2.3确定二次函数表示方法（2）同步练习2025-2026学年北师大版九年级数学下册

北师大版九年级数学下册第二单元二次函数题型总结 2.3确定二次函数表示方法2.4二次函数应用 【题型一】待定系数法求二次函数解析式 【例1】（2025秋•延平区校级月考）如图所示的抛物线的解析式是（　　） A．y＝x2﹣2x+3 B．y＝﹣x2﹣2x+3 C．y＝﹣x2+2x+3 D．y＝﹣x2+2x﹣3 【例2】（2025秋•蓬莱区期中）已知一条抛物线经过A（0，10），B（m+2，n），C（4﹣m，n），D（3，1）四点，则此抛物线的解析式为 　 ． 【例3】（2024秋•金平区期末）已知抛物线C1的顶点坐标为（2，3），且与抛物线的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线C1的解析式为（　　） A．y＝（x+2）2﹣3 B．y＝﹣（x﹣2）2﹣3 C．y＝﹣（x﹣2）2+3 D．y＝（x﹣2）2+3 【变式1】（2025秋•红桥区期中）若抛物线的顶点坐标为（2，﹣5），与y轴相交于点（0，﹣9），则该抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣（x﹣2）2﹣5 B．y＝（x﹣2）2﹣5 C．y＝﹣（x+2）2﹣5 D．y＝（x+2）2+5 【变式2】（2025秋•徐州期中）已知一个二次函数的图象形状和开口方向与y＝﹣3x2相同，且顶点坐标为（2，6），则这个二次函数的表达式为 　 ． 【变式3】（2025秋•姑苏区校级期中）已知直线y＝kx+b过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y＝ax2相交于B，C两点，点B的坐标为（1，1）． （1）求直线和抛物线各自的函数解析式； （2）求△OBC的面积． 【题型二】二次函数的三种形式 【例1】（2025秋•武清区校级月考）二次函数中．二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3、﹣2、5 B． C．，5 D． 【例2】（2025秋•西城区校级期中）用配方法将二次函数化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为　 　 ． 【例3】（2025秋•蓟州区校级月考）把y＝（2﹣3x）（6+x）变成一般式，二次项系数为　 　 ，一次项系数为　 　 ，常数项为　 　 ． 【变式1】（2025秋•思明区校级期中）二次函数y＝x2﹣2px+3的顶点式为y＝（x﹣2）2+m，则p的值为（　　） A．3 B．2 C．1 D．﹣2 【变式2】（2025秋•徐汇区校级月考）如果抛物线y＝（a﹣1）x2+ax﹣1的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a＜0 C．a＞1 D．a＜1 【变式3】（2025秋•城西区期中）用配方法将函数解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为 　 ． 【题型三】根据实际问题列二次函数关系式 【例1】（2025•大观区二模）某公司设计生产一种学生毕业纪念册，并投放市场，已知制造成本为18元/件，经过市场调查发现，销售单价为32元时，每月的销售量为36（万件）；销售单价为24元时，每月的销售量为52（万件）；如果每月的销售量y（万件）与销售单价x（元/件）成一次函数关系． （1）求每月销售量y（万件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式． （2）求每月的利润w（万元）与销售单价x（元件）之间的函数关系式（结果化为一般式）． 【变式1】（2025•清镇市模拟）交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量q（辆/时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数，速度v（千米/时）指通过道路指定断面的车辆速度，密度k（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间关系的部分数据如下表： 速度v（千米/时） … 5 10 20 32 40 48 … 流量q（辆/时） … 550 1000 1600 1792 1600 1152 … （1）根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画q，v关系最准确的是　③　 ；（只填正确答案的序号） ①q＝10v+500； ②； ③q＝﹣2v2+120v． （2）请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？ （3）已知q，v，k满足q＝vk．某市交通运行监控平台显示，当12≤v＜18时道路出现轻度拥堵．试分析当车流密度k在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵． 【变式2】（2025•盐城一模）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计打印图纸方案？ 素材1 如图1，正方形ABCD是一张用于3D打印产品的示意图，它由三个区块（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）构成．已知AB＝20cm，点E，F分别在BC和AB上，且BE＝BF，设BE＝xcm（0＜x＜20）． 素材2 为了打印精准，拟在图2中的BC边上设置一排间距为1cm的定位坐标（B为坐标原点），计算机可根据点E的定位坐标精准打印出图案． 问题解决 任务1 确定关系 用含x的代数式表示： 区块Ⅰ的面积＝x2 ； 区块Ⅱ的面积＝　 　 ； 区块Ⅲ的面积＝　 　 ． 任务2 拟定方案 为美观，拟将区块Ⅲ分割为甲、乙两个三角形区域，并要求区域乙是以DE为腰的等腰三角形，求所有方案中区域乙的面积或函数表达式． 任务3 优化设计 经调查发现区域乙的面积为（160±10）cm2范围内的整数时，此时的E点为最佳定位点，请直接写出所有的最佳定位点E的坐标． 【题型四】二次函数的应用 【例1】（2025•青岛）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点O正上方1.8米的A点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，O为原点，OA在y轴上，球的运动路线可以看作是二次函数y＝ax2+bx+1.8（a，b为常数）图象的一部分，其中y（米）是球的高度，x（米）是球和原点的水平距离，图象经过点（2，3.2），（4，4.2）． 信息二：球和原点的水平距离x（米）与时间t（秒）（0≤t≤1.6）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： t（秒） 0 0.4 0.6 … x（米） 0 4 6 … （1）求y与x的函数关系式； （2）网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ （3）当t为1.6秒时，小明将球击回，球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数y＝﹣0.02x2+px+m（p，m为常数）图象的一部分，其中y（米）是球的高度，x（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标x为2，纵坐标y大于等于1.8时，p的取值范围为 　 （直接写出结果）． 【例2】（2025秋•江汉区期中）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲． （1）若每个房间每天定价增加m元（m是10的倍数），直接写出该宾馆的已居住的房间数； （2）若游客居住房间，宾馆需对已居住的每个房间每天支出20元的备种费用． ①若该宾馆一天利润为8640元，求当天的定价； ②房价定为多少时，宾馆利润最大？ 【变式1】（2025•巴中）如图，计划用长为40m的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长25m）． （1）矩形围栏的面积为150m2时，三边分别长多少m？ （2）矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少m？ 【变式2】（2025•山西）综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60cm，起跳点与落地点的距离为160cm． 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为（0，75），点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3cm，才能安全通过．如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝57cm，BC＝40cm，CD＝48cm．仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 【变式1】（2025•内江）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ （3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价a（60≤a≤100）元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 【题型五】二次函数综合题 【例1】（2025•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（2，3），与x轴交于点A（﹣1，0）和点B． （1）求该抛物线的解析式； （2）点C，D在直线yx上，点E在x轴上，F是抛物线上位于第一象限的点，若四边形CDEF是正方形，求点F的坐标； （3）设点P（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，点Q（x1，y2）在抛物线y＝x2﹣（4m﹣2）x+4m2+2上，当1≤x1≤2时，y2﹣y1的最小值为3，求m的值． 【例2】（2025•淄博）如图，一条抛物线y＝ax2+bx与x轴相交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．与y轴相交于点C． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）问在抛物线上是否存在点P，使得∠ABC∠PAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）将射线CB绕点C逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点D，再将抛物线沿直线CD平移，得到一条新的抛物线（其顶点为M），设这两条抛物线的交点为Q． ①求旋转角度的正切值； ②当∠CQM＝90°时，求原抛物线平移的距离． 