抓分练5 解直角三角形-【追梦之旅·期末真题篇】2025-2026学年九年级数学全一册（华东师大版）河南专版

基础知识抓分练5解直角三角形 一、选择题（每小题3分，共18分） 米，根据以下条件，可以列出求树高的方程 1.在t△ABC中，∠C=90,若sinA=,则 为( ) 题目 测量树顶到地面的距离 cosB的值是( 4 测量目标 B. C 3 D. 3 5 5 示意图 B B 2.点(-sin60°，cos60°)关于y轴对称的点的 相关数据 AB=30米，∠ax=28°，∠B=45 坐标是( A.x=(x-30)tan28° B.x=(30+x)tan28° g B(-31 22) C.x+30=xtan28° D.x-30=xtan28° 二、填空题（每小题3分，共9分） c(2 7.(威海期末)在△ABC中，若∠A、∠B满足 3.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，anM= sinA3+1-tamB)2=0,则∠c的度数 为 =8,则AC等于( ) 8.(泰州期中)在△ABC中，∠C=90°，a、b、c A.6 B.16 C.12 D.4 分别为∠A、∠B、∠C的对边，若a2=bc,则 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平 sinB的值为 分AB,分别交AB、BC于点D、E,AE平分 9.新定义定义：若一个三角形一边上的中 ∠BAC,∠B=30°，DE=2,则BC的长 线、高线与这条边有两个交点，这两个交点 为() 之间的距离称为这条边上的“中高距”.如 A.23+2 B.43 图，△ABC中，AD为BC边上的中线，AE为 C.4 D.6 BC边上的高线，则DE的长称为BC边上的 “中高距” (1)若BC边上的“中高距”为0，则△ABC 的形状是 三角形； 第4题图 第5题图 (2)若∠B=30°，∠C=45°，AB=4,则BC边 5.生活情境·梯子斜靠如图，梯子跟地面的夹 上的“中高距”为 角为∠a,关于∠α：的三角函数值与梯子的 倾斜程度之间的叙述正确的是() A.sina的值越小，梯子越陡 B B.cosa的值越小，梯子越陡 三、解答题（共28分） C.tana的值越小，梯子越陡 10.(9分)如图，在△ABC中，DE垂直平分 D.陡缓程度与∠α的函数值无关 AB,分别交AB于点D,交BC于点E,且 6.(佛山模拟)如表是小亮填写的实践活动报 AE平分∠BAC,∠B=30° 告的部分内容：设树顶到地面的高度DC=x (1)求∠C的度数； 追梦之旅真题·课本回头练·ZBH·九年级数学第9页 (2)若DE=3,求BC的长. 12.热点情境·郑北大桥](9分)郑北大桥横跨 亚洲最大铁路编组站，该桥为独塔双索面 钢混凝土结合梁斜拉桥，是国内同类型桥 B 中桥面最宽的结合梁斜拉桥.某数学“综 合与实践”小组的同学把“测量郑北大桥 的某组斜拉索最高点到桥面的距离”作为 一项课题活动，进行了探究，具体过程如 下： 【方案设计】如图，分别在A,B两点放置测 角仪，测得∠CDE和∠CED的度数，并量 出AB的距离，即可解决问题； 11.数学思想·数形结合(10分)（衡阳期末） 【数据收集】∠CDE=37°，∠CED=45°，AB 阅读以下材料，并按要求完成相应的任 =347米，测角仪AD和BE的高度为1.5 务 米； 构建几何图形解决代数问题是“数形结 【问题解决】求郑北大桥某组斜拉索最高 合”思想的重要应用，例如：在计算tanl5° 点C到桥面AB的距离.（结果保留整数. 时，可构造如图1所示的图形.在Rt△ACB 参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8， 中，∠C=90°，∠ABC=30°，设AC=x(x> tan37°≈0.75) O),延长CB至点D,使得BD=AB,连结 AD,易知∠D=15°，CD=BD+BC=AB+BC= 2x+√3x,所以tanl5o=tanD= 3015) 4522.5D B 图1 图2 任务： (1)请根据上面的步骤，完成tanl5°的计 算： (2)请类比这种方法，计算图2中 tan22.5的值. 追梦之旅真题·课本回头练·ZBH·九年级数学第10页10.(-1011,-1012) 分AB,∴.∠BDE=90°.