为4米，圆心在上，且和所在直线与圆分别在连结点和处相切.已知直线型桥面的修建费用是每米0.4万元，弧形桥面的修建费用是每米2.5万元，设，根据空间限制及桥面坡度的限制，的范围为，则当桥面修建总费用最低时的值为 . 【答案】 【知识点】反三角函数、弧长的有关计算、解正弦不等式、成本最小问题 【分析】根据给定条件，结合弧长公式求出桥面修建总费用的函数关系，再利用导数探讨函数最小值问题. 【详解】连接，依题意，，则， ，的长度为， 则桥面修建总费用，， 而，求导得， 由，得，则，由，得， 当，即时，； 当，即时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当且仅当时，取得最小值，即桥面修建总费用最低. 故答案为： 如图，在正三棱柱中，已知，是的中点. (1)求直线与所成的角的大小； (2)求证：平面平面，并求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【知识点】反三角函数、求异面直线所成的角、求点面距离、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）根据可知所求角为，由长度关系可得结果； （2）作，由面面垂直性质可知所求距离为，利用面积桥可求得结果. 【详解】（1）由正三棱柱结构特征可知：，平面，为等边三角形； 直线与所成角即为， 平面，， 在中，，， 即直线与所成角的大小为. （2）作，垂足为， 平面平面，平面平面，平面，， 平面，点到平面的距离即为的长， 由（1）知：，， ，即， 点到平面的距离为. 【变式1】（2025·上海闵行·二模）已知某星球的球心为，半径为，该星球的卫星的运行轨道是以为一个焦点的椭圆，该椭圆的离心率为，卫星运行过程中离该星球表面最近的距离为，若当卫星处于某位置时，用卫星上的光学仪器观测该星球，把光学仪器的镜头与星球表面被观测点的连线称为视线，任意两条视线所成的最大夹角称为张角，则卫星运行过程中张角的最小值为 ．（精确到0.1°） 【答案】 【知识点】反三角函数、星体运行轨道问题 【分析】结合题意由椭圆的几何性质和离心率确定椭圆的，再由椭圆的光学性质和反三角函数计算. 【详解】设椭圆轨道的半长轴为，焦距为， 由题意可得，卫星运行过程中离该星球表面最近的距离为，在近日点即，又椭圆的离心率为，即， 由以上可得， 又由椭圆的光学性质可得在远日点时张角最小， 设此时张角为，则，即. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二上·上海·阶段练习）直线和的夹角为 .（用反三角形式表示） 【答案】 【知识点】反三角函数、直线的倾斜角、两条直线的到（夹）角公式 【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系，求出夹角的余弦值可得结果. 【详解】易知的斜率为，设其倾斜角为，可得； 又易知的倾斜角为， 因此所求夹角为， 易知，因此. 故答案为： 【变式3】如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，O是AC与BD的交点，，，平面ABCD，，M是PD的中点． (1)证明：平面ACM (2)求直线AM与平面ABCD所成角的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】求线面角、反三角函数、证明线面平行、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）连接，通过中位线性质得到，从而根据线面平行的判定定理得到平面； （2）取中点,连接,，利用线面垂直的性质得平面，从而将题目转化为求的大小，再利用勾股定理求出，则得到，最后利用反三角即可表示出角的大小. 【详解】（1）连接，在平行四边形中， 因为为与的交点， 所以为的中点， 又为的中点,所以. 因为平面平面， 所以平面. （2）取中点,连接,， 因为为的中点,所以,且, 由平面，得平面， 所以是直线与平面所成的角. 因为底面为平行四边形，且，， 所以，则， 在Rt中,,所以,从而， 因为平面,平面,， 所以在Rt中，，， 所以直线与平面所成角大小为. 考点17 两角和与差公式 若且，则 ． 【答案】 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦） 【分析】先根据平方关系及商数关系求出，再利用两角差的正切公式即可得解. 【详解】因为且，所以， 所以， 则. 故答案为：. 若，则 ． 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】首先根据正余弦的平方关系求出的值，再利用余弦两角和公式化简，把得到的，代入即可． 【详解】解：若， 故答案为：. 在中，． (1)求的值； (2)若，求的周长和面积． 【答案】(1)； (2)周长32，面积24. 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用两角和的正弦公式即可求得的值； （2）先利用正弦定理求得的的长，进而求得的周长和面积． 【详解】（1）在中，，又， 则， 则. （2），又，， 则由正弦定理得， 则的周长为 的面积为． 【变式1】（2025·上海浦东新·二模）若，则函数的最小正周期为 ． 【答案】 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】利用两角和差的余弦公式化简，再利用周期公式求解. 【详解】， 故最小正周期为. 故答案为： 【变式2】（2025·上海青浦·三模）在中，，. (1)求的值； (2)若，求的周长和面积. 【答案】(1)； (2)周长32，面积24. 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用、已知正（余）弦求余（正）弦、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用两角和的正弦公式即可求得的值； （2）先利用正弦定理求得的的长，进而求得的周长和面积． 【详解】（1）在中，，又， 则， 则. （2），又，， 则由正弦定理得， 则的周长为 的面积为． 