【例3】（2025•绥化）综合与探究 如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线y＝kx﹣5经过B、C两点，若点A（1，0），B（﹣5，0），点P是抛物线上的一个动点（不与点A、B重合）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，当PE＝3ED时，求P点坐标； （3）若点F是直线BC上的一个动点，请判断在点B右侧的抛物线上是否存在点P，使△AFP是以PF为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2025•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点O和点A（3，3a）． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax于点N． ①若a＝1，t＝4，求MN的长； ②已知在点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围． 【变式2】（2025•眉山）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝﹣3对称，与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线对称轴上一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转90°，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； （3）在线段OC上是否存在点Q，使2AQCQ存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 【变式3】（2025•潍坊）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx（a＜0）与正比例函数y＝kx的图象都经过点A（3，3），点P为二次函数图象上点O与点A之间的一点，过点P作x轴的垂线，交OA于点C，交x轴于点D． （1）若点A为该二次函数的顶点， ①求二次函数的表达式； ②求线段PC长度的最大值． （2）若该二次函数与x轴的一交点为B（m，0），且m＞4，求a的取值范围． 【变式4】（2025•西宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，以P为顶点的抛物线的解析式为y＝ax2﹣4ax（a＜0），点A的坐标是（﹣1，0），以原点为中心，把点A顺时针旋转90°，得到点A′． （1）直接写出A′点的坐标和抛物线的对称轴； （2）当3≤x≤5时，y有最大值为1﹣2a，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点A′，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【课后练习】 1．（2025秋•莱芜区期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 5 … y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 … 则当x＝﹣1时，对应的函数值y为（　　） A．7 B．0 C．﹣5 D．﹣8 2．（2025春•绥化期末）顶点为（﹣6，0），开口向下，形状与函数的图象相同的抛物线对应的解析式为（　　） A． B． C． D． 3．（2025秋•启东市期中）若开口向下的抛物线顶点在原点，则这条抛物线的解析式是 （写出一个即可）． 4．（2025秋•德清县期中）已知二次函数y＝a（x﹣3）（x﹣1）的图象经过点（﹣1，4）． （1）写出这个二次函数的表达式． （2）求这个二次函数图象的顶点坐标． 5．（2025秋•东城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c（b、c是常数）的对称轴是直线x＝1，且经过点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）点P在该抛物线上，横坐标为m（m≠﹣1），点A的坐标为（﹣1，m+1），过点Q（，0）作x轴的垂线，交直线AP与点M，抛物线于点N． ①用含m的代数式表示点M的纵坐标； ②当线段MN的长随m的增大而增大时，求m的取值范围． 6．（2025•甘孜州）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线过原点，顶点为P，直线l过原点和点P． （1）求抛物线C1和直线l的解析式； （2）如图2，将抛物线C1的顶点沿射线OP平移，抛物线也随之移动得到抛物线C2，设顶点为A，其横坐标为t（t＞2），抛物线C2与抛物线C1交于点B． ①当t＝10时，求点B的横坐标； ②若点B的横坐标为n，请猜想并写出n与t的关系（不写推理过程）； ③如图3，若点B在第一象限内，设OB与y轴正半轴的夹角为α，当∠OAB＝α时，求点B的坐标． 7．（2025•西藏）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4过点A（﹣1，0），B（m，0），与y轴交于点C．点B是x轴正半轴上的动点，点F是抛物线在第四象限图象上的动点，连接BC，AF，且AF交y轴于点D，交BC于点E． （1）当m＝3时，求抛物线的解析式； （2）如图1，在（1）的条件下，若∠CDE＝∠CED，求直线AF的解析式； （3）要使得∠DCE＝∠DEC成立，请探索m的取值范围（直接写出结果）； （4）如图2，∠DCE＝∠DEC，当m为何值时，OD的长度等于1？ 8．（2025•海南）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（4，0）、B（﹣2，6）两点．点P（x0，y0）是线段AB上的动点，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q． （1）若c＝﹣4． ①求抛物线的解析式； ②求线段PQ长度的最大值； ③若t≤x0≤t+1，求x0取何值时线段PQ的长度最大（可用含t的代数式表示x0）．（2）若c≠﹣4，t≤x0≤t+1，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由． 9．（2025•贵州）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触，石块会在空中近似地形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离x之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点F，运动路径近似为抛物线C1，且C1：y＝ax2+bx+c，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点G，运动路径近似为抛物线C2，且C2：ymx+n．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） （1）如图②，当a，b时，若点F坐标为（2，0），求抛物线C1的表达式； （2）在（1）的条件下，若FG＝4，在水面上有一个截面宽AB＝1，高BC＝0.5的矩形ABCD的障碍物，点A的坐标为（4.5，0），判断此时石块沿抛物线C2运动时是否能越过障碍物？请说明理由； （3）小星在抛掷石块时，若C1的顶点需在一个正方形MNPQ区域内（包括边界），且点F在（3，0）和（4，0）之间（包括这两点），其中M（，1），N（1，1），Q（，），求a的取值范围．（在抛掷过程中正方形与抛物线C1在同一平面内） 10．（2025•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx过点（﹣1，3），且对称轴为直线x＝1，直线y＝kx﹣k与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当k＝1时，直线AB与y轴交于点D，与直线x＝2交于点E．若抛物线y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点，求h的取值范围； （3）过点C与AB垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是AB，PQ的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得TC总是平分∠MTN？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（2025•济南）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（3，1），B（0，﹣2）两点，顶点为G． （1）求二次函数的表达式和顶点G的坐标． （2）如图1，将二次函数y＝x2+bx+c的图象沿x轴方向平移n（n＞0）个单位长度得到一个新函数的图象，当0≤x≤3时，新函数的最大值是8，求n的值． （3）如图2，将二次函数y＝x2+bx+c的图象沿直线AB平移，点A，G的对应点分别为A′，G′，连接AG′，A′G，线段AG′与A′G交于点M．若，请直接写出点G′的坐标． 12．（2025•大庆）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为y轴，且过坐标原点O及点，过点A作射线AM平行于y轴（点M在点A上方），点F坐标为（0，1），连接AF并延长交抛物线于点E，射线AB平分∠FAM，过点A作AB的垂线l交y轴于点T． （1）求二次函数的表达式； （2）判断直线l与二次函数y＝ax2+bx+c的图象的公共点的个数，并说明理由； （3）点P（m，0）为x轴上的一个动点，且∠APE为钝角，请直接写出实数m的取值范围． 13．（2025•宁夏）如图，抛物线y＝ax2﹣2x+3与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，顶点C的横坐标为﹣1． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，将直线AB沿y轴向上平移m（m＞0）个单位长度，当它与抛物线有交点时，求m的取值范围； （3）如图2，抛物线的对称轴交直线AB于点D，交x轴于点E，连接AC．抛物线上是否存在点P（不与点C重合），使得S△PAD＝S△CAD．若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由． 14．（2025•广元）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a＞0）与x轴交于点A和点B（﹣4，0），与y轴交于点C． （1）求b与a的关系； （2）如图①，当a时，点P在抛物线上，S△PBC＝4，求点P的坐标； （3）如图②，若抛物线上一点Q关于直线BC的对称点是△AOC的外心M，求a的值． 15．（2025•资阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴相交于点C（0，﹣3），且抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）． （1）求抛物线的表达式； （2）P是抛物线上位于第四象限的一点，点D（0，﹣1），连接BC，DP相交于点E，连接PB．若△CDE与△PBE的面积相等，求点P的坐标； （3）M，N是抛物线上的两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为G，H．是否存在点M，N，使得以M，N，G，H为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 16．