抓分练4 二次函数的应用-【追梦之旅·期末真题篇】2025-2026学年九年级数学全一册（人教版）河南专版

基础知识抓分练4二次函数的应用 一、选择题（每小题3分，共9分） 缩的长度△1(cm)之间的关系图象如图2所 1.某同学在投掷实心球，他所投掷的实心球 示.根据图象，下列说法正确的是( 的高h(m)与投掷距离x(m)之间的函数关 (cm/s) 系满足h=- ++月 25 12 ,则该同学掷实心 7777777777 球的成绩是( 图1 图2 A.6m B.8 m A.小球从刚接触弹簧就开始减速 C.10m D.12m B.当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最 2.生活情境·雨伞数学来源于生活，伞是生 大 活中常见的一种工具，撑开后如图1所示， C.当小球的速度最大时，弹簧的长度为2cm 由此发现数学知识—抛物线.如图2，以 D.当小球下落至最低点时，弹簧的长度为 伞柄所在的直线为y轴，以伞骨OA,OB的 6 cm 交点O为坐标原点建立平面直角坐标系. 二、填空题（每小题3分，共9分） 点C为抛物线的顶点，点A,B在抛物线上， 4.“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人 OA,OB关于y轴对称.抛物线的表达式为y 们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加 =-0.1x2+1,若点A到x轴的距离是 特林进行燃放，当发射角度与水平面成45 0.6dm,则A,B两点之间的距离是( 度角时，烟花在空中的高度y(米)与水平距 离x(米)接近于抛物线y=-0.5x2+10x- 36,烟花可以达到的最大高度是 米 图1 图2 5.生活情境·奖杯如图，小明以抛物线为灵 A.4 dm B.6 dm 感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD C.8 dm D.10 dm 为13的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线y 3.跨学科试题·物理如图1，质量为m的小球 从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻 7x2+6的一部分，则杯口的口径ACR 弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧 为 的初始长度为12cm).从小球刚接触弹簧 A年)C 到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气 阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形 变)，得到小球的速度v(cm/s)和弹簧被压 第5题图 第6题图 追梦之旅真题·课本回头练·ZBR·九年级数学第7页 6.漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每8.(9分)掷实心球是2024年郑州市高中阶段 个桥拱可近似看作抛物线.如图是其中一 学校招生体育考试的抽考项目，如图1是一 个桥拱的示意图，拱跨AB=60m,以AB的 名男生投实心球，实心球的行进路线是一 中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，过 条抛物线，行进高度y(m)与水平距离x 点O垂直于AB的直线为y轴建立平面直 (m)之间的函数关系如图2所示，掷出时起 角坐标系，通过测量得AE=2m,DE⊥AB且 点处高度为 49m,当水平距离为5m时，实 DE=1.16m,则桥拱最高点到桥面的距离 心球行进至最高点4m处. 0C为 m. m 三、解答题（共17分） 4 9 7.(8分)经营某种品牌的玩具，购进时的单价 49 x/m 是30元，根据市场调查：在一段时间内，销 图1 图2 售单价是40元时，销售量是600件，而销售 (1)求y关于x的函数表达式（不写x的取 单价每涨1元，就会少售出10件玩具，设该 值范围)； 种品牌玩具的销售单价为x元(x>40),销 (2)根据郑州市高中阶段学校招生体育考 售量为y(件)，销售该品牌玩具获得利润为 试评分标准（男生），在投掷过程中，实心球 w元 从起点到落地点的水平距离大于等于 (1)求y与x的函数关系式： 11.4m时，此项考试得分为满分10分，请 (2)若商场获得了10000元销售利润，求该 判断该男生在此项考试中是否能得满分， 玩具销售单价x应定为多少元； 并说明理由 (3)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不 低于44元，且商场要完成不少于540件的 销售任务，求该商场销售该品牌玩具获得 的最大利润是多少？ 追梦之旅真题·课本回头练·ZBR·九年级数学第8页P与点P'关于x轴对称，点P的坐标为(a,a-2). 点P在抛物线上，a-2=-a2+a+2.解得a1=2,a2=-2. a,解得a=40°，③∠DAF=∠AFD时，7(180°-a)-30°= 又点P不与点B重合，a=-2..a-2=-2-2=-4. 30°+a,解得α=20°，综上所述，旋转角度数为20° 点P的坐标为(-2，-4)： 或40° 基础知识抓分练4 9.解：(1)(-1,0) 1.C (2)如图，△A,B2C2即为所求 2.A【解析】令y=0.6,则y=-0.1x2+1=0.6,∴x=2或x (3)如图，△AB,C即为所求。 =-2(舍去)，A到y轴的距离为2dm.又：点A,B在抛 物线上，OA,OB关于y轴对称，.AB=2×2=4(dm).故 选A. 3.D4.145.7 6.9【解析】.：拱跨AB=60m,O为AB中点∴.AO=BO= 30m,.A的坐标为(30,0)，B的坐标为(-30,0)，设抛物 线解析式为y=a(x+30)(x-30),:AE=2m,DE⊥AB且 DE=1.16m,.0E=30-2=28m,.D的坐标为(28,1. 用 16),.a(28+30)(28-30)=1.16,解得a=-0.01,.抛物 10.解：(1)由题意知，旋转角为∠DAB=∠BAC=180°-∠B 线解析式为y=-0.01(x+30)(x-30),当x=0时，y=9, -∠ACB=125°，·.旋转角的度数为125°： .桥拱最高，点到桥面的距离OC为9m. (2)由旋转的性质可知，旋转中心为点A,∠DAE= 7.解：(1)根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具 ∠BAC=125°，.∠BAE=360°-∠BAC-∠DAE=110°，由 可知销售单价为x元时，就会少售出10(x-40)件玩具 旋转的性质可得，AD=AB=4Cm,AE=AC,':点C恰好成 则销量为y=600-10(x-40)=1000-10x; 为AD的中点，.AC=CD=2cm,.AE=2cm. (2)依题意得(x-30)(1000-10x)=10000,解得x,=50, 11.解：发现：①等边三角形②BD=CE120 x2=80,:x>40,.销售价应定为50元或80元； 论证：①BD=CE,理由如下：由题意知，∠BAC==90°= (3)由题意，得1000-10≥540 ∠DAE,由旋转的性质可知，AD=AE,.∠DAE+∠DAC= (x≥44 解得44≤x≤46，而0= ∠BAC+∠DAC,.∠BAD=∠CAE,又.AB=AC,.. (x-30)(1000-10x)=-10x2+1300x-30000,.a=-10< △BAD≌△CAE(SAS),∴.BD=CE; 0,开口向下，有最大值心x=2x-10 1300 =65..当44 ②：∠BAC=90°，AB=AC,.∠B=∠ACB=180°-∠BAC ≤x≤46时，0随x的增大而增大，.x=46时，心最大， =45°，由论证①可知，△BAD≌△CAE(SAS),·.∠ACE =(46-30)×(1000-460)=8640,答：该商场销售该 =∠ABD=45°，∴.∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，. 品牌玩具获得的最大利润是8640元. ∠BCE的度数为90°： 8.解：(1)设y关于x的函数表达式为y=a(x-5)2+4.把 拓展：DE的长为5或√17 (0,96 代人表达式，得9=a(0-5)2+4,解得a= 4 基础知识抓分练6 49 49 1.A 49(x-5)2+4: 4 Y= 2.C【解析】小：点A为BC的中，点，.AB=AC,.∠B0A= (2)该男生在此项考试中能得满分.理由如下：令y=0, 2∠ADC,∠BOA=a,.∠ADC= 2a.故选C 49(x-5)+4=0,解得x1=12,2=-2(舍去).12> 即 3.B 4.A【解析】过，点O作OE⊥CD于点E,连接OD,.·AB=1 11.4,.该男生在此项考试中能得满分 +5=6,∴.0D=OA=3,.OP=OA-AP=2,.∠OPE= 基础知识抓分练5 ∠APC=45°，.△0PE是等腰直角三角形，.PE=OE= 1.C 2,在Rt△OED中，DE=/OD-0E2=9-2=7..: 2.D【解析】将点P(3,2)向右平移2个单位长度后的坐 标为(5,2)，(5,2)关于原点中心对称后的点的坐标为 OE⊥CD,CE=DE,∴.CD=2DE=27.故选A. (-5,-2).故选D. 【方法总结】本题考查垂径定理，解题的关键是根据题意 3.B 作出相关辅助线，从而构造直角三角形，利用垂径定理和 4.B 勾股定理进行求解，注意运用数形结合的思想方法， 【技巧点拨】连接EG,由正方形ABCD,将△ADE绕点A 5.A【解析】连接OB,.:l⊥AB,AB=48mm,∴，BD=AD 顺时针旋转90°到△ABF的位置，过点A作EF的垂线 2AB=24mm,在Rt△B0D中，BD=24mm,OD=0C-CD= 得AE=AF,DE=BF,AG垂直平分FE,进而得到EG=FG 设CE=x,则DE=10-x=BF,则CE+CG2=EG2,即可求得 (r-12)mm,0B2=BD2+0D2,r2=242+(r-12)2,解得r= CE的长度. 30.故选A. 5.B【解析】.矩形ABOC的顶，点O为坐标原点，BC=2 6.60 对角线OA在第二象限的角平分线上，∴.OA=BC=2,: 7.3-1【解析】过点O作OD⊥AB于点D,连接OP、OC, 每秒旋转45°，故8次一个循环，2025÷8=253…1，.第 2025秒时，点A的对应点A5落在y轴正半轴上，.点 AB=3,..BD=AD= 2AB=3 ,B0=3,由勾股定理 A2ms的坐标为(0,2).故选B. 6.727.1.6 可知：00= 8.20°或40°【解析】由旋转，得AC=CD,.∴.∠ADF=∠DAC 2AC=L,CD=AD-AC=月，由为股定 理可知：OC=1,在△OCP中，由三角形三边关系可知：PC =2(180°-)，∠DAF=2(180°-a)-30°，LAFD= >OP-OC,.当O、C、P三点共线时，PC可取得最小值，此 ∠BAC+∠DCA=30°+a,△ADF是等腰三角形，分三种情 时PC=OP-OC=W3-1. 8.1cm【解析】连接AB,OA,过点O作OG⊥CD于点G,交 况讨论，①LADF=∠DAF时，2(180°-a)= 2(180 AB于点E,交⊙O于点F.AC⊥CD,BD⊥CD,.AC∥ BD,.AC=BD,∴.四边形ACDB是平行四边形，∠ACD a)-30,无解，②LADF=∠AFD时，2（180°-)=30+ =90°，∴.四边形ACDB是矩形，.·.AB∥CD,AB=CD= 16cm,OG⊥CD,∴.OG⊥AB,∴AE=EB=8cm,.OE= 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBR·九年级数学第3页