抓分练4 中位线、位似图形和图形与坐标-【追梦之旅·期末真题篇】2025-2026学年九年级数学全一册（华东师大版）河南专版

基础知识抓分练4中位线、位似图形和图形与坐标 一、选择题（每小题3分，共18分） 点B'的横坐标是( 1.(贵港期末)已知点A(a,-1),点B(2,b)关 A.-2a+3 B.-2a+1 于原点对称，则a+b的值为() C.-2a+2 D.-2a-2 A.-1 B.1 C.-3 D.3 2.点A(3,2)先向左平移5个单位，再向上平 o C/ B 移1个单位得到点A',则A'的坐标 为( 第5题图 第6题图 A.(8,3) B.(8,1) 6.如图，已知点G是△ABC的重心，分别延长 C.(-2,3) D.(-2,1)） 线段BG、CG,交边AC、AB于点E,D.若BE 3.如图，在由小正方形组成的网格中，以点O =15,则BG的长是() A.5 B.7.5 C.9 D.10 为位似中心，把△ABC放大到原来的2倍， 二、填空题（每小题3分，共12分） 则点A的对应点为( 7.(成都期末)在平面直角坐标系中，△ABC的 A.点D B.点E C.点F D.点G 顶点坐标分别是A(1,1),B(4,2),C(3,5), 以点A为位似中心，相似比为1：2.把三角 形ABC缩小，得到△AB,C,则点C的对应 点C,的坐标为 8.文化情境·数学文化《墨子·天文志》记 第3题图 第4题图 载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆， 4.如图，在△ABC中，点D,E分别是边AB,AC 感悟数学之美.如图，正方形ABCD的周长 为4，以它的对角线的交点为位似中心，作 的中点，点F是线段DE上的一点.连结 它的位似图形A'B'CD',若A'B':AB=2:1, AF,BF,∠AFB=90°，且AB=8,BC=14,则 则四边形A'B'CD'的周长为 EF的长是() A.2 B.3 C.4 D.5 5.如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上 方，点C的坐标是(1,0)，以点C为位似中 第8题图 第9题图 9.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5,BC=12, 心，在x轴的下方作△ABC的位似图形 点N是BC边上一点，点M为AB边上的动 △A'B'C,并把△ABC的边长放大到原来的 点，点D、E分别为CN、MW的中点，则DE 2倍，设点B的横坐标是a,则点B的对应 的最小值是 追梦之旅真题·课本回头练·ZBH·九年级数学第7页 10.学习情境·规律探究如图，在平面直角坐 12.【教材呈现】(10分)（长春期末）如图是华师 标系中，设点M自P(1,0)处向上运动1 版九年级上册数学教材的部分内容 个单位至P（1,1),然后向左运动2个单 猜想：如图，在△ABC中，点D、E分别是 位至P2处，再向下运动3个单位至P,处， AB与AC的中，点.根据画出的图形，可以 再向右运动4个单位至P,处，再向上运动 猜想： 5个单位至P处，…，如此继续运动下去， 则P223的坐标为 DE//BC,且DE=2BC 对此，我们可以用演绎推理给出证明. B (1)【定理证明】请根据教材内容，结合图 三、解答题（共20分） ①，写出证明过程： 11.（10分)如图，在平面直角坐标系中， (2)【定理应用】如图②，已知矩形ABCD △ABC的顶点均在格点（网格线的交点） 中，AD=6,CD=4,点P在BC上从B向C 上，已知A(1,0),B(2,4),C(4,1) 移动，R、E、F分别是DC、AP、RP的中点， (1)以点0为位似中心，在第一象限画出 则EF= △ABC的位似图形△A'B'C',使△A'B'C (3)【拓展提升】在平行四边形ABCD中， 与△ABC的相似比为2：1：(A、B、C的对应 AB=14,点E是CD的中点，过点A作 点分别为A'、B'、C) ∠ABC平分线的垂线，垂足为点F,连结 (2)在(1)的条件下，写出点B',C'的坐 EF,若EF=3,则BC= 标，并求出△A'B'C'的面积 图① 图② 123456789x 追梦之旅真题·课本回头练·ZBH·九年级数学第8页14.解：(1)是 三、解答题 (2)当x=-1时，有a-√2c+b=0,即a+b=2c. 10.