专项2 重难易错专练-【追梦之旅·期末真题篇】2025-2026学年九年级数学全一册（人教版）河南专版

类型二概率 类型三旋转 河南专版·ZBR 九年级级学 黛素点1率样的奏型(1明 常考点2用频率倍计概率(5理) 常考点畅时称图彩中心时称图移的这别(1题)常考点2关于对移的杰的坐标林(5】 追梦专项二 重难易错专练 重点 随机件的率(2,3.4题】 重难点 特的性的应周(2,3,46则 类型 一元二次方程 1.(3分)下列说法正确的是( 1,(3分)瓦当，是指古代中国建筑中覆建筑头前瓦前的逃挡，瓦当上刘有文字，图案，也有用四 A.·三条线段组成一个三角形“是必然事件 方之神的朱省“玄武”“青龙”“白虎“数图案的.下面~瓦当图案中既是轴对称图形又是中心对 常考点1根的料利式(2期) 常考点2解一元二流方雅(4则) 易错点1》规二次项系数不为0批错(1理 B.经过有交通信号灯的路口，谒到红灯是不可能事件 眼错数2未使什计龙苹领露杯(23期 称图形的是( 重难点 G,买一张电影禀，位号是奇数号是必然事件 D.·从一扑克牌中，任意曲出一张牌是属桃3”是随机事件 1.(3分)方程(m-2)x-3-7=0是关于x的一元二次方程，划m的取值范围是() 2.科技情顷·载人t天(3分)1山月19日，224年度载人航天飞行任务标识正式发布.按计刻.2024 A.me2 日烟●2 .精全】 D用≠生2 2,(3分)（合彩三模）若关于x的方程2-4x一4=0有实数根实数4的收值范是() 年将陆续实天舟七号贷运飞船，种舟十八号我人飞船，天舟八号货运飞船，神舟十九号载人飞船 2.(3分)如图.等骤△4BC中，∠A=120.将△AC绕点C逆时针旋转得到△DEC,当点A的对应点D A.k=0 B.k-1 C.k3-1 D.k3-1且*0 等4次飞行任务，某视顿平台从这四欢飞行发射过程随机达择两次发射过程进行直播，则一次选择 落在G上时，连接BE则∠ED的度数是() 3.数学思想·分类思想(3分)已知△4C为等腰三角形，它的两条边的长度分别是方程2 天舟号货运飞船、一次选择神舟号载人飞船发射过程直播的摄率为〔》 4.30 B.45 C.55 D.759 -7x+50的两个根，那么该三角形的周长是 D. 4.(8分)解方程： (1x-- 0配方快）： 3 2)3(x-1)=2(x-1)(因式分解法) 图1 2 蒂2题图 第3慧图 第4题国 3.(3分》如图所示是中同就政于2025年3月4日爱行的（数学之美》的用票.主题包括国周率、勾股 3.(3)如图，把正方形ACD绕春它的对称中心0沿着逆时针方向转，得到正方形ABCD,A 定理欧拉公式和莫比乌斯带，卸票除图案外其他均相同将这4张邮票背面朝上，徒匀后故在桌面 B和C分别交A于点，F,在正方形旋转过程中，∠F的大小( 上，从中袖机拍出2张邮票（不政回》，抽到的年票主题是屏周率和匀股定理的戴率为( A,随着锭转角度的增大而增大 5,生话情境·教生衣{8分)夏季来临，教生衣情售日益火燥，某品辟教生衣五月份标价为每件8测元， B.随着旋转角度的增大酸小 七月份标价增长室每件115,2元.假设两个月平均每月增长率相同 c 店 C.不变，都是60 (1)求这两个月平均每月增长： 4文化情境·传统文化(3分)在班代，有很多河南诗人，如杜重.白居易，韩愈，李商隐等，如图.现有 《2)七月份某高场测进该品碑甲，乙两种型号的教生衣共00件，甲，乙两型号的教生衣的进价分别 D.不变.辉是45 四木唐代诗人诗集，若从中随机选两本，恰好这到的两木都是可市藉诗人诗集的戴率为 为每件D元和每件8元商场按标价每件降了15,2.元的价格销售这批数生衣，为了保证总 4.(3分)风力发电是一种常晃的续色环保发电彩式，它卷继使大白然的资源得到更好驰利用.如图1，风 利不少于5440元.该商戴至少胸进甲型号救生衣多少件？ 力发电机有三个底端重合，两两成2角的叶片，以三个叶片的重合点为原点，水平方向为x轴建立 0 平闻直角坐标系（如图2所示），已如开始时其中一个叶片的外馒点的坐标为点A(5,5),在一段时间 04 内.