抓分练6 圆及其相关性质-【追梦之旅·期末真题篇】2025-2026学年九年级数学全一册（人教版）河南专版

P与点P'关于x轴对称，点P的坐标为(a,a-2). 点P在抛物线上，a-2=-a2+a+2.解得a1=2,a2=-2. a,解得a=40°，③∠DAF=∠AFD时，7(180°-a)-30°= 又点P不与点B重合，a=-2..a-2=-2-2=-4. 30°+a,解得α=20°，综上所述，旋转角度数为20° 点P的坐标为(-2，-4)： 或40° 基础知识抓分练4 9.解：(1)(-1,0) 1.C (2)如图，△A,B2C2即为所求 2.A【解析】令y=0.6,则y=-0.1x2+1=0.6,∴x=2或x (3)如图，△AB,C即为所求。 =-2(舍去)，A到y轴的距离为2dm.又：点A,B在抛 物线上，OA,OB关于y轴对称，.AB=2×2=4(dm).故 选A. 3.D4.145.7 6.9【解析】.：拱跨AB=60m,O为AB中点∴.AO=BO= 30m,.A的坐标为(30,0)，B的坐标为(-30,0)，设抛物 线解析式为y=a(x+30)(x-30),:AE=2m,DE⊥AB且 DE=1.16m,.0E=30-2=28m,.D的坐标为(28,1. 用 16),.a(28+30)(28-30)=1.16,解得a=-0.01,.抛物 10.解：(1)由题意知，旋转角为∠DAB=∠BAC=180°-∠B 线解析式为y=-0.01(x+30)(x-30),当x=0时，y=9, -∠ACB=125°，·.旋转角的度数为125°： .桥拱最高，点到桥面的距离OC为9m. (2)由旋转的性质可知，旋转中心为点A,∠DAE= 7.解：(1)根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具 ∠BAC=125°，.∠BAE=360°-∠BAC-∠DAE=110°，由 可知销售单价为x元时，就会少售出10(x-40)件玩具 旋转的性质可得，AD=AB=4Cm,AE=AC,':点C恰好成 则销量为y=600-10(x-40)=1000-10x; 为AD的中点，.AC=CD=2cm,.AE=2cm. (2)依题意得(x-30)(1000-10x)=10000,解得x,=50, 11.解：发现：①等边三角形②BD=CE120 x2=80,:x>40,.销售价应定为50元或80元； 论证：①BD=CE,理由如下：由题意知，∠BAC==90°= (3)由题意，得1000-10≥540 ∠DAE,由旋转的性质可知，AD=AE,.∠DAE+∠DAC= (x≥44 解得44≤x≤46，而0= ∠BAC+∠DAC,.∠BAD=∠CAE,又.AB=AC,.. (x-30)(1000-10x)=-10x2+1300x-30000,.a=-10< △BAD≌△CAE(SAS),∴.BD=CE; 0,开口向下，有最大值心x=2x-10 1300 =65..当44 ②：∠BAC=90°，AB=AC,.∠B=∠ACB=180°-∠BAC ≤x≤46时，0随x的增大而增大，.x=46时，心最大， =45°，由论证①可知，△BAD≌△CAE(SAS),·.∠ACE =(46-30)×(1000-460)=8640,答：该商场销售该 =∠ABD=45°，∴.∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，. 品牌玩具获得的最大利润是8640元. ∠BCE的度数为90°： 8.解：(1)设y关于x的函数表达式为y=a(x-5)2+4.把 拓展：DE的长为5或√17 (0,96 代人表达式，得9=a(0-5)2+4,解得a= 4 基础知识抓分练6 49 49 1.A 49(x-5)2+4: 4 Y= 2.C【解析】小：点A为BC的中，点，.AB=AC,.∠B0A= (2)该男生在此项考试中能得满分.理由如下：令y=0, 2∠ADC,∠BOA=a,.∠ADC= 2a.故选C 49(x-5)+4=0,解得x1=12,2=-2(舍去).12> 即 3.B 4.A【解析】过，点O作OE⊥CD于点E,连接OD,.·AB=1 11.4,.该男生在此项考试中能得满分 +5=6,∴.0D=OA=3,.OP=OA-AP=2,.∠OPE= 基础知识抓分练5 ∠APC=45°，.△0PE是等腰直角三角形，.PE=OE= 1.C 2,在Rt△OED中，DE=/OD-0E2=9-2=7..: 2.D【解析】将点P(3,2)向右平移2个单位长度后的坐 标为(5,2)，(5,2)关于原点中心对称后的点的坐标为 OE⊥CD,CE=DE,∴.CD=2DE=27.故选A. (-5,-2).故选D. 【方法总结】本题考查垂径定理，解题的关键是根据题意 3.B 作出相关辅助线，从而构造直角三角形，利用垂径定理和 4.B 勾股定理进行求解，注意运用数形结合的思想方法， 【技巧点拨】连接EG,由正方形ABCD,将△ADE绕点A 5.A【解析】连接OB,.:l⊥AB,AB=48mm,∴，BD=AD 顺时针旋转90°到△ABF的位置，过点A作EF的垂线 2AB=24mm,在Rt△B0D中，BD=24mm,OD=0C-CD= 得AE=AF,DE=BF,AG垂直平分FE,进而得到EG=FG 设CE=x,则DE=10-x=BF,则CE+CG2=EG2,即可求得 (r-12)mm,0B2=BD2+0D2,r2=242+(r-12)2,解得r= CE的长度. 30.故选A. 5.B【解析】.矩形ABOC的顶，点O为坐标原点，BC=2 6.60 对角线OA在第二象限的角平分线上，∴.OA=BC=2,: 7.3-1【解析】过点O作OD⊥AB于点D,连接OP、OC, 每秒旋转45°，故8次一个循环，2025÷8=253…1，.第 2025秒时，点A的对应点A5落在y轴正半轴上，.点 AB=3,..BD=AD= 2AB=3 ,B0=3,由勾股定理 A2ms的坐标为(0,2).故选B. 6.727.1.6 可知：00= 8.20°或40°【解析】由旋转，得AC=CD,.∴.∠ADF=∠DAC 2AC=L,CD=AD-AC=月，由为股定 理可知：OC=1,在△OCP中，由三角形三边关系可知：PC =2(180°-)，∠DAF=2(180°-a)-30°，LAFD= >OP-OC,.当O、C、P三点共线时，PC可取得最小值，此 ∠BAC+∠DCA=30°+a,△ADF是等腰三角形，分三种情 时PC=OP-OC=W3-1. 8.1cm【解析】连接AB,OA,过点O作OG⊥CD于点G,交 况讨论，①LADF=∠DAF时，2(180°-a)= 2(180 AB于点E,交⊙O于点F.AC⊥CD,BD⊥CD,.AC∥ BD,.AC=BD,∴.四边形ACDB是平行四边形，∠ACD a)-30,无解，②LADF=∠AFD时，2（180°-)=30+ =90°，∴.四边形ACDB是矩形，.·.AB∥CD,AB=CD= 16cm,OG⊥CD,∴.OG⊥AB,∴AE=EB=8cm,.OE= 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBR·九年级数学第3页 √OA2-AE=√102-82=6(cm),∴.EF=OF-0E=4cm :EG=AC=BD=5cm,.FG=5-4=1(cm),.圆盘离桌 90°，图中阴影部分面积是90m·2090m·137 360 3601 . 面CD最近的距离是lcm. 9.解：(1)连接AC,∠ABC=90°，.AC为⊙0的直径， 9.(1)证明：AB是圆的直径，.∠ACB=90°，.BC⊥AC, ∠ADC=90°，.AD=CD,∴.∠ACD=∠CAD=45°，.PA为 OD∥BC,.OD⊥AC,.D是AC的中点： ⊙0的切线，.CA⊥PA,.∠PAC=90°，∠P=90°- ∠ACD=45°： (2)解：∠ACB=90°，AB=10,BC=6,.AC= (2)在Rt△ABC中，AC=√JAB+BC2=10,.∠P=∠ACP AB-BC=8.OD 1 AC...AF=AC 4.0A= =45°，AP=AC=10,:∠ADC=90°，△APD为等腰直 角三角形，.PD+AD=AP2,.PD+PD2=AP2,,PD= 2AB=5,F0=√0A-AF=3,FD=0D-0F=2. 52 10.(1)解：如图，点C即为所求： 10.(1)证明：连接OP,.OA=OP,∴.∠A=∠APO,.CP= CB,.∠B=∠BPC,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，.∠A +∠B=90°，∠AP0+∠BPC=90°，.∠0PC=180°- 90°=90°，.OP⊥CP,.OP为⊙0的半径，直线CP 是⊙O的切线； (2)解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC= 33,∠BAC=30°，AB=63,∴.在Rt△ABC中，AC= (2)证明：BD=BD,∠D0B=2∠DAB=60°， ∠A0D=∠A0B-∠D0B=150°-60°=90°，.0A=OD, √AB-BC=9,·PC=BC=33,设⊙0的半径为T,在 △AOD是等腰直角三角形； Rt△0PC中，r2+(33)2=(9-r)2,解得r=3,.⊙0的 (3)解：连接DB,过D作DH⊥AB于H..:∠DOB=60° 半径为3. OD=OB,∴.△ODB是等边三角形，DB=OB=2,在等 11.解：(1)作图如下； 腰直角三角形△AOD中，AD=22,在Rt△ADH中， ∠DAH=30°，DH=AD=2,AH=AD2-DH=6, AH=√6，在Rt△DHB中，BH=DB2-DH=2,.BH=√2， ∴.AB=√6+√2 11.解：(1)①如图，直线DE,线段AD,CD即为所求； (2)链接OQ.由题意得：OP为⊙C的直径，.∠0OP= ②如图，点F,线段DF,BD,BF即为所求作： 90°，0Q1PQ,0Q为⊙0的半径，.直线PQ为⊙0 的切线： (3)连接OD..:OQ=2,OP=6,在Rt△OPQ中，PQ= √/OP2-00=42,由图知AB为OP的垂直平分线，. OD=PD,设QD=x,则OD=PD=4√2-x,在Rt△OQD (2)结论：BF=BC.理由：DE垂直平分线段AC,.DA =DC,∴.∠DAC=∠DCA,AD=DF,.DF=DC,AD= 中，0D=00+QD,(42-x)2=2+2,解得x=7 4 DF,.∠DBC=∠DBF,:∠DFB+∠DAC=18O°.∠DCB +∠DCA=180°，∴.∠DFB=∠DCB,在△DFB和△DCB 0D=42-7292 I∠DFB=∠DCB 基础知识抓分练8 中，{∠DBF=∠DBC,.△DFB≌△DCB(AAS),.BF 1.A DF=DC =BC. 2.A【解析】所有等可能的情况有9种，其中小亮获胜的 基础知识抓分练7 情沉有3种，所以小亮能胜的概率足P号了，爸爸发 1.A【解析】小：∠ADC=115°，∴.∠ABC=180°-115°=65， AB是⊙0的直径，.∠ACB=90°，，∠BAC=90°- 胜的情况有3种，所以爸爸获胜的概率是P=3=1,所 ∠ABC=25°故选A. 9=3 2.C【解析】小AC=6,AB=10,CD是斜边AB上的中线， 以游戏公平.故选A. AD=5,:点O是AC中点，点P是CD中点，.OP是 3.D4.B5.B 9 △CAD的中位线.0C=0A=3心0P=)4D=2.5,0P☒ 6. 4 【解析】3x3x0.25= 4(m2. OA,.,点P在⊙0内.故选C. 3 7. 3.C4.A 4 【解析】共有4种等可能的结果，其中他们的子女可 5.A【解析】连接OQ,PQ切圆于Q,∴.半径0Q⊥PQ, 以卷舌的结果有：RR,Rr,Rr,共3种，.他们的子女可以 ∠PQ0=90°，圆的半径为1，PQ=√P0-0Q= 卷舌的概率为3 √PO-1,当P0最小时，PQ最小，当P0⊥AB时，P0 最小，∠B=60LA=90-LB=30,P0=240= 8解：)片 (2)列表如下： 3,PQ的最小值是√32-1=2V2.故选A. B C DE 6.相切 A (A,B)(A,C)(A,D)(A,E) 7.120°【解析】设侧面展开扇形的圆心角为n°，则Trl= B (B,A) (B,C)(B,D)(B.E) 360m=×360°= nπl' 6X360=1209 C (C,A)(C,B) (C,D)(C,E) D (D,A)(D,B)(D,C) (D,E) 4T【解析】由题可得0B2=13,0C=20.:旋转角为 E (E,A)(E,B)(E,C)(E,D) 共有20种等可能的结果，其中他们两人所抽卡片中有 “A.梦圆天路”的结果有：(A,B),(A,C),(A,D),(A, 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBR·九年级数学第4页基础知识抓分练6圆及其相关性质 一、选择题（每小题3分，共15分）》 以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在 1.下列说法中正确的有() 一条直线上.图2是正确使用该工具时的示 (1)长度相等的弧是等弧 意图.如图3，⊙0为某紫砂壶的壶口，已知 (2)相等的圆心角所对的弧相等. A,B两点在⊙O上，直线1过点O,且1⊥AB (3)劣弧一定比优弧短 于点D,交⊙0于点C.若AB=48mm,CD= (4)直径是圆中最长的弦 12mm,则这个紫砂壶的壶口半径r的值 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 为( 2.（厦门二模)如图，⊙0中，点A是BC的中 壶把 点，若∠BOA=a,则∠ADC=( A.a B.2a 图1 图2 图3 34 D.90°-a A.30 B.302 C.303 D.40 二、填空题（每小题3分，共9分） 6.如图，AB是⊙0的直径，BC=CD=DE, 第2题图 第3题图 ∠C0D=40°，则∠A0E= 3.新颖题如图，以量角器的直径AB为斜边 画直角三角形ABC,量角器上点D对应的 度数是100°，则∠BCD的度数为() A.30° B.40° C.50° D.80° 第6题图 第7题图 4.(西安二模)如图，AB是⊙O的直径，弦CD 7.如图，⊙0中，弦AB=3,半径B0=√3，C是 交AB于P点，AP=1,BP=5,∠APC=45°， AB上一点且AC=1,点P是⊙O上一动点， 则CD的长为() 连接PC,则PC长的最小值是 A.27 8.生活情境·装饰盘日常生活中常见的装饰 B.√7 盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作 C.22 如图2所示的几何图形.已知AC=BD= D.3 5cm,AC⊥CD,垂足为点C,BD⊥CD,垂足 5.文化情境·传统文化紫砂壶是我国特有的 为点D,CD=16cm,⊙0的半径r=10cm, 手工制造陶土工艺品，其制作过程中需要 则圆盘离桌面CD最近的距离是 用到几十种不同的工具，其中有一种工具 名为“带刻度嘴巴架”，其形状及使用方法 0 如图1所示.当制壶艺人把“带刻度嘴巴 图1 图2 架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可 追梦之旅真题·课本回头练·ZBR·九年级数学第11页 三、解答题（共26分） 11.(9分)在《阿基米德全集》中的《引理集》 9.(8分)如图，AB是⊙O的直径，点C、D是 中记录了古希腊数学家阿基米德提出的 ⊙O上的点，且OD∥BC,AC分别与BD、OD 有关圆的一个引理.如图，已知AB,C是弦 相交于点E、F. AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引 (1)求证：点D为AC的中点； 理的作图过程 (2)若CB=6,AB=10,求DF的长 (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ①作线段AC的垂直平分线DE,分别交 AB于点D,AC于点E,连接AD,CD: ②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交 AB于点F(F,A两点不重合)，连接DF, BD,BF; (2)直接写出引理的结论并说明理由.结 论：线段BC,BF的数量关系， 10.新趋势·尺规作图(9分)如图在扇形AOB 中，圆心角∠AOB=150°，D、C是弧AB上 的两点，∠DAB=30°. (1)尺规作图：求作弧DB的中点C(不写 作法，保留作图痕迹)； (2)连接OD,求证：△AOD是等腰直角三 角形； (3)若扇形的半径为2，求AB的长， 追梦之旅真题·课本回头练·ZBR·九年级数学第12页