第21章 一元二次方程-【追梦之旅·期末真题篇】2025-2026学年九年级数学全一册（人教版）河南专版

第二十一章 一元二次方程 ⊙考点T 一元二次方程 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程叫 做一元二次方程.一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，二次项系数为a,一次项系数为b,常数项为c. ○)考点2)一元二次方程的解法 1.直接降次法：如果方程可化为一边是未知数（或含有未知数的代数式）的平方，另一边是非负 数，这种形式的方程可依据平方根的意义直接降次求解. 2.配方法：将二次项系数化为1：把常数项移到等号的右边，含有未知数的项移到等号的左边： 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程左边化成完全平方式的形式；右边是一 个非负数时，我们可用直接开平方法解方程. 3.公式法 (1)根的判别式：一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通 常用希腊字母“△”表示它，即△=b2-4aC. 【注意】根的判别式只适用于一元二次方程，当无法判定方程是不是一元二次方程时，应分 类讨论。 (2)判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根的情况： ①△>0，有两个不相等的实数根：②4=0，有两个相等的实数根：③4<0，没有实数根 【提示】一元二次方程根的判别式的主要应用：①不解方程，判断根的情况；②根据方程根 的情况，确定方程中字母系数的取值范围. (3)公式法：一元二次方程a2+bx+e=0(a≠0)的求根公式是x=-b±v-4a -(b2-4ac≥0)· 2a 将一元二次方程中系数α，b,c的值，直接代入这个公式，就可以求得方程的根.这种解一元 二次方程的方法叫做公式法」 4.因式分解法：将方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从 而实现降次 【拓展】①因式分解法的理论依据：如果两个因式的积为0，那么至少有一个因式等于0（若 ab=0,则a=0或b=0):②十字相乘法：x2+(p+q)x+pg=(x+p)(x+q). ⊙)考点3 一元二次方程的根与系数的关系 b 如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根x1,x2,那么x,+x2=二，xx2= a 2 【补充延伸】设一元二次方程x2+px+q=0的两根为x1,x2,那么x1+x2=-p,x1x2=9 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBR·九年级数学第1页 心)考点4)列一元二次方程解决实际问题 图形面 积问题 常见图形的面积公式：S方形=b,S三方形=02，S周=mr,S三角影=2h,S%形=2(a+b)h 变化率 若起始值是a,终止值是b,平均增长（降低）率为x,增长（降低）次数为n, 问题 (1)平均增长率：a(1+x)”=b:(2)平均降低率：a(1-x)"=b 传染问 若a表示传染之前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传播的轮数，b表示最终的总 题 人数，则有a(1+x)"=b 销售利 利润=售价-进价；售价=进价×(1+利润率)；利润率= 利润 进价 1009%= 售价-进价 ×100%;总利 进价 润问题 润=单个利润×销售总量=总售价一总进价 叁针对练习 1.关于x的方程(k-3)x2-4x+2=0有实数根，则k的取值范围是() A.k≤5 B.k<5且k≠3C.k≤5且k≠3 D.k≥5且k≠3 2.为加快推动生态公益建设步伐，形成“城在林中、园在城中、山水相依、林路相随”的生态 格局，市政府计划在某街心公园的一块矩形空地上修建草坪.如图，矩形长为40m,宽为 30m,在矩形内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪.要使草坪的面积为816m2, 道路的宽度应为多少？设矩形地块四周道路的宽度为x,根据题意，下列方程不正确的 是( 40m A.1200-(80x+60x-4x2)=816 B.(40-x)(30-x)=816 30m围 C.(40-2x)(30-2x)=816 D.80x+2x(30-2x)=1200-816 3.某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月 份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同. (1)求该公司销售A产品每次的增长率； (2)若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采 取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降0.5万元，公司平均每月可多售出20 套：若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少万元？ 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBR·九年级数学第2页答案详解详析·易错剖析 ∽的 ∫《课本知识集锦》答案9 . 2m-1=2,解得m=6,A(6,2),:A(6,2)在反比例 第二十一章一元二次方程 函数y2= 文(k≠0)的图象上，k=12,反比例函数的 1.A2.B 3.解：(1)设该公司销售A产品每次的增长率为x,依题意， 解析式为-吕 得20(1+x)2=45,解得x,=0.5=50%,x2=-2.5(不合题 意，舍去).