叶片每秒绕原点0时针转动90，期第2024：时，点A的对应点A的坚标() 业有白必为争白王的 前x布加宝m镜珠的北我 4.(5.5) B.(-5.5) C.(-5.-51 D.(5,-5) 第4题 第3题图 5.〔3分》（亮明精）一个不透明的袋子里装有黑白种色的球共40个，这些球除颜色外都相同 5(3分)若点A(,-3)与点-4，n)关于原点对称，则*2m 从袋子中机一个球，记下颜色后成回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，则这个袋中白球 6(3分)如图.长方形ABCD中AB=2.BC=4.正方形AEFG的边长为1，正方形 的个数最有可能是 AEFG绕点A旋转的过程中，线段CF的长的最小值为 时南女酸·九年级数学第1因 到南专质，九年经数学第2真 对南专面·走年级整字第子司 专项2 类梨四即 类型五二次函酸 类型六反比倒函数与相似 44444 鷺考点1同网扇与园出角(1思》 常凳有2桑形的面和[5明} 易错点 易点2求值时变量的取值范周而出(2】 常考点1 常考点2位（之） 常考点3国内接多迫对(2息) 蜡点3 考不金而由34) 重难点反比例品最的几何意义《3 重雅点之反比例函最的性总用4) 重难点1◆径定理(3,4刘) 重难点2切此的性减与判瓷(6,7题) 重麻点I 二次函数的固象与社减(5.6隐1 重谁点2二次画教的应用(7题) 重走点1相低三角到性质与刺定的馆合〔5.5对】 1.(3分)如图，△ABC和△A6D内接于⊙0.∠A8C=80.∠D=50°.用∠BC的度数为( 1.(3分)（来州二候）抛物线的函数表达式为y=3-2子+1.若将x轴向上平移1个单位长度.将) 1.(3分)在同一平面直角坐标系中，函数y世b与y A.40 .45 轴向左平移2个单位长度.该挝物线在新的平面直角坐标层中的函数表达式为( 亡（其中a6超靠数o0)的大我国象( .5 ).60 A.ye3r B.y=32+2 G.y=3x-4》 D.r=3(x-4)2+2 2.(3分)在二次函数-2+2+3中，当0<3时，的催范围是{ D. A.0<<3 B.I<<4 C.(KY4 D.-4y<0 2.(3分)（童底二模）如图，在平面直角坐标系中，△C与△DEF是以点0为位似中心的位似图形 3.数学思想·分类思想(3分)如果抛物线y=-+r-2的顶点到x轴的距离是4，那么：的 若B0E=12,点B的量标是(5,4).用点E的植坐标是( 苏1 第2题 第3题 第4题图 值等于( A.7 日.8 C.9 D.10 2.(3分)如图，点A,B,C,D.E在⊙0上，∠ABE=30,则∠EBC+∠D的度数为() A.7 B.15 C.7成15 A.120 .14r C.150 D.160 D.-7成-15 4.(3分)已知二次函数y=r2+4r+-1的最小值为2.划的值为( 3生活情境·敲道(3分)高速公路的降道和桥梁最多，如图是一个隧道的横候面，若它的形状是以0 A.3 B.-1 C.4 D,4或-1 为周心的闲的一部分，路面完B=8m,净高D=8m.别此图的半径04为() 5.(3会》一次函数y+的图象如图所示，划二次函数y2+6的图象是( 001020504n584x B.5 m C.Bm D.6m 艺生霜国 4.(3分)数学活动课上，同学们要测→个知图所示的残缺图形工件的半径.小明的解决方案是：在工 D. 3.(3分)（广网一模）如图，大，小两个正方彩的中心均与平面直角坐标系的原点0重合，边分别与坐 件国弧上任取两点A,B,连接AB,作AB的垂直平分线GD交AB于点D,交AB于点C.测出AB=30 标轴平行，反比例怕数，=本的图象与大正方形的一边交于第一象限的点A(1,),且经过小正方形明 m,D=5m,则圆形工样的半径为( 的顶点B则阴影部分的面积是(》 A.20m B.25 cm C.30 cm D.35 cm .4- B.4(n3-) 5(3分)如离，在△AC中，4C=0,BC=6.