抓分练3 二次函数的图象与性质及二次函数与一元二次方程-【追梦之旅·期末真题篇】2025-2026学年九年级数学全一册（人教版）河南专版

10.3【解析】把x=0代入方程得-k-6=0,解得k=3或 基础知识抓分练3 k=-2,当k=-2时，方程为3x=0,不是一元二次方程 1.A【解析】对称轴为x=2,当x>2时，y随x的增大而增 舍去，则k的值是3. 大，当x<2时，y随x的增大而减小.x=-1离对称轴远， 11.解：(1)移项，得2x2-4x=3,配方，得2(x-1)2=5,(x .y1>y2.故选A. 户=子则-1=±所以=1+ 2,1 【方法点拨】比较二次函数值大小的方法 (1)代入比较法：将几个点的横坐标分别代入二次函数解 √10 析式，求出对应函数值，再比较函数值大小： (2)增减性比较法：当点在对称轴同侧，直接根据增减性 比较，当点不在对称轴同侧，利用二次函数图象对称性， (2)移项，得x2-3x-1=0,a=1,b=-3,c=-1,则△ 将点转化到对称轴同侧，再根据增减性比较： （-3)2-4x1x(-1)=13>0,所以=3±V ,所以x= (3)根据点到对称轴的距离比较大小： 2 (4)图象比较法. 3+√/133-13 2.B3.C 2 4.D【解析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律可得 (3)因式分解，得(x+3)(x+5)=0,则x+3=0或x+5=0, y=2x2-4平移后的函数表达式为y=2(x-2)2-3.故 所以x,=-3,x2=-5. 选D 12.解：(1)转化思想a2±2ab+b2=(a±b)2 5.A (2)三 6.B【解析】①根据图象，a<0,b>0,c>0,.abc<0,故①错 二次项系数化为1，得2-1= 2x移项，得23 误；②：观察图象知，当x=2时y>0,∴4a+2b+c>0,故② *=1. 错误；③由图象知，当x=-1时，y<0,∴.a-b+c<0,抛物 配方，得-子+公10变形得（瓷 4 线对称轴为直线x=1,心2a1b=-2a,3a+c<0,故 16 方，得x35 ③正确；④x=m对应的函数值为y=am2+bm+c,x=1对应 产4.角得七=2，x2三- 的函数值为y=a+b+c,又x=1时，函数取得最大值，a+ b+c>am2+bm+c,即a+b>am2+bm=m(am+b),故④正确. 13.解：(1)一元二次方程3x2+4x+1=0是“凤凰方程”，理 故选B. 由：因为一元二次方程3x2+4x+1=0满足3-4+1=0，所 7.y=-x+2x+1(答案不唯一)8.0<x<49.m>1 以一元二次方程3x2+4x+1=0是“凤凰方程”： 10.解：(1)①4 (2)若关于x的方程x2+mx-5=0是“凤凰方程”，则1 ②将表格数据描点连线绘制图象如下： m-5=0,解得m=-4. 14.(1)证明：把x=-1代入方程得a+c-2b+b-c=0,整理， 得a=b,.△ABC是等腰三角形； (2)解：△ABC为等边三角形，a=b=c.∴.方程(a+ c)x2+2bx+(b-c)=0可化为x2+x=0.解得x1=0,x2= 1 基础知识抓分练2 1.C2.B (2)①y≥0②当0≤x≤1或x≥3时，y随x的增大而 3.A【解析】设小梦添加的边框的宽度是xcm.根据题意 增大（答案不唯一） 得(30+2x)(20+2x)=704,解得x,=1,x2=-26(不符合题 (3)①0<k<4②4.1（答案不唯一） 意，舍去)，.小梦添加的边框的宽度是lcm.故选A. 11.(1)证明：令y=0,则2x2-4x-6=0,4=b2-4ac=(-4)2 4.C【解析】设该快递公司这两个月投递总件数的月平均 -4×2×(-6)=64>0,.该抛物线一定与x轴有两个 增长率为x,根据题意，得6(1+x)2=6+1.5+1.14,解得x 交点； =0.2=20%或x=-2.2(舍去).故选C. (2)解：当y=0时，2x2-4-6=0,解得x1=-1,x2=3,.A 5.13 (-1,0),B(3,0),:y=2(x-1)2-8,.顶点P的坐标为 6.45【解析】设这次旅游可以安排x人参加，且30×800 24000<29250,就有x>30,根据题意得，x[800-10(x (1,-8),.SAAP= 2×(3+1)x8=16. 30)]=29250,整理得x2-110x+2925=0,解得x1=45,x2 12.解：(1)把x=0代入y=-2x+8,解得y=8,.点B的坐 =65..800-10(x-30)≥500，.x≤60，∴.x=45. 标为(0,8).把y=0代入y=-2x+8,解得x=4,·点A坐 7.80 标为(4,0).将(0,8)，(4,0)代入y=x2+bx+c,得 8.解：设降价的百分率为x,由题意，得120(1-x)2=97.2, 8=c 解得x,=0.1=10%,x2=1.9(舍去).答：降价的百分率 0=16+46+,解得/b=二6 {C=8°抛物线解析式为y=x2-6x 为10%. +8 9.解：(1)2t(5-t) (2)x<0或x>4: (2)存在，此时t的值为1，理由如下：6：2=3(s),0<1 ≤3由题意得：)×2x(5-)=4,解得i=1,4=4(不符 3-6+8对称轴x=23,点C1,)关 于对称轴的对称点C坐标为(5，y1).:抛物线开口向 合题意，舍去)，，存在t的值，使得△PBQ的面积等于 上，.当y2>y时，m<1或m>5. 4cm2,此时t的值为1. 13.解：(1)抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A(-1,0),B(2, 10.解：任务1：设该车间4月份到6月份生产数量的平均增 0)两点，∴.将A(-1,0),B(2,0)代入y=-x2+bx+c,得 长率为x,根据题意，得100(1+x)2=144,解得x1=0.2= 20%,x2=-2.2(不符合题意，舍去).答：该车间4月份 -4+26+c=0,解得6= -1-b+c=0 {=2抛物线的解析式为y=-2+ x+2; 到6月份生产数量的平均增长率为20%： (2)设直线BC的解析式为y=x+m(≠0)，由(1)中y 任务2：设该零件的实际售价应定为y元，根据题意，得 =-x2+x+2得，点C的坐标为(0,2)，将B(2,0),C(0, (y-30)[600-10(y-40)]=10000,整理得y2-130y+ 4000=0,解得y1=50,y2=80,又：要尽可能让车企得 2)代人y=征+m,得2-0，解得微2直线BC 到实惠，y=50.答：该零件的实际售价应定为50元. 的解析式为y=-x+2.设点P'的坐标为(a,-a+2),:点 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBR·九年级数学第2页 P与点P'关于x轴对称，点P的坐标为(a,a-2). 点P在抛物线上，a-2=-a2+a+2.解得a1=2,a2=-2. a,解得a=40°，③∠DAF=∠AFD时，7(180°-a)-30°= 又点P不与点B重合，a=-2..a-2=-2-2=-4. 30°+a,解得α=20°，综上所述，旋转角度数为20° 点P的坐标为(-2，-4)： 或40° 基础知识抓分练4 9.解：(1)(-1,0) 1.C (2)如图，△A,B2C2即为所求 2.A【解析】令y=0.6,则y=-0.1x2+1=0.6,∴x=2或x (3)如图，△AB,C即为所求。 =-2(舍去)，A到y轴的距离为2dm.又：点A,B在抛 物线上，OA,OB关于y轴对称，.AB=2×2=4(dm).故 选A. 3.D4.145.7 6.9【解析】.：拱跨AB=60m,O为AB中点∴.AO=BO= 30m,.A的坐标为(30,0)，B的坐标为(-30,0)，设抛物 线解析式为y=a(x+30)(x-30),:AE=2m,DE⊥AB且 DE=1.16m,.0E=30-2=28m,.D的坐标为(28,1. 用 16),.a(28+30)(28-30)=1.16,解得a=-0.01,.抛物 10.解：(1)由题意知，旋转角为∠DAB=∠BAC=180°-∠B 线解析式为y=-0.01(x+30)(x-30),当x=0时，y=9, -∠ACB=125°，·.旋转角的度数为125°： .桥拱最高，点到桥面的距离OC为9m. (2)由旋转的性质可知，旋转中心为点A,∠DAE= 7.解：(1)根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具 ∠BAC=125°，.∠BAE=360°-∠BAC-∠DAE=110°，由 可知销售单价为x元时，就会少售出10(x-40)件玩具 旋转的性质可得，AD=AB=4Cm,AE=AC,':点C恰好成 则销量为y=600-10(x-40)=1000-10x; 为AD的中点，.AC=CD=2cm,.AE=2cm. (2)依题意得(x-30)(1000-10x)=10000,解得x,=50, 11.解：发现：①等边三角形②BD=CE120 x2=80,:x>40,.销售价应定为50元或80元； 论证：①BD=CE,理由如下：由题意知，∠BAC==90°= (3)由题意，得1000-10≥540 ∠DAE,由旋转的性质可知，AD=AE,.∠DAE+∠DAC= (x≥44 解得44≤x≤46，而0= ∠BAC+∠DAC,.∠BAD=∠CAE,又.AB=AC,.. (x-30)(1000-10x)=-10x2+1300x-30000,.a=-10< △BAD≌△CAE(SAS),∴.BD=CE; 0,开口向下，有最大值心x=2x-10 1300 =65..当44 ②：∠BAC=90°，AB=AC,.∠B=∠ACB=180°-∠BAC ≤x≤46时，0随x的增大而增大，.x=46时，心最大， =45°，由论证①可知，△BAD≌△CAE(SAS),·.∠ACE =(46-30)×(1000-460)=8640,答：该商场销售该 =∠ABD=45°，∴.∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，. 品牌玩具获得的最大利润是8640元. ∠BCE的度数为90°： 8.解：(1)设y关于x的函数表达式为y=a(x-5)2+4.把 拓展：DE的长为5或√17 (0,96 代人表达式，得9=a(0-5)2+4,解得a= 4 基础知识抓分练6 49 49 1.A 49(x-5)2+4: 4 Y= 2.C【解析】小：点A为BC的中，点，.AB=AC,.∠B0A= (2)该男生在此项考试中能得满分.理由如下：令y=0, 2∠ADC,∠BOA=a,.∠ADC= 2a.故选C 49(x-5)+4=0,解得x1=12,2=-2(舍去).12> 即 3.B 4.A【解析】过，点O作OE⊥CD于点E,连接OD,.·AB=1 11.4,.该男生在此项考试中能得满分 +5=6,∴.0D=OA=3,.OP=OA-AP=2,.∠OPE= 基础知识抓分练5 ∠APC=45°，.△0PE是等腰直角三角形，.PE=OE= 1.C 2,在Rt△OED中，DE=/OD-0E2=9-2=7..: 2.D【解析】将点P(3,2)向右平移2个单位长度后的坐 标为(5,2)，(5,2)关于原点中心对称后的点的坐标为 OE⊥CD,CE=DE,∴.CD=2DE=27.故选A. (-5,-2).故选D. 【方法总结】本题考查垂径定理，解题的关键是根据题意 3.B 作出相关辅助线，从而构造直角三角形，利用垂径定理和 4.B 勾股定理进行求解，注意运用数形结合的思想方法， 【技巧点拨】连接EG,由正方形ABCD,将△ADE绕点A 5.A【解析】连接OB,.:l⊥AB,AB=48mm,∴，BD=AD 顺时针旋转90°到△ABF的位置，过点A作EF的垂线 2AB=24mm,在Rt△B0D中，BD=24mm,OD=0C-CD= 得AE=AF,DE=BF,AG垂直平分FE,进而得到EG=FG 设CE=x,则DE=10-x=BF,则CE+CG2=EG2,即可求得 (r-12)mm,0B2=BD2+0D2,r2=242+(r-12)2,解得r= CE的长度. 30.故选A. 5.B【解析】.矩形ABOC的顶，点O为坐标原点，BC=2 6.60 对角线OA在第二象限的角平分线上，∴.OA=BC=2,: 7.3-1【解析】过点O作OD⊥AB于点D,连接OP、OC, 每秒旋转45°，故8次一个循环，2025÷8=253…1，.第 2025秒时，点A的对应点A5落在y轴正半轴上，.点 AB=3,..BD=AD= 2AB=3 ,B0=3,由勾股定理 A2ms的坐标为(0,2).故选B. 6.727.1.6 可知：00= 8.20°或40°【解析】由旋转，得AC=CD,.∴.∠ADF=∠DAC 2AC=L,CD=AD-AC=月，由为股定 理可知：OC=1,在△OCP中，由三角形三边关系可知：PC =2(180°-)，∠DAF=2(180°-a)-30°，LAFD= >OP-OC,.当O、C、P三点共线时，PC可取得最小值，此 ∠BAC+∠DCA=30°+a,△ADF是等腰三角形，分三种情 时PC=OP-OC=W3-1. 8.1cm【解析】连接AB,OA,过点O作OG⊥CD于点G,交 况讨论，①LADF=∠DAF时，2(180°-a)= 2(180 AB于点E,交⊙O于点F.AC⊥CD,BD⊥CD,.AC∥ BD,.AC=BD,∴.四边形ACDB是平行四边形，∠ACD a)-30,无解，②LADF=∠AFD时，2（180°-)=30+ =90°，∴.四边形ACDB是矩形，.·.AB∥CD,AB=CD= 16cm,OG⊥CD,∴.OG⊥AB,∴AE=EB=8cm,.OE= 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBR·九年级数学第3页基础知识抓分练3二次函数的图象与性质及二次函数与一元二次方程 一、选择题（每小题3分，共18分） 6.(洛阳期末)如图，已知二次函数y=ax2+bm 1.若点(-1，y),(4,y2)都在二次函数y=(x-2)2 +c(a≠0)的图象如图所示，有下列4个结 +n的图象上，则y1,y2的大小关系为( 论：①abc>0:②4a+2b+c<0:③3a+c<0:④a A.y>y2 B.y1<y2 +b>m(am+b)(m≠1)，其中正确的 C.y1≥y2 D.y1≤y2 有( 2.抛物线y=(x-1)2+2的对称轴是( ) A.1个 B.2个 A.x=-1 B.x=1 C.3个 D.4个 C.x=-2 D.x=2 二、填空题（每小题3分，共9分） 3.根据以下表格中二次函数y=ax2+bx+c的 7.开放性试题已知一条抛物线经过点(0， 自变量x与函数值y的对应值，可以判断方 1),且在对称轴右侧的部分是下降的，该抛 程ax2+bx+c=0的一个解x的范围 物线的表达式可以是 是( (写出一个即可) 0 0.5 1.5 2 8.抛物线y=x2+bx+c的部分图象 y=ax2+bx+c 0.5 3.5 7 如图所示，当y>5时，x的取值 范围是 _202 A.0<x<0.5 B.1<x<1.5 9.若函数y=x2+2x+m的图象与x轴没有交 C.0.5<x<1 D.1.5<x<2 点，则m的取值范围是 4.(安阳期末)在平面直角坐标系中，把抛物 三、解答题（共38分） 线y=2x2-4先向右平移2个单位长度，再 10.(9分)函数图象是研究函数的重要工具， 向上平移1个单位长度得到的抛物线对应 结合已有的学习函数图象和性质的经验， 的函数表达式是( 请画出函数y=x(x-3)(x≥0)的图象，探 A.y=2(x+2)2+3 B.y=2(x-2)2+3 究该函数的性质并解答问题， C.y=2(x+2)2-3 D.y=2(x-2)2-3 (1)绘制函数图象 5.如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象，根据图 ①列表：下表是x与y的几组对应值，其中 象回答，当ax2+bx+c<1时，x的取值范围 a= 是( ) 7 A.-1<x<3 B.x<-1或x>3 0 2 3 2 2 2 C.x<-1 D.x>3 25 27 0 3 8 8 ②描点连线：请在平面直角坐标系中将表 12/343 中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线 依次连接。 第5题图 第6题图 (2)探究函数性质. 追梦之旅真题·课本回头练·ZBR·九年级数学第5页 请写出函数y=x(x-3)2(x≥0)的两条性质： 上，当y2>y1时，求m的取值范围. ① ② (3)结合(1)(2)的分析，解决问题： ①若关于x的方程x(x-3)2=k(x≥0)有 三个不等实数根，则飞的取值范围 是 ②若关于x的方程x(x-3)2=mx-1有一 个实数根为2，则该方程其他的实数根约 为 (结果保留小数点后一位). -32-1.24.5x 13.(10分)如图，抛物线y=-x2+bx+c交x轴 -3 于A(-1,0),B(2,0)两点，与y轴交于点 11.(9分)已知二次函数y=2x2-4x-6. G (1)求证：该抛物线与x轴一定有两个交 (1)求此抛物线的解析式； 点； (2)已知P为抛物线y=-x2+bx+c上一点 (2)若该抛物线与x轴的两个交点分别为 (不与点B重合)，若点P关于x轴对称的 A、B,且它的顶点为P,求△ABP的面积. 点P'恰好在直线BC上，求点P的坐标 AO B 12.(10分)如图，直线y=-2x+8与x轴交于 点A,与y轴交于点B,抛物线y=x2+bx+c 经过点A和点B. (1)求抛物线的解析式； (2)结合图象直接写出不等式x2+bx+c> -2x+8的解集； (3)若点C(1,y1),D(m,y2)都在抛物线 追梦之旅真题·课本回头练·ZBR·九年级数学第6页