（2025•青海）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A，B两点，点B的坐标为（1，0），点C（2，5）在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）①求点A的坐标； ②当y＜0时，根据图象直接写出x的取值范围 　 　 ； （3）连接AC交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由． 17．（2025•辽宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y1（x﹣1）2+1的图象与x轴的正半轴相交于点A，二次函数y2＝ax2+c的图象经过点A，且与二次函数y1的图象的另一个交点为B，点B的横坐标为． （1）求点A的坐标及a，c的值． （2）直线x＝m与二次函数y1，y2的图象分别相交于点C，D，与直线AB相交于点E，当m＜3时， ①求证：DE＝2CE； ②当四边形ACBD的一组对边平行时，请直接写出m的值． （3）二次函数y1（x﹣1）2+1（x＜3）与二次函数y2＝ax2+c（x≥3）组成新函数y3，当x≤t﹣n时，函数y3的最小值为，最大值为t，求n的取值范围． 18．（2025•长春）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx经过点（3，3），点A、B是该抛物线上的两点，横坐标分别为m、m+1，已知点M（1，1），作点A关于点M的对称点C，作点B关于点M的对称点D，构造四边形ABCD． （1）求该抛物线所对应的函数表达式； （2）当A，B两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点C的坐标； （3）设抛物线在A、B两点之间的部分（含A、B两点）为图象G，当0＜m＜1时，若图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为，求m的值； （4）连结OA、OB，当∠AOB＝∠OAD+∠OBC时，直接写出m的取值范围．（这里∠AOB、∠OAD、∠OBC均是大于0°且小于180°的角） 19．（2025•湖北）抛物线yx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． （1）求c的值； （2）如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求的值； （3）定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧MN（含端点M和N）．过M，N分别作x轴的垂线l1，l2，过抛物线弧MN的最高点和最低点分别作y轴的垂线l3，l4，直线l1，l2，l3与l4围成的矩形叫做抛物线弧MN的特征矩形，若点P在第四象限，记抛物线弧CP的特征矩形的周长为f． ①求f关于t的函数解析式； ②过点P作PQ∥x轴，交抛物线于点Q，点Q与点C不重合．记抛物线弧CQ的特征矩形的周长为g．若f+g，直接写出PQ的长． 20．（2025•宜宾）如图，O是坐标原点，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（3，0），C（0，3）． （1）求b、c的值； （2）点D为抛物线上第一象限内一点，连结BD，与直线AC交于点E，若DE：BE＝1：2，求点D的坐标； （3）若F为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为P（m，n）（m＞1），若P又在原抛物线上，新抛物线与直线x＝1交于点N，连结FP、PN，∠FPN＝120°．探究新抛物线与x轴是否存在两个不同的交点．若存在，求出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由． 21．（2025•威海）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），点B，交y轴于点C．点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线y＝ax2+bx﹣3上．点E为抛物线的顶点． （1）求抛物线的表达式及顶点E的坐标； （2）连接BC，点M是线段BC上一动点，连接OM，作射线CD． ①在射线CD上取一点F，使CF＝CO，连接FM．当OM+FM的值最小时，求点M的坐标； ②点N是射线CD上一动点，且满足CN＝CM．作射线CE，在射线CE上取一点G，使CG＝CO．连接GN，BN．求OM+BN的最小值； （3）点P在抛物线y＝ax2+bx﹣3的对称轴上，若∠OAP+∠OCA＝45°，则点P的坐标为　 　 ． 22．（2025•德阳）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图2，连接BC，过点C作CD⊥BC与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段BC上两个动点（点E在点F的右侧），且EF，连接OF，DE．求OF+DE的最小值． 23．（2025•苏州）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线BC，M（m，y1），N（m+2，y2）为二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上两点． （1）求直线BC对应函数的表达式； （2）试判断是否存在实数m使得y1+2y2＝10．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． （3）已知P是二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上一点（不与点M，N重合），且点P的横坐标为1﹣m，作△MNP．若直线BC与线段MN，MP分别交于点D，E，且△MDE与△MNP的面积的比为1：4，请直接写出所有满足条件的m的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版九年级数学下册第二单元二次函数题型总结 2.3确定二次函数表示方法2.4二次函数应用 【题型一】待定系数法求二次函数解析式 【例1】（2025秋•延平区校级月考）如图所示的抛物线的解析式是（　　） A．y＝x2﹣2x+3 B．y＝﹣x2﹣2x+3 C．y＝﹣x2+2x+3 D．y＝﹣x2+2x﹣3 【考点】待定系数法求二次函数解析式．版权所有 【分析】先通过观察抛物线的开口方向确定二次项系数a大于0，然后根据抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，判断出常数项c大于0，再根据对称轴的位置推断b的符号与a的符号相反． 【解答】解：由题意，观察抛物线的图象， ∴抛物线开口向下，则a＜0． 又∵抛物线与y轴的正半轴相交， ∴c＞0． ∵抛物线的对称轴在原点的右侧， ∴a和b的符号相反，则b＞0． 由此，只有选项C符合． 故选：C． 【例2】（2025秋•蓬莱区期中）已知一条抛物线经过A（0，10），B（m+2，n），C（4﹣m，n），D（3，1）四点，则此抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2+1　 ． 【考点】待定系数法求二次函数解析式．版权所有 【分析】根据题意得到抛物线的对称轴为直线x3，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+k，解方程组即可得到结论． 【解答】解：∵B（m+2，n），C（4﹣m，n）， ∴抛物线的对称轴为直线x3， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+k， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2+1， 故答案为：y＝（x﹣3）2+1． 【例3】（2024秋•金平区期末）已知抛物线C1的顶点坐标为（2，3），且与抛物线的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线C1的解析式为（　　） A．y＝（x+2）2﹣3 B．y＝﹣（x﹣2）2﹣3 C．y＝﹣（x﹣2）2+3 D．y＝（x﹣2）2+3 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．版权所有 【分析】设顶点式为y＝a（x﹣2）2+3，然后根据二次函数的性质确定a的值，从而得到抛物线C1的解析式． 【解答】解：∵抛物线C1的顶点坐标为（2，3）， ∴抛物线C1的解析式可设为y＝a（x﹣2）2+3， ∴抛物线C1与抛物线的开口方向、形状大小完全相同， ∴a＝1， ∴抛物线C1的解析式为y＝（x﹣2）2+3． 故选：D． 【变式1】（2025秋•红桥区期中）若抛物线的顶点坐标为（2，﹣5），与y轴相交于点（0，﹣9），则该抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣（x﹣2）2﹣5 B．y＝（x﹣2）2﹣5 C．y＝﹣（x+2）2﹣5 D．y＝（x+2）2+5 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】根据顶点坐标设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣5，再代入点（0，﹣9），求出系数a＝﹣1，问题得解． 【解答】解：若抛物线的顶点坐标为（2，﹣5），与y轴相交于点（0，﹣9）， ∴设解析式为y＝a（x﹣2）2﹣5， 又∵抛物线过点（0，﹣9）， ∴﹣9＝a（0﹣2）2﹣5， 解得a＝﹣1， ∴y＝﹣（x﹣2）2﹣5． 故选：A． 【变式2】（2025秋•徐州期中）已知一个二次函数的图象形状和开口方向与y＝﹣3x2相同，且顶点坐标为（2，6），则这个二次函数的表达式为y＝﹣3（x﹣2）2+6　 ． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质．版权所有 【分析】根据二次函数的顶点坐标可设二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2+6，再根据图象的形状和开口方向与y＝﹣3x2相同，可得a的值，即可解答． 【解答】解：∵该二次函数的顶点坐标为（2，6）， ∴可设二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2+6， 由题意可得：a＝﹣3， ∴这个二次函数的解析式为y＝﹣3（x﹣2）2+6． 故答案为：y＝﹣3（x﹣2）2+6． 【变式3】（2025秋•姑苏区校级期中）已知直线y＝kx+b过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y＝ax2相交于B，C两点，点B的坐标为（1，1）． （1）求直线和抛物线各自的函数解析式； （2）求△OBC的面积． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；待定系数法求一次函数解析式．菁【分析】（1）将A、B两点坐标代入y＝kx+b中，可求直线解析式，将B点坐标代入y＝ax2中，可求抛物线解析式； （2）联立直线与抛物线解析式，可求C点坐标，利用S△OBC＝S△OCA﹣S△OBA求解即可． 