专题05 函数的应用及函数的零点、方程的根 4大高频考点（期末真题汇编，河北专用）高一数学上学期

专题05 函数的应用及函数的零点、方程的根 4大高频考点概览 考点01 函数的零点 考点02 方程的根 考点03 指数函数、对数函数模型的应用 考点04 新定义问题 地 城 考点01 函数的零点 一、单选题 1．(24-25学年·高一上期末·河北省石家庄二中)函数的零点所在大致区间是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25学年·高一上期末·河北省唐山市)设函数，则的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25学年·高一上期末·河北省邢台市)在用“二分法”求函数零点近似值时，第一次所取的区间是，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25学年·高一上期末·河北省邢台市)已知，则函数的零点的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 5．(24-25学年·高一上期末·衡水市阜城实验中学)已知函数，则在下列区间中使函数有零点的区间是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25学年·高一上期末·河北省保定市)已知函数满足：①定义域为；②对任意，有；③当时，；若函数，，则函数在上零点个数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．(24-25学年·高一上期末·河北省石家庄二中)已知函数，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B．0 C． D．2 8．(24-25学年·高一上期末·河北省保定市唐县)已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数有两个零点 B．若函数有四个零点，则 C．若关于的方程有四个不等实根，则 D．若关于的方程有8个不等实根，则 二、多选题 9．(24-25学年·高一上期末·河北省沧州市)已知函数，若对任意的，函数恰有3个零点，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 10．(24-25学年·高一上期末·河北省定州市二中)设函数，若函数有四个零点分别为，，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11．(24-25学年·高一上期末·河北省保定市)设函数，若函数有四个零点分别为，，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 12．(24-25学年·高一上期末·河北省保定市)函数，，已知为函数的一个对称中心，为的一条对称轴，且函数在上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线为函数图象的一条对称轴 C．函数在区间上有1个零点 D．对于任意的，关于的方程总有奇数个根 三、非选择题 13．(24-25学年·高一上期末·河北省石家庄市)函数的零点所在区间为，则的值为 . 14．(24-25学年·高一上期末·河北省邯郸市)已知函数在上有两个零点，，则当 时，取得最小值. 15．(24-25学年·高一上期末·衡水市阜城实验中学)已知函数． (1)求函数的定义域； (2)求函数的零点； (3)若函数的最小值为，求的值． 16．(24-25学年·高一上期末·河北省保定市)已知函数. (1)若函数为奇函数，求的值； (2)当时，若函数在区间有2个零点，求实数的取值范围. 17．(24-25学年高一上期末·河北省承德市)已知函数 (1)证明：在内至少有一个零点． (2)讨论函数的零点个数. 地 城 考点02 方程根的分布及个数问题 一、单选题 1．(24-25学年·高一上期末·河北省廊坊市)已知函数，若方程有两个不同的实数解，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2、(24-25学年·高一上期末·河北省邯郸市)已知二次函数满足，且，则下列结论正确的是（ ） A．的解析式是 B．，，总有 C．方程有3个不等的实根 D．若，则函数在内不存在零点 3．(24-25学年·高一上期末·河北省张家口市)已知函数,令函数，则下列选项正确的是（    ） A．当时，函数有2个零点 B．函数不可能有1个零点 C．若函数有3个零点，则的取值范围为. D．方程有5个根 4．(24-25学年·高一上期末·河北省石家庄市)已知函数，关于的方程有6个不同的实数根，则下列选项正确的是（   ） A．函数的零点个数为1 B．实数的取值范围为 C．函数无最值 D．函数在区间上单调递增 二、非选择题 5．(24-25学年·高一上期末·河北省沧州市)若“关于的方程在内都有解”是真命题，则的取值范围是 ． 6．(24-25学年·高一上期末·河北省唐山市)已知函数，则 ；若关于的方程有4个不等的实数根，则的取值范围是 ． 7．