抓分练2 一元二次方程-【追梦之旅·期末真题篇】2025-2026学年九年级数学全一册（华东师大版）河南专版

基础知识抓分练2一元二次方程 一、选择题（每小题3分，共21分） 6.学习情境·动点问题如图，Rt△ACB中，∠C 1.下列方程是一元二次方程的是( =90°，AC=7,BC=5,点P从点B出发向终 A.x+5=3x-1 B.ax2+x+1=0 点C以每秒1个单位长度移动，点Q从点C C.2x+3y=7 D.3x2-1=2x 出发向终点A以每秒2个单位长度移动， 2.关于x的一元二次方程(m-2)x2+4x+2=0 P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、 有两个实数根，则m的取值范围是( Q两点同时停止，则( )秒后，△PCQ的 A.m≤4 B.m≥4 面积等于4. C.m≥4且m≠2 D.m≤4且m≠2 A.1 B.2 3.学科内融合若关于x的一元二次方程x2 C.4 D.1或4 2x+k+1=0有两个不相等的实数根，那么直 7.用因式分解法解方程x2-px-6=0,将左边 线y=hx+k一定不经过( 分解后有一个因式是(x-3),则p的值 A.第一象限 B.第二象限 是() C.第三象限 D.第四象限 A.-5 B.5 C.-1 D.1 4.(湖南模拟)明明在解关于x的方程ax2-3x 二、填空题（每小题3分，共12分） +2=0(a≠0)时，抄错了a的符号，解出其 8.新趋势·开放性试题写出一个关于x的一 中一个根是x=1,则原方程根的情况 元二次方程，使其二次项系数为1，有一根 是() 为2，则这个方程可以是 A.没有实数根 9.已知方程x2-5x+2=0的两个根分别为x1、 B.有一个实数根是x=-1 C.有两个相等的实数根 x2,则x1+x2的值为 D.有两个不相等的实数根 10.如表是学生小明探究关于x的一元二次方 程x2+ax+b=0的根的情况，则4a+b的值 5.文化情境·传统文化“指尖上的非遗一麻 是 柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态.如 图是在一幅长80cm,宽60cm的麻柳刺绣 -1 0 3 的四周镶嵌宽度相同的边框，制成的一幅矩 x2+ax+b 5 0 -3 -4 -3 0 形挂图，且整个挂图的面积是6300cm2.设 边框的宽度为xcm,则列出的方程为( 11.生活情境·产品销售（佛山一模）香云纱 A.(60+x)(80+x)=6300 作为广东省佛山市特产，中国国家地理标 B.(60-x)(80-x)=6300 志产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染 C.(60+2x)(80+2x)=6300 料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄 D.(60-2x)(80-2x)=6300 金”.在某网店，香云纱连衣裙平均每月可 以销售120件，每件盈利200元，为了尽快 减少库存，决定降价促销，通过市场调研 发现，每件降价20元，则每月可多售出30 件，如果每月要盈利2.88万元，则每件应 第5题图 第6题图 降价 元 追梦之旅真题·课本回头练·ZBH·九年级数学第3页 三、解答题（共27分） 14.新定义](9分)（龙岩期末）如图，四边形 12.(8分)解方程： ACDE是证明勾股定理时用到的一个图 (1)x2-2x-1=0; 形，a,b,c是Rt△ABC和Rt△BED的边 (2)3x(x-1)=2x-2. 长，易知AE=√2c,这时我们把关于x的形 如ax2+√2cx+b=0的一元二次方程称为 “勾系一元二次方程”，比如3x2+5√2x+4= 0是“勾系一元二次方程”.请解决下列问 题： (1)试判断方程x2+2x+1=0 “勾 系一元二次方程”（填“是”或“不是”）； (2)若x=-1是“勾系一元二次方程”ax2+ 13.(10分)一款服装每件进价为80元，售价 √2cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的 为120元时，每天可售出20件.为了扩大 周长是12，求△ABC面积 销售量，增加利润，经市场调查发现，如果 每件服装降价1元，那么平均每天可多售 出2件 (1)设每件服装降价x元，则每天销售量 h 增加 件，每件服装盈利 元（用含x的代数式表示）； (2)每件服装降价多少元时，商家平均每 天能盈利1200元？ (3)商家能达到平均每天盈利1800元吗？ 请说明你的理由， 追梦之旅真题·课本回头练·ZBH·九年级数学第4页=4.