第27章 相似-【追梦之旅·期末真题篇】2025-2026学年九年级数学全一册（人教版）河南专版

第二十七章 相似 ○)考点1相似图形 1.成比例线段：对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线 段的比相等，如名一（即d=加），我们就说这四条线段成比例 2.相似多边形 (1)定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形 叫做相似多边形 (2)性质：对应角相等，对应边成比例 【易错提醒】(1)判断四条线段是否成比例，要注意单位必须统一：(2)判断相似多边形，要 满足：①对应角相等：②对应边成比例 心)考点2)相似三角形的判定与性质 1.平行线分线段成比例 （1)基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. (2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 若，时，则DE4C-D5g-DE BC-EE等 BC EF'BC EF'AC DF'AB DE 2.相似三角形的判定定理 （1)两角分别相等的两个三角形相似： (2)三边成比例的两个三角形相似： (3)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； (4)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，构成的三角形与原三角形相似. 3.相似三角形的性质 (1)对应角相等，对应边成比例： (2)相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比； (3)周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方， ()考点3) 位似 1.位似图形的性质 (1)因为位似图形是特殊的相似图形，所以它具有相似图形的一切性质； (2)位似图形的对应点连线相交于一点，即经过位似中心； (3)位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上； (4)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBR·九年级数学第11页 2.画位似图形的一般步骤：(1)确定位似中心；(2)确定原图形的关键点（通常是多边形的顶 点)和已确定的位似中心，连接并延长（或截取）；(3)根据已知的相似比，确定所画新图形中 关键点的位置；(4)顺次连接各关键点，即可得到所求作的图形 3.位似图形对应点坐标的变化规律 般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使 它与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为 (kx,y)或(-x,-y). 叠针对练习 1.跨学科试题·音乐如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线 上的三个点4，B,C都在横线上，若线段AG=5,则线段AB的长是 5 3 A. B.2 C. D.5 D OA D 第1题图 第2题图 第3题图 2.(沈阳期末)如图，在平面直角坐标系中，已知A(2,0),B(4,3),D(5,0),△ABC与△DEF 位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是() A.(10,7) B.(8,7) C.(10,7.5) D.(8,6) 3.数学思想·分类讨论如图，正方形ABCD的边长为14，M,N分别为AD,BC上的点，AM=4, BN=6,在边AB上取一点E,使得△AME与△BNE相似，则AE的长为 4.生活情境·测量高度]小军想利用所学知识测量一建筑物的高度，如图，他拿着一根长为 20cm的木棒CD站在离建筑物100m的地方（即，点E到AB的水平距离为100m).他把 手臂向前伸，木棒竖直，CD∥AB,当木棒两端恰好遮住奥体中心（即E,C,A在一条直线 上，E、D、B在一条直线上)时，点E到木棒CD的距离为40cm.已知AB⊥BF,EF⊥BF,求 建筑物的高度AB. 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBR·九年级数学第12页答案详解详析·易错剖析 ∽的 ∫《课本知识集锦》答案9 . 2m-1=2,解得m=6,A(6,2),:A(6,2)在反比例 第二十一章一元二次方程 函数y2= 文(k≠0)的图象上，k=12,反比例函数的 1.A2.B 3.解：(1)设该公司销售A产品每次的增长率为x,依题意， 解析式为-吕 得20(1+x)2=45,解得x,=0.5=50%,x2=-2.5(不合题 意，舍去).故该公司销售A产品每次的增长率为50%： (2)x<-4或0<x<6; (2)设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出(30 (3)直线AB的解析式为y,= 2x-1心当x=0时，y= 、2 05×20)套，衣题意，得(2-y)(30+05×20)=70.整理， -1,.C(0,-1),A(6,2),.AC=35.当AC=PC时，设 P(0,y),则ly+11=35,解得y=35-1或y=-3√5-1， 得4y-5y+1=0,解得y=42=1.:要尽量减少库存， ∴.P,(0,35-1),P2(0,-35-1);当AC=AP时，过点A .y=1.故每套A产品需降价1万元. 作AD⊥y轴于点D,则CD=3,∴.PD=CD=3,.P(0,5), 第二十二章二次函数 即P(0,5),综上所述，点P的坐标为P(0,35-1),P2 1.A2.D3.1.5 (0,-35-1),P(0,5). 第二十三章旋转 第二十七章相似 1.C 1.D 2.D【解析】设∠A'CA=x,'∠A'CB=45°，.∠ACB=45° 2.C【解析】：△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心， +x,.BB'∥AC,∴.∠CBB'=∠ACB=45°+x,由旋转的性质 得：∠B'CB=∠A'CA=x,BC=B'C,∴.∠CBB'=∠CB'B 而A(2,0),D(5,0),.△ABC与△DEF的位似比为2」 5 45°+x,在△BCB'中，∠CBB'+∠CB'B+∠B'CB=180°， 45°+x+45°+x+x=180°，解得x=30°，即∠A'CA=30°.故 B(4,3),E点的坐标是为(10,7.5).故选C. 选D. 3i2或2取号 【解析】设AE的长为x,则BE的长为(14- 3.(-1,4)【解析小：点(a,-3)关于原点对称的点的坐标 是(1，b-1),∴a=-1,b-1=3,解得a=-1,b=4,∴.点(a, x).由题意知∠A=∠B=90°，①当△AME∽△BEN时， b)是(-1,4). BEBN14-x6,解得=12，名=2：②当△AME AM AE 4 x 4.5【解析】：△ABC是等边三角形，.AB=AC=4,∠B =∠BAC=60°，由旋转的性质可知，AD=AE,∠DAE= 60°，∴.∠BAD=∠BAC-∠CAD=60°-∠CAD=∠DAE △BNE时， 兴品名品解释：管上所 ∠CAD=∠CAE.·.△ABD≌△ACE(SAS),·.∠ACE=∠B =60°，即点E在以，点C为顶，点，且与AC夹角为60°的直 迷，4的长为12或2或28] 线上运动，过，点F作FG⊥CE于点G,当点E在，点G处 4.解：过点E作EM⊥CD,垂足为M,延长EM交AB于点 时，EF取得最小值，即为FG的长，：点F是AC边的中 N,.CD∥AB,.∴.EN⊥AB,由题意得：CD=20厘米，EM= 点，.CF=2,在Rt△CGF中，∠ACE=60°，.∠CFG= 40厘米，EN=100米，·CD∥AB,∴.∠EDC=∠EBA, 30°，∴.CG=1,∴.FG=√3，即EF的最小值是3. EM CD 0.4 【技巧点拨】根据等边三角形和旋转的性质，证△ABD≌ ∠ECD=∠EAB,.△ECD△EAB,ENAB1OO △ACE(SAS),得到∠ACE=∠B=60°，即点E在以点C为 0.2 顶点，且与AC夹角为60°的直线上运动，过点F作FGI ,解得AB=50,答：建筑的高度AB为50米. AB CE于点G,当点E在点G处时，EF取得最小值，即为FG 的长，然后结合勾股定理求解即可. 《课本回头练》答案S 第二十四章圆 nn∽t∽∽心n 1.A2.43.1.3 基础知识抓分练1 4 3 T- 3 2 【解析】.∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴.∠BOC 1.D 2.A【解析】方程2x2-3x-1=0中，一次项系数为-3，常数 =60°..·在扇形A0B中，0A=OB=2,.∴.OB=0C=2, 项为-1，∴.-3+（-1)=-4.故选A. △BOC是等边三角形..CD⊥OA,∴.∠ODC=90°.. 3.D ∠A0C=30°，OD=W3,CD=1,∴Sm=S商形Boc-SAORC+ 【知识回顾】一般地，任何一个关于x的一元二次方程经 60·T×221 SACOD 36032x3+×x1=2n3 3 过整理，都能化成如下形式ax2+br+c=0(a≠0).这种形 2 式叫一元二次方程的一般形式.一次项系数b和常数项c 第二十五章概率初步 可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因 1.C【解析】共有12种等可能结果，其中恰好抽到《多宝 为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以此方程就不 塔碑》和《玄秘塔碑》有2种结果，P=2 26抽取 是一元二次方程了 4.C【解析】x=a是方程2x2-x-6=0的一个解，.2a2 的两本字帖恰好是《玄秘塔碑》和《多宝塔碑》的概为 a-6=0,.2a2-a=6,∴.4a2-2a=2(2a2-a)=2×6=12.故 6故选C 选C. 5.D【变式】A 2.140 6.C【解析】设常数项为c,根据题意得4=(-6)2-4c≥0， 第二十六章反比例函数 解得c≤9，所以c的最大值为9.故选C. 1.D2.C 7.x2+x-6=0(答案不唯一)8.2 2025 3解：(1)：点A(m,2)在一次函数=2-1的图象上， 9. 1012 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBR·九年级数学第1页