以AB为直径的半0交AC于点D,交G于点E 4.(3分)近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的四透镜片.研究爱现，近 视跟镜的度数y(度)与棱片焦距(m)的函数关系如图所示，期下列说法中错误的是( 连接0E,若D是A正的中点，则初影部分的面积为( A镜片焦距的值感大近眼镜的废数y的值越小 5行 图①图2 A 第5图 第7题图 且图中曲线是反比例函数的图象（其中一支） 0 C当焦距为0.3m时.近视眼的数y约为300度 6(3会)如图，二次雨数y=++e的图象与x轴分别交子(-2)，B(0)两点，与y轴正半轴 D.对于每一个镜片焦距x,都有唯一的近视度数y与它对应 5《3分)如图.在平行四边形AD中4= 连接,交A于点F4C=5,期CF的长为 交于点C,下列判：①<024e-60:3-<0:④2+5=0:5若(-).(3，)是抛物线上 第6图 苏7题国 的两个点，则yy其中正确的是() g 6.数学思题·分类思想(3分)如图.在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的闭心P的坐标为(-3， A.①28 B,①2④ C.0f5 D.①④5 B ?文化情境·传统文亿(3分)如俗①，·东方之门”通过简单的儿何由线处理.将传统文化与 第5通 第6题图 D),将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与轴相切，则平移的距离为( AI或5 B1或3 C.3或5 D.1 现代建筑磁为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化如图②.“门”的内测曲线呈抛物 6.数学思想·分类影想(3分)如图，t△ACB中，∠C=0°，已知B=13，4C=5c,动点 P从点B出发沿尉线C以1m/。的速度运动，动点Q从点A出发沿射线4B以2m/:的 7.(3分)如图，△4C内接于⊙0，AB为⊙0的直轻.直线CD与⊙0相切于点C.过点0作E∥BC 线形，己知其底部宽度为80米.高度为00米.则离地面150米处的本平宽度（即D的 速度运动，设运动时间为，当以B,P,Q为顶点的三角形和△45C相似时，的值 交D千点E若∠R4C=30°，期∠0EC的度数为( 长)为 为 A.35 .30 C.25 D.20 专项2 河南女饭·九年处数学第4顶 闲南专面，九年级数学第5重 衬南专版，九年级数学第6瓦直线PQ⊥x轴，.∠PNB=90°，.∠BOM=∠PNB,. (2)解：∠BAC=90°，AC=CD=BD=3dm,AC=2BC, 1 .∠B=30°..∠B=∠AC0,∴.∠AC0=30°，.OC=20A: PN BO 2m*2 设0A=x,则0C=2x,在Rt△A0C中，(2x)2-x2=AC2=9, △PNB△B0M,NBON2.4- -=2， x=3,.AE=20A=23dm,∴.CE=√AE+AC=√2I m,=3或m2=4(舍去)，.P(3,2);②当∠QPB=∠M0B= (dm). 90°时，得OMPQ,.△QPB∽△MOB,此时，点P,点N,点 10.解：任务1：设I关于R的函数表达式为I= (U为常 U A三点重合，P(-1,0).综上所述，点P的坐标为(3,2)或 (-1,0). 数，且U≠0).将R=R,+R2=5+10=15,1=0.6代入1= 13.解：(1)①设石块运行的函数关系式为y=a(x-20)2+10,把 长，得065解得U=9.1关于R的函数表达式于 (0,0)代入解析式，得400a+10=0,解得a= 40解析式 9 为y= R 红D0.即y0≤≤40； 1 ②石块能飞越防御墙，理由如下.