考点18 二倍角公式 【解题方法点拨】 ﹣利用二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α ﹣将具体角度值代入公式，求解二倍角的三角函数值． ﹣验证计算结果的正确性． （2025·上海普陀·二模）设，在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，若角的终边经过点，且，则角属于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】诱导公式一、由三角函数式的符号确定角的范围或象限、二倍角的正弦公式 【分析】根据诱导公式和二倍角公式可得，再根据角的终边经过点，即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 所以，异号， 所以在第二、四象限， 又，所以在第二象限. 故选：. （2025·上海·三模）已知，则 . 【答案】 【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】利用诱导公式与二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】. 故答案为：. （2025·上海嘉定·二模）已知关于x的不等式在区间内有k个整数解，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】解正弦不等式、解余弦不等式、二倍角的正弦公式 【分析】由二倍角正弦公式有，讨论、，结合正余弦函数的性质解不等式求解集，进而确定整数解的个数. 【详解】由题设，显然， 当，则，此时， 当，则，此时， 所以，整数解有，共5个整数解. 故选：C （2024·上海静安·一模）在中，已知，则的值为 . 【答案】/0.625 【知识点】正弦定理解三角形、二倍角的正弦公式 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及二倍角公式求解即得. 【详解】在中，由正弦定理得，而， 因此，即，所以. 故答案为： （2025·上海嘉定·二模）已知，若，则 ． 【答案】/0.4 【知识点】二倍角的正弦公式、已知弦（切）求切（弦） 【分析】根据已知，应用商数关系及平方关系可得，再应用二倍角正弦公式求函数值. 【详解】由， 所以，则. 故答案为： 【变式1】（2025·上海长宁·二模）顶角为的等腰三角形被称为黄金三角形，其底边和腰之比正好为黄金比，用黄金比表示 ． 【答案】 【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】根据已知可得，由二倍角的余弦函数即可求解. 【详解】 如图等腰三角形中，，过作交于， 所以为角平分线， 所以，即， 由已知可得， 所以， 所以. 故答案为：. 【变式2】已知，且，则 ． 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正切公式 【分析】利用同角三角函数的基本关系结合二倍角公式即可. 【详解】，， ，. , . 故答案为：. 【变式3】（2024·上海虹口·一模）若，则 ． 【答案】 【知识点】二倍角的正切公式 【分析】直接利用二倍角公式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 【变式4】（2024·上海崇明·一模）在中，已知点D是BC边上一点，且，. (1)若，且，求AD的长； (2)若，，求AD的长（结果精确到0.01）. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、二倍角的正切公式、余弦定理解三角形 【分析】（1）结合角的关系，利用二倍角的正切公式列式求解即可. （2）先利用正弦定理求得AC，再利用余弦定理求解即可. 【详解】（1）因为，所以，， 又，所以 即，解得. （2）在中，，由正弦定理得， 所以， 在中，由余弦定理得 . 考点19 积化和差与和差化积公式 设数列的前n项和为，若，则 . 【答案】/0.5 【知识点】裂项相消法求和、积化和差公式 【分析】先由积化和差公式化简得到，再代入，化简可得结果. 【详解】由积化和差公式可得， 则 . 故答案为：. 函数在区间的零点个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【知识点】和差化积公式、求函数零点或方程根的个数、余弦函数图象的应用 【分析】由，，令，求解的值，判断选项. 【详解】由，， 令，则，或， 故或，即或， 由，则或， 即或， 故或， 综上所述，存在个零点,即为. 故选：C. 【变式1】（2025·上海杨浦·模拟预测）已知在底面半径为1且高为10的圆柱体的表面上有三个动点、、，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】和差化积公式、空间向量数量积的应用 【分析】利用空间向量的线性运算与数量积运算转化为平面向量，结合三角函数恒等变换与三角函数性质求最值即可. 【详解】如图，过点、、分别作与圆柱底面平行的平面截圆柱得圆， 设点在圆上的射影点为，点在圆上的射影点为，点在圆上的射影点为， 则 由可得到， 当且仅当时，等号成立， 如图，在圆所在平面建立平面直角坐标系， 则， 所以 则 ， 当，时，等号成立； 故，所以的最小值为. 故答案为：. 【变式2】已知等差数列的公差，且，若时，则数列的前项和为取得最小值时的值为 . 【答案】10 【知识点】和差化积公式、求等差数列前n项和的最值 【分析】利用三角函数的降幂公式化简，得出，再利用和差化积公式得出，求出公差的值，写出通项公式，令，即可求得的值． 【详解】解：为等差数列，且， ， ， 由和差化积公式得：， 又， ， ； 取，得，解得； 又，， ， ，； 令，得， 解得； 时，数列的前项和取得最小值． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了数列与三角函数的综合应用问题，利用三角函数的降幂公式与和差化积公式求得是关键，也是难点，属于难题． 【变式3】若数列满足，则称数列为“k阶相消数列”.已知“2阶相消数列”的通项公式为，记，，，则当 时，取得最小值 【答案】2020 【知识点】和差化积公式、确定数列中的最大（小）项、数列新定义 【分析】由可求出周期， 对变形可求得，从而求得，得到的前三项，分析的正负情况，可得时为负值，对此时的的求表达式可得，最大时有最小值. 