【解答】解：（1）设直线AB所表示的函数解析式为y＝kx+b， ∵它过点A（2，0）和点B（1，1）， ∴， 解得， ∴直线AB所表示的函数解析式为y＝﹣x+2， ∵抛物线y＝ax2过点B（1，1）， ∴a×12＝1， 解得a＝1， ∴抛物线所表示的函数解析式为y＝x2； （2）解方程组，得或， ∴C点坐标为（﹣2，4）， ∵B点坐标为（1，1），A点坐标为（2，0）， ∴OA＝2，S△OAC2×4＝4， S△OAB2×1＝1， ∴S△OBC＝S△OAC﹣S△OAB＝4﹣1＝3． 【题型二】二次函数的三种形式 【例1】（2025秋•武清区校级月考）二次函数中．二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3、﹣2、5 B． C．，5 D． 【考点】二次函数的三种形式；二次函数的定义．版权所有 【分析】依据题意，根据二次函数的解析式为，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数为， ∴二次项系数为3，一次项系数为﹣2、常数项为5． 故选：C． 【例2】（2025秋•西城区校级期中）用配方法将二次函数化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为　　 ． 【考点】二次函数的三种形式．版权所有 【分析】据配方法求解即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【例3】（2025秋•蓟州区校级月考）把y＝（2﹣3x）（6+x）变成一般式，二次项系数为　﹣3　 ，一次项系数为　﹣16　 ，常数项为　12　 ． 【考点】二次函数的三种形式．版权所有 【分析】根据多项式的乘法法则化简为一般式，再根据二次函数的一般式求出相应系数即可． 【解答】解：由题意得，∵y＝（2﹣3x）（6+x）， ∴y＝﹣3x2﹣16x+12， ∴二次函数的二次项系数：﹣3，一次项系数：﹣16，常数项：12． 故答案为：﹣3；﹣16；12． 【变式1】（2025秋•思明区校级期中）二次函数y＝x2﹣2px+3的顶点式为y＝（x﹣2）2+m，则p的值为（　　） A．3 B．2 C．1 D．﹣2 【考点】二次函数的三种形式；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】通过二次函数顶点横坐标公式，比较给定顶点式中的横坐标值，直接求出p即可． 【解答】解：二次函数y＝x2﹣2px+3的顶点横坐标为：x， ∵此函数的顶点式为y＝（x﹣2）2+m， ∴p＝2， 故选：B． 【变式2】（2025秋•徐汇区校级月考）如果抛物线y＝（a﹣1）x2+ax﹣1的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a＜0 C．a＞1 D．a＜1 【考点】二次函数的三种形式；二次函数的定义；二次函数的图象；二次函数的性质．版权所有【分析】根据二次根式的性质列出算式，求出a的范围． 【解答】解：∵抛物线y＝（a﹣1）x2+ax﹣1的顶点是它的最低点， ∴抛物线开口向上， ∴a﹣1＞0， ∴a＞1， 故选：C． 【变式3】（2025秋•城西区期中）用配方法将函数解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为y（x﹣1）2+2　 ． 【考点】二次函数的三种形式．版权所有 【分析】先提公因式、再配方得到答案． 【解答】解：yx2+x （x2﹣2x） （x2﹣2x+1） （x﹣1）2+2， 故答案为：y（x﹣1）2+2． 【题型三】根据实际问题列二次函数关系式 【例1】（2025•大观区二模）某公司设计生产一种学生毕业纪念册，并投放市场，已知制造成本为18元/件，经过市场调查发现，销售单价为32元时，每月的销售量为36（万件）；销售单价为24元时，每月的销售量为52（万件）；如果每月的销售量y（万件）与销售单价x（元/件）成一次函数关系． （1）求每月销售量y（万件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式． （2）求每月的利润w（万元）与销售单价x（元件）之间的函数关系式（结果化为一般式）． 【考点】根据实际问题列二次函数关系式；根据实际问题列一次函数关系式．版权所有 【分析】（1）由题意知，设y＝kx+b，当x＝32时，y＝36；当x＝24时，y＝52；代入解方程组即可求解； （2）根据利润等于单件利润乘销售量即可得到w关于x的函数关系式． 【解答】解：（1）设y＝kx+b，由条件可得， 解得， ∴y＝﹣2x+100； （2）由题意得w＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣2x+100）， 整理得：w＝﹣2x2+136x﹣1800． 【变式1】（2025•清镇市模拟）交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量q（辆/时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数，速度v（千米/时）指通过道路指定断面的车辆速度，密度k（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间关系的部分数据如下表： 速度v（千米/时） … 5 10 20 32 40 48 … 流量q（辆/时） … 550 1000 1600 1792 1600 1152 … （1）根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画q，v关系最准确的是　③　 ；（只填正确答案的序号） ①q＝10v+500； ②； ③q＝﹣2v2+120v． （2）请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？ （3）已知q，v，k满足q＝vk．某市交通运行监控平台显示，当12≤v＜18时道路出现轻度拥堵．试分析当车流密度k在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵． 【考点】根据实际问题列二次函数关系式．版权所有 【分析】（1）利用函数的增减性即可判断；（2）利用配方法，根据二次函数的性质即可解决问题；（3）求出v＝12或18时，定义的k的值即可解决问题； 【解答】解：（1）函数①q＝ 10v+500，q随v的增大而增大，不符合表格中的数据； 函数②q，q随v的增大而减小，显然不符合表格中的数据； 函数③q＝﹣2v2+120v＝﹣2（v﹣30）2+1800，符合表格中的数据． 故根据上表信息，函数③刻画q，v关系最准确． 故答案为：③； （2）由（1）知，q＝﹣2v2+120v＝﹣2（v﹣30）2+1800， ∵﹣2＜0， ∴v＝30时，q达到最大值，q的最大值为1800， ∴当该路段的车流速度为30千米/小时时，流量达到最大，最大流量是1800辆/小时； （3）当v＝12时，q＝1152，此时k＝96， 当v＝18时，q＝1512，此时k ＝84， ∴当84＜k＜96时，该路段将出现轻度拥堵． 【变式2】（2025•盐城一模）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计打印图纸方案？ 素材1 如图1，正方形ABCD是一张用于3D打印产品的示意图，它由三个区块（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）构成．已知AB＝20cm，点E，F分别在BC和AB上，且BE＝BF，设BE＝xcm（0＜x＜20）． 素材2 为了打印精准，拟在图2中的BC边上设置一排间距为1cm的定位坐标（B为坐标原点），计算机可根据点E的定位坐标精准打印出图案． 问题解决 任务1 确定关系 用含x的代数式表示： 区块Ⅰ的面积＝x2 ； 区块Ⅱ的面积＝　﹣10x+200　 ； 区块Ⅲ的面积＝　x2+10x+200　 ． 任务2 拟定方案 为美观，拟将区块Ⅲ分割为甲、乙两个三角形区域，并要求区域乙是以DE为腰的等腰三角形，求所有方案中区域乙的面积或函数表达式． 任务3 优化设计 经调查发现区域乙的面积为（160±10）cm2范围内的整数时，此时的E点为最佳定位点，请直接写出所有的最佳定位点E的坐标． 【考点】根据实际问题列二次函数关系式；等腰三角形的性质．版权所有 【分析】任务1：根据三角形的面积公式和割补法求解； 任务2：根据割补法求解； 任务3：根据题意列不等式求解． 【解答】，解：任务1：区块Ⅰ的面积x2； 区块Ⅱ的面积20（20﹣x）＝﹣10x+200； 区块Ⅲ的面积＝20×20x2﹣（﹣10x+200）x2+10x+200， 故答案为：x2；﹣10x+200；x2+10x+200； 任务2：连接DF，易证△ADF≌△CDE（SAS）， ∴ED＝DF， ∴△DEF是等腰三角形， ∴区域乙的面积为：x2+10x+200﹣（﹣10x+200）x2+20x， ∴区域乙的面积或函数表达式为x2+20x； 当EF＝ED时，2x2＝202+（20﹣x）2， 解得x＝﹣20+20（负结果舍去）， ∴区域乙的面积＝20×20（﹣20+20）﹣2（20+20﹣20）×20＝（390390）cm2； 任务3：设Sx2+20x， 由题意得：150x2+20x≤170， 解得：10≤x≤20﹣2或20+2x≤30（不合题意，舍去）， ∵S取整数， ∴x取偶数， ∴x的值为：10、12， ∴E的坐标为（10，0）或（12，0）． 【题型四】二次函数的应用 【例1】（2025•青岛）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点O正上方1.8米的A点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，O为原点，OA在y轴上，球的运动路线可以看作是二次函数y＝ax2+bx+1.8（a，b为常数）图象的一部分，其中y（米）是球的高度，x（米）是球和原点的水平距离，图象经过点（2，3.2），（4，4.2）． 信息二：球和原点的水平距离x（米）与时间t（秒）（0≤t≤1.6）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： t（秒） 0 0.4 0.6 … x（米） 0 4 6 … （1）求y与x的函数关系式； （2）网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ （3）当t为1.6秒时，小明将球击回，球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数y＝﹣0.02x2+px+m（p，m为常数）图象的一部分，其中y（米）是球的高度，x（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标x为2，纵坐标y大于等于1.8时，p的取值范围为 p≤0.36　 （直接写出结果）． 【考点】二次函数的应用．