·B与0水平距离为28 任务2：根据图3,0.1≤1≤0.25,1= R,9>0R随1 米，BC=2米，BCx轴，BE=6米，.C(30,6),把x=30代入 9 的增大而减小，当1=0.1时，R大=0=90，当1日 y=40,得)= 900+30=7.5,.7.5>6,.石块能飞 401 越防御墙： 9 025时，R0.2536,36≤R≤90，R=,+5 (2)由题可知B(28,6),抛物线y=a(x-20)2+h,∴.把(0,0) 36≤R2+5≤90，.R2的取值范围为31≤R2≤85 1.解：(1)设点D坐标为(m,n）,由题意得2OH·DH= 2x6代人，得89架得。- 5石把C(30, 6.00代人解析式得80年得a=0 1 2mn=6,mm=12点D在y=本的图象上六=m 1 1 a的取值范围为- 56 =2:直线y=之-2的图象与x销交于点A, 追梦专项二重难易错专练 类型一 一元二次方程 4.0之CDL轴CH轴，BC=A6, 1.A 2.C CL0H=A0=4,点D的横坐标为4.点D在 AB 【技巧点拨】根据△>0时，方程有两个不相等的实数根：△=0 时，方程有两个相等的实数根；△<0时，方程没有实数根，得 反比例函数y=2的图象上，点D坐标为(4,3)： 到关于k的不等式，即可求出答案。 3知a释0定芳成 3.6【解析】解方程2X-7k+5=0得x=5或x=1.①当等腰三 2 E,交y抽于点ALS4A=)CD·EP,SAn月 cD· 2 角形的三边为，1时，符合三角形三边关系定里，此时 OH,.EF=30H=12,EM=8,.点E的横坐标为-8. 2-2上，点E的坐标为(-8,2). 任三角形的周米是了了1=6，②当等稀三有形的三过 .点E在直线y=- 为)，山，山时，不符合三角形三边关系定理，此时等腰三角形 1 3 12.解：(1)在抛物线y=-2+2x+2中，令y=0,解得 不存在，所以等腰三角形的周长是6， x1=-1,x2=4.点A在点B的左侧，.A(-1,0),B(4, 0).令x=0,得y=2,∴.C(0,2): 4解：移项，得=图方，得广+ 4 +4=1,即(x (2)过点D作DD'⊥x轴于点D',.DD'∥OC,.△BDD 3 △BCO.BD'_DD'BD2 'B00CBC5,解得BD'= 5,DD'=4 =1.开方.得x=±1所以x1三)，x2=2； 1 (2)移项，得3x(x-1)-2(x-1)=0.因式分解，得(x-1)(3x- p24 0D'=B0-BD=2 (5,5).·抛物线的解析式 2)=0,x-1=0或3x-2=0,所以x=1=行 2 为y=- 3 5.解：(1)设救生衣标价的月平均增长率为x,由题意，得80(1+ )x+x+之过陈曲为直雯x三是点 x)2=115.2,解得x=0.2=20%或x=-2.2(舍去)，答：这两个 C关于抛物线对称轴的对称点，.C'(3,2).设直线CD 月平均每月增长率为20%： (2)设该商城购进甲品牌救生衣m件，.(115.2-15.2-70)m 的解析武为y=x+b(k≠0).把C(3,2),D(5,5)代 +(115.2-15.2-78)(200-m)≥5440，解得m≥130，答：该商城 至少购进甲型号救生衣130件. (3k+b=2 入+6，得2+64，解得{低=24 {b=-4直线C'D的 类型二 概率 5 5 1D2.C3D4 6 解析式为y=2x-4: (3)(3,2)或(-1,0)【解析】由题得M(0,-2).B(4,0), 5.20【解析】由统计图知，随着摸球次数的逐渐增大，黑球的 频率逐渐稳定于0.5，所以估计从袋子中随机摸一个球，是 .BO=4,OM=2,直线BM的解析式为y= 2-2设点N 白球的概率约为0.5，则袋中白球的个数约为40×0.5=20 (个) 1 ,3 的坐标为(m,0),则P(m,2m2+2m+2),Q(m,2m-2). 类型三旋转 1.B .·PQ⊥x轴，.PQ∥OM,..∠BOP=∠BM0.