【详解】由已知得 故 故，的周期为3 设，其中，故的周期为3 由题意有 由和差化积公式有 故 因此 若，不存在这样的对任意恒成立，故舍 则 ，， 由三倍角公式有 故，当时，； 当时，； 当时，. 时， ，故，此时最小，此时 故答案为：2020 考点20 辅助角公式 （2025·上海·三模）已知函数．若存在，使得，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】辅助角公式、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】将函数的解析式利用辅助角公式进行化简，根据题意可得是函数取得最大值的的值或取得最小值的的值，再分情况讨论即可. 【详解】因为， 则由题意可得或， 则①令，，解得，， 又，要求的最大值，只需令，则，令，则， 所以的最大值为． ②令，，解得，， 又，要求的最大值，只需令，则，令，， 所以的最大值为， 综上， 的最大值为． 故答案为：. （2024·上海·三模）若函数的一个零点是，则函数的最大值为 【答案】2 【知识点】辅助角公式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】根据求得，再用辅助角公式化简，从而得到的最大值. 【详解】由题意，所以， 所以， 又，所以，故的最大值为2. 故答案为：2. （2025·上海金山·三模）已知，函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)在中，若，且的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】辅助角公式、数量积的坐标表示、余弦定理解三角形、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）先利用三角恒等变换化简，进而利用正弦函数的单调性求解； （2）由可求角，进而由可求的值，从而利用余弦定理求出的值. 【详解】（1）由题意，， ∴ . 由，可得， 所以的单调递增区间为. （2）由，得， 因为，所以，所以，即. 因为，所以，得. 又，所以， 即， 所以 即． 【变式1】（2024·上海·三模）正实数x，y满足：存在和，使得，，，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】辅助角公式、三角恒等变换的化简问题、向量在几何中的其他应用 【分析】由已知构造，则可得，设，则，利用三角恒等变换化简计算可得结果. 【详解】构造， 结合题意可得，则， 即，所以, 则，即， 问题转化为一个等腰直角三角形绕着点转动， 因为，所以点位于点的左上方， 过点P作x轴垂线，垂足为M，过点Q作y轴垂线，垂足为N， 设，则， 所以， 所以， 其中为辅助角，， 所以最大值为，当且仅当时等号成立， 故答案为： 【变式2】（2024·上海虹口·一模）设． (1)当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； (2)若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】辅助角公式、用定义求向量的数量积、求含sinx(型)函数的值域和最值、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据函数的最小正周期求出，即可得到的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）依题意可得，即可求出，由数量积的定义求出，再由余弦定理及基本不等式求出的最小值. 【详解】（1）因为且函数的最小正周期为， 所以，解得，所以， 则， 由，则， 所以当，即时取得最大值. （2）当时，，则， 因为，所以，则，解得； 因为，所以， 由余弦定理， 得，所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 考点21 三角恒等变换的应用 （2025·上海·模拟预测）已知，. (1)若函数的最小正周期为，求的值； (2)当时，设.若函数和在上有相同的最大值，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、三角恒等变换的化简问题、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合正弦型函数的周期公式可求得正数的值； （2）当时，求出函数在区间上的最大值，可知，当时，函数在内取得最大值，可得出，然后对整数的取值进行分类讨论，可得出关于实数的不等式组，求解后结合，即得实数的取值范围. 【详解】（1） ， 因为且函数的最小正周期为，故. （2）当时，. 若时，， 当时，函数取得最大值，即.     而函数与存在相同的最大值， 故当时，函数在内取得最大值， 因此可得，    ①当时，可得，则有，解得；     ②当时，可得，则有，解得. 当时，，此时，， 当时，，此时，. 综上所述，的取值范围为. 设常数，函数． （1）若为奇函数，求的值； （2）若，求方程在区间上的解． 【答案】（1）；（2）. 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、给值求角型问题 【分析】（1）为奇函数,可得，解出，再代回验证看是否符合题意. （2）根据求出，再解方程. 【详解】（1）当为奇函数时，必有, 当时，是奇函数，符合题意，故. （2）由题， 得， 由或， 或，所以在区间上的解为． 【点睛】本题考查了奇函数的概念与性质，三解恒等变换，属中档题. 【变式1】设． (1)求的单调递增区间及对称中心； (2)当时，，求的值． 【答案】(1)单调递增区间是；对称中心为 (2) 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性、给值求值型问题 【分析】（1）化简的解析式，利用整体代入法求得的单调递增区间及对称中心. （2）结合同角三角函数的基本关系式以及三角恒等变换的知识求得. 