(24-25学年·高一上期末·河北省定州市二中)已知奇函数，在上单调，若对任意都有，则解的个数为 . 地 城 考点03 指数函数、对数函数模型的应用 一、单选题 1．(24-25学年·高一上期末·河北省张家口市)某公司2020年全年投入某项技术的研发资金为120万元，并且计划以后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入该项技术的研发资金开始超过200万元的年份是（    ）参考数据. A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年 2．(24-25学年·高一上期末·河北省石家庄二中)某品牌牛奶的保质期（单位：天）与储存温度（单位：）满足函数关系.该品牌牛奶在的保质期为270天，在的保质期为180天，则该品牌牛奶在的保质期是（    ） A．60天 B．70天 C．80天 D．90天 3．(24-25学年·高一上期末·河北省石家庄市)“碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量（亿吨）与时间（年）满足函数关系式，已知经过4年，该地区二氧化碳的排放量为（亿吨）．若该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳排放量为（亿吨），则该地区要实现“碳中和”，至少需要经过（    ）（参考数据：，） A．13年 B．14年 C．15年 D．16年 二、非选择题 4．(24-25学年·高一上期末·河北省辛集市)某公司为激励创新，计算逐年加大研发奖金投入，若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 年（参考数据：，. 5．(24-25学年·高一上期末·河北省廊坊市)颐和园的十七孔桥，初建于清乾隆年间；永定河上的卢沟桥，始建于宋代；四川达州的大风高拱桥，修建于清同治七年，这些桥梁屹立百年而不倒，观察它们的桥梁结构，有一个共同的特点，那就是拱形结构，这是悬链线在建筑领域的应用．悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，若实数满足不等式，则m的取值范围为 ． 6．(24-25学年·高一上期末·河北省定州市二中)某科研部门有甲乙两个小微研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，项目乙研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，，且． (1)求实数a，b，c的值； (2)已知科研部门计划将27万元资金全部投资甲乙两个研发项目，试问如何分配研发资金，使得投资期望收益最大？并求出最大期望利润． 7．(24-25学年·高一上期末·河北省辛集市)为响应“湘商回归，返乡创业”的号召，某企业回永州投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的图象接近如图所示，现有以下三个函数模型供企业选择：①②③ (1)请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由； (2)根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于6万元，则至少应完成销售利润多少万元？ 地 城 考点04 新定义问题 一、多选题 1．(24-25学年·高一上期末·河北省邢台市)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L. E. J. Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25学年·高一上期末·河北省廊坊市)设函数，其中表示x，y，z中的居中者，下列说法正确的有（    ） A．有最大值，无最小值 B．的值域为 C．为偶函数 D．在上单调递增 二、非选择题 3．(24-25学年·高一上期末·河北省衡水市武强中学)已知为实数，用表示不超过的最大整数.则函数称为取整函数，也叫高斯（Gaussian）函数，例如[3.5]=3，. (1)若函数，求的值； (2)若存在，使得，则称函数是函数，若函数是函数，求实数的取值范围. 4．(24-25学年·高一上期末·河北省定州市二中)已知函数. (1)，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)已知函数的定义域为，若对于任意，，，能构成一个三角形的三条边长，则称函数为集合上的“三角形函数”.若函数是区间上的“三角形函数”，求的取值范围. 5．(24-25学年·高一上期末·河北省廊坊市)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知定义在上的函数的图象关于点对称． (1)求的值； (2)设函数． ①证明函数的图象关于点对称； ②用定义证明在区间上单调递增，并求在上的值域； ③在题干条件下，当时，，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 6．(24-25学年高一上期末·河北省承德市)已知函数的定义域为．