(1)证明：AB=AC,AD为BC边上的中线， 2a+2b+√2c=12,即2(a+b)+2c=12,∴.32 AD⊥BC..DE⊥AB,∴.∠BED=∠ADC=90 c=12,∴.c=22,a+b=√2c=4,a2+b2=c2=8, AB=AC,∴.∠B=∠C,∴.△BDE△CAD; a+b=4.(a+b)2=a2+2ab+b2=16,∴.ab=4,∴ (2)解：：AD为BC边上的中线，BC=10,.BD 1 =CD=。BC=5.△BDE△CAD,AC=13, SAABC= 2 ab=2. 基础知识抓分练3 一、选择题 0 513b=25 13 1.C2.D 11.解：过C作CD⊥MN于D,延长CD交A'B'于 AC E,则AB∥MN∥A'B',.∠MNC=∠A'B'C, 3.A【解析】CD∥OB,.△ACD△AOB,∴. ∠NMC=∠B'A'C,∴.△MNC∽△A'B'C,:CE AO 064c:0c=23S号：G.D两点银 MN CD C AC 2 ⊥A'B',ABCE CE=5m,DE=3m,A'B' =4B=0.8m,CD=CE-DB=2m,0.85 MN 2 22 坐标分别为13GD=3-1=2…0B号解得 ∴.MN=0.32,答：镜面长MN至少为0.32米 OB=5,.B点的纵坐标为5.故选A. 基础知识抓分练4 4.B【解析】GE∥BD,.△AEG∽△ABD, 一、选择题 1.A【解析】点A(a,-1)与点B(2,b)关于原点 S△ABD 对称，.a=-2,b=1,.a+b=-2+1=-1.故选A. AG 2 DG 1 AD3,AD=3“GF∥AC,△DGF 【解题技巧】两个点关于原点对称时，它们的坐标 符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是 GF DG 1 ADACC-DA3AC-9.GF-34C- P'(-x,-y) 2.C3.D 3.故选B. 4.B【解析】由题意，得DE是△ABC的中位线. 5.B 二、填空题 BC=14,DE=2BC=7.∠AFB=90,AB字 6.② 7.3【解析】：四边形ABCD是平行四边形，∴.AD 8.DF=2AB=4.EF=DE-DF=7-4=3. /CR,An=CRAB-子0AB=子cRA/ 选B. 3 5.A【解析】设点B'的横坐标为x,则B、C间的水 AF AE 2 CB,△EAFr△BCP…CFCB32AC=5, 平距离为a-1,B'、C间的水平距离为-x+1. △ABC放大到原来的2倍得到△A'B'C,.2(a- CF-AC-3 1)=-x+1,解得x=-2a+3.故选A. 6.D【解析】·点G是△ABC的重心，∴.BG= 8.3或4.8【解析】设运动时间为x秒时，根据题 2GE.BE=BG+GE=15,∴.BG=10.故选D. 意AD=xcm,CE=2xcm,则AE=（12-2x)cm,当 二、填空题 △ADE∽△ABC时，ABAC62 ,0AE.x-12-2x解得 7.(2,3)或(0，-1) 8.8【解析】由题意，得正方形ABCD的周长：正 x=3:当△ADE△ACB时，AC-AB12 AD AE 方形A'B'C'D'的周长=AB:A'B'=1:2.正方形 ABCD的周长为4，.四边形A'B'CD'的周长 12-2x,解得x=4.8. 为8. 30 6 9. 【解析】连结CM.:点D、E分别为CN,MW 9.8【解析】过，点E作EF⊥AO,垂足为F,过，点B 13 作BG⊥EF,垂足为G,∴，∠BGE=∠EFO=90°， 的中点，DE=子CM当CM⊥B时，CM的位 ∴.∠EBG+∠BEG=90°，由题意得：OF=CE=CD +DE=2m,AB=FG=6m,AF=BG,EF=CO..AO 最小，此时DE的值也最小.由勾股定理得：AB= =10m,∴.AF=BG=OA-OF=8m.·∠BEG+ ∠FEO=90°，.∠EBG=∠FEO,.△BEGM ac+c=5+12=1sSw=分·AB A6m-B86得BC=2成 CM=)·4C·BC,CM=60 2 cM EG=-8(舍去)，.OC=EF=2+6=8(m),.裁判 30 与立柱之间的水平距离OC的长为8m. 131 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBH·九年级数学第3页 10.(-1011,-1012) 分AB,∴.