【详解】（1）由题意得：， 由，可得； 所以的单调递增区间是； 令，，解得：，，此时函数值为-1， 所以对称中心为． （2）∵ ∴， ∵，∴， ∵当时，， ∴， ， ． 【变式2】在中，内角所对的边分别为，且． (1)判断的形状； (2)设，且是边的中点，当最大时，求的面积． 【答案】(1)为等腰三角形 (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值、利用三角恒等变换判断三角形的形状 【分析】（1）根据条件，利用倍角公式及平方关系得到，进而得到，即可求解； （2）根据条件及余弦定理得到，利用基本不等式得到，进而可得，从而有当最大时，为正三角形，即可求解. 【详解】（1）因为，所以，即， 整理得，所以．                因为，则，所以， 即，则为等腰三角形． （2）由（1）及题设，有， 所以 ，当且仅当时，等号成立．      又为三角形内角，所以，即的最大值为，      此时，又，所以， 故，可得三角形ACD为直角三角形且．      可得为正三角形， 又，所以当最大时，的面积． 【变式3】（2025·上海·模拟预测）已知. (1)求函数的最小正周期和最大值； (2)在中，若，，求. 【答案】(1)函数的最小正周期为，最大值为 (2) 【知识点】三角形中的三角恒等式、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】（1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式将函数化为的形式，再利用周期公式和正弦型函数的性质，即可求函数的最小正周期和最大值. （2）根据，，求解出，即可得. 【详解】（1）， 故函数的最小正周期为，最大值为. （2）由，解得. 又，从而， 因为，所以为锐角，. . 考点22 正弦定理 定理 正弦定理 内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） 变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA （2025·上海·三模）已知中，，且，，则的最大值为 . 【答案】/ 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出三角形外接圆半径，确定点的轨迹，借助圆的性质求出最大值. 【详解】以直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 由，，得， 外接圆半径，令圆心为，则， ，点在以为圆心，为半径所含圆周角为的圆弧（不含端点）上， 显然，当且仅当点在线段上时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： （2024·上海徐汇·二模）在中，，，，则的外接圆半径为 . 【答案】 【知识点】正弦定理求外接圆半径 【分析】由正弦定理求解． 【详解】由已知，设三角形外接圆半径为，则，所以． 故答案为：1. （2025·上海·三模）在中，角，，所对边的边长分别为，，，且满足 (1)求角的值； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1) (2)9 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）通过正弦定理将已知等式中的角的正弦转化为边的关系，再利用余弦定理求出角的值. （2）根据余弦定理得到关于、的等式，然后结合基本不等式求出的取值范围，进而得出三角形周长的最大值. 【详解】（1）因 ， 利用正弦定理：整理得 由于故 （2）由于利用余弦定理： ， 所以利用基本不等式： 整理得：，(当且仅当 时，等号成立） 所以 故三角形的周长的最大值为 【变式1】（2025·上海奉贤·二模）已知，“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的 条件． 【答案】充要 【知识点】等差中项的应用、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据给定条件，利用等差、等比数列的定义，结合正余弦定理及充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】在中，由、、成等差数列，得，而，则， 由、、成等比数列，得，由正弦定理得， 由余弦定理得，即，解得，因此是正三角形； 若是正三角形，则，， 因此、、成等差数列且、、成等比数列， 所以“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的充要条件. 故答案为：充要. 【变式2】（24-25高三下·上海虹口·期中）若的三条边的长分别为、、，则的外接圆面积为 .（结果保留） 【答案】 【知识点】正弦定理求外接圆半径、已知正（余）弦求余（正）弦、余弦定理解三角形 【分析】设，，，利用余弦定理可求得的值，进而可求得的值，利用正弦定理结合圆的面积公式可求得外接圆面积. 【详解】不妨设，，，由余弦定理可得， 所以，角为锐角，故， 设的外接圆半径为，则，所以，， 因此，的外接圆的面积为. 故答案为：. 【变式3】（2024·上海宝山·一模）在中，已知. (1)若且，求的面积； (2)若求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）结合正弦定理、余弦定理和面积公式即可求解； （2）结合基本不等式求最值和三角形边的关系即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得，又，从而，         由得，            从而，                               所以的面积. （2）由，            又，当且仅当时取等号，       从而，所以，                        又因为中，，从而，                       所以的范围是. 【变式4】（2024·上海杨浦·一模）已知的内角所对边的长度分别为. (1)若，求的面积； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）结合题设及余弦定理可得，进而结合三角形面积公式求解即可； （2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简求得，进而结合平方关系求解即可. 【详解】（1）由，得， 由余弦定理得，即， 所以，即， 所以的面积为. （2）由，由正弦定理得， 可得， 则， 因为，所以， 则，又， 所以. 考点23 三角形面积公式 三角形面积问题 ①S△ABCahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）； ②S△ABCabsinCbcsinAacsinB； ③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径） ④S△ABC； ⑤S△ABC，（s（a+b+c））； ⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径） （2025·上海长宁·二模）已知点D、E分别是三角形ABC的边AC、BC的中点，且，则三角形ABC的面积的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用 【分析】如图，利用补形可得，结合面积公式可求范围. 【详解】 如图，过作，过作交的延长线于， 则四边形、四边形为平行四边形，连接， 则互相平分，故共线且为的中点， 而，故，故， 中，，，， 故， 故， 故答案为： （2025·上海崇明·二模）在中，若，其面积为，则 ． 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】先根据三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，进而求出的值. 【详解】已知，，代入面积公式可得： 则，可得：. 根据余弦定理为，可得 则.即， 把代入可得：，即. 由于为边长，可得. 故答案为：. 【变式1】（2024·上海普陀·一模）设的内角，，的对边分别为，，，若，，的面积为，则的值为 . 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】由已知得的大小，再根据的面积公式得的值，从而由余弦定理可得的值. 【详解】，， 又，所以，故， 则的面积，所以， 由余弦定理得， 故. 故答案为：. 【变式2】（2025·上海·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求的值； (2)若，为钝角，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】基本不等式求积的最大值、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由正弦定理即可得； （2）由余弦定理结合重要不等式可得取值范围，再由三角形的面积公式可求出面积的最大值. 【详解】（1）由题意可知，， 由正弦定理得， 因为，所以， 即； （2）由（1）可知， 所以（不符合题意舍去）或， 在中，由余弦定理得， 因为且，即， 当且仅当时取等号，即， 故的面积， 即面积的最大值为. 【变式3】（2025·上海·模拟预测）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，求a； (2)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由正弦定理角化边结合勾股定理求解即可； （2）由三角形的面积公式结合余弦定理求解即可； 【详解】（1）由正弦定理可得即， 又，所以，即，解得， 所以. （2）因为，且，， 所以，当且仅当时等号成立， 当取最小值时，取最大值，最大值， 所以的面积的最大值为. 考点24 余弦定理 正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccos A， b2＝a2+c2﹣2accos_B， c2＝a2+b2﹣2abcos_C 变形 形式 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； ②sin A，sin B，sin C； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A， cos B， cos C 解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角 （2025·上海·一模）在中，是边的中点.若，，，则 ． 【答案】/ 【知识点】数量积的运算律、余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理计算，再利用做基底计算即可. 【详解】如图所示， 由题意得，因为，，， 所以由余弦定理，线段AB与AC的夹角余弦值为：， 所以， 又D是BC中点，所以， 所以. 故答案为：. （2025·上海杨浦·模拟预测）在中，分别为角的对边.已知是一个面积为的锐角三角形，且，则的周长为 . 【答案】/ 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】先由面积求出正弦值，再用同角三角函数关系式求出，再用余弦定理得到，进而得到周长. 【详解】由于三角形的面积为，所以, 因为，故（锐角三角形）， 当时：， 则的周长为. 故答案为：. （2024·上海嘉定·一模）在中，若，则 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解即得. 【详解】在中，由余弦定理得， 而，所以. 故答案为： （2024·上海长宁·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若的面积为，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形，理由见解析 【知识点】三角形面积公式及其应用、特殊角的三角函数值、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据正弦定理边角互化化简得出正切，结合范围求角； （2）应用面积公式计算得出，再结合余弦定理得出边长即可判断. 