若且，则称是凹函数；若且，则称是凸函数． (1)已知函数． ①求的解析式； ②判断是凹函数还是凸函数，根据凹函数，凸函数的定义证明你的结论． (2)讨论函数在定义域上的凹凸性. 7．(24-25学年·高一上期末·河北省沧州市)若函数满足：对任意的，都有，且，则称为“超加性倾向函数”． (1)若函数，试判断是否是“超加性倾向函数”，并说明理由． (2)证明：函数是“超加性倾向函数”． (3)若函数是“超加性倾向函数”，求的取值范围． 8．(24-25学年·高一上期末·河北省保定市)已知函数的定义域为，若对于任意，，，能够成一个三角形的三条边长，则称函数为集合上的“三角形函数”. (1)已知函数是区间（为常数）上的“三角形函数”，求的取值范围； (2)已知函数是区间（为常数）上的“三角形函数”，在函数的图象上，是否存在三个不同的点，，，当时，，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数的应用及函数的零点、方程的根 4大高频考点概览 考点01 函数的零点 考点02 方程的根 考点03 指数函数、对数函数模型的应用 考点04 新定义问题 地 城 考点01 函数的零点 一、单选题 1．(24-25学年·高一上期末·河北省石家庄二中)函数的零点所在大致区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可. 【详解】的定义域为，又与在上单调递增， 所以在上单调递增，又，，所以， 根据函数零点存在性定理可得函数的零点所在的大致区间为，故选：A. 2．(24-25学年·高一上期末·河北省唐山市)设函数，则的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由零点存在性定理逐一判断即可. 【详解】因为和为增函数，所以也为增函数，因为，，所以根据零点存在性定理可知的零点一定位于区间内.故选：C. 3．(24-25学年·高一上期末·河北省邢台市)在用“二分法”求函数零点近似值时，第一次所取的区间是，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二分法逐次求出所有可能的区间后可得正确的选项. 【详解】用“二分法”求函数零点近似值时，第一次所取的区间是，则第二次所取的区间是或，第三次所取的区间是或或或，故选：B. 4．(24-25学年·高一上期末·河北省邢台市)已知，则函数的零点的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】试题分析：函数的定义域是（0，+∞），y==，令y=0，则，在同一直角坐标系中做出函数y=和y=的图象可知，两个图象有2个交点，所以原函数的零点由2个，故选B. 5．(24-25学年·高一上期末·衡水市阜城实验中学)已知函数，则在下列区间中使函数有零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析函数在上的单调性，结合零点存在性定理判断该区间内的零点，再说明在内函数不存在零点. 【详解】函数为R上增函数，函数在内单调递减，函数在上单调递增，又，因此函数在区间内有零点，在区间上不存在零点，当时，，则，当时，，则， 当时，，则，因此函数在上都不存在零点.故选：B 6．(24-25学年·高一上期末·河北省保定市)已知函数满足：①定义域为；②对任意，有；③当时，；若函数，，则函数在上零点个数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】先将问题化为和图象交点个数问题，再利用的周期性与解析式作出的图象，同时也作出的图象，从而数形结合即可得解. 【详解】因为函数在R上零点的个数等于函数和图象交点的个数， 又的定义域为，又，所以是周期为的周期函数， 当时，，作出函数在内的图象，再由的周期性作出在上的图象，同时作出，的图象， 因为，，所以函数在上有三个交点，在上无交点，又，，则，则函数是偶函数，图象关于轴对称，所以由数形结合知的图象的交点的个数为6.故选：C. 7．(24-25学年·高一上期末·河北省石家庄二中)已知函数，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】D 【分析】将函数分拆为两函数之积，根据它们的单调性可得两函数零点重合，则有，再利用基本不等式可得答案. 【详解】将函数分拆为两函数之积，都是递增函数，要使得不等式恒成立，则两因式必须保持同号或为0，即可得两函数零点重合，则有，即，当时等号成立，所以的最小值为2.故选：D. 8．(24-25学年·高一上期末·河北省保定市唐县)已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数有两个零点 B．若函数有四个零点，则 C．若关于的方程有四个不等实根，则 D．若关于的方程有8个不等实根，则 【答案】D 【分析】分析函数的性质，作出函数图象，再结合图象与性质逐项判断即得. 