故选C 3.B【解析】A.√12÷6=√2；C.⑧+√2=2√2+ 2D【解析】银垢怎意释60-2》×2≥0，解 √2=3√2；D.26和5不是同类二次根式，不能 得m≤4且m≠2.故选D. 进行运算.故选B 3.A【解析】根据题意得△=b2-4ac=(-2)2-4(k 4.D5.D6.B +1)>0,解得k<0,∴.一次函数y=kx+k的图象经 二、填空题 过第二、三、四象限，不经过第一象限.故选A 【点拨】一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与 7.223(答案不唯一) △=b2-4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不 8.43+32或23+62【解析】当腰为23时， 相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实 周长为23+23+32=43+32，当腰为32 数根；当△<0时，方程无实数根. 时，周长为23+32+32=25+62. 4.D【解析】将x=1代入方程得，a-3+2=0,解得 9.4 a=1,所以a的正确值为-1，则原方程为-x2-3x 1010万【解折：，=m,m=10千克，4=100 +2=0,所以4=(-3)2-4×(-1)×2=17>0，所以 原方程有两个不相等的实数根.故选D. 5.C 焦耳，.v= 2E:./2x1000 =102(米/秒) m 10 6A【解标172-7e).51=50e…7后卫 三、解答题 Q两点同时停止移动.设t秒后，△PCQ的面积 11.解：(1)原式=(83-66)÷3+42=8-62+ 等于4，由题意得，BP=t,CQ=2t,则CP=5-t. 42=8-2W2; SawC0:cP=x2x(5-0=4,*理得r (2)原式=10√/10-(5+2-2√10)=12/10-7. 2 √2-√1 51+4=0,解得t1=1,2=4(不合题意，舍去)，即1 12.解：(1)原式= 秒后，△PCQ的面积等于4.故选A. (2+T)x(2-I) 7.D【解析】由题意，得x-3=0,解得x=3,把x=3 3-√2 √4-√3 代入方程得9-3p-6=0,解得p=1.故选D. 二、填空题 (2+3)×(3-2)(4+3)×(4-3) 8.x2-4=0(答案不唯一)9.5 100-√99 =√2-√1 10.-11【解析】根据表格得化=-3 (√100+99)×(100-√99) 1-a+h=0:解得 +√3-2+√4-√3++/100-√/99=√100 8-子所以方程为-2x-3=0,所以+6 √1=9： -11. 11.80【解析】设每件应降价x元，根据题意得 （2),x= 16-21-6+2 6+√2 4,y= 6-√24 200-x)(120+2×30)=28800,整理得-120 1 2,y =42+y2=(x+y)2-2y= +3200=0,解得：x1=40,x2=80,又：要尽快减 少库存，=80，.每件应降价80元 (5-2x}1 三、解答题 12.解：(1)方程整理，得x2-2x=1,配方，得x2-2x+ 13.解：(1)m2+5n22mm 1=2,(x-1)2=2,直接开方得x-1=±√2，所以 (2):a+6/7=(m+n7)2,.a+67=m2+7n2+ x1=1+2,x2=1-√2； (2)移项，得3x(x-1)-2(x-1)=0,因式分解得 27mn,.a=m2+7n2,2mn=6,∴.mn=3,m,n 为加上室数)或，当m=1n=3时a (x-1)(3x-2)=0,∴.x-1=0或3x-2=0,所以 x=1,x=3 =1+63=64;当m=3,n=1时，a=m2+7n2=9+7 13.解：(1)2x(40-x) =16,∴.a的值为64或16： (2)设每件服装降价x元，依题意得(120-x- (3)W6-25+√6+25=√（5-1)2 80)(20+2x)=1200.整理得x2-30x+200=0,解 √/(5+1)2=5-1+5+1=25. 得x,=10,x2=20.又需要扩大销售量，∴.x= 基础知识抓分练2 20.即每件服装降价20元时，商家平均每天能 盈利1200元： 一、选择题 (3)商家不能达到平均每天盈利1800元，理由 1.D 如下：设每件服装降价y元，依题意得(120-y 【解题技巧】一元二次方程定义：只含有一个未知 80)(20+2y)=1800,整理得y2-30y+500=0.. 数、未知数的最高次数是2的整式方程，根据定 △=(-30)2-4×1×500=-1100<0，∴.