在△BDE中，.·∠BDE= 三、解答题 90°，∠B=30°，∴.BE=2DE=4..BC=BE+EC= 11.解：(1)如图，△A'B'C'即为所求 6.故选D. 5.B 6.B【解析】由题意得：DC⊥AC,在Rt△DBC中， ∠DBC=45,DC=x米，BC=DC tan456=x.AB= 014:5：57:9 30米，，AC=(x+30)m,在Rt△ACD中，∠DAC (2)由图象可知：B'(4,8),C'(8,2).S△Agc=6 =28°，∴.CD=AC·tan28°，∴.x=(30+x)tan28. 故选B. x82×2x8×6x27×6x4=2 二、填空题 12.(1)证明：在△ABC中.：点D、E分别是AB与 、ADAE1 775”【解析】由题意，得sn4-0,1-an=0。 AC的中点…BAC2∠A=LA, △ADE∽△ABC,LADE=∠ABC,BC-AB DE AD .'sinA= 2,tanB=1,∠A=60°，∠B=450, ∠C=180°-∠A-∠B=75°. DE/nC.DE-nc 2 8【解1=，中6-巴 2 c sin (2)√I0【解析】连结AR.,四边形ABCD是 a 矩形，.∠D=90°.：点R是CD的中点，CD= =()3=sin2A,sin2A+sin2B=1,.'.sin2B 4,0R=2D=2A0=6,六AR sinB=0,simB=52（取正值 √AD+DR2=62+22=210.E、F分别是 9.(1)等腰(2)√3-1【解析】(2)：AD为BC边 4r,的中点f=R=而， 上的中线，AE为BC边上的高线，∠B=30°，∠C= (3)4或10【解析】如图1，延长AD交∠ABC ..AE-2AB-2,E-2/..CME= 平分线于点G,延长FE交AB于点H.,BG平 分∠ABC,∴.∠ABG=∠CBG.:四边形ABCD 是平行四边形，∴.AD∥BC,AB=CD=14,∴.∠G ∠C=45BC=ac=2.D=28C=2x(26+ =∠CBG,.∠G=∠ABG,.AG=AB=14.AF 2)=W3+1,∴.DE=CD-CE=√3-1. ⊥BG,BF=FG.:点E是CD的中点，.CE= 三、解答题 FH BF DEDEF//BC//AGAG-BG 10.解：(1).DE是边AB上的垂直平分线，.AE= BE,.∠B=∠BAE=30°.：AE平分∠BAC, 1 ∠BAE=∠EAC=30°，∴.∠BAC=30+30°=60°， 2FH=2AG=7 EF=3,EH=4.BC= .∠C=180°-∠BAC-∠B=90°； EH=4;如图2，EF∥BC,AB∥CD,∴.四边形 (2).AE平分∠BAC,∠ACB=90°，DE⊥AB, EC=ED=3.DE垂直平分AB,∴.∠BDE= BCEH是平行四边形，同理可得：FH=2AG=7. 90°.在△BDE中..·∠BDE=90°，∠B=30°.∴ :EF=3,.EH=FH+EF=10.EH∥BC,AB∥ BE=2DE=6...BC=BE+EC=9. CD,.四边形BCEH是平行四边形，.BC=EH =10:综上所述，BC=4或10. 11.解：(1)CD2x+3x AC-t=2-3,.taml5°=2-√3； (2)延长CB到点D,使BD=BA,因为∠ABC= 45°，AB=DB,所以∠D=∠DAB=22.5°.令AC= x,则BC=x,AB=√2x,所以BD=AB=√2x,则 图1 图2 CD=CB+DB=x+2x.在Rt△ACD中，anD=AC CD 基础知识抓分练5 =√2-1，即tan22.5°=√2-l. 一、选择题 12.解：过点C作CH⊥AB于点H,交DE于点G,由 1.C【解析】Rt△ABC中，∠C=90°，.∠A+∠B= 题意得：AD=GH=EB=1.5米，AB=DE=347 3 90°cosB=sinM=亏故选C. 米，设DG=x米，在Rt△CDG中，∠CDG=37° ∴.CG=DG·tan37°≈0.75x(米)，在Rt△CGE 2.A3.B 中，∠CEG=45°，∴.△CGE是等腰直角三角形， 4.D【解析】由题意，得EC=ED=2.DE垂直平 .EG=CG=0.75x.DG+GE=DE,..x+ 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBH·九年级数学第4页 0.75x=347,解得x≈198.3，∴.CH=CG+GH= 基础知识抓分练7 0.75x+1.5≈150米，答：郑北大桥某组斜拉索 一、选择题 最高点C到桥面AB的距离约为150米. 1.A 基础知识抓分练6 2.A【解析】抛物线开口向下，.a<0.:抛物 一、选择题 线与y轴交于负半轴，∴.c<0,.aC>0.