【详解】函数的图象关于直线对称，函数的图象开口向下，关于直线对称，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，函数的零点，即函数的图象与直线交点的横坐标，在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图，     观察图象知，函数的图象与直线有3个公共点，因此函数有3个零点，A错误； 函数的零点，即方程的根，亦即函数的图象与直线交点的横坐标， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图， 观察图象知，当时，函数的图象与直线有4个公共点， 因此函数有四个零点，则，B错误； 关于的方程有四个不等实根，不妨设， 显然有，因此，C错误； 令，由选项B知，当且仅当时，方程有4个不等实根， 要关于的方程有8个不等实根， 则当且仅当方程在上有2个不相等的实数根，令这两个实根为，， 且，，则， 由，得，而当时，的两根相等，不符合题意， 所以的取值范围是，D正确.故选：D 二、多选题 9．(24-25学年·高一上期末·河北省沧州市)已知函数，若对任意的，函数恰有3个零点，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】需要分析函数的性质，再结合的取值范围来确定的取值范围. 【详解】由，得，由，得，则，解得． 故选：AB. 10．(24-25学年·高一上期末·河北省定州市二中)设函数，若函数有四个零点分别为，，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据解析式画出大致图象，数形结合有，结合对数函数、二次函数的性质可得、，进而逐项判断正误. 【详解】由解析式，可得大致图象如下，结合题设知，A错，令，可得或，所以，且，B对，而，，则，C错，由且，而在上单调递增，所以，D对.故选：BD 11．(24-25学年·高一上期末·河北省保定市)设函数，若函数有四个零点分别为，，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据解析式画出大致图象，数形结合有，结合对数函数、二次函数的性质可得、，进而逐项判断正误. 【详解】对A，由解析式，可得大致图象如下，结合题设和图象知，A错， 令，可得或，所以， 对B，由于当时，图象的对称轴为直线，所以，B对， 对C，当时，令，则，，则，C错， 对D，由且，而在上单调递增， 所以，D对.对CD方法二：当时，，所以，所以，C错误;因为，所以，故，又，所以，因为函数在上单调递增， 故，D正确.故选：BD 12．(24-25学年·高一上期末·河北省保定市)函数，，已知为函数的一个对称中心，为的一条对称轴，且函数在上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线为函数图象的一条对称轴 C．函数在区间上有1个零点 D．对于任意的，关于的方程总有奇数个根 【答案】BCD 【分析】利用对称中心和对称轴求解满足的关系式，再利用周期性确定的范围，最后通过讨论可确定的取值，再利用正弦型函数的性质即可判断其它选项. 【详解】由为函数的一个对称中心，所以有，， 由为的一条对称轴，所以有，， 上两式相减得：， 设函数的周期为，因为函数在上单调递减，， 所以，又因为，所以有， 则有，即或，此时或， 当时，由为的一条对称轴，且函数在上单调递减， 所以，则， 所以有，，由于，此时无解； 当时，由，则， 所以有，，由于，此时； 所以满足题意，故A错误； 此时有，由，故B正确； 当时，，此时由， 得，故C正确； 由，可知函数关于点对称， 所以过这个对称中心的直线与函数的图象至少有一个交点点， 再根据函数是关于这个点的中心对称图象， 所以除这个对称中心之外的交点是成对出现的，即肯定是有奇数个交点，故D正确； 故选：BCD. 三、非选择题 13．(24-25学年·高一上期末·河北省石家庄市)函数的零点所在区间为，则的值为 . 【答案】 【分析】利用零点存在性定理以及函数的单调性求得正确答案. 【详解】在上递增，，所以的零点在区间， 所以的值为.故答案为： 14．(24-25学年·高一上期末·河北省邯郸市)已知函数在上有两个零点，，则当 时，取得最小值. 【答案】4 【分析】由函数的零点的范围可得a的范围，进而可得两个零点之和及之积，求出的表达式，再求出它的最小值及最小值时的a的值． 【详解】函数在上有两个零点，， 可得，可得，且，， 所以，则此时 15．(24-25学年·高一上期末·衡水市阜城实验中学)已知函数． (1)求函数的定义域； (2)求函数的零点； (3)若函数的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用对数型复合函数的定义域求解即可； （2）根据零点的定义结合对数的基本运算即可求解； （3）可得，利用对数函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为， 要使函数有意义，则，解得：，所以函数的定义域为. （2）因为，令，可得：， 即，解得：，因为所以函数的零点为. （3）因为， 若，则，又因为且函数的最小值为， 则，即，得，所以. 16．