第22章 7 课题 一元二次方程的根与系数的关系（新教案）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年九年级上册数学（华东师大版）

课题　一元二次方程的根与系数的关系 【学习目标】 1．理解掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系； 2．能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知系数； 3．会求已知方程的两根的倒数和与平方和； 4．在推导过程中，培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法． 【学习重点】 根与系数的关系的运用． 【学习难点】 由于式子的抽象性，两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数中的符号是学生理解和掌握的难点． 一、情景导入　生成问题 1．一元二次方程的一般形式是什么？ 2．一元二次方程的求根公式是什么？ 3．一元二次方程的根的情况怎样确定？ 二、自学互研　生成能力 阅读教材P33～P35的内容． 填表，观察、猜想 方程 x1，x2 x1＋x2 x1x2 x2－2x＋1＝0 1，1 2 1 x2＋3x－10＝0 2，－5 －3 －10 x2＋5x＋4＝0 －1，－4 －5 4 问题：你发现什么规律？ (1)用语言叙述你发现的规律； (2)x2＋px＋q＝0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律． 归纳证明：如果关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根是x1，x2，则有：x1＋x2＝－p，x1x2＝q. 由一元二次方程的求根公式，得到方程的两根分别为x1＝，x2＝，所以x1＋x2＝＋＝－p，x1·x2＝·＝＝q. 升华问题：已知方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，求证：x1＋x2＝－，x1x2＝. 证明：方程两边同时除以a，得：x2＋x＋x＝0，由前面得到的结论知：x1＋x2＝－，x1x2＝. 归纳应用：1.一元二次方程根与系数的关系前提条件是方程有实数根，所以根与系数关系通常和方程的判别式结合使用． 2．能够利用完全平方公式对代数式进行灵活变形，是学习使用根与系数关系的必要条件． 范例1：口答下列方程的两根之和与两根之积． (1)x2－2x－15＝0；(2)x2－6x＋4＝0；(3)2x2＋3x－5＝0；(4)3x2－7x＝0；(5)2x2＝5. 解：(1)x1＋x2＝2，x1·x2＝－15；(2)x1＋x2＝6，x1·x2＝4；(3)x1＋x2＝－，x1·x1＝－；(4)x1＋x2＝；x1·x2＝0；(5)x1＋x2＝0，x1·x2＝－ 范例2：若α、β是一元二次方程x2－2x－1＝0的两根，求＋的值． 解：∵α＋β＝2，α·β＝－1，∴＋＝＝＝－2. 仿例：若α是一元二次方程x2－2x－1＝0的一根，β是一元二次方程x2－2x－1＝0的一根，求＋的值． 解：①当α＝β时，原式＝1＋1＝2；②当α≠β时，α＋β＝2，αβ＝－1，∴原式＝＝＝＝－6，∴＋的值为2或－6. 三、交流展示　生成新知 1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑． 2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”． 知识模块一　一元二次方程的根与系数的关系 知识模块二　一元二次方程的根与系数的关系的应用 四、检测反馈　达成目标 见《名师测控》学生用书． 五、课后反思　查漏补缺 1．收获：_____________________________________________ 2．存在困惑：_________________________________________ www.hhzwh.com 学科网（北京）股份有限公司 $$