①当∠QBP 2.B【解析】，AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB,.·∠A=120°，∴. ∠MOB=90°时，∴△QBP∽△MOB,∴.∠OBM=∠NPB. 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBR·九年级数学第7页 ∠ABC=∠ACB=7×(180°-120°)=30°，由旋转，得BC=CE, 由图象可得，y1>0,y,<0,1>y,故⑤正确；.①④⑤正确。 故选D. ∠DCE=∠DEC=∠ABC=∠ACB=3O°，.∴.∠CBE=∠CEB= 7.4Om【解析】以底部所在的直线为x轴，以线段CD的垂直 平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，由图可知，点 2X(180°-30)=75°，.∠BED=750-30°=45.故选B. （-40,0),(40,0),(0,200)均在抛物线上，设内侧抛物线的解 3.D【解析】连接AO,B0,B'O,AB',由旋转，得A0=B'O, 析式为y=a(x+40)(x-40),将(0,200)代入，得200=a(0+ 8一内侧抛物线的解析式为y=一 1 ∠OAB'=∠OB'A,又.∠OAE=∠OB'E=45°，.∴.∠EAB' 40)(0-40),解得a= ∠EB'A,∴.AE=B'E.又EO=EO,△AOE≌△B'OE(SSS), 8 ∴.∠AOE=∠B'OE.同理可得，∠BOF=∠B'OF,∴.∠EOF= ∠B'OE+∠B'OF=1 +20,将y=150代入得-令2+20=150，解得x=±20C ∠A0B=45°，∴.在正方形旋转过程中 (-20,150),D(20,150),.CD=40m ∠EOF的大小不变，是45°.故选D. 类型六 反比例函数与相似 4.A【解析】小A(5,5),.A在第一象限的角平分线上.·叶 1.A 片每秒绕原，点0顺时针转动90°，∴.A(5,-5),A,(-5,-5) 2.D【解析】，·△ABC与△DEF是以原，点O为位似中心的位 A(-5,5),A4(5,5),.A点的坐标以每4秒为一个周期依次 似图形，∴BC∥EF,.△OBC∽△OEF,.BC:EF=OB:OE= 循环2024÷4=506，.第2024时，点A的对应点Am4的 1:2,∴.△ABC与△DEF的相似比为1：2.·点B的坐标为 坐标与A相同，为(5,5).故选A (5,4),.点E的坐标是(10,8)，点E的横坐标是10.故 5.10 选D. 6.25-√2【解析】连接AF,CF,AC,长方形ABCD中AB= 3.B 4.C【解析】由题意，得近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x 2,BC=4,正方形AEFG的边长为1，.AC=25,AF=V2.. AF+CF≥AC,.CF≥AC-AF,∴.当，点A,F,C在同一直线上 的关系式为=四将=n3我入四 ,)值约为 时，C℉的长最小，最小值为25-√2 333.故选C. 类型四圆 1.C【解析】.·∠D=50°，∠C=∠D,.∠C=50°，又.·∠ABC 5.3【解析】.·四边形ABCD是平行四边形，.ADCB,AD= 80°，∴.∠BAC=180°-50°-80°=50°.故选C. 2.C3.B4.B 5.D【解析】连接OD,·OA=OD,∠BAC=70°，.∴∠ODA= CB:AB=号AD,46= 3CB.AE∥CB,△EAF ∠0AD=70°，.∠A0D=180°-70°-70°=40°，D是AE的中 acr280-号ic-5F 54C=3 点，.∴.∠DOE=∠AOD=40°，∴.∠EOB=180°-40°-40°=100°， 156.169 6. 0E=0B,.∠0BE=∠0EB=7×(180°-100)=40°，· 37或38 【解析1小：∠C=90°，AB=13cm,AC=5cm,.BC= ∠C=180°-40°-70°=70°，.AB=BC,BC=6,∴.0B=OA= /AB2-AC2=12cm.