(24-25学年·高一上期末·河北省保定市)已知函数. (1)若函数为奇函数，求的值； (2)当时，若函数在区间有2个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用的奇偶性，结合指数幂的运算即可得解； （2）利用换元法，构造函数，将问题转化为在上有两个零点，利用二次函数零点的分布得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 因为是奇函数，所以，即，所以， 则，所以，解得. （2）当时，， 所以，函数在区间有2个零点， 即方程在上有两个不相等的实数根， 整理得，令，由，则， 即在上有两个不相等的实数根， 令，在上有两个零点， 则满足，解得， 综上可知，实数m的取值范围为. 17．(24-25学年高一上期末·河北省承德市)已知函数 (1)证明：在内至少有一个零点． (2)讨论函数的零点个数. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）根据零点存在性判断方法进行判断即可. （2）确定的解析式，利用换元法，把问题转化成二次函数在给定区间的零点个数问题，在数形结合，分类讨论函数零点的个数. 【详解】（1）由题意得，， 因为的图象是一条连续不断的曲线，且，所以在内至少有一个零点． （2）由题意得．令，得．令，函数，则的零点个数等于的图象与直线的公共点个数．的大致图象如图所示． 当时，的图象与直线的公共点个数为0，即函数的零点个数为0． 当或时，的图象与直线的公共点个数为1，即函数的零点个数为1． 当时，的图象与直线的公共点个数为2，即函数的零点个数为2． 地 城 考点02 方程根的分布及个数问题 一、单选题 1．(24-25学年·高一上期末·河北省廊坊市)已知函数，若方程有两个不同的实数解，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为以与的图象有两个交点，从而结合图象即可得解. 【详解】因为方程有2个实数解，所以与的图象有两个交点， 因为，所以作出与的大致图象，如图，    由图像可得或，故选：D. 二、多选题 2、(24-25学年·高一上期末·河北省邯郸市)已知二次函数满足，且，则下列结论正确的是（ ） A．的解析式是 B．，，总有 C．方程有3个不等的实根 D．若，则函数在内不存在零点 【答案】AC 【分析】用待定系数法求出的解析式判断A；用作差法判断B；用换元法求出方程的根判断C；化简得转化为与的图象在上是否存在交点，作出图象，结合图象求解判断D． 【详解】对于A，设二次函数，由，可得， 则，所以，解得， 所以，又，所以，则，正确； 对于B，因为，， 所以，所以，错误； 对于C，令，由，得，解得，， 由，可得，此时，有两个不等根； 由，可得，解得，所以方程有3个不等的实根，正确； 对于D，， 函数在上连续，令，则有，作出函数与的图象，如图所示： 由此可得两函数在内有2个交点，所以函数在内有2个零点，错误． 故选：AC 3．(24-25学年·高一上期末·河北省张家口市)已知函数,令函数，则下列选项正确的是（    ） A．当时，函数有2个零点 B．函数不可能有1个零点 C．若函数有3个零点，则的取值范围为. D．方程有5个根 【答案】ACD 【分析】根据函数解析式画出的图象，函数的零点个数，即与的交点个数，数形结合即可判断A、B，由图可知，再由对数的运算得到，即可判断C，由方程得到或，再数形结合即可判断D. 【详解】因为，则，画出的图象如下所示： 函数的零点个数，即与的交点个数， 当时，由图可知与有个交点，故函数有个零点，故A正确； 当时与有个交点，即函数有个零点，故B错误； 若函数有3个零点，则， 由图可知，且，即，所以，则， 所以的取值范围为，故C正确；由，即，即或，由图可得有个实数根，有个实数根，所以方程有5个根，故D正确.故选：ACD 4．(24-25学年·高一上期末·河北省石家庄市)已知函数，关于的方程有6个不同的实数根，则下列选项正确的是（   ） A．函数的零点个数为1 B．实数的取值范围为 C．函数无最值 D．函数在区间上单调递增 【答案】BC 【分析】对于ACD，由题可画出大致图象，据此可判断选项正误；对于B，由有6个不同根，可得和共有6个根，其中的两根为，然后由数形结合思想结合二次方程根的分布知识可得答案. 【详解】由题可得的图象大致如下.对于A，由图可得零点有3个，故A错误； 对于B，由题可得和共有6个根，即图象与直线，共有6个交点. 其中的两根为，则判别式为或.注意到，结合图象可得，同号，且一个大于1，一个小于1大于0.设，则，由图可得， 又函数在上单调递增，则，故B正确；对于C，由函数图象可得无最值，故C正确；对于D，由图可得在上单调递减，在上单调递增，故D错误. 故选：BC 二、非选择题 5．(24-25学年·高一上期末·河北省沧州市)若“关于的方程在内都有解”是真命题，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析可知，在内都有解，求出当时，的取值范围，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为“关于的方程在内都有解”是真命题， 所以在内都有解．由，得，所以，所以，则的取值范围是． 6．(24-25学年·高一上期末·河北省唐山市)已知函数，则 ；若关于的方程有4个不等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，由函数的解析式计算可得的值，进而计算可得的值，可得第一空答案；对于，设，则，求得的取值范围，结合函数的图象分析解的情况即可求解． 【详解】依题意，，； 令，，当且仅当时取等号， 则或，当或时，方程有两个相等的根， 当或时，方程有两个同号且不相等的实根， 方程化为，而， 当时，在上递减；当时，在上递减， 因此由方程有4个不等的实数根，得方程在上各有一个实根， 则函数在的图象与直线有两个交点，如图： 观察图象知，当时，直线与在的图象有两个交点， 所以的取值范围是. 7．(24-25学年·高一上期末·河北省定州市二中)已知奇函数，在上单调，若对任意都有，则解的个数为 . 【答案】 【分析】先求得时的表达式，再根据函数的奇偶性求出时的表达式，然后根据零点存在性定理等知识求得正确答案. 【详解】当时，设①，则， 由①令得，在上单调递增， 且，所以，所以， 令，则，所以， 因为函数为奇函数，所以， 所以，， 若时，函数有意义，则，所以， 当时，对于方程，即， 两边除以得：，令， 根据函数解析式分析在上单调递增，，，所以在上有唯一零点，所以方程在上有一个解； 当时，代入， 有不成立，不是方程的解； 当时，对于方程，即， 两边除以得：，令， 根据函数解析式分析在上单调递增，， ， 所以在上有唯一零点，所以方程在上有一个解； 综上所述，方程在上有两个解. 地 城 考点03 指数函数、对数函数模型的应用 一、单选题 1．(24-25学年·高一上期末·河北省张家口市)某公司2020年全年投入某项技术的研发资金为120万元，并且计划以后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入该项技术的研发资金开始超过200万元的年份是（    ）参考数据. A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年 【答案】D 【分析】设第年投入元（2020年为第年），则，令，根据指数函数的性质及对数的运算性质计算可得. 【详解】设第年投入元（2020年为第年），则，令，即，所以，则， 则第年该公司全年投入该项技术的研发资金开始超过200万元，即年该公司全年投入该项技术的研发资金开始超过200万元.故选：D 2．(24-25学年·高一上期末·河北省石家庄二中)某品牌牛奶的保质期（单位：天）与储存温度（单位：）满足函数关系.该品牌牛奶在的保质期为270天，在的保质期为180天，则该品牌牛奶在的保质期是（    ） A．60天 B．70天 C．80天 D．90天 【答案】C 【分析】根据题意将或代入表达式即可求解. 【详解】由题意可知，，，可得，所以， 故该品牌牛奶在的保质期是80天.故选：C 3．(24-25学年·高一上期末·河北省石家庄市)“碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量（亿吨）与时间（年）满足函数关系式，已知经过4年，该地区二氧化碳的排放量为（亿吨）．若该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳排放量为（亿吨），则该地区要实现“碳中和”，至少需要经过（    ）（参考数据：，） A．13年 B．14年 C．15年 D．16年 【答案】D 【分析】由条件列式先确定参数，再结合对数运算解方程. 【详解】由题意可得，即，所以，令，即，故，即， 可得，即．故选：D 二、非选择题 4．(24-25学年·高一上期末·河北省辛集市)某公司为激励创新，计算逐年加大研发奖金投入，若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 年（参考数据：，. 【答案】2024 【分析】结合对数的运算公式解决函数的实际应用. 【详解】设第年开始超过200万元，则，即， 两边取对数，可得，根据参考数据，可得，因为为整数，取，故该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2024年.故答案为：2024. 5．(24-25学年·高一上期末·河北省廊坊市)颐和园的十七孔桥，初建于清乾隆年间；永定河上的卢沟桥，始建于宋代；四川达州的大风高拱桥，修建于清同治七年，这些桥梁屹立百年而不倒，观察它们的桥梁结构，有一个共同的特点，那就是拱形结构，这是悬链线在建筑领域的应用．悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，若实数满足不等式，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据的奇偶性和单调性可求不等式的解. 【详解】由题设有，的定义域为， 而，故为上的奇函数， 又，而在上为增函数且， 故为上的增函数，又等价于， 故，解得，故答案为：. 6．(24-25学年·高一上期末·河北省定州市二中)某科研部门有甲乙两个小微研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，项目乙研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，，且． (1)求实数a，b，c的值； (2)已知科研部门计划将27万元资金全部投资甲乙两个研发项目，试问如何分配研发资金，使得投资期望收益最大？并求出最大期望利润． 【答案】(1) (2)项目甲投入3万元，项目乙投资24万元时，科研部门获得最大利润30万元 【分析】（1）由结合解析式可得答案； （2）设项目甲研发投入资金为万元，则项目乙投入万元，投资收益为，由题可得 表达式，后由对数运算结合基本不等式可得答案. 【详解】（1）由， 可得，解得 故； （2）设项目甲研发投入资金为万元，则项目乙投入万元，投资收益为， 则，其中. 则. 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立. 所以，所以， 当且仅当时等号成立.所以项目甲投入3万元，项目乙投资24万元时，科研部门获得最大利润30万元． 7．(24-25学年·高一上期末·河北省辛集市)为响应“湘商回归，返乡创业”的号召，某企业回永州投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的图象接近如图所示，现有以下三个函数模型供企业选择：①②③ (1)请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由； (2)根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于6万元，则至少应完成销售利润多少万元？ 【答案】(1)③,理由见解析 (2)72万元 【分析】（1）根据已知条件，结合函数所过的点，以及函数的增长速度，即可求解． （2）根据（1）的结论，将对应的点代入，即可求解函数表达式，列不等式求解即可. 【详解】（1）对于模型①，，图象为直线，故①错误， 由图可知，该函数的增长速度较慢， 对于模型②，指数型的函数是爆炸型增长，故②错误， 对于模型③，对数型的函数增长速度较慢，符合题意，故选项模型③， （2）由（1）可知，选择模型③，所求函数过点，，则， 解得，，故所求函数为， ，即，，， 至少应完成销售利润72万元． 地 城 考点04 新定义问题 一、多选题 1．(24-25学年·高一上期末·河北省邢台市)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L. E. J. Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据定义得到方程，看方程是否有解，进而判断是否是“不动点”函数. 【详解】根据定义可知：若为不动点函数，则有解．A．令，得，此时无解，故不是“不动点”函数；B．令，所以或，所以是“不动点”函数； C．当时，，无解；当时，，无解，所以不是“不动点”函数；D．令，不难看出是该方程的根，所以是“不动点”函数．故选：BD． 2．(24-25学年·高一上期末·河北省廊坊市)设函数，其中表示x，y，z中的居中者，下列说法正确的有（    ） A．有最大值，无最小值 B．的值域为 C．为偶函数 D．在上单调递增 【答案】BCD 【分析】先画出的图象，依据图象逐项判断后可得正确的选项. 【详解】，故为的偶函数，故C正确； 当时，，故， 当时，，故， 当时，，故， 故的图象如图所示， 对于A，由图可得有最小值，无最大值，故A错误；对于B，的值域为，故B正确； 对于D，由图可得在上单调递增，故选：BCD. 二、非选择题 3．(24-25学年·高一上期末·河北省衡水市武强中学)已知为实数，用表示不超过的最大整数.则函数称为取整函数，也叫高斯（Gaussian）函数，例如[3.5]=3，. (1)若函数，求的值； (2)若存在，使得，则称函数是函数，若函数是函数，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据题设函数定义求对应函数值； （2）根据题设有列方程得，即可求参数范围. 【详解】（1）由于，所以，； （2）当时，，则存在，使得， 对于，得，所以，即的取值范围是. 4．(24-25学年·高一上期末·河北省定州市二中)已知函数. (1)，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)已知函数的定义域为，若对于任意，，，能构成一个三角形的三条边长，则称函数为集合上的“三角形函数”.若函数是区间上的“三角形函数”，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）换元法令，根据对勾函数的单调性，结合不等式恒成立，求出对应区间上函数的最小值即可求解； （2）利用对勾函数的单调性，分、、三种情况得到不等式，解不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以，因为， 所以，因为恒成立， 所以，整理得：恒成立， 令，，构造函数， 根据对勾函数的单调性可知：函数在上单调递减，在上单调递增， 对于，当时，， 因为恒成立，所以，又因为，解得. （2）因为，由对勾函数的单调性可知： 在上单调递减，在上单调递增， 根据题意函数是区间上的“三角形函数”， 所以当时，有即可， 所以当时，在上单调递增，，， 所以有，即，无解； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，或， 当时，， 此时有，即得，解得； 当时，， 此时有，即得，解得；故； 当时，在上单调递减，，， 所以有，即，无解. 综上所述：的取值范围为. 5．(24-25学年·高一上期末·河北省廊坊市)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知定义在上的函数的图象关于点对称． (1)求的值； (2)设函数． ①证明函数的图象关于点对称； ②用定义证明在区间上单调递增，并求在上的值域； ③在题干条件下，当时，，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析，；③ 【分析】（1）根据函数的对称性计算可得； （2）①根据对称性的定义证明即可；②利用单调性定义证明，再根据所得单调性结合定义域求值域即可；③记在区间上的值域为，则.由此问题转化为讨论的值域，分，，三种情况讨论即可. 【详解】（1）因为的图象关于点对称， 所以，令，得. （2）①函数的定义域为，又， 则， 所以的对称中心为； ②任取，且， 则， 所以且，所以，即， 所以在上单调递增.所以在上单调递增，又， 所以在上的值域为. ③由于对任意，总存在，使得成立， 于是问题转化为在上的值域是在上的值域的子集， 记在区间上的值域为，则 因为的图象关于点对称，当时，， 当时，在上单调递增，由对称性知，在上单调递增， ∴在上单调递增，只需即可，得，∴满足题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增，由对称性知，在上单调递增，在上单调递减， ∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， ∴或， 当时，，，∴满足题意； 当时，在上单调递减，由对称性知，在上单调递减，∴在上单调递减，只需即可，得，∴满足题意. 综上所述，的取值范围为. 6．(24-25学年高一上期末·河北省承德市)已知函数的定义域为．若且，则称是凹函数；若且，则称是凸函数． (1)已知函数． ①求的解析式； ②判断是凹函数还是凸函数，根据凹函数，凸函数的定义证明你的结论． (2)讨论函数在定义域上的凹凸性. 【答案】(1)①；②是凹函数，证明见解析 (2)时，函数在定义域上为凸函数；时，函数在定义域上为凹函数 【分析】（1）①利用配凑法，求函数解析式； ②采用作差法，比较与的大小，证明其为凹函数； （2）利用作差法，分和得其凸凹性. 【详解】（1）①根据题意，， 所以； ②是凹函数；，且， 则 因为，所以， 所以，即，故是凹函数. （2）， 则 ， 因为，所以， 所以当时，， 即，函数在定义域上为凸函数， 当时，， 即，函数在定义域上为凹函数. 7．(24-25学年·高一上期末·河北省沧州市)若函数满足：对任意的，都有，且，则称为“超加性倾向函数”． (1)若函数，试判断是否是“超加性倾向函数”，并说明理由． (2)证明：函数是“超加性倾向函数”． (3)若函数是“超加性倾向函数”，求的取值范围． 【答案】(1)不是“超加性倾向函数”，理由见解析 (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）根据“超加性倾向函数”的定义判定即可；（2）根据“超加性倾向函数”的定义，结合函数单调性定义证明即可；（3）根据“超加性倾向函数”的定义性质，结合指数函数性质计算即可. 【详解】（1）解：当时，，则不是“超加性倾向函数”． （2）证明：因为，所以是上的增函数． 因为是上的增函数，所以是上的增函数，所以． 取任意的，则． 因为，所以，所以，所以， 所以，即，故是“超加性倾向函数”． （3）因为是“超加性倾向函数”，所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立．因为，所以，所以对任意的恒成立，所以． 因为是“超加性倾向函数”，所以对任意的恒成立，所以， 所以对任意的恒成立， 所以，即．故的取值范围是． 8．(24-25学年·高一上期末·河北省保定市)已知函数的定义域为，若对于任意，，，能够成一个三角形的三条边长，则称函数为集合上的“三角形函数”. (1)已知函数是区间（为常数）上的“三角形函数”，求的取值范围； (2)已知函数是区间（为常数）上的“三角形函数”，在函数的图象上，是否存在三个不同的点，，，当时，，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)不存在 【分析】（1）转化为，再利用对勾函数单调性对分类讨论即可； （2）通过假设存在计算得到，再得到，又分析出，则得到矛盾点，即证明其不存在. 【详解】（1）根据条件，如果函数为集合M上的“三角形函数”只需满足， 因为对勾函数在单调递减，在单调递增， 当时，,, 因为，所以函数为三角形函数； 当时，,因为，， 此时满足，所以函数为三角形函数； 当时，,, 若函数为三角形函数，只需，即   综上，t的取值范围为 （2）因为，，则，所以， 因为，得，因为，则，所以， 假设存在三个点， 则 所以当时，， 又因为，所以. 所以，这与矛盾. 所以不存在三个不同的点 当时，. 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $