第23章 旋转&第24章 圆-【追梦之旅·期末真题篇】2025-2026学年九年级数学全一册（人教版）河南专版

第二十三章旋转 ⊙)考点1 图形的旋转 1.旋转三要素：旋转中心、旋转角和旋转方向. 【注意】旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交，点。 2.旋转的性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等； (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角： (3)旋转前、后的图形全等 )考点2) 中心对称 1.中心对称的性质 (1)中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分； (2)中心对称的两个图形是全等图形 2.中心对称图形的性质 (1)中心对称图形上对称点的连线必经过对称中心，且被对称中心平分； (2)过对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分 3.关于原点对称的点的坐标 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点的对称点为 P'(-x,-y) 叠针对练习 1.文化情境·传统文化中国传统文化博大精深.下面四个图形中既是轴对称图形又是中心 对称图形的是( 2.如图，把△ABC绕着点C顺时针旋转，使点B落在点B'的位置，点A的对应点是点A',连 接BB',若BB'∥AC,∠A'CB=45°，则∠ACA'的度数是() A.22.5° B.25° C.28° D.30° 3.平面直角坐标系中，点(a,-3)关于原点对称的点的坐标是(1，b-1),则点(a,b) 是 4.如图，在等边△ABC中，AB=4,点D是BC边上一动点，连接AD,将AD 绕点A逆时针旋转60得到AE,点F是AC边的中点，连接CE,EF,则EF 3 的最小值是 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBR·九年级数学第5页 第二十四章圆 ⊙考点1 圆的有关性质 1.垂径定理及其推论 名称 文字语言 符号语言 图示 rAM=BM, CD是直径， 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平 分弦所对的两条孤 AC=BC, CD⊥AB AD-=BD. CD是直径， rCD⊥AB, 垂径定理 平分弦（不是直径）的直径垂直 AM=BM 于弦，并且平分弦所对的两条 (AB不是直 AC-BC, 的推论 孤 径) AD=BD. 平分弦所对的一条孤的直径垂 AC=BC, CD⊥AB, 直平分弦，并且平分弦所对的另 CD是直径→ AM=BM, 一条孤 AD=BD. 拓展 CD是直径， 弦的垂直平分线经过圆心，并且 CD⊥AB,) 平分弦所对的两条孤， AM=BM AC=BC, AD=BD. 2.弧、弦、圆心角的关系 (1)重要定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 (2)重要结论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相 等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别 相等 3.圆周角定理及其推论 (1)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. (2)推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角 所对的弦是直径 4.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补. ⊙)考点2)点和圆、直线和圆的位置关系 1.点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d. 点P在圆外→d>r点P在圆上→d=r点P在圆内台d<, 2.直线与圆的位置关系：设⊙0的半径为r,圆心0到直线1的距离为d. 直线l与⊙O相离台d>r直线l与⊙O相切台d=r直线l与⊙O相交台d<r 3.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分 两条切线的夹角. 4.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三 条角平分线的交点，叫做三角形的内心.内心到三角形三边的距离相等 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBR·九年级数学第6页 )考点3) 正多边形和圆 与正n边形有关的计算公式（正n边形外接圆的半径为R,边长为a,边心距为r): 名称 公式 图示（以正六边形为例） 内角 正n边形的每个内角为n-2)·180 n 中心角 正n边形的每个中心角为360 外角 正n边形的每个外角为360 (6-2)×180 半径、边长、边心距 0= =1209 6 的关系 360° B= =60° 周长 正n边形的周长C=na 6 360° Y= =60° 1 1 6 面积 正n边形的面积S= 2ar·ns ⊙)考点4) 弧长和扇形面积 1,弧长公式：l=mR nTR2 1 180: 2.扇形面积公式：S扇形= 360=2R(弧长为).(n为圆心角度数) 3.圆锥的侧面积和全面积公式(l为母线长)：S侧=πl,S全=πr(+r): 叠针对练习 1.(南京模拟)如图，AB为⊙0的直径，C,D是⊙O上的两点，∠CDB=25°，过点C作⊙0的 切线交AB的延长线于点E,则∠E的度数为() A.40° B.50° C.55° D.60° 3 Im D 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙0，正六边形的周长是24，则⊙0的半径是 3.文化情境·传统文化“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应 用.例如古典园林中的门洞.如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5，地面入口 宽为1m,则该门洞的半径为 m 4.