版权所有 【分析】（1）依据题意，根据二次函数y＝ax2+bx+1.8（a，b为常数）图象经过点（2，3.2），（4，4.2），从而由待定系数法即可计算得解； （2）依据题意，由二次函数为y＝﹣0.05x2+0.8x+1.8，可得其对称轴为直线，则此时最大高度为：y＝﹣0.05×82+0.8×8+1.8＝5，又根据信息二，x与t是一次函数关系，故可设x＝kt+c，再结合表格数据可得，图象过（0，0）和（0.4，4），可得一次函数的解析式为一次函数为x＝10t，进而可以得解； （3）依据题意，当t＝1.6秒时，x＝10×1.6＝16，再代入原抛物线得y＝﹣0.05×162+0.8×16+1.8＝1.8，即此时球的坐标为（16，1.8），又新抛物线y＝﹣0.02x2+px+m过点（16，1.8），得m＝1.8+0.02×162﹣16p＝6.92﹣16p，则抛物线为y＝﹣0.02x2+px+6.92﹣16p，结合当x＝2时，y≥1.8，可得﹣0.02×22+2p+6.92﹣16p≥1.8，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵二次函数y＝ax2+bx+1.8经过点（2，3.2）和（4，4.2）， ∴ ∴a＝﹣0.05，b＝0.8， ∴二次函数为y＝﹣0.05x2+0.8x+1.8． （2）由题意，∵二次函数为y＝﹣0.05x2+0.8x+1.8， ∴其对称轴为直线， ∴此时最大高度为：y＝﹣0.05×82+0.8×8+1.8＝5． 又根据信息二，x与t是一次函数关系， ∴可设x＝kt+c， 又∵结合表格数据可得，图象过（0，0）和（0.4，4）， ∴c＝0，且0.4k+c＝4． ∴k＝10，c＝0． ∴一次函数为x＝10t． ∴当x＝8时，t＝0.8（秒）． ∴经过0.8秒达到最大高度，最大高度是5米． （3）由题意，当t＝1.6秒时，x＝10×1.6＝16， ∴代入原抛物线得y＝﹣0.05×162+0.8×16+1.8＝1.8，即此时球的坐标为（16，1.8）． 又∵新抛物线y＝﹣0.02x2+px+m过点（16，1.8），得m＝1.8+0.02×162﹣16p＝6.92﹣16p， ∴抛物线为y＝﹣0.02x2+px+6.92﹣16p． 又∵当x＝2时，y≥1.8， ∴﹣0.02×22+2p+6.92﹣16p≥1.8． ∴p≤0.36． 故答案为：p≤0.36． 【例2】（2025秋•江汉区期中）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲． （1）若每个房间每天定价增加m元（m是10的倍数），直接写出该宾馆的已居住的房间数； （2）若游客居住房间，宾馆需对已居住的每个房间每天支出20元的备种费用． ①若该宾馆一天利润为8640元，求当天的定价； ②房价定为多少时，宾馆利润最大？ 【考点】二次函数的应用．版权所有 【分析】（1）依据题意，由当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，即可计算得解； （2）①设每个房间的定价为a元，根据以上关系式列出方程求解可得； ②根据（1）中相等关系列出函数解析式，由二次函数的性质可得答案． 【解答】解：（1）由题意，∵当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲， ∴当每个房间每天定价增加m元时，该宾馆的已居住的房间数为（50）间； （2）①设每个房间的定价为a元，根据题意，得：（a﹣20）， ∴a＝200或a＝500． 答：房价定为200元或500元； ②设房价增加x元时，利润为w元， ∴w＝（180﹣20+x）， ∵， ∴当 x＝170时，即房价定为350元时，利润最大是10890元． 【变式1】（2025•巴中）如图，计划用长为40m的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长25m）． （1）矩形围栏的面积为150m2时，三边分别长多少m？ （2）矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少m？ 【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．版权所有 【分析】（1）设垂直于墙的一边长xm，则平行于墙的边长为（40﹣2x）m，然后利用面积公式列出方程即可； （2）由长方形的面积公式建立二次函数，利用二次函数性质求出其解即可． 【解答】解：（1）设垂直于墙的一边长xm，则平行于墙的边长为（40﹣2x）m， 根据题意得：x（40﹣2x）＝150， 解得：x1＝5，x2＝15时， 当x＝5时，40﹣2x＝30＞25（不符合题意，舍去）， 当x＝15时，40﹣2x＝10＜25（符合题意）， ∴三边长分别为：15m、10m、15m； （2）设矩形围栏的面积为Sm2， 则S＝x（40﹣2x） ＝﹣2（x﹣10）2+200， ∵﹣2＜0， ∴当x＝10时，S有最大值，最大值为200， 当x＝10时.40﹣2x＝20＜25（符合题意）， ∴三边长分别为：10m、20m、10m． 【变式2】（2025•山西）综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60cm，起跳点与落地点的距离为160cm． 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为（0，75），点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3cm，才能安全通过．如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝57cm，BC＝40cm，CD＝48cm．仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 【考点】二次函数的应用．版权所有 【分析】（1）根据起跳点与落地点的距离为160cm，得到对称轴为直线x＝80，根据运动路线的最高点距地面60cm，得到顶点纵坐标为60，写出顶点坐标，列出顶点式，把（0，0）代入，求出函数解析式即可； （2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令y＝0，求出x的值，进而求出OQ的长即可； （3）设该平台的高度为kcm，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点（120，51），代入求解即可． 【解答】解：（1）由题意得，抛物线的对称轴为直线x＝80，顶点纵坐标为60， ∴顶点坐标为（80，60）， 设抛物线的函数解析式为：y＝a（x﹣80）2+60， ∵图象过原点， ∴a（0﹣80）2+60＝0， 解得， ∴； （2）∵抛物线的形状不变，点（0，75）， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当y＝0时，， 解得：x1＝200，x2＝﹣40（舍去）， 故起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200cm； （3）设该平台的高度为kcm，由题意，设新的函数解析式为：， ∵AB＝57cm，BC＝40cm，CD＝48cm，仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过CD正上方3cm处，即抛物线经过点（80+40，48+3），即：（120，51）， ∴把 （128，51）代入，得：， 解得：k＝6； 故设该平台的高度为6cm． 【变式1】（2025•内江）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ （3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价a（60≤a≤100）元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 【考点】二次函数的应用；二元一次方程组的应用．版权所有 【分析】（1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可； （2）设需要购进B款纪念品 m个，则需要购进A款纪念品 （400﹣m） 个，根据购买资金不超过 12000元建立不等式求解即可； （3）根据题意可得每个A款纪念品的利润为 （a﹣40）元，销售量为[200﹣5（a﹣60）]个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可． 【解答】解：（1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； （2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品 （400﹣m）个， 由题意得，40（400﹣m）+20m≤12000， 解得m≥200， ∴m的最小值为200， 答：至少需要购进B款纪念品200个； （3）由题意得，W＝（a﹣40）[200﹣5（a﹣60）] ＝（a﹣40）（200﹣5a+300） ＝（a﹣40）（500﹣5a） ＝500a﹣20000﹣5a2+200a ＝﹣5（a﹣70）2+4500， ∵﹣5＜0，60≤a≤100， ∴当a﹣70＝0，即a＝70时，W最大，最大值为4500． 【题型五】二次函数综合题 【例1】（2025•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（2，3），与x轴交于点A（﹣1，0）和点B． （1）求该抛物线的解析式； （2）点C，D在直线yx上，点E在x轴上，F是抛物线上位于第一象限的点，若四边形CDEF是正方形，求点F的坐标； （3）设点P（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，点Q（x1，y2）在抛物线y＝x2﹣（4m﹣2）x+4m2+2上，当1≤x1≤2时，y2﹣y1的最小值为3，求m的值． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）过F作FH⊥x轴于H，设直线CD交y轴于K，求出K（0，），直线yx与x轴交点为A（﹣1，0），得tan∠KAO，设FH＝t，则EH＝2t，得DE＝EFt，AD＝2DE＝2t，AE＝5t，从而求出F（7t﹣1，t），把F（7t﹣1，t）代入y＝﹣x2+2x+3得：t＝﹣（7t﹣1）2+2（7t﹣1）+3，解出t值可得F（，）； （3）由点P（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，点Q（x1，y2）在抛物线y＝x2﹣（4m﹣2）x+4m2+2上，可得y2﹣y1（4m﹣2）x1+4m2+2﹣（2x1+3）＝24mx1+4m2﹣1＝2（x1﹣m）2+2m2﹣1，再分三种情况讨论可得答案． 【解答】解：（1）把（2，3），A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）过F作FH⊥x轴于H，设直线CD交y轴于K，如图： 在yx中，令x＝0得y，令y＝0得x＝﹣1， ∴K（0，），直线yx与x轴交点为A（﹣1，0）， ∴tan∠KAO， ∵四边形CDEF是正方形， ∴EF∥CD，DE＝EF， ∴∠FEH＝∠KAO， ∴tan∠FEH， 设FH＝t，则EH＝2t， ∴EFt， ∴DE＝EFt， ∵∠ADE＝90°， ∴tan∠KAO， ∴AD＝2DE＝2t， ∴AE5t， ∴AH＝AE+EH＝5t+2t＝7t， ∴OH＝AH﹣OA＝7t﹣1， ∴F（7t﹣1，t）， 把F（7t﹣1，t）代入y＝﹣x2+2x+3得：t＝﹣（7t﹣1）2+2（7t﹣1）+3， 解得t＝0（舍去）或t， ∴F（，）； （3）∵点P（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，点Q（x1，y2）在抛物线y＝x2﹣（4m﹣2）x+4m2+2上， ∴y12x1+3，y2（4m﹣2）x1+4m2+2， ∴y2﹣y1（4m﹣2）x1+4m2+2﹣（2x1+3）＝24mx1+4m2﹣1＝2（x1﹣m）2+2m2﹣1， 当m≤1时，若1≤x1≤2，则x1＝1时，y2﹣y1的值为3， ∴2（1﹣m）2+2m2﹣1＝3， 解得m（大于1，舍去）或m， ∴m； 当1＜m＜2时，若1≤x1≤2，则x1＝m时，y2﹣y1的值为3， ∴2m2﹣1＝3， 解得m或m（舍去）， ∴m； 当m≥2时，若1≤x1≤2，则x1＝2时，y2﹣y1的值为3， ∴2（2﹣m）2+2m2﹣1＝3， 解得m1＝m2＝1（舍去）； 综上所述，m的值为或． 