【详解】（1）由正弦定理可得, 因为，所以，,所以. （2）, 所以, 由余弦定理，得, 即，解得, 所以是等边三角形. 【变式1】（2025·上海松江·二模）在定向越野活动中，测得甲在乙北偏东的方向，甲乙两人间的距离为2km，丙在乙北偏西的方向，甲丙两人间的距离为，则乙丙两人间的距离为 km. 【答案】1 【知识点】距离测量问题、余弦定理解三角形 【分析】根据题意画出示意图，利用余弦定理求解. 【详解】如图，在中，，. 由余弦定理，可得 ， 即， 解得，即乙丙两人间的距离为1km. 故答案为：1. 【变式2】（2025·上海金山·模拟预测）已知点O是△ABC外接圆圆心，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且有，若，则实数λ的值为 ． 【答案】3 【知识点】数量积的运算律、余弦定理解三角形 【分析】由已知结合余弦定理可得，设D为BC中点，可得，由，可得，计算可求解. 【详解】， 又， 则， 则， 设D为BC中点，则有， ∴， 由可得， ∴， 所以，所以，即 又，所以， 故． 故答案为：. 【变式3】（2025·上海宝山·二模）空间中有相互垂直的两条异面直线，点，且，若，且，则二面角平面角的余弦值最小为 . 【答案】 【知识点】求二次函数的值域或最值、求二面角、双曲线定义的理解、余弦定理解三角形 【分析】先确定点、的轨迹及相关线段长度表达式，再利用余弦定理得的表达式，最后通过换元求最值. 【详解】根据双曲线的定义，平面内到两个定点、（焦点）的距离之差的绝对值为定值（小于）的点的轨迹为双曲线.由，可知， 所以点在以、为焦点的双曲线上.在空间中，是此双曲线绕旋转得到的曲面. 因为，根据直径所对的圆周角是直角，所以点同时在以为直径的球面上. 由于，所以、在与垂直的面上. 不妨令固定在一支双曲线上，设双曲线方程为. 过作于，在双曲线中，变形可得. 在（因为）中，的长度可根据坐标关系得到， 因为在过与垂直的面与球的交线上，设球心为（中点）， 由（球的半径的平方为，根据勾股定理得到此关系），的长度与有关（点坐标与点纵坐标有关），且在轴上的投影长度就是，所以. 在中，根据余弦定理， 通过，代入余弦定理公式化简得到,. 令，则. 对于二次函数，其对称轴为，当时，取得最大值. 所以. 故答案为：. 【变式4】（2025·上海·模拟预测）在中，若，，，则的长为 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理即可求解； 【详解】， 所以, 故答案为： 【变式5】（24-25高三上·上海黄浦·期末）双曲线的左、右焦点分别为、（），过点的直线与右支在轴上方交于点． (1)若，点的坐标为，求的值； (2)若，且是等比数列，求证：直线的斜率为定值； (3)设直线与左支的交点为，，当且仅当满足什么条件时，存在直线，使得成立． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】余弦定理解三角形、根据双曲线方程求a、b、c、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、双曲线中的定值问题 【分析】（1）将值和点坐标代入双曲线方程求出值，即可求得值； （2）设直线，与双曲线方程联立消元，得关于的方程，依题方程有解为，代入整理方程后，借助于，可推得，即得证； （3）利用双曲线定义化简得到，，设，利用余弦定理求出的值，结合图形和题意，确定其范围，即得关于的不等式，解之即得. 【详解】（1）依题意，将，代入中， 解得，则； （2）    依题意知，可设直线，代入中， 整理得：（*）， 如图，因，故点的横坐标为恰是方程（*）的解， 则， 整理得：，即， 因是等比数列，则，代入此式，可得，即得， 因过点的直线与右支在轴上方交于点，故得，即直线的斜率为定值； （3）    如图，因点在双曲线右支上，则，即， 故由可得, 又因点直线与左支的交点,故，则， 在中，设，由余弦定理，， 因为，所以， 所以， 故当且仅当满足时，存在直线，使得成立. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，属于难题. 解题的关键在于对双曲线定义的理解掌握，在处理相关的焦半径问题时，要有转化思想，结合图形和定义，将其化简为常量或最值问题，即可解决. 考点25 解三角形的实际应用 （2025·上海浦东新·三模）如图，ABCD是四面体.已知，，以下两个语句中：①棱AB与棱CD一定相等；②棱AC与棱BD不一定相等；下列选项判断正确的是（   ） A．①，②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①，②都错误 【答案】A 【知识点】几何图形中的计算、棱锥的结构特征和分类 【分析】将四面体补成平行六面体，利用已知条件和平行六面体中的对称性，结合余弦定理构造等量关系，从而推导出选项的正误. 【详解】在如图所示的平行六面体中， 设，，，，，，则由余弦定理有： ，，， ，，， 由得，， 将上面6个式子代入化简可得： ①， 类似地，由得，， 代入上面6个式子化简可得： ②， 得： 故，从而，即， 故①正确； 而由已知条件无法推出，则AC与BD不一定相等， 故②正确； 故选：A. （2025·上海浦东新·二模）如图，某建筑物垂直于地面，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，已知相距100米，，则该建筑物高度约为 米．（保留一位小数） 【答案】66.4 【知识点】几何图形中的计算、高度测量问题、余弦定理解三角形 【分析】先在和中，根据仰角分别用建筑物高度表示出和，然后在中利用余弦定理建立关于的方程，最后求解方程得到的值. 【详解】在中，已知从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，即.因为，所以. 在中，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，即.因为，且，所以. 在中，已知米，.根据余弦定理，将，代入可得： ，即 可得. 则. 故答案为：66.4. 