对称轴 1.D <0,.b<0,.bc>0,∴.A(ac,bc)在第一象 【解题技巧】必然事件指在一定条件下，一定发生 x=-20 限.故选A 的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不 3.D【解析】.a>0,∴.抛物线开口向上，对称轴 发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定 2 条件下，可能发生也可能不发生的事件， 为直线x=-二<0，与y轴的交点坐标为(0,1)， 2.C 3.C【解析】共有9种等可能的结果，其中两次摸 当>0时，y随的增大而增大，当<2时，y 到相同颜色的棋子的结果数为5种，所以P(两 随x的增大而减小，函数图象一定不经过第四象 次摸到相同颜色的棋子)= 故选C 限，不一定经过第三象限，故只有D选项符合题 意.故选D 4.B 4.B5.D 5.D【解析】共有12种等可能的结果，其中两人 6.B【解析】分别作出两条抛物线的对称轴PM, 恰好介绍“红旗渠”和“清明上河园”的结果有2 QN,交AD于点M,N,.四边形PMNQ是矩形， 种，P(两人恰好介绍“红旗渠”和“清明上河 .∴.MN=PQ..AB=10,BC=5,CD=6,∴.MA=MC 园”)=21 一，故选D 24C(ABBC)BN-NDD2 1 126 6.A【解析】观察图②知：频率逐渐稳定在0.3， (CD+BC)=MN=AD-AM-ND=(AB+BC+ 所以试验的概率为0.3，A.指针指向的数字能被 CD)-AM-ND=8,∴.PQ=8.故选B. 3禁除的为3,69，概率为：R特动精盘，指针 7.B【解析】过A作AH⊥x轴于H.:四边形AB C0是正方形，.∠A0B=45°，∴.∠A0H=45°，∴ 指向的数字是偶数的概率为0.5；C.转动转盘， AH=OH,设A(m,m),则B（0,2m), 指针指向的数字比6大的数为7,8,9,10，概率 为0.4；D.转动转盘后，指针指向的数字能被5 {0m+c,解得am=-1,m=气e的位为 (2m=c 整除的数为5和10，概率为0.2.故选A. -2.故选B 二、填空题 二、填空题 718月 8.y=-x2+1(答案不唯一)9.y3>y1>y2 三、解答题 9.15【解析】由题意得白球的个数为50×0.3=15 10.解：(1)设函数关系式为y=x+b,由题意可得： (个) B038的解得640函数关系式为) 【变式】6【解析】设木箱中蓝球有x个，根据题 =-10x+540: 都品 =0.6,解得x=6,经检验x=6是原方 (2)由题意可得：w=(x-20)y=(x-20)(-10x+ 540)=-10(x-37)2+2890.-10<0,.当x= 程的解，则估计木箱中蓝球有6个 37时，w有最大值为2890，答：当销售单价定为 10.9 37元时，才能使每天的销售利润最大 11.解：(1)把(0,0)代入y=-x2+2x+c得c=0,∴.抛 三、解答题 物线解析式为y=-x2+2x.'y=-x2+2x=-(x- 1)2+1,.顶点B的坐标为(1,1)： 业解：1号 (2)当y=0时，-x2+2x=0,解x1=0,x2=2,∴.A (2)根据题意画树状图如下： (2,0),.S60B=2 ×2×1=1: 第1次粕取 (3)设C点坐标为(，-+2).Sa0c=82 第2次抽取A第DABCDABCD君C ×2×1-t2+211=8,即t2-21=8或t2-2t=-8,解方 共有16种等可能的结果，其中抽取到的两张卡 程t2-2t=8得t1=-2,2=4,.C点坐标为(-2， 片内容一致的结果有4种，P(抽取到的两张卡 -8)或(4，-8)，方程2-2t=-8无实数解，综上 片内容一致)= 41 所述，C点坐标为(-2，-8)或(4，-8). 164 12.解：(1)-x2+6x 0<x<6 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBH·九年级数学第5页