抓分练1 一元二次方程的认识及其解法-【追梦之旅·期末真题篇】2025-2026学年九年级数学全一册（人教版）河南专版

答案详解详析·易错剖析 ∽的 ∫《课本知识集锦》答案9 . 2m-1=2,解得m=6,A(6,2),:A(6,2)在反比例 第二十一章一元二次方程 函数y2= 文(k≠0)的图象上，k=12,反比例函数的 1.A2.B 3.解：(1)设该公司销售A产品每次的增长率为x,依题意， 解析式为-吕 得20(1+x)2=45,解得x,=0.5=50%,x2=-2.5(不合题 意，舍去).故该公司销售A产品每次的增长率为50%： (2)x<-4或0<x<6; (2)设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出(30 (3)直线AB的解析式为y,= 2x-1心当x=0时，y= 、2 05×20)套，衣题意，得(2-y)(30+05×20)=70.整理， -1,.C(0,-1),A(6,2),.AC=35.当AC=PC时，设 P(0,y),则ly+11=35,解得y=35-1或y=-3√5-1， 得4y-5y+1=0,解得y=42=1.:要尽量减少库存， ∴.P,(0,35-1),P2(0,-35-1);当AC=AP时，过点A .y=1.故每套A产品需降价1万元. 作AD⊥y轴于点D,则CD=3,∴.PD=CD=3,.P(0,5), 第二十二章二次函数 即P(0,5),综上所述，点P的坐标为P(0,35-1),P2 1.A2.D3.1.5 (0,-35-1),P(0,5). 第二十三章旋转 第二十七章相似 1.C 1.D 2.D【解析】设∠A'CA=x,'∠A'CB=45°，.∠ACB=45° 2.C【解析】：△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心， +x,.BB'∥AC,∴.∠CBB'=∠ACB=45°+x,由旋转的性质 得：∠B'CB=∠A'CA=x,BC=B'C,∴.∠CBB'=∠CB'B 而A(2,0),D(5,0),.△ABC与△DEF的位似比为2」 5 45°+x,在△BCB'中，∠CBB'+∠CB'B+∠B'CB=180°， 45°+x+45°+x+x=180°，解得x=30°，即∠A'CA=30°.故 B(4,3),E点的坐标是为(10,7.5).故选C. 选D. 3i2或2取号 【解析】设AE的长为x,则BE的长为(14- 3.(-1,4)【解析小：点(a,-3)关于原点对称的点的坐标 是(1，b-1),∴a=-1,b-1=3,解得a=-1,b=4,∴.点(a, x).由题意知∠A=∠B=90°，①当△AME∽△BEN时， b)是(-1,4). BEBN14-x6,解得=12，名=2：②当△AME AM AE 4 x 4.5【解析】：△ABC是等边三角形，.AB=AC=4,∠B =∠BAC=60°，由旋转的性质可知，AD=AE,∠DAE= 60°，∴.∠BAD=∠BAC-∠CAD=60°-∠CAD=∠DAE △BNE时， 兴品名品解释：管上所 ∠CAD=∠CAE.·.△ABD≌△ACE(SAS),·.∠ACE=∠B =60°，即点E在以，点C为顶，点，且与AC夹角为60°的直 迷，4的长为12或2或28] 线上运动，过，点F作FG⊥CE于点G,当点E在，点G处 4.解：过点E作EM⊥CD,垂足为M,延长EM交AB于点 时，EF取得最小值，即为FG的长，：点F是AC边的中 N,.CD∥AB,.∴.EN⊥AB,由题意得：CD=20厘米，EM= 点，.CF=2,在Rt△CGF中，∠ACE=60°，.∠CFG= 40厘米，EN=100米，·CD∥AB,∴.∠EDC=∠EBA, 30°，∴.CG=1,∴.FG=√3，即EF的最小值是3. EM CD 0.4 【技巧点拨】根据等边三角形和旋转的性质，证△ABD≌ ∠ECD=∠EAB,.△ECD△EAB,ENAB1OO △ACE(SAS),得到∠ACE=∠B=60°，即点E在以点C为 0.2 顶点，且与AC夹角为60°的直线上运动，过点F作FGI ,解得AB=50,答：建筑的高度AB为50米. AB CE于点G,当点E在点G处时，EF取得最小值，即为FG 的长，然后结合勾股定理求解即可. 《课本回头练》答案S 第二十四章圆 nn∽t∽∽心n 1.A2.43.1.3 基础知识抓分练1 4 3 T- 3 2 【解析】.∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴.∠BOC 1.D 2.A【解析】方程2x2-3x-1=0中，一次项系数为-3，常数 =60°..·在扇形A0B中，0A=OB=2,.∴.OB=0C=2, 项为-1，∴.-3+（-1)=-4.故选A. △BOC是等边三角形..CD⊥OA,∴.∠ODC=90°.. 3.D ∠A0C=30°，OD=W3,CD=1,∴Sm=S商形Boc-SAORC+ 【知识回顾】一般地，任何一个关于x的一元二次方程经 60·T×221 SACOD 36032x3+×x1=2n3 3 过整理，都能化成如下形式ax2+br+c=0(a≠0).这种形 2 式叫一元二次方程的一般形式.一次项系数b和常数项c 第二十五章概率初步 可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因 1.C【解析】共有12种等可能结果，其中恰好抽到《多宝 为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以此方程就不 塔碑》和《玄秘塔碑》有2种结果，P=2 26抽取 是一元二次方程了 4.C【解析】x=a是方程2x2-x-6=0的一个解，.2a2 的两本字帖恰好是《玄秘塔碑》和《多宝塔碑》的概为 a-6=0,.2a2-a=6,∴.4a2-2a=2(2a2-a)=2×6=12.故 6故选C 选C. 5.D【变式】A 2.140 6.C【解析】设常数项为c,根据题意得4=(-6)2-4c≥0， 第二十六章反比例函数 解得c≤9，所以c的最大值为9.故选C. 1.D2.C 7.x2+x-6=0(答案不唯一)8.2 2025 3解：(1)：点A(m,2)在一次函数=2-1的图象上， 9. 1012 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBR·九年级数学第1页 10.3【解析】把x=0代入方程得-k-6=0,解得k=3或 基础知识抓分练3 k=-2,当k=-2时，方程为3x=0,不是一元二次方程 1.A【解析】对称轴为x=2,当x>2时，y随x的增大而增 舍去，则k的值是3. 大，当x<2时，y随x的增大而减小.x=-1离对称轴远， 11.解：(1)移项，得2x2-4x=3,配方，得2(x-1)2=5,(x .y1>y2.故选A. 户=子则-1=±所以=1+ 2,1 【方法点拨】比较二次函数值大小的方法 (1)代入比较法：将几个点的横坐标分别代入二次函数解 √10 析式，求出对应函数值，再比较函数值大小： (2)增减性比较法：当点在对称轴同侧，直接根据增减性 比较，当点不在对称轴同侧，利用二次函数图象对称性， (2)移项，得x2-3x-1=0,a=1,b=-3,c=-1,则△ 将点转化到对称轴同侧，再根据增减性比较： （-3)2-4x1x(-1)=13>0,所以=3±V ,所以x= (3)根据点到对称轴的距离比较大小： 2 (4)图象比较法. 3+√/133-13 2.B3.C 2 4.D【解析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律可得 (3)因式分解，得(x+3)(x+5)=0,则x+3=0或x+5=0, y=2x2-4平移后的函数表达式为y=2(x-2)2-3.故 所以x,=-3,x2=-5. 选D 12.解：(1)转化思想a2±2ab+b2=(a±b)2 5.A (2)三 6.B【解析】①根据图象，a<0,b>0,c>0,.abc<0,故①错 二次项系数化为1，得2-1= 2x移项，得23 误；②：观察图象知，当x=2时y>0,∴4a+2b+c>0,故② *=1. 错误；③由图象知，当x=-1时，y<0,∴.a-b+c<0,抛物 配方，得-子+公10变形得（瓷 4 线对称轴为直线x=1,心2a1b=-2a,3a+c<0,故 16 方，得x35 ③正确；④x=m对应的函数值为y=am2+bm+c,x=1对应 产4.角得七=2，x2三- 的函数值为y=a+b+c,又x=1时，函数取得最大值，a+ b+c>am2+bm+c,即a+b>am2+bm=m(am+b),故④正确. 13.解：(1)一元二次方程3x2+4x+1=0是“凤凰方程”，理 故选B. 由：因为一元二次方程3x2+4x+1=0满足3-4+1=0，所 7.y=-x+2x+1(答案不唯一)8.0<x<49.m>1 以一元二次方程3x2+4x+1=0是“凤凰方程”： 10.解：(1)①4 (2)若关于x的方程x2+mx-5=0是“凤凰方程”，则1 ②将表格数据描点连线绘制图象如下： m-5=0,解得m=-4. 14.(1)证明：把x=-1代入方程得a+c-2b+b-c=0,整理， 得a=b,.△ABC是等腰三角形； (2)解：△ABC为等边三角形，a=b=c.∴.方程(a+ c)x2+2bx+(b-c)=0可化为x2+x=0.解得x1=0,x2= 1 基础知识抓分练2 1.C2.B (2)①y≥0②当0≤x≤1或x≥3时，y随x的增大而 3.A【解析】设小梦添加的边框的宽度是xcm.根据题意 增大（答案不唯一） 得(30+2x)(20+2x)=704,解得x,=1,x2=-26(不符合题 (3)①0<k<4②4.1（答案不唯一） 意，舍去)，.小梦添加的边框的宽度是lcm.故选A. 11.(1)证明：令y=0,则2x2-4x-6=0,4=b2-4ac=(-4)2 4.C【解析】设该快递公司这两个月投递总件数的月平均 -4×2×(-6)=64>0,.该抛物线一定与x轴有两个 增长率为x,根据题意，得6(1+x)2=6+1.5+1.14,解得x 交点； =0.2=20%或x=-2.2(舍去).故选C. (2)解：当y=0时，2x2-4-6=0,解得x1=-1,x2=3,.A 5.13 (-1,0),B(3,0),:y=2(x-1)2-8,.顶点P的坐标为 6.45【解析】设这次旅游可以安排x人参加，且30×800 24000<29250,就有x>30,根据题意得，x[800-10(x (1,-8),.SAAP= 2×(3+1)x8=16. 30)]=29250,整理得x2-110x+2925=0,解得x1=45,x2 12.解：(1)把x=0代入y=-2x+8,解得y=8,.点B的坐 =65..800-10(x-30)≥500，.x≤60，∴.x=45. 标为(0,8).把y=0代入y=-2x+8,解得x=4,·点A坐 7.80 标为(4,0).将(0,8)，(4,0)代入y=x2+bx+c,得 8.解：设降价的百分率为x,由题意，得120(1-x)2=97.2, 8=c 解得x,=0.1=10%,x2=1.9(舍去).答：降价的百分率 0=16+46+,解得/b=二6 {C=8°抛物线解析式为y=x2-6x 为10%. +8 9.解：(1)2t(5-t) (2)x<0或x>4: (2)存在，此时t的值为1，理由如下：6：2=3(s),0<1 ≤3由题意得：)×2x(5-)=4,解得i=1,4=4(不符 3-6+8对称轴x=23,点C1,)关 于对称轴的对称点C坐标为(5，y1).:抛物线开口向 合题意，舍去)，，存在t的值，使得△PBQ的面积等于 上，.当y2>y时，m<1或m>5. 4cm2,此时t的值为1. 13.解：(1)抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A(-1,0),B(2, 10.解：任务1：设该车间4月份到6月份生产数量的平均增 0)两点，∴.将A(-1,0),B(2,0)代入y=-x2+bx+c,得 长率为x,根据题意，得100(1+x)2=144,解得x1=0.2= 20%,x2=-2.2(不符合题意，舍去).答：该车间4月份 -4+26+c=0,解得6= -1-b+c=0 {=2抛物线的解析式为y=-2+ x+2; 到6月份生产数量的平均增长率为20%： (2)设直线BC的解析式为y=x+m(≠0)，由(1)中y 任务2：设该零件的实际售价应定为y元，根据题意，得 =-x2+x+2得，点C的坐标为(0,2)，将B(2,0),C(0, (y-30)[600-10(y-40)]=10000,整理得y2-130y+ 4000=0,解得y1=50,y2=80,又：要尽可能让车企得 2)代人y=征+m,得2-0，解得微2直线BC 到实惠，y=50.答：该零件的实际售价应定为50元. 的解析式为y=-x+2.设点P'的坐标为(a,-a+2),:点 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBR·九年级数学第2页基础知识抓分练1一元二次方程的认识及其解法 一、选择题（每小题3分，共21分） 二、填空题（每小题3分，共12分） 1.下列方程中是一元二次方程的是( 7.开放性试题构造一个一元二次方程，要求： A.x2-4y+1=0 B.22+5x=3 ①常数项是-6：②有一个根为2.这个一元 二次方程可以是 C.3x2-2x=x3-6 D.2x(x+1)=4x 8.关于x的一元二次方程x2=a的两个根分 2.方程2x2-3x-1=0中的一次项系数与常数 别是2m-1与m-5,则m= 项的和是() 9.已知x1,x2为一元二次方程x2-√2x-2024=0 A.-4 B.-2 C.1 D.3 的两个实数根，则的值为 3.将一元二次方程3x2-x=2化成一般形式是 10.易错题若关于x的一元二次方程(k+ () 2)x2+3x+k2-k-6=0必有一根为0，则k的 A.3x2-x+2=0 B.3x2+x-2=0 值是 C.-3x2-x+2=0 D.3x2-x-2=0 三、解答题（共37分）》 4.数学思想·整体思想若x=a是方程2x2-x 11.（9分)按要求解方程： 6=0的一个解，则代数式4a2-2a的值 (1)2x2-4x-3=0(用配方法)； 为( A.8 B.10 C.12 D.15 5.一元二次方程2x2-kx-1=0的根的情况 是() A.无实数根 (2)-3x=1-x2(用公式法)； B.只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 【变式】若关于x的方程x2+2x-k=0没有实 数根，则k的值可以是() (3)x2+8x+15=0(用因式分解法). A.-2 B.-1 C.0 D.1 6.亮亮在解一元二次方程x2-6x+☐=0时，不 小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次 方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值 是( A.7 B.8 C.9 D.10 追梦之旅真题·课本回头练·ZBR·九年级数学第1页 12.新趋势·过程纠错(9分)（许昌期末）下 13.(9分)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a 面是小明同学解一元二次方程2x2-2=3x ≠0)满足a-b+c=0,那么我们称这个方程 的过程，请认真阅读并完成相应的任务. 为“凤凰方程” 2x2-2=3x. (1)判断一元二次方程3x2+4x+1=0是否 解：二次项系数化为1，得-1= 为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于x的方程x2+mx-5=0是“凤凰 …第一步 方程”，求m的值 移项，得23 =1,…第二步 配方，得39 2+41,…第三步 变形.得（产21， 第四步 开方，得x-号=±1，…第五步 15 14.（10分)已知关于x的一元二次方程(a+ 解得x2, -2 第六步 c)x2+2bx+(b-c)=0,其中，a,b,c分别是 (1)上面小明同学的解法中运用“配方法” △ABC的三边长 将一元二次方程“降次”为两个一元一次 (1)如果x=-1是方程的根，求证：△ABC 方程，体现的数学思想是 是等腰三角形； 其中“配方法”依据的一个数学公式 (2)如果△ABC是等边三角形，解该一元 是 二次方程。 (2)上述解题过程，从第 步开始 出现错误，请写出正确的解答过程 追梦之旅真题·课本回头练·ZBR·九年级数学第2页