此方程无 义逐项判定即可得到答案 解，即不可能达到平均每天盈利1800元. 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBH·九年级数学第2页 14.解：(1)是 三、解答题 (2)当x=-1时，有a-√2c+b=0,即a+b=2c. 10.(1)证明：AB=AC,AD为BC边上的中线， 2a+2b+√2c=12,即2(a+b)+2c=12,∴.32 AD⊥BC..DE⊥AB,∴.∠BED=∠ADC=90 c=12,∴.c=22,a+b=√2c=4,a2+b2=c2=8, AB=AC,∴.∠B=∠C,∴.△BDE△CAD; a+b=4.(a+b)2=a2+2ab+b2=16,∴.ab=4,∴ (2)解：：AD为BC边上的中线，BC=10,.BD 1 =CD=。BC=5.△BDE△CAD,AC=13, SAABC= 2 ab=2. 基础知识抓分练3 一、选择题 0 513b=25 13 1.C2.D 11.解：过C作CD⊥MN于D,延长CD交A'B'于 AC E,则AB∥MN∥A'B',.∠MNC=∠A'B'C, 3.A【解析】CD∥OB,.△ACD△AOB,∴. ∠NMC=∠B'A'C,∴.△MNC∽△A'B'C,:CE AO 064c:0c=23S号：G.D两点银 MN CD C AC 2 ⊥A'B',ABCE CE=5m,DE=3m,A'B' =4B=0.8m,CD=CE-DB=2m,0.85 MN 2 22 坐标分别为13GD=3-1=2…0B号解得 ∴.MN=0.32,答：镜面长MN至少为0.32米 OB=5,.B点的纵坐标为5.故选A. 基础知识抓分练4 4.B【解析】GE∥BD,.△AEG∽△ABD, 一、选择题 1.A【解析】点A(a,-1)与点B(2,b)关于原点 S△ABD 对称，.a=-2,b=1,.a+b=-2+1=-1.故选A. AG 2 DG 1 AD3,AD=3“GF∥AC,△DGF 【解题技巧】两个点关于原点对称时，它们的坐标 符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是 GF DG 1 ADACC-DA3AC-9.GF-34C- P'(-x,-y) 2.C3.D 3.故选B. 4.B【解析】由题意，得DE是△ABC的中位线. 5.B 二、填空题 BC=14,DE=2BC=7.∠AFB=90,AB字 6.② 7.3【解析】：四边形ABCD是平行四边形，∴.AD 8.DF=2AB=4.EF=DE-DF=7-4=3. /CR,An=CRAB-子0AB=子cRA/ 选B. 3 5.A【解析】设点B'的横坐标为x,则B、C间的水 AF AE 2 CB,△EAFr△BCP…CFCB32AC=5, 平距离为a-1,B'、C间的水平距离为-x+1. △ABC放大到原来的2倍得到△A'B'C,.2(a- CF-AC-3 1)=-x+1,解得x=-2a+3.故选A. 6.D【解析】·点G是△ABC的重心，∴.BG= 8.3或4.8【解析】设运动时间为x秒时，根据题 2GE.BE=BG+GE=15,∴.BG=10.故选D. 意AD=xcm,CE=2xcm,则AE=（12-2x)cm,当 二、填空题 △ADE∽△ABC时，ABAC62 ,0AE.x-12-2x解得 7.(2,3)或(0，-1) 8.8【解析】由题意，得正方形ABCD的周长：正 x=3:当△ADE△ACB时，AC-AB12 AD AE 方形A'B'C'D'的周长=AB:A'B'=1:2.正方形 ABCD的周长为4，.四边形A'B'CD'的周长 12-2x,解得x=4.8. 为8. 30 6 9. 【解析】连结CM.:点D、E分别为CN,MW 9.8【解析】过，点E作EF⊥AO,垂足为F,过，点B 13 作BG⊥EF,垂足为G,∴，∠BGE=∠EFO=90°， 的中点，DE=子CM当CM⊥B时，CM的位 ∴.∠EBG+∠BEG=90°，由题意得：OF=CE=CD +DE=2m,AB=FG=6m,AF=BG,EF=CO..AO 最小，此时DE的值也最小.由勾股定理得：AB= =10m,∴.AF=BG=OA-OF=8m.·∠BEG+ ∠FEO=90°，.∠EBG=∠FEO,.△BEGM ac+c=5+12=1sSw=分·AB A6m-B86得BC=2成 CM=)·4C·BC,CM=60 2 cM EG=-8(舍去)，.OC=EF=2+6=8(m),.裁判 30 与立柱之间的水平距离OC的长为8m. 131 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBH·九年级数学第3页