【例2】（2025•淄博）如图，一条抛物线y＝ax2+bx与x轴相交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．与y轴相交于点C． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）问在抛物线上是否存在点P，使得∠ABC∠PAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）将射线CB绕点C逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点D，再将抛物线沿直线CD平移，得到一条新的抛物线（其顶点为M），设这两条抛物线的交点为Q． ①求旋转角度的正切值； ②当∠CQM＝90°时，求原抛物线平移的距离． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）求出C点坐标，作BC的中垂线交x轴于点E，连接CE，则：CE＝BE，得到∠AEC＝∠ABC+∠BCE＝2∠ABC，设OE＝m，则：CE＝BE＝5﹣m，勾股定理求出m的值，进而得到E点坐标，求出直线CE的解析式，作AP∥CE，得到∠PAB＝∠CEA＝2∠ABC，求出直线AP的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出P点坐标，再根据对称性，求出满足题意的另一个点P的坐标即可； （3）①求出直线CD的解析式，根据题意，得到旋转角为∠BCD，作BE∥CD，交y轴于点E，作CF⊥BE于点F，则∠CBF＝∠BCD，求出直线BE的解析式，进而求出点E的坐标，等积法求出CF的长，勾股定理求出BF的长，再利用正切的定义进行求解即可； ②设抛物线沿着水平方向和竖直方向均移动t个单位，根据平移规则求出新的抛物线的解析式，求出M点的坐标，联立两个抛物线的解析式求出Q点坐标，作QK⊥y轴，ML⊥QK交KQ的延长线于点L，证明△CQK∽△QML，列出比例式求出t的值，进而求出平移距离即可． 【解答】解：（1）抛物线与x轴相交于A（﹣1，0），B（5，0）两点， 将两点坐标代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式； （2）， ∴当x＝0时，， ∴， 作BC的中垂线交x轴于点E，连接CE，则CE＝BE， ∴∠ECB＝∠ABC， ∴∠AEC＝∠ABC+∠BCE＝2∠ABC， ∵B（5，0），， ∴OB＝5，， 设OE＝m，则CE＝BE＝5﹣m， 在Rt△COE中，由勾股定理，得， 解得， ∴， 设直线CE的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 过点A作AP∥CE，交y轴于点F，交抛物线于点P，则∠PAB＝∠CEA＝2∠ABC， 设直线AP的解析式为， 把A（﹣1，0）代入，得， 解得， 联立， 解得或， ∴； ∵， ∴当x＝0时，， ∴， 作点F关于x轴的对称点G，连接AG，则，∠GAB＝∠BAF＝2∠ABC， ∴直线AG与抛物线的交点也满足题意， 同法可得：直线AG的解析式为， 联立， 解得或， ∴； 综上：或； （3）①∵， ∴， 同法可得直线CD的解析式为， 由题意，∠BCD即为旋转角，作BE∥CD，交y轴于点E，作CF⊥BE于点F，则∠CBF＝∠BCD， ∴tan∠CBF＝tan∠BCD， 同法可得直线BE的解析式为y＝x﹣5， ∴当x＝0时，y＝﹣5， ∴E（0，﹣5）， ∴OE＝OB＝5，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②将抛物线沿直线CD平移，等同于将抛物线沿直线BE平移， ∵OB＝OE， ∴抛物线在水平方向和竖直方向上的移动距离相等， 设将抛物线向右和向上分别平移t（t＞0）个单位，得到新的抛物线， 则新抛物线的解析式为， ∴， 联立， 解得：， ∴， 作QK⊥y轴，ML⊥QK交KQ的延长线于点L， ∴∠CKQ＝∠MLQ＝90°＝∠CQM， ，，，， ∴∠CQK＝∠QML＝90°﹣∠MQL， ∴△CQK∽△QML， ∴， ∴， 解得或t＝﹣2（舍去）或（舍去）； ∴抛物线在水平方向和竖直方向的平移距离均为， ∴抛物线的平移距离为， 当抛物线沿直线CD向下移动时，同理可得抛物线的平移距离为（42）＝8﹣2； 综上：抛物线的平移距离为或8﹣2． 【例3】（2025•绥化）综合与探究 如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线y＝kx﹣5经过B、C两点，若点A（1，0），B（﹣5，0），点P是抛物线上的一个动点（不与点A、B重合）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，当PE＝3ED时，求P点坐标； （3）若点F是直线BC上的一个动点，请判断在点B右侧的抛物线上是否存在点P，使△AFP是以PF为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【分析】（1）把A（1，0），B（﹣5，0）代入y＝ax2+bx﹣5，解方程组，求出a，b的值，即得； （2）求出C（0，﹣5），直线BC的解析式y＝﹣x﹣5，设P（x，x2+4x﹣5），则E（x，﹣x﹣5），分x＜﹣5，﹣5＜x＜0，0＜x＜1和 x＞1，四种情况解答； （3）过点F，P作FG⊥x轴于G，PH⊥x轴于H，得∠AGF＝∠AHP＝90°，根据等腰直角三角形．得AF＝AP，∠PAF＝90°，得∠FAG＝∠APH，得△AFG≌△PAH（AAS），得AH＝FG，PH＝AG，设P（m，m2+4m﹣5），分﹣5＜m＜1和m＞1两种情况解答． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣5交x轴于A（1，0），B（﹣5，0）两点， ∴， 解得， ∴y＝x2+4x﹣5； （2）y＝x2+4x﹣5中，当x＝0时，y＝﹣5， ∴C（0，﹣5）， ∴设直线BC的解析式为y＝kx﹣5， ∵B（﹣5，0）， ∴﹣5k﹣5＝0， ∴k＝﹣1， ∴y＝﹣x﹣5，设P（x，x2+4x﹣5）， 则E（x，﹣x﹣5）， 当x＜﹣5时，PE＝x2+4x﹣5﹣（﹣x﹣5）＝x2+5x，DE＝﹣x﹣5， ∵PE＝3ED， ∴x2+5x＝3（﹣x﹣5）， 解得x＝﹣3（不合），或x＝﹣5（舍去）， ∴点P不存在； 当﹣5＜x＜0时，PE＝﹣x﹣5﹣（x2+4x﹣5）＝﹣x2﹣5x，DE＝x+5， ∴﹣x2﹣5x＝3（x+5）， 解得x＝﹣3，或x＝﹣5（舍去）， ∴x2+4x﹣5＝﹣8． ∴P1（﹣3，﹣8）； 当0＜x＜1时，PE＜CE，点P不存在； 当x＞1时，PE＝x2+4x﹣5﹣（﹣x﹣5）＝x2+5x，DE＝x+5，x2+5x＝3（x+5）， 解得x＝3，或x＝﹣5（舍去）， ∴x2+4x﹣5＝16， ∴P2（3，16）， 故P点坐标为P1（﹣3，﹣8），P2（3，16）； （3）过点F，P作FG⊥x轴于G，PH⊥x轴于H， 则∠AGF＝∠AHP＝90°， ∵△AFP是以PF为斜边的等腰直角三角形． ∴AF＝AP，∠PAF＝90°， ∴∠FAG+∠PAH＝∠APH+∠PAH＝90°， ∴∠FAG＝∠APH， ∴△AFG≌△PAH（AAS）， ∴AH＝FG，PH＝AG， 设P（m，m2+4m﹣5）， 当﹣5＜m＜1时，AH＝1﹣m，PH＝﹣m2﹣4m+5， ∴FG＝1﹣m， ∴﹣x﹣5＝1﹣m， ∴x＝m﹣6， ∴F（m﹣6，1﹣m）， ∴AG＝1﹣（m﹣6）＝7﹣m， ∴﹣m2﹣4m+5＝7﹣m， 解得m＝﹣1，m＝﹣2， ∴P坐标为（﹣1，﹣8），或（﹣2，﹣9）； 当m＞1时，AH＝m﹣1，PH＝m2+4m﹣5， ∴FG＝m﹣1， ∴﹣x﹣5＝m﹣1， ∴x＝﹣m﹣4， ∴F（﹣m﹣4，m﹣1）， ∴AG＝1﹣（﹣m﹣4）＝m+5， ∴m2+4m﹣5＝m+5， 解得m＝2，m＝﹣5（舍去）， ∴P坐标为 （2，7）； 故P坐标为 （﹣1，﹣8），或（﹣2，﹣9），或 （2，7）． 【变式1】（2025•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点O和点A（3，3a）． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax于点N． ①若a＝1，t＝4，求MN的长； ②已知在点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【分析】（1）分别将O（0，0），O（0，0）代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点M、N的坐标，即可获得答案； ②首先确定MN＝|at2﹣3at|，再分a＞0和a＜0两种情况分析求解即可． 【解答】解：（1）将点O（0，0）代入，抛物线y＝ax2+bx+c， 可得c＝0， ∴该抛物线解析式为y＝ax2+bx， 将点A（3，3a）代入，抛物线y＝ax2+bx， 可得3a＝9a+3b，解得b＝﹣2a； （2）①若 a＝1，则该抛物线及直线解析分别为y＝x2﹣2x，y＝x， 当t＝4时，可有点P（4，0），如图， ∵PM⊥x轴， ∴xM＝xN＝4， 将x＝4代入y＝x2﹣2x，可得y＝42﹣2×4＝8，即M（4，8）， 将x＝4代入y＝x，可得y＝4，即N（4，4）， ∴MN＝8﹣4＝4； ②当点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中， ∵PM⊥x轴，P（t，0）， ∴xM＝xN＝t， 将x＝t代入y＝ax2﹣2ax，可得y＝at2﹣2at，即M（t，at2﹣2at）， 将x＝t代入y＝ax，可得y＝at，即N（t，at）， ∴MN＝|at2﹣2at﹣at|＝|at2﹣3at|， 令MN＝0，即at2﹣3at＝0，解得t＝0或t＝3， 若a＞0，可有2a＞0，即点P在y轴右侧，如图， 当0＜t≤3时，可有MN＝﹣at2+3at，其图象开口向下，对称轴为直线， 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大，则， 解得， 当t＞3时，可有MN＝at2﹣3at其图象开口向上，对称轴为直线，不符合题意； 若a＜0，可有2a＜0，即点P在y轴左侧，如图， 当t＜0时，可有MN＝﹣at2+3at，其图象开口向上，对称轴为直线， 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的减小而增大， 则，解得， ∴a＜0， 综上所述，a的取值范围为0＜a或a＜0． 