由题意，得BQ=AB-AQ=(13-2t)cm,BF 100m×325π 3,.S扇形0Bs= 。3602故递D. =cm①当△ABC∽△0BP时，1B_BC.3=2 QBBD13-2元t 6.A【解析】当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，此时圆 )②当△ABC△PB0时，A=BC·13-12 心P到y轴的距离是2，P的坐标为(-2,0)，所以平移的距 'BPB0心1=13-21 离为-2-(-3)=1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时 169 此时圆心P到y轴的距离是2，P的坐标为(2,0)，所以平移 38 综上，1的值为156或169 3738 的距离为2-(-3)=5.故选A. 追梦专项三期末综合新颖题 7.B【解析】连接OC,.AB为⊙0的直径，.∠ACB=90°， 1.D2.B3.C ∠BAC=30°..∴.∠ABC=60°，又，·OC=OB,∴.△OCB是等边 三角形，则∠OCB=60°，OE∥BC,∴.∠E0C=60°，：直线 4.A【解析】作DG⊥EF交FE的延长线于点G,DG交反比例 函数图象于，点H..·原，点O为正六边形ABCDEF的中心，EF CD与⊙0相切于点C,∴.∠EC0=90°，.∠0EC=90°- ∠EOC=30°.故选B. k轴∠ED0= 2EDC= F2×120=60°，.LEDG=30, 类型五 二次函数 1.C ∴.EG= 2.C【解析】y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4.-1<0,对称轴为直 2ED,设正六边形ABCDEF的边长为a,则E(2a, 线x=1,当x=1时，y有最大值，最大值为4.3-1>1-0， ∴.当x=3时，y有最小值0，∴当0<x<3时，y的取值范围是0 20),Ha,5).点EH都在反比例函数图象上，心2a <y≤4.故选C. 2a=3a,解得a=0(舍)或a=4,4,3),k=43.故 3.C【解析小：y=x2-6r+c-2=(x-3)2+c-11,∴.抛物线顶点坐 标为(3，c-11),由题意得1c-11|=4,解得c=7或c=15.故 选C. A 4.C【解析二次函数y=ax2+4x+a-1有最小值2，∴a>0, 339 4 cm Y最小值 二4a(a-1)-4=2,整理，得02-3-4=0，解得a=-1或 6.26【解析】由二次函数的图象可知，A(22,0)在抛物线上， 4 1 4>0,.a=4.故选C. 13 5. 把A(2,0代入y=2x-1)+h,得0= 27(22-11)2+6 6.D【解析】.抛物线开口向下，∴a<0..抛物线与y轴的交 3 b 解得=1B,y=2x-11)+IB:P和P关于x轴对称， 点在正半轴，.c>0,由图象，得对称轴为直线x= 2a .PP'=2×13=26(米) 15 7.解：(1)圆的切线垂直于过切点的半径 直径所对的圆周 22 角是直角 =1,.b=-2,∴.2a+b=0,b>0,.∴.abc<0,c-a>0,.③ 2 (2)剩余过程如下：.∠E=∠CAB,AC=AC,.∠E=∠D, 错误，①④正确；.二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x ∴.∠CAB=∠D: 轴有两个不同的交点，.∴.b2-4ac>0,.4ac-b2<0,故②错误： (3).·弦切角∠CAB=30°，由(2)可知∠CAB=∠D=30°，. ∠E=∠D=30°，AE为⊙0直径，.∠ACE=90°，在Rt 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBR·九年级数学第8页