记的内角的对边分别为，已知 (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1)是直角三角形 (2) 【知识点】辅助角公式、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正、余弦定理判定三角形形状、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据题意，求得，利用余弦定理列出方程，得到，即可求解； （2）由（1）和，得到，则周长为，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由，可得，所以， 即，所以， 又由余弦定理得，可得，所以， 所以是直角三角形 （2）解：由（1）知，是直角三角形，且，可得， 所以周长为， 因为，可得， 所以，当时，即为等腰直角三角形，周长有最大值为. 【变式1】（2025·上海·模拟预测）某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中、均与水平面垂直.在已测得可直接到达的两点间距离、的情况下，四名同学用测角仪各自测得下列四组角中的一组角的度数，其中不能唯一确定与之间的距离的是（    ）. A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【知识点】高度测量问题、距离测量问题、余弦定理解三角形 【分析】由已知条件有两边，再结合三个角，可解两个直角三角形，求出高和斜边，然后再用余弦定理求第三边，这样可逐一分析判断，但对于B选项，可通过举反例判断即可. 【详解】记，，，，，，，，，，，，． 对于A选项：已知， 在中，由，可确定；同理，在中，即可确定， 在中，由，可确定； 在中，已知，由余弦定理可解三角形知， 再在中，由勾股定理，可确定； 再由直角梯形，结合勾股定理可得， 即可确定，故A正确； 对于C选项：已知， 在中，由，可确定；同理，在中，可确定； 在中，由及余弦定理，可确定，故C正确; 对于D选项：已知， 在中，由及余弦定理，可确定； 在中，由，可确定；同理，在中，即可确定， 由直角梯形，结合勾股定理可得，① 即可确定，故D正确； 对于B选项：已知，同C，D选项，可确定， 在中，由勾股定理，得， 在中，由余弦定理，得，② 联立①②，得解此关于的二元方程组， 可得，但此二元二次方程组可能有两解， 例如:若，得 解得或故B错误． 故选：B. 【变式2】（2025·上海奉贤·二模）中企联合大厦是奉贤区的第一高楼，是奉贤美奉贤强的一个缩影．某数学建模兴趣小组的同学们去实地进行测量，经过多次的测量，最终在平行于地面的同一水平面上选取三个点：点、点、点作为测量基点．设大厦的最高点为，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，又测得米，，（见图）．现作出以下几个假设：            ①直线垂直于平面； ②平面到地面的距离等于测角仪高度，在计算过程中测角仪高度忽略不计； ③其它次要因素等忽略不计．根据以上信息估算奉贤第一高楼的高度约 米．（结果保留整数） 【答案】 【知识点】高度测量问题 【分析】在以及中，根据三角形正弦定理用高度表示，，在中，由余弦定理列出等式，解出即可. 【详解】设高度为，在中，根据正弦定理有：，即， 在中，根据正弦定理有：，即， 由余弦定理可知： ， 解得：. 故答案为： 【变式3】（2024·上海宝山·二模）在中，角、、的对边分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状. 【答案】(1) (2)4，为等边三角形 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正、余弦定理判定三角形形状、正弦定理边角互化的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）由正弦定理角化边可得，进而根据余弦定理可求； （2）由三角表面积可求得，根据均值不等式可求得的最小值，根据取得最小值可判断三角形的形状. 【详解】（1）由正弦定理得， 又由余弦定理得， 因为是三角形内角，所以； （2）由三角形面积公式得： ， 解得， 因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，此时为等边三角形. 【变式4】在中，角，，所对的边分别为，，，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求的周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】 （1）根据余弦定理可得的大小； （2）边角互化，可得，结合三角函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，可得， 所以， 又，所以. （2）由（1）得，所以， 则由正弦定理可得， 即，， 所以的周长， 又在中，， 则， 又在中，，所以， 所以当时，周长取最大值为. 一、单选题 1.已知，，则的终边在（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】D 【知识点】确定n分角所在象限、由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】先通过条件确定的范围，再求出的范围，进而可得角所在象限. 【详解】因为，， 所以为第二象限角，即， 所以， 则的终边所在象限为所在象限， 即的终边在第一、二、四象限. 故选：D. 2.（2024·上海闵行·二模）已知，集合，，. 关于下列两个命题的判断，说法正确的是（     ） 命题①：集合表示的平面图形是中心对称图形； 命题②：集合表示的平面图形的面积不大于. A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 【答案】A 【知识点】求含sinx的函数的奇偶性、求sinx型三角函数的单调性、判断命题的真假 【分析】根据是奇函数，可以分析出当时，所以集合表示的平面图形是中心对称图形；结合集合代表的曲线及不等式的范围可以确定集合表示的平面图形，从而求得面积，与进行比较. 【详解】对于，集合关于原点中心对称，且函数是奇函数， 若则则， 即若则，即集合表示的平面图形是关于原点中心对称图形，故①是真命题； 对于， 由即知， 设，则与一一对应且随的增大而增大，， 又由知， 结合知在范围内，与一一对应且随的增大而减小， 所以在范围内，与一一对应且是关于的减函数， 由①可知图象关于原点中心对称，所以可得到在的图象，如图    代入点可得，所以的区域是右半部分， 面积为正方形面积的一半，即集合表示的平面图形的面积，故②是假命题. 故选：A. 【点睛】方法点睛：确定不等式表示的区域范围 第一步：得到等式对应的曲线； 第二步：任选一个不在曲线上的点，若原点不在曲线上，一般选择原点，检验它的坐标是否符合不等式； 第三步：如果符合，则该点所在的一侧区域即为不等式所表示的区域；若不符合，则另一侧区域为不等式所表示的区域. 3.（24-25高三上·上海金山·期末）古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示．用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（   ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、已知方程求双曲线的渐近线、二倍角的正切公式 【分析】令双曲线为，根据已知建立合适坐标系，并求出双曲线参数，进而得渐近线方程，利用二倍角正切公式求得夹角正切值，即可得其余弦值. 【详解】如下图建系，令双曲线为，且，则，， 如图，，，则，故， 将代入，得，可得，故渐近线为， 若它们的夹角为，且，则，故.         故选：D 二、填空题 1.（2025·上海奉贤·二模）已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ． 【答案】 【知识点】特殊角的三角函数值、直线的倾斜角 【分析】根据正切函数值求出角进而得出正弦值即可. 【详解】因为是斜率为的直线的倾斜角，所以， 所以， 所以． 故答案为：. 2.已知且，则为第 象限角． 【答案】二 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】根据三角函数在各象限符号求解. 【详解】因为时，终边在第一、第二象限或轴正半轴上， 时，终边在第二、第三象限或轴负半轴上， 所以为第二象限角. 故答案为：二 3.已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】根据坐标值符号确定所在象限，由三角函数定义求，最后确定其对应的最小正角. 【详解】因为，所以角α的终边在第四象限， 根据三角函数的定义，知，故角α的最小正值为． 故答案为： 4.公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则 ． 【答案】 【知识点】辅助角公式、几何中的三角函数模型、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】方法1，根据给定条件，求出斜坡长，列出总体力关于的函数，利用导数求解作答. 方法2，根据给定条件，求出斜坡长，列出总体力关于的函数，借助辅助角公式求解作答. 【详解】方法1：依题意，斜坡长度， 因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力， 求导得，由，得， 当时，，当时，， 于是函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，人上坡消耗的总体力最小. 方法2：依题意，斜坡长度， 因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力， 由，得，即，其中锐角由确定， 显然，而，则，当且仅当，即时取等号， 此时，即， 所以当时，人上坡消耗的总体力最小. 故答案为： 5.（2025·上海徐汇·二模）已知，则的值为 . 【答案】 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦） 【分析】先根据同角三角函数关系得出，再根据两角差正切公式计算求解. 【详解】， 所以， 则. 故答案为：7. 6.（2024·上海杨浦·二模）已知实数满足：①；②存在实数，使得，，是等差数列，，，也是等差数列.则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】和差化积公式、等差中项的应用、求正切型三角函数的单调性、二倍角的余弦公式 【分析】设等差数列的公差为，根据给定条件，结合三角恒等变换化简得，由正切函数性质可得随增大而增大，再由的临界值点得，代入利用二倍角的余弦求解即得. 【详解】设等差数列的公差为，，依题意，， 于是，整理得， 即，因此， 即有，则随增大而增大，而 当，时，到达时是临界值点，此时， 代入得，即，整理得， 而，解得，则，即， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用三角恒等变换化简所列式子，借助函数单调性分析的临界值点是解决本问题的关键. 三.解答题 1.（2024·上海静安·一模）已知向量，且. (1)求及； (2)记，求函数的最小值. 【答案】(1)，； (2) 【知识点】辅助角公式、数量积的坐标表示、逆用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示和向量模的坐标运算即可； （2）根据（1）中结果代入计算得，再根据二次函数性质即可得到答案. 【详解】（1）由题意得， 由于 则 ， 因为，所以. （2）， 因为，则，则当，即时，该函数取得最小值. 2. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求； (2)若，，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由题意，根据正弦定理和余弦定理计算即可求解； （2）由（1），由题意可得，，在和中，利用余弦定理建立方程，求得，进而，再次利用余弦定理计算即可求解. 【详解】（1），由正弦定理得， 得，所以， 由，得. （2）如图，因为，，所以，， 在中，由余弦定理得， 即； 在中，由余弦定理得， 即，① 所以，得， 由解得，代入①得，由解得. 在中，由余弦定理得. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $