第25章 概率初步&第26章 反比例函数-【追梦之旅·期末真题篇】2025-2026学年九年级数学全一册（人教版）河南专版

第二十五章 概率初步 心)考点1) 随机事件与概率 1.事件的类型：事件可以分为必然事件、不可能事件和随机事件；必然事件与不可能事件统称确 定性事件 2.概率：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=m 【拓展】概率大，并不代表事件一定发生，只是发生的可能性大；概率小，也不代表事件不 发生，只是发生的可能性小 3.同一事件，发生的概率和不发生的概率之和为1· ⊙)考点2 用列举法求概率 方法 列表法 画树状图法 当一次试验涉及两个因素，且可 适用条件 当一次试验涉及两个或更多的因素 能出现的等可能结果数目较多 ①适用的前提都是各种情况出现的可能性是相等的 联系 ②某事件A发生的概率公式为P(A)= 某事件包含的结果数 所有可能出现的结果数 心)考点3)用频率估计概率 当试验次数很大时，事件A发生的频率具有一定的稳定性，其数值将会在某个 确定的数值附近摆动，并且试验次数越多，事件A发生的频率越接近这个数值，这个 确定的数值就是事件A发生的概率. 叠针对练习 1.文化情境·传统文化小梦是一个书法爱好者，她对楷书四大家的书法都情有独钟.如图， 若小梦从这四本楷书名家的字帖中随机取两本（先随机抽取1本，不放回，再随机抽取1 本)，则抽取的两本字帖恰好是《玄秘塔碑》和《多宝塔碑》的概率是( 1 2 1 1 B. C. D. 3 6 8 寺大 第1题图 第2题图 2.如图，为测量一个“福”字的面积，某同学将该“福”字贴在一个边长为20cm的正方形内. 现将米随机撒到贴有“福”字的正方形内，经过大量重复试验，发现米粒落在“福”字区域 的频率稳定在常数0.35附近，由此可估计这个“福”字的面积是 cm2 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBR·九年级数学第8页 第二十六章 反比例函数 )考点1) 反比例函数的图象与性质 1.反比例函数的图象和性质 反比例函数 y=(k≠0) k的符号 k>0 k<0 图象 图象位置 位于第一、第三象限 位于第二、第四象限 增减性 在每一个象限内，y随x的增大而减小 在每一个象限内，y随x的增大而增大 【注意】(1)在描述反比例函数的增减性时，必须指明是“在哪一个象限内”； (2)反比例函数的图象的位置和函数的增减性由k的符号决定：反之，由双曲线的位置或 函数的增减性可确定k的符号 2.反比例函数y=二（k≠0)中k的几何意义 k值与矩形面积的关系 k值与三角形面积的关系 以k>0为例：如图，过双曲线上任意 文字 以<0为例：如图，过双曲线上任意 语言 一点P(x,y)作PM⊥x轴于点M, 一点P(x,y)作PM⊥x轴于点M, PN⊥y轴于点N 连接PO 图示 k的几 1%l 何意义 S矩形OMPN=|k| SAPOM= 2 【注意】因为)y=(化≠0)中k有正、负之分，所以上迷两个面积结论中的11不能写成左 ⊙)考点2) 实际问题与反比例函数 类型 关系 公式 路程问题 当路程s一定时，时间t与速度v成反比例 1=(5是常数) 面 矩形 积 当矩形面积S一定时，长a与宽b成反比例 (S是常数) a=- 问 当三角形面积S一定时，三角形的一边a与该边上的高h成 2S 题 三角形 反比例 a=h S是常数) 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBR·九年级数学第9页 物 做功型 当功W一定时，力F与物体在力F的方向上移动的距离s成 反比例 F=”(w是常数) 理 应 F 用 压强型 当压力F一定时，压强p与受力面积S成反比例 PS(F是常数) 问 题 电流型 在电路中，当电压U一定时，电流I与电阻R成反比例 1=0（U是常数) R 誉针对练习 1.一次函数y=:-2和反比例函数y=在同一平面直角系中的图象可能是( 入，， 12 2.如图，点A在反比例函数y,=二(x>0)的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂 4 足为B,交反比例函数y2=一(x>0)的图象于点C,P为y轴上一点，连接 PA,PC,则△APC的面积为( A.8 B.6 C.4 D.2 3数学思想·分类思想如图，一次函数之-1的图象与反比例西数为女(k≠0)的图象 1 相交于点A(m,2),点B,与y轴交于点C (1)求反比例函数的解析式； (2)清结合图象直接写出不等式了1<卓的解集： (3)点P是y轴一个动点，且△ACP是AC为腰的等腰三角形，求点P的坐标 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBR·九年级数学第10页答案详解详析·易错剖析 ∽的 ∫《课本知识集锦》答案9 . 2m-1=2,解得m=6,A(6,2),:A(6,2)在反比例 第二十一章一元二次方程 函数y2= 文(k≠0)的图象上，k=12,反比例函数的 1.A2.B 3.解：(1)设该公司销售A产品每次的增长率为x,依题意， 解析式为-吕 得20(1+x)2=45,解得x,=0.5=50%,x2=-2.5(不合题 意，舍去).故该公司销售A产品每次的增长率为50%： (2)x<-4或0<x<6; (2)设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出(30 (3)直线AB的解析式为y,= 2x-1心当x=0时，y= 、2 05×20)套，衣题意，得(2-y)(30+05×20)=70.整理， -1,.C(0,-1),A(6,2),.AC=35.当AC=PC时，设 P(0,y),则ly+11=35,解得y=35-1或y=-3√5-1， 得4y-5y+1=0,解得y=42=1.:要尽量减少库存， ∴.P,(0,35-1),P2(0,-35-1);当AC=AP时，过点A .y=1.故每套A产品需降价1万元. 作AD⊥y轴于点D,则CD=3,∴.PD=CD=3,.P(0,5), 第二十二章二次函数 即P(0,5),综上所述，点P的坐标为P(0,35-1),P2 1.A2.D3.1.5 (0,-35-1),P(0,5). 第二十三章旋转 第二十七章相似 1.C 1.D 2.D【解析】设∠A'CA=x,'∠A'CB=45°，.∠ACB=45° 2.C【解析】：△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心， +x,.BB'∥AC,∴.∠CBB'=∠ACB=45°+x,由旋转的性质 得：∠B'CB=∠A'CA=x,BC=B'C,∴.∠CBB'=∠CB'B 而A(2,0),D(5,0),.△ABC与△DEF的位似比为2」 5 45°+x,在△BCB'中，∠CBB'+∠CB'B+∠B'CB=180°， 45°+x+45°+x+x=180°，解得x=30°，即∠A'CA=30°.故 B(4,3),E点的坐标是为(10,7.5).故选C. 选D. 3i2或2取号 【解析】设AE的长为x,则BE的长为(14- 3.(-1,4)【解析小：点(a,-3)关于原点对称的点的坐标 是(1，b-1),∴a=-1,b-1=3,解得a=-1,b=4,∴.点(a, x).由题意知∠A=∠B=90°，①当△AME∽△BEN时， b)是(-1,4). BEBN14-x6,解得=12，名=2：②当△AME AM AE 4 x 4.5【解析】：△ABC是等边三角形，.AB=AC=4,∠B =∠BAC=60°，由旋转的性质可知，AD=AE,∠DAE= 60°，∴.∠BAD=∠BAC-∠CAD=60°-∠CAD=∠DAE △BNE时， 兴品名品解释：管上所 ∠CAD=∠CAE.·.△ABD≌△ACE(SAS),·.∠ACE=∠B =60°，即点E在以，点C为顶，点，且与AC夹角为60°的直 迷，4的长为12或2或28] 线上运动，过，点F作FG⊥CE于点G,当点E在，点G处 4.解：过点E作EM⊥CD,垂足为M,延长EM交AB于点 时，EF取得最小值，即为FG的长，：点F是AC边的中 N,.CD∥AB,.∴.EN⊥AB,由题意得：CD=20厘米，EM= 点，.CF=2,在Rt△CGF中，∠ACE=60°，.∠CFG= 40厘米，EN=100米，·CD∥AB,∴.∠EDC=∠EBA, 30°，∴.CG=1,∴.FG=√3，即EF的最小值是3. EM CD 0.4 【技巧点拨】根据等边三角形和旋转的性质，证△ABD≌ ∠ECD=∠EAB,.△ECD△EAB,ENAB1OO △ACE(SAS),得到∠ACE=∠B=60°，即点E在以点C为 0.2 顶点，且与AC夹角为60°的直线上运动，过点F作FGI ,解得AB=50,答：建筑的高度AB为50米. AB CE于点G,当点E在点G处时，EF取得最小值，即为FG 的长，然后结合勾股定理求解即可. 《课本回头练》答案S 第二十四章圆 nn∽t∽∽心n 1.A2.43.1.3 基础知识抓分练1 4 3 T- 3 2 【解析】.∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴.∠BOC 1.D 2.A【解析】方程2x2-3x-1=0中，一次项系数为-3，常数 =60°..·在扇形A0B中，0A=OB=2,.∴.OB=0C=2, 项为-1，∴.-3+（-1)=-4.故选A. △BOC是等边三角形..CD⊥OA,∴.∠ODC=90°.. 3.D ∠A0C=30°，OD=W3,CD=1,∴Sm=S商形Boc-SAORC+ 【知识回顾】一般地，任何一个关于x的一元二次方程经 60·T×221 SACOD 36032x3+×x1=2n3 3 过整理，都能化成如下形式ax2+br+c=0(a≠0).这种形 2 式叫一元二次方程的一般形式.一次项系数b和常数项c 第二十五章概率初步 可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因 1.C【解析】共有12种等可能结果，其中恰好抽到《多宝 为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以此方程就不 塔碑》和《玄秘塔碑》有2种结果，P=2 26抽取 是一元二次方程了 4.C【解析】x=a是方程2x2-x-6=0的一个解，.2a2 的两本字帖恰好是《玄秘塔碑》和《多宝塔碑》的概为 a-6=0,.2a2-a=6,∴.4a2-2a=2(2a2-a)=2×6=12.故 6故选C 选C. 5.D【变式】A 2.140 6.C【解析】设常数项为c,根据题意得4=(-6)2-4c≥0， 第二十六章反比例函数 解得c≤9，所以c的最大值为9.故选C. 1.D2.C 7.x2+x-6=0(答案不唯一)8.2 2025 3解：(1)：点A(m,2)在一次函数=2-1的图象上， 9. 1012 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBR·九年级数学第1页