如图所示的扇形AOB中，OA=OB=2,∠AOB=90°，C为AB上一点，∠AOC=30°，连接 BC,过C作OA的垂线交AO于点D,则图中阴影部分的面积为 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBR·九年级数学第7页答案详解详析·易错剖析 ∽的 ∫《课本知识集锦》答案9 . 2m-1=2,解得m=6,A(6,2),:A(6,2)在反比例 第二十一章一元二次方程 函数y2= 文(k≠0)的图象上，k=12,反比例函数的 1.A2.B 3.解：(1)设该公司销售A产品每次的增长率为x,依题意， 解析式为-吕 得20(1+x)2=45,解得x,=0.5=50%,x2=-2.5(不合题 意，舍去).故该公司销售A产品每次的增长率为50%： (2)x<-4或0<x<6; (2)设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出(30 (3)直线AB的解析式为y,= 2x-1心当x=0时，y= 、2 05×20)套，衣题意，得(2-y)(30+05×20)=70.整理， -1,.C(0,-1),A(6,2),.AC=35.当AC=PC时，设 P(0,y),则ly+11=35,解得y=35-1或y=-3√5-1， 得4y-5y+1=0,解得y=42=1.:要尽量减少库存， ∴.P,(0,35-1),P2(0,-35-1);当AC=AP时，过点A .y=1.故每套A产品需降价1万元. 作AD⊥y轴于点D,则CD=3,∴.PD=CD=3,.P(0,5), 第二十二章二次函数 即P(0,5),综上所述，点P的坐标为P(0,35-1),P2 1.A2.D3.1.5 (0,-35-1),P(0,5). 第二十三章旋转 第二十七章相似 1.C 1.D 2.D【解析】设∠A'CA=x,'∠A'CB=45°，.∠ACB=45° 2.C【解析】：△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心， +x,.BB'∥AC,∴.∠CBB'=∠ACB=45°+x,由旋转的性质 得：∠B'CB=∠A'CA=x,BC=B'C,∴.∠CBB'=∠CB'B 而A(2,0),D(5,0),.△ABC与△DEF的位似比为2」 5 45°+x,在△BCB'中，∠CBB'+∠CB'B+∠B'CB=180°， 45°+x+45°+x+x=180°，解得x=30°，即∠A'CA=30°.故 B(4,3),E点的坐标是为(10,7.5).故选C. 选D. 3i2或2取号 【解析】设AE的长为x,则BE的长为(14- 3.(-1,4)【解析小：点(a,-3)关于原点对称的点的坐标 是(1，b-1),∴a=-1,b-1=3,解得a=-1,b=4,∴.点(a, x).由题意知∠A=∠B=90°，①当△AME∽△BEN时， b)是(-1,4). BEBN14-x6,解得=12，名=2：②当△AME AM AE 4 x 4.5【解析】：△ABC是等边三角形，.AB=AC=4,∠B =∠BAC=60°，由旋转的性质可知，AD=AE,∠DAE= 60°，∴.∠BAD=∠BAC-∠CAD=60°-∠CAD=∠DAE △BNE时， 兴品名品解释：管上所 ∠CAD=∠CAE.·.△ABD≌△ACE(SAS),·.∠ACE=∠B =60°，即点E在以，点C为顶，点，且与AC夹角为60°的直 迷，4的长为12或2或28] 线上运动，过，点F作FG⊥CE于点G,当点E在，点G处 4.解：过点E作EM⊥CD,垂足为M,延长EM交AB于点 时，EF取得最小值，即为FG的长，：点F是AC边的中 N,.CD∥AB,.∴.EN⊥AB,由题意得：CD=20厘米，EM= 点，.CF=2,在Rt△CGF中，∠ACE=60°，.∠CFG= 40厘米，EN=100米，·CD∥AB,∴.∠EDC=∠EBA, 30°，∴.CG=1,∴.FG=√3，即EF的最小值是3. EM CD 0.4 【技巧点拨】根据等边三角形和旋转的性质，证△ABD≌ ∠ECD=∠EAB,.△ECD△EAB,ENAB1OO △ACE(SAS),得到∠ACE=∠B=60°，即点E在以点C为 0.2 顶点，且与AC夹角为60°的直线上运动，过点F作FGI ,解得AB=50,答：建筑的高度AB为50米. AB CE于点G,当点E在点G处时，EF取得最小值，即为FG 的长，然后结合勾股定理求解即可. 《课本回头练》答案S 第二十四章圆 nn∽t∽∽心n 1.A2.43.1.3 基础知识抓分练1 4 3 T- 3 2 【解析】.∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴.∠BOC 1.D 2.A【解析】方程2x2-3x-1=0中，一次项系数为-3，常数 =60°..·在扇形A0B中，0A=OB=2,.∴.OB=0C=2, 项为-1，∴.-3+（-1)=-4.故选A. △BOC是等边三角形..CD⊥OA,∴.∠ODC=90°.. 3.D ∠A0C=30°，OD=W3,CD=1,∴Sm=S商形Boc-SAORC+ 【知识回顾】一般地，任何一个关于x的一元二次方程经 60·T×221 SACOD 36032x3+×x1=2n3 3 过整理，都能化成如下形式ax2+br+c=0(a≠0).这种形 2 式叫一元二次方程的一般形式.一次项系数b和常数项c 第二十五章概率初步 可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因 1.C【解析】共有12种等可能结果，其中恰好抽到《多宝 为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以此方程就不 塔碑》和《玄秘塔碑》有2种结果，P=2 26抽取 是一元二次方程了 4.C【解析】x=a是方程2x2-x-6=0的一个解，.2a2 的两本字帖恰好是《玄秘塔碑》和《多宝塔碑》的概为 a-6=0,.2a2-a=6,∴.4a2-2a=2(2a2-a)=2×6=12.故 6故选C 选C. 5.D【变式】A 2.140 6.C【解析】设常数项为c,根据题意得4=(-6)2-4c≥0， 第二十六章反比例函数 解得c≤9，所以c的最大值为9.故选C. 1.D2.C 7.x2+x-6=0(答案不唯一)8.2 2025 3解：(1)：点A(m,2)在一次函数=2-1的图象上， 9. 1012 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBR·九年级数学第1页