故该公司销售A产品每次的增长率为50%： (2)x<-4或0<x<6; (2)设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出(30 (3)直线AB的解析式为y,= 2x-1心当x=0时，y= 、2 05×20)套，衣题意，得(2-y)(30+05×20)=70.整理， -1,.C(0,-1),A(6,2),.AC=35.当AC=PC时，设 P(0,y),则ly+11=35,解得y=35-1或y=-3√5-1， 得4y-5y+1=0,解得y=42=1.:要尽量减少库存， ∴.P,(0,35-1),P2(0,-35-1);当AC=AP时，过点A .y=1.故每套A产品需降价1万元. 作AD⊥y轴于点D,则CD=3,∴.PD=CD=3,.P(0,5), 第二十二章二次函数 即P(0,5),综上所述，点P的坐标为P(0,35-1),P2 1.A2.D3.1.5 (0,-35-1),P(0,5). 第二十三章旋转 第二十七章相似 1.C 1.D 2.D【解析】设∠A'CA=x,'∠A'CB=45°，.∠ACB=45° 2.C【解析】：△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心， +x,.BB'∥AC,∴.∠CBB'=∠ACB=45°+x,由旋转的性质 得：∠B'CB=∠A'CA=x,BC=B'C,∴.∠CBB'=∠CB'B 而A(2,0),D(5,0),.△ABC与△DEF的位似比为2」 5 45°+x,在△BCB'中，∠CBB'+∠CB'B+∠B'CB=180°， 45°+x+45°+x+x=180°，解得x=30°，即∠A'CA=30°.故 B(4,3),E点的坐标是为(10,7.5).故选C. 选D. 3i2或2取号 【解析】设AE的长为x,则BE的长为(14- 3.(-1,4)【解析小：点(a,-3)关于原点对称的点的坐标 是(1，b-1),∴a=-1,b-1=3,解得a=-1,b=4,∴.点(a, x).由题意知∠A=∠B=90°，①当△AME∽△BEN时， b)是(-1,4). BEBN14-x6,解得=12，名=2：②当△AME AM AE 4 x 4.5【解析】：△ABC是等边三角形，.AB=AC=4,∠B =∠BAC=60°，由旋转的性质可知，AD=AE,∠DAE= 60°，∴.∠BAD=∠BAC-∠CAD=60°-∠CAD=∠DAE △BNE时， 兴品名品解释：管上所 ∠CAD=∠CAE.·.△ABD≌△ACE(SAS),·.∠ACE=∠B =60°，即点E在以，点C为顶，点，且与AC夹角为60°的直 迷，4的长为12或2或28] 线上运动，过，点F作FG⊥CE于点G,当点E在，点G处 4.解：过点E作EM⊥CD,垂足为M,延长EM交AB于点 时，EF取得最小值，即为FG的长，：点F是AC边的中 N,.CD∥AB,.∴.EN⊥AB,由题意得：CD=20厘米，EM= 点，.CF=2,在Rt△CGF中，∠ACE=60°，.∠CFG= 40厘米，EN=100米，·CD∥AB,∴.∠EDC=∠EBA, 30°，∴.CG=1,∴.FG=√3，即EF的最小值是3. EM CD 0.4 【技巧点拨】根据等边三角形和旋转的性质，证△ABD≌ ∠ECD=∠EAB,.△ECD△EAB,ENAB1OO △ACE(SAS),得到∠ACE=∠B=60°，即点E在以点C为 0.2 顶点，且与AC夹角为60°的直线上运动，过点F作FGI ,解得AB=50,答：建筑的高度AB为50米. AB CE于点G,当点E在点G处时，EF取得最小值，即为FG 的长，然后结合勾股定理求解即可. 《课本回头练》答案S 第二十四章圆 nn∽t∽∽心n 1.A2.43.1.3 基础知识抓分练1 4 3 T- 3 2 【解析】.∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴.∠BOC 1.D 2.A【解析】方程2x2-3x-1=0中，一次项系数为-3，常数 =60°..·在扇形A0B中，0A=OB=2,.∴.OB=0C=2, 项为-1，∴.-3+（-1)=-4.故选A. △BOC是等边三角形..CD⊥OA,∴.∠ODC=90°.. 3.D ∠A0C=30°，OD=W3,CD=1,∴Sm=S商形Boc-SAORC+ 【知识回顾】一般地，任何一个关于x的一元二次方程经 60·T×221 SACOD 36032x3+×x1=2n3 3 过整理，都能化成如下形式ax2+br+c=0(a≠0).这种形 2 式叫一元二次方程的一般形式.一次项系数b和常数项c 第二十五章概率初步 可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因 1.C【解析】共有12种等可能结果，其中恰好抽到《多宝 为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以此方程就不 塔碑》和《玄秘塔碑》有2种结果，P=2 26抽取 是一元二次方程了 4.C【解析】x=a是方程2x2-x-6=0的一个解，.2a2 的两本字帖恰好是《玄秘塔碑》和《多宝塔碑》的概为 a-6=0,.2a2-a=6,∴.4a2-2a=2(2a2-a)=2×6=12.故 6故选C 选C. 5.D【变式】A 2.140 6.C【解析】设常数项为c,根据题意得4=(-6)2-4c≥0， 第二十六章反比例函数 解得c≤9，所以c的最大值为9.故选C. 1.D2.C 7.x2+x-6=0(答案不唯一)8.2 2025 3解：(1)：点A(m,2)在一次函数=2-1的图象上， 9. 1012 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBR·九年级数学第1页