抓分练2 实际问题与一元二次方程-【追梦之旅·期末真题篇】2025-2026学年九年级数学全一册（人教版）河南专版

基础知识抓分练2 实际问题与一元二次方程 一、选择题（每小题3分，共12分） 4.热点情境·网购近年来，随着我国电子商 1.跨学科试题·语文嘉琪改编了苏轼诗词 务的快速发展，网购已成为常态化消费方 《念奴娇·赤壁怀古》：大江东去浪淘尽，千 式.某村快递站今年3月份完成寄件数为6 古风流人物.而立之年督东吴，早逝英才两 万件，4月份增长了1.5万件，5月份比4月 位数.十位恰小个位三，个位平方与寿符. 份增长了1.14万件，且3-5月寄件数据的 哪位学子算得快，多少年华属周瑜.假设周 月增长率相同，则月增长率为( 瑜去世时年龄的个位数字是x,则下列说法 A.10% B.15% 正确的是() C.20% D.22% A.列方程为x2=10(x+3)+x 二、填空题（每小题3分，共9分）》 B.列方程为x2-10x+30=0 5.[教材习题3变式]若直角三角形两条直角 C.列方程为x2=10(x-3)+x 边的边长之和为17，面积是30，则该直角三 D.周瑜去世时25岁 角形的斜边长为 2.文化情境·数学文化我国古代著作《四元玉 6.生活情境·旅游研学某旅行社的一则广告 鉴》中记载“买椽多少”问题，其大意为：现 如下： 请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210 我社组团去井冈山红色研学活动，收费标 文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一 准：如果人数不超过30，那么人均旅游费 株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽 用为800元；如果人数多于30，那么每增 的价钱.根据题意可列方程3x(x-1)= 加1人，人均旅游费用降低10元，但人均 6210,其中x表示() 旅游费用不得低于500元. A.剩余椽的数量 B.这批椽的数量 现该旅行社组织了一批学生去井冈山红色 C.剩余椽的运费 D.每株椽的价钱 研学活动，共计收到费用29250元，则这次 3.在数学实践课上，小梦要给一幅长30cm, 旅游可以安排 人参加 宽20cm的手抄报加一个边框，如图所示， 7.生活情境·产品销售（广东一模）香云纱作 上下左右边框的宽度相等，且整个图形面 为广东省佛山市特产，中国国家地理标志 积为704cm2,则小梦添加的边框的宽度是 产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染料 )cm. 染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金” -30cm 在某网店，香云纱连衣裙平均每月可以销 售120件，每件盈利200元，为了尽快减少 库存，决定降价促销，通过市场调研发现， 每件每降价20元，则每月可多售出30件， A.1cm B.2cm 如果每月要盈利2.88万元，则每件应降 C.1.5cm D.3cm 价 元 追梦之旅真题·课本回头练·ZBR·九年级数学第3页 三、解答题（共29分） 10.新考法·项目式学习(10分)根据以下素 8.(9分)某地区举办青少年科技创新大赛，其 材，探索完成任务 中机器人项目备受瞩目.某商家为此次大 智能化车间 赛供应比赛器材，赛事结束后，剩余30套器 随着数字技术、新能源、新材料 材待零售处理.为快速清空库存回笼资金， 等不断突破，我国制造业发展迎 商家决定实施降价策略.起初每套器材售 来重大机遇.某工厂一车间借助 价为120元，历经两次降价后，每套器材售 素材1 智能化，对某款车型的零部件进 行一体化加工，生产效率提升， 价降至97.2元，且两次降价的百分率一致， 该零件4月份生产100个，6月 求每次降价的百分率 份生产144个 该厂生产的零件成本为30 元/个，销售一段时间后发现，当 零件售价为40元/个时，月销售 素材2 量为600个，若在此基础上售价 每上涨1元，则月销售量将减少 10个. 问题解决 9.(10分)如图所示，在△ABC中，∠B=90°， 任务1 该车间4月份到6月份生产数 AB=5cm,BC=6cm,点P从点A开始沿AB 量的平均增长率； 边向终点B以1cm/s的速度移动.与此同 为使月销售利润达到10000 时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 任务2 元，而且尽可能让车企得到实 cm/s的速度移动.点P,Q同时出发，当点Q 惠，则该零件的实际售价应定为 多少元？ 移动到点C时，两点停止移动.设移动时间 为ts(t>0): (1)填空：BQ= cm,PB= cm(用含t的代数式表示)； (2)是否存在t的值，使得△PBQ的面积为 4cm2?若存在，请求出此时t的值：若不存 在，请说明理由。 追梦之旅真题·课本回头练·ZBR·九年级数学第4页10.3【解析】把x=0代入方程得-k-6=0,解得k=3或 基础知识抓分练3 k=-2,当k=-2时，方程为3x=0,不是一元二次方程 1.A【解析】对称轴为x=2,当x>2时，y随x的增大而增 舍去，则k的值是3. 大，当x<2时，y随x的增大而减小.x=-1离对称轴远， 11.解：(1)移项，得2x2-4x=3,配方，得2(x-1)2=5,(x .y1>y2.故选A. 户=子则-1=±所以=1+ 2,1 【方法点拨】比较二次函数值大小的方法 (1)代入比较法：将几个点的横坐标分别代入二次函数解 √10 析式，求出对应函数值，再比较函数值大小： (2)增减性比较法：当点在对称轴同侧，直接根据增减性 比较，当点不在对称轴同侧，利用二次函数图象对称性， (2)移项，得x2-3x-1=0,a=1,b=-3,c=-1,则△ 将点转化到对称轴同侧，再根据增减性比较： （-3)2-4x1x(-1)=13>0,所以=3±V ,所以x= (3)根据点到对称轴的距离比较大小： 2 (4)图象比较法. 3+√/133-13 2.B3.C 2 4.D【解析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律可得 (3)因式分解，得(x+3)(x+5)=0,则x+3=0或x+5=0, y=2x2-4平移后的函数表达式为y=2(x-2)2-3.故 所以x,=-3,x2=-5. 选D 12.解：(1)转化思想a2±2ab+b2=(a±b)2 5.A (2)三 6.B【解析】①根据图象，a<0,b>0,c>0,.abc<0,故①错 二次项系数化为1，得2-1= 2x移项，得23 误；②：观察图象知，当x=2时y>0,∴4a+2b+c>0,故② *=1. 错误；③由图象知，当x=-1时，y<0,∴.a-b+c<0,抛物 配方，得-子+公10变形得（瓷 4 线对称轴为直线x=1,心2a1b=-2a,3a+c<0,故 16 方，得x35 ③正确；④x=m对应的函数值为y=am2+bm+c,x=1对应 产4.角得七=2，x2三- 的函数值为y=a+b+c,又x=1时，函数取得最大值，a+ b+c>am2+bm+c,即a+b>am2+bm=m(am+b),故④正确. 13.解：(1)一元二次方程3x2+4x+1=0是“凤凰方程”，理 故选B. 由：因为一元二次方程3x2+4x+1=0满足3-4+1=0，所 7.y=-x+2x+1(答案不唯一)8.0<x<49.m>1 以一元二次方程3x2+4x+1=0是“凤凰方程”： 10.解：(1)①4 (2)若关于x的方程x2+mx-5=0是“凤凰方程”，则1 ②将表格数据描点连线绘制图象如下： m-5=0,解得m=-4. 14.(1)证明：把x=-1代入方程得a+c-2b+b-c=0,整理， 得a=b,.△ABC是等腰三角形； (2)解：△ABC为等边三角形，a=b=c.∴.方程(a+ c)x2+2bx+(b-c)=0可化为x2+x=0.解得x1=0,x2= 1 基础知识抓分练2 1.C2.B (2)①y≥0②当0≤x≤1或x≥3时，y随x的增大而 3.A【解析】设小梦添加的边框的宽度是xcm.根据题意 增大（答案不唯一） 得(30+2x)(20+2x)=704,解得x,=1,x2=-26(不符合题 (3)①0<k<4②4.1（答案不唯一） 意，舍去)，.小梦添加的边框的宽度是lcm.故选A. 11.(1)证明：令y=0,则2x2-4x-6=0,4=b2-4ac=(-4)2 4.C【解析】设该快递公司这两个月投递总件数的月平均 -4×2×(-6)=64>0,.该抛物线一定与x轴有两个 增长率为x,根据题意，得6(1+x)2=6+1.5+1.14,解得x 交点； =0.2=20%或x=-2.2(舍去).故选C. (2)解：当y=0时，2x2-4-6=0,解得x1=-1,x2=3,.A 5.13 (-1,0),B(3,0),:y=2(x-1)2-8,.顶点P的坐标为 6.45【解析】设这次旅游可以安排x人参加，且30×800 24000<29250,就有x>30,根据题意得，x[800-10(x (1,-8),.SAAP= 2×(3+1)x8=16. 30)]=29250,整理得x2-110x+2925=0,解得x1=45,x2 12.解：(1)把x=0代入y=-2x+8,解得y=8,.点B的坐 =65..800-10(x-30)≥500，.x≤60，∴.x=45. 标为(0,8).把y=0代入y=-2x+8,解得x=4,·点A坐 7.80 标为(4,0).将(0,8)，(4,0)代入y=x2+bx+c,得 8.解：设降价的百分率为x,由题意，得120(1-x)2=97.2, 8=c 解得x,=0.1=10%,x2=1.9(舍去).答：降价的百分率 0=16+46+,解得/b=二6 {C=8°抛物线解析式为y=x2-6x 为10%. +8 9.解：(1)2t(5-t) (2)x<0或x>4: (2)存在，此时t的值为1，理由如下：6：2=3(s),0<1 ≤3由题意得：)×2x(5-)=4,解得i=1,4=4(不符 3-6+8对称轴x=23,点C1,)关 于对称轴的对称点C坐标为(5，y1).:抛物线开口向 合题意，舍去)，，存在t的值，使得△PBQ的面积等于 上，.当y2>y时，m<1或m>5. 4cm2,此时t的值为1. 13.解：(1)抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A(-1,0),B(2, 10.解：任务1：设该车间4月份到6月份生产数量的平均增 0)两点，∴.将A(-1,0),B(2,0)代入y=-x2+bx+c,得 长率为x,根据题意，得100(1+x)2=144,解得x1=0.2= 20%,x2=-2.2(不符合题意，舍去).答：该车间4月份 -4+26+c=0,解得6= -1-b+c=0 {=2抛物线的解析式为y=-2+ x+2; 到6月份生产数量的平均增长率为20%： (2)设直线BC的解析式为y=x+m(≠0)，由(1)中y 任务2：设该零件的实际售价应定为y元，根据题意，得 =-x2+x+2得，点C的坐标为(0,2)，将B(2,0),C(0, (y-30)[600-10(y-40)]=10000,整理得y2-130y+ 4000=0,解得y1=50,y2=80,又：要尽可能让车企得 2)代人y=征+m,得2-0，解得微2直线BC 到实惠，y=50.答：该零件的实际售价应定为50元. 的解析式为y=-x+2.设点P'的坐标为(a,-a+2),:点 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBR·九年级数学第2页