∠BDE=90°.在△BDE中，.·∠BDE= 三、解答题 90°，∠B=30°，∴.BE=2DE=4..BC=BE+EC= 11.解：(1)如图，△A'B'C'即为所求 6.故选D. 5.B 6.B【解析】由题意得：DC⊥AC,在Rt△DBC中， ∠DBC=45,DC=x米，BC=DC tan456=x.AB= 014:5：57:9 30米，，AC=(x+30)m,在Rt△ACD中，∠DAC (2)由图象可知：B'(4,8),C'(8,2).S△Agc=6 =28°，∴.CD=AC·tan28°，∴.x=(30+x)tan28. 故选B. x82×2x8×6x27×6x4=2 二、填空题 12.(1)证明：在△ABC中.：点D、E分别是AB与 、ADAE1 775”【解析】由题意，得sn4-0,1-an=0。 AC的中点…BAC2∠A=LA, △ADE∽△ABC,LADE=∠ABC,BC-AB DE AD .'sinA= 2,tanB=1,∠A=60°，∠B=450, ∠C=180°-∠A-∠B=75°. DE/nC.DE-nc 2 8【解1=，中6-巴 2 c sin (2)√I0【解析】连结AR.,四边形ABCD是 a 矩形，.∠D=90°.：点R是CD的中点，CD= =()3=sin2A,sin2A+sin2B=1,.'.sin2B 4,0R=2D=2A0=6,六AR sinB=0,simB=52（取正值 √AD+DR2=62+22=210.E、F分别是 9.(1)等腰(2)√3-1【解析】(2)：AD为BC边 4r,的中点f=R=而， 上的中线，AE为BC边上的高线，∠B=30°，∠C= (3)4或10【解析】如图1，延长AD交∠ABC ..AE-2AB-2,E-2/..CME= 平分线于点G,延长FE交AB于点H.,BG平 分∠ABC,∴.∠ABG=∠CBG.:四边形ABCD 是平行四边形，∴.AD∥BC,AB=CD=14,∴.∠G ∠C=45BC=ac=2.D=28C=2x(26+ =∠CBG,.∠G=∠ABG,.AG=AB=14.AF 2)=W3+1,∴.DE=CD-CE=√3-1. ⊥BG,BF=FG.:点E是CD的中点，.CE= 三、解答题 FH BF DEDEF//BC//AGAG-BG 10.解：(1).DE是边AB上的垂直平分线，.AE= BE,.∠B=∠BAE=30°.：AE平分∠BAC, 1 ∠BAE=∠EAC=30°，∴.∠BAC=30+30°=60°， 2FH=2AG=7 EF=3,EH=4.BC= .∠C=180°-∠BAC-∠B=90°； EH=4;如图2，EF∥BC,AB∥CD,∴.四边形 (2).AE平分∠BAC,∠ACB=90°，DE⊥AB, EC=ED=3.DE垂直平分AB,∴.∠BDE= BCEH是平行四边形，同理可得：FH=2AG=7. 90°.在△BDE中..·∠BDE=90°，∠B=30°.∴ :EF=3,.EH=FH+EF=10.EH∥BC,AB∥ BE=2DE=6...BC=BE+EC=9. CD,.四边形BCEH是平行四边形，.BC=EH =10:综上所述，BC=4或10. 11.解：(1)CD2x+3x AC-t=2-3,.taml5°=2-√3； (2)延长CB到点D,使BD=BA,因为∠ABC= 45°，AB=DB,所以∠D=∠DAB=22.5°.令AC= x,则BC=x,AB=√2x,所以BD=AB=√2x,则 图1 图2 CD=CB+DB=x+2x.在Rt△ACD中，anD=AC CD 基础知识抓分练5 =√2-1，即tan22.5°=√2-l. 一、选择题 12.解：过点C作CH⊥AB于点H,交DE于点G,由 1.C【解析】Rt△ABC中，∠C=90°，.∠A+∠B= 题意得：AD=GH=EB=1.5米，AB=DE=347 3 90°cosB=sinM=亏故选C. 米，设DG=x米，在Rt△CDG中，∠CDG=37° ∴.CG=DG·tan37°≈0.75x(米)，在Rt△CGE 2.A3.B 中，∠CEG=45°，∴.△CGE是等腰直角三角形， 4.D【解析】由题意，得EC=ED=2.DE垂直平 .EG=CG=0.75x.DG+GE=DE,..x+ 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBH·九年级数学第4页