【变式2】（2025•眉山）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝﹣3对称，与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线对称轴上一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转90°，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； （3）在线段OC上是否存在点Q，使2AQCQ存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝x2+6x+5； （2）由抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，设P（﹣3，t），过P作KT∥x轴，过B作BK⊥KT于K，过D作DT⊥KT于T，求出B（﹣5，0），得KP＝﹣3﹣（﹣5）＝2，再证△BPK≌△PDT（AAS），可得BK＝PT＝|t|，KP＝DT＝2，故D（﹣3+t，t﹣2），代入y＝x2+6x+5得：t﹣2＝（﹣3+t）2+6（﹣3+t）+5，解出t值得P的坐标为（﹣3，﹣1）或（﹣3，2）； （3）过C在y轴右侧作射线CM，使∠OCM＝45°，过A作AH⊥CM于H，AH交y轴于Q，证明△QCH是等腰直角三角形，可得QHCQ，∠CQH＝45°，故2AQCQ＝2（AQCQ）＝2（AQ+QH）＝2AH，由垂线段最短可知，此时2AQCQ最小，最小值为2AH，由△AQO是等腰直角三角形，得OQ＝OA＝1，AQOA，即得Q（0，1），再求出CQ＝OC﹣OQ＝4，可得QHCQ＝2，AH＝AQ+QH＝3，从而知2AQCQ的最小值为6． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝﹣3对称，与x轴交于A（﹣1，0）， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2+6x+5； （2）由抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，设P（﹣3，t）， 过P作KT∥x轴，过B作BK⊥KT于K，过D作DT⊥KT于T，如图： 在y＝x2+6x+5中，令y＝0得0＝x2+6x+5， 解得x＝﹣1或x＝﹣5， ∴B（﹣5，0）， ∴KP＝﹣3﹣（﹣5）＝2， ∵将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到DP， ∴∠BPD＝90°，BP＝DP， ∴∠BPK＝90°﹣∠DPT＝∠PDT， ∵∠K＝∠T＝90°， ∴△BPK≌△PDT（AAS）， ∴BK＝PT＝|t|，KP＝DT＝2， ∴D（﹣3+t，t﹣2）， 把D（﹣3+t，t﹣2）代入y＝x2+6x+5得：t﹣2＝（﹣3+t）2+6（﹣3+t）+5， 解得t＝﹣1或t＝2， ∴P的坐标为（﹣3，﹣1）或（﹣3，2）； （3）在线段OC上存在点Q，使2AQCQ存在最小值，理由如下： 过C在y轴右侧作射线CM，使∠OCM＝45°，过A作AH⊥CM于H，AH交y轴于Q，如图： ∵∠OCM＝45°，∠QHC＝90°， ∴△QCH是等腰直角三角形， ∴QHCQ，∠CQH＝45°， ∴2AQCQ＝2（AQCQ）＝2（AQ+QH）＝2AH， 由垂线段最短可知，此时2AQCQ最小，最小值为2AH， ∵∠AQO＝∠CQH＝45°，∠AOQ＝90°， ∴△AQO是等腰直角三角形， ∴OQ＝OA＝1，AQOA， ∴Q（0，1）， 在y＝x2+6x+5中，令x＝0得y＝5， ∴C（0，5）， ∴CQ＝OC﹣OQ＝5﹣1＝4， ∴QHCQ＝2， ∴AH＝AQ+QH＝3， ∴2AQCQ的最小值为6． 【变式3】（2025•潍坊）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx（a＜0）与正比例函数y＝kx的图象都经过点A（3，3），点P为二次函数图象上点O与点A之间的一点，过点P作x轴的垂线，交OA于点C，交x轴于点D． （1）若点A为该二次函数的顶点， ①求二次函数的表达式； ②求线段PC长度的最大值． （2）若该二次函数与x轴的一交点为B（m，0），且m＞4，求a的取值范围． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【分析】（1）①利用待定系数法即可求解； ②正比例函数表达式为y＝x，设OD＝t（0≤t≤3），则CD＝t，，则，然后通过二次函数的性质即可求解； （2）令ax2+bx＝0，解得x1＝0，，又二次函数与x轴的一交点为B（m，0），m＞4，所以，即，则有1﹣3a＞﹣4a，然后解不等式即可． 【解答】解：（1）①∵A（3，3）为二次函数的顶点， ∴， 解得， ∴二次函数表达式为； ②因为正比例函数y＝kx经过点A（3，3）， ∴3k＝3， ∴k＝1， ∴正比例函数表达式为y＝x， 设OD＝t（0≤t≤3），则CD＝t，PD， ∴PC＝PD﹣CD ， ∴当t时，线段PC的长度取得最大值； （2）∵二次函数y＝ax2+bx经过点A（3，3）， ∴9a+3b＝3，即b＝1﹣3a， 令ax2+bx＝0， 解得x1＝0，， ∵二次函数与x轴的一个交点为B（m，0），m＞4， ∴m， ∴， ∵a＜0， ∴b＞﹣4a， ∴1﹣3a＞﹣4a，a＞﹣1， ∴a的取值范围是﹣1＜a＜0． 【变式4】（2025•西宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，以P为顶点的抛物线的解析式为y＝ax2﹣4ax（a＜0），点A的坐标是（﹣1，0），以原点为中心，把点A顺时针旋转90°，得到点A′． （1）直接写出A′点的坐标和抛物线的对称轴； （2）当3≤x≤5时，y有最大值为1﹣2a，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点A′，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【分析】（1）根据旋转的性质，二次函数的对称轴公式进行计算即可； （2）根据二次函数的增减性，列出方程求出a的值即可； （3）分A'P为对角线，A'M为对角线，MP为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【解答】解：（1）∵点A的坐标是（﹣1，0）， ∴OA＝1， ∵以原点为中心，把点A顺时针旋转90°， ∴∠AOA'＝90°，OA'＝OA＝1， 此时点A'在y轴正半轴上， ∴A'（0，1）； ∵y＝ax2﹣4ax（a＜0）， ∴对称轴为直线； （2）∵y＝ax2﹣4ax（a＜0），对称轴为直线x＝2， ∴当x＞2时，y随x的增大而减小， ∵3≤x≤5， ∴当x＝3，y有最大值为32a﹣4×3a＝﹣3a＝1﹣2a， ∴a＝﹣1， ∴y＝﹣x2+4x； （3）存在，理由如下： ∵y＝﹣x2+4x， ∴当x＝2时，y＝﹣22+4×2＝4， ∴P（2，4）， 设M（0，m），N（s，t）， 由（1）知A'（0，1）， 当以点A'，P，M，N为顶点的四边形是矩形时，分三种情况： ①当A'P为对角线时，则△AMP为以M为顶点的直角三角形，PN∥A'M，即PN∥y轴，A'N∥PM， ∴PM⊥y轴， ∴A'N⊥y轴， ∴M（0，4），N（2，1）； ②当以A'M为对角线时，则， 解得， ∴M（0，t+3），N（﹣2，t）， ∵A'M＝PN， ∴（t+3﹣1）2＝（2+2）2+（4﹣t）2， 解得， ∴； ③当以PM为对角线时，要满足A'，P，M，N为顶点的四边形是矩形， 则需要满足△A'PM是以∠PA'M为直角的直角三角形， 即PA'⊥y轴，与题意不符，故此种情况不存在； 综上，N（2，1）或． 【课后练习】 1．（2025秋•莱芜区期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 5 … y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 … 则当x＝﹣1时，对应的函数值y为（　　） A．7 B．0 C．﹣5 D．﹣8 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】通过观察，发现当x＝﹣3与x＝5时，y的值相等，找到对称轴，通过对称找到当x＝﹣1与x＝3的函数值相等，最终确定y的值． 【解答】解：由表可知， 当x＝﹣3与x＝5时，y的值相等， ∴二次函数的对称轴x1， ∴x＝﹣1与x＝3的函数值相等， 当x＝3时，y＝﹣5， ∴x＝﹣1是，y＝﹣5． 故选：C． 2．（2025春•绥化期末）顶点为（﹣6，0），开口向下，形状与函数的图象相同的抛物线对应的解析式为（　　） A． B． C． D． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质．版权所有 【分析】依据题意，可设抛物线解析式为y＝a（x+6）2，再由条件可求得a的值，可求得答案． 【解答】解：由题意，∵顶点为（﹣6，0）， ∴可设抛物线解析式为y＝a（x+6）2， ∵开口向下，形状与函数yx2的图象相同， ∴a， ∴抛物线解析式为y（x+6）2． 故选：D． 3．（2025秋•启东市期中）若开口向下的抛物线顶点在原点，则这条抛物线的解析式是y＝﹣x2（答案不唯一）　 （写出一个即可）． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．版权所有 【分析】依据题意，由于顶点坐标为（0，0），则抛物线解析式为y＝ax2，然后a取一负数即可． 【解答】解：由题意，顶点在坐标原点，开口向下的抛物线的表达式可为y＝﹣x2． 故答案为：y＝﹣x2（答案不唯一）． 4．（2025秋•德清县期中）已知二次函数y＝a（x﹣3）（x﹣1）的图象经过点（﹣1，4）． （1）写出这个二次函数的表达式． （2）求这个二次函数图象的顶点坐标． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】（1）代入已知点坐标，用待定系数法求a的值，确定函数表达式即可； （2）将函数式化为顶点式，即可求得顶点坐标． 【解答】解：（1）已知二次函数y＝a（x﹣3）（x﹣1）的图象经过点（﹣1，4），将x＝﹣1，y＝4代入表达式得： 4＝a（﹣1﹣3）（﹣1﹣1）， 4＝a×（﹣4）×（﹣2）， 4＝8a， a， ∴a； ∴这个二次函数的表达式y（x﹣3）（x﹣1）x2﹣2x； （2）将yx2﹣2x进行配方， y（x2﹣4x+4﹣4） [（x﹣2）2﹣4] （x﹣2）2﹣2 （x﹣2）2 ∴顶点坐标为（2，）． 5．（2025秋•东城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c（b、c是常数）的对称轴是直线x＝1，且经过点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）点P在该抛物线上，横坐标为m（m≠﹣1），点A的坐标为（﹣1，m+1），过点Q（，0）作x轴的垂线，交直线AP与点M，抛物线于点N． ①用含m的代数式表示点M的纵坐标； ②当线段MN的长随m的增大而增大时，求m的取值范围． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】（1）依据题意，由抛物线y＝x2+bx+c的对称轴是直线x＝1，且经过点C（0，﹣3），则1，且c＝﹣3，求出b，c即可得解； （2）①依据题意，结合（1），由点P在抛物线上，横坐标为m，则P（m，m2﹣2m﹣3），又设直线AP的解析式为y＝kx+d，代入A（﹣1，m+1）和P（m，m2﹣2m﹣3），可得直线AP的解析式为y＝（m﹣4）x+2m﹣3，结合过Q作x轴的垂线交直线AP于M，从而计算可以得解； ②依据题意，由点N在抛物线上，横坐标为，则，结合，可得，从而分两种情形判断即可计算得解． 【解答】解：（1）由题意，∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴是直线x＝1，且经过点C（0，﹣3）， ∴1，且c＝﹣3． ∴b＝﹣2，c＝﹣3． ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3． （2）①结合（1），∵点P在抛物线上，横坐标为m， ∴P（m，m2﹣2m﹣3）． 设直线AP的解析式为y＝kx+d，代入A（﹣1，m+1）和P（m，m2﹣2m﹣3）， ∴． ∴k＝m﹣4，d＝2m﹣3． ∴直线AP的解析式为y＝（m﹣4）x+2m﹣3． ∵过Q作x轴的垂线交直线AP于M， ∴将代入直线AP的解析式，得：． ∴点M的纵坐标为3． ②由题意，∵点N在抛物线上，横坐标为， ∴． 又∵， ∴． 当（即m≤﹣4或m≥0）时，， ∴此时抛物线为开口向上的二次函数，对称轴为直线m＝﹣2． ∴当m≥0时，MN随m增大而增大； 当（即﹣4＜m＜0）时，， ∴此时抛物线为开口向下的二次函数，对称轴为直线m＝﹣2． ∴当﹣4＜m＜﹣2时，MN随m增大而增大． 综上，m的取值范围为﹣4＜m＜﹣2或m≥0． 6．（2025•甘孜州）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线过原点，顶点为P，直线l过原点和点P． （1）求抛物线C1和直线l的解析式； （2）如图2，将抛物线C1的顶点沿射线OP平移，抛物线也随之移动得到抛物线C2，设顶点为A，其横坐标为t（t＞2），抛物线C2与抛物线C1交于点B． ①当t＝10时，求点B的横坐标； ②若点B的横坐标为n，请猜想并写出n与t的关系（不写推理过程）； ③如图3，若点B在第一象限内，设OB与y轴正半轴的夹角为α，当∠OAB＝α时，求点B的坐标． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【分析】（1）将（0，0）代入求出a值，再根据（0，0）和（2，﹣2）求出直线OP解析式； （2）①由题可知点A（t，﹣t），再将t＝10代入求解即可； ②参考①思路联立解析式； ③设抛物线C2的解析式为，则可得点A的坐标为（t，﹣t），点B的坐标为，先求出的表达式，作OC⊥OA交直线AB于点C，求出直线OC和直线AB的解析式并联立，进而求出，结合题意∠DOB＝∠OAB＝α 求出的值即可． 【解答】解：（1）∵抛物线过原点（0，0）， ∴将（0，0）代入抛物线解析式可得：0＝a（0﹣2）2﹣2， 即4a﹣2＝0， 解得， ∴抛物线C1的解析式为y（x﹣2）2﹣2x2﹣2x， 由抛物线C1的解析式可知顶点P的坐标为（2，﹣2）， 设直线l的解析式为y＝kx（k≠0）， 将P（2，﹣2）代入y＝kx可得：﹣2＝2k， 解得k＝﹣1， ∴直线l的解析式为y＝﹣x． （2）①∵抛物线C1的顶点P（2，﹣2）沿射线OP平移得到抛物线C2的顶点A（t，﹣t）（t＞2）， ∴抛物线C2的解析式为， 当t＝10时，抛物线C2的解析式为， 联立抛物线C1与C2的解析式：， 解得， ∴点B的坐标为； ②联立抛物线C1与C2的解析式：， 解得x， ∵点B的横坐标为n， 所以，即t＝2n； ③设抛物线C2的解析式为， 由②知点A的横坐标是点B的两倍， ∴点A的坐标为 （t，﹣t），点B的横坐标为， 将代入得，， ∴点B的坐标为， ∴； 作OC⊥OA交直线AB于点C， ∵直线OA的解析式为y＝﹣x， ∴直线OC的解析式为y＝x， 设直线AB的解析式为y＝k1x+b， ∴，解得， ∴直线AB的解析式为， 联立直线AB和直线OC的解析式为， 解得， ∴点C的坐标为， ∴， ， ∴， ∵∠DOB＝∠OAB＝α， ∴tan∠DOB＝tan∠OAB， ∴， 解得，（舍去）， ∴点B的坐标为． 7．（2025•西藏）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4过点A（﹣1，0），B（m，0），与y轴交于点C．点B是x轴正半轴上的动点，点F是抛物线在第四象限图象上的动点，连接BC，AF，且AF交y轴于点D，交BC于点E． （1）当m＝3时，求抛物线的解析式； （2）如图1，在（1）的条件下，若∠CDE＝∠CED，求直线AF的解析式； （3）要使得∠DCE＝∠DEC成立，请探索m的取值范围（直接写出结果）； （4）如图2，∠DCE＝∠DEC，当m为何值时，OD的长度等于1？ 【考点】二次函数综合题．版权所有 【分析】（1）当m＝3时，二次函数y＝ax2+bx﹣﹣4的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），设二次函数的交点式为y＝a（x+1）（x﹣3），展开后得到﹣3a＝﹣4求解即可得到答案； （2）根据解析式求得点C（0，﹣4），进而勾股定理求得BC＝5，作∠DCE的角平分线CG交x轴于点G，则∠OCG＝∠BCG，AF⊥CG，进而得出∠OCG＝∠OAD，根据角平分线的定义得出，求得，进而可得，从而求得点D的坐标，待定系数法求解析式，即可求解； （3）先找到临界值，当m＝4时，OB＝OC＝4，此时得出F，B重合，根据题意可得F是第四象限的点，则当∠OCB＞45°时，m＞4即可求解； （4）根据题意得出△OAD是等腰直角三角形，进而根据已知得出∠OCB＝∠DCE＝∠DEC＝67.5°，取H（4，0）得出△OCH是等腰直角三角形，进而求得，即可得出B的坐标，即可求解． 【解答】解：（1）当m＝3时，二次函数y＝ax2+bx﹣4的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）， ∴设二次函数的交点式为y＝a（x+1）（x﹣3）， ∵y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，y＝ax2+bx﹣4， ∴﹣3a＝﹣4， 解得， ∴函数的解析式为； （2）对于二次函数， 令x＝0，可得y＝﹣4， ∴点C的坐标为（0，﹣4），则OC＝4， ∵∠CDE＝∠CED， ∴CD＝CE， ∵OB＝3，OC＝4 ∴， 如图，作∠DCE的角平分线CG交x轴于点G，则∠OCG＝∠BCG，AF⊥CG， ∴， 设G到BC的距离为d，则d＝OG， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵∠OCG＝∠OAD， ∴， ∵A（﹣1，0），则OA＝1， ∴， ∴， 设直线AF的解析式为y＝kx+b（k≠0），代入A（﹣1，0），， ∴， 解得， ∴直线AF的解析式； （3）当m＝4时，OB＝OC＝4， ∴△OBC是等腰直角三角形， ∴∠OCB＝45°， ∵∠DCE＝∠DEC， ∴∠CDE＝90°，则D，O重合，F，B重合， 又∵F是第四象限的点， ∴当∠OCB＞45°时，则∠CDF＜90°，m＞4， ∴要使得∠DCE＝∠DEC成立，m的取值范围为m＞4； （4）∵OD＝OA＝1， ∴△OAD是等腰直角三角形， ∴∠CDE＝∠ADO＝45°， ∴∠OCB＝∠DCE＝∠DEC＝67.5°， 在Rt△OBC中，∠OBC＝22.5°， 如图所示，取H（4，0）， ∴OC＝OH， ∴△OCH是等腰直角三角形， ∴∠OCH＝45°， ∴∠HCB＝∠OBC＝22.5°， ∴， ∴，即． 8．（2025•海南）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（4，0）、B（﹣2，6）两点．点P（x0，y0）是线段AB上的动点，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q． （1）若c＝﹣4． ①求抛物线的解析式； ②求线段PQ长度的最大值； ③若t≤x0≤t+1，求x0取何值时线段PQ的长度最大（可用含t的代数式表示x0）．（2）若c≠﹣4，t≤x0≤t+1，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【分析】（1）①利用待定系数法代入计算求解即可； ②设直线AB的解析式为y＝kx+b，利用待定系数法确定函数解析式，然后结合图形得出．然后利用二次函数的性质求解即可； ③根据二次函数的性质结合图象求解即可； （2）根据题意重新确定二次函数的解析式为y＝ax2﹣（1+2a）x+4﹣8a，得出，然后即可求解． 【解答】解：（1）①∵c＝﹣4， ∴设抛物线的解析式为：y＝ax2+bx﹣4， ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），经过A（4，0）、B（﹣2，6）两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4； ②设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A、B代入， 得， 解得， ∴y＝﹣x+4， ∵点P（x0，y0）是线段AB上的动点，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q， ∴P（x0，﹣x0+4），Q（x0，3x0﹣4）， ∴|PQ|＝﹣x0+4﹣（3x0﹣4）＝﹣（x0﹣1）2+9， 由题意得：﹣2≤x0≤4， ∴当x0＝1时，|PQ|取得最大值为9； ③∵|PQ|＝﹣（x0﹣1）2+9，﹣2≤x0≤4， ∴当t≥﹣2，t+1≤1时， 即﹣2≤t≤0时，PQ的最大长度在x0＝t+1处取得； 当t＜1，t+1＞1时， 即0＜t＜1时，PQ的最大长度在x0＝1处取得； 当t≥1，t+1≤4时， 即1≤t≤3时，PQ的最大长度在x0＝t处取得； 综上，x0＝t+1或x0＝1或x0＝t． （2）不发生变化，理由如下： ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（4，0）、B（﹣2，6）两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：y＝ax2﹣（1+2a）x+4﹣8a， ∵点P（x0，y0）是线段AB上的动点， ∴y0＝﹣x0+4， ∵点Q在抛物线上， ∴点Q的坐标为Q[x0，（1+2a）x0+4﹣8a]， ∴|PQ|＝﹣x0+4﹣[（1+2a）x0+4﹣8a]＝﹣a（x0﹣1）2+9a， ∵|PQ|解析式图形开口方向及对称轴同（1）中③的解析图象一致， ∴问题（1）中③的结论未发生变化． 9．（2025•贵州）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触，石块会在空中近似地形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离x之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点F，运动路径近似为抛物线C1，且C1：y＝ax2+bx+c，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点G，运动路径近似为抛物线C2，且C2：ymx+n．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） （1）如图②，当a，b时，若点F坐标为（2，0），求抛物线C1的表达式； （2）在（1）的条件下，若FG＝4，在水面上有一个截面宽AB＝1，高BC＝0.5的矩形ABCD的障碍物，点A的坐标为（4.5，0），判断此时石块沿抛物线C2运动时是否能越过障碍物？请说明理由； （3）小星在抛掷石块时，若C1的顶点需在一个正方形MNPQ区域内（包括边界），且点F在（3，0）和（4，0）之间（包括这两点），其中M（，1），N（1，1），Q（，），求a的取值范围．（在抛掷过程中正方形与抛物线C1在同一平面内） 【考点】二次函数综合题．版权所有 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先得到G（6，0），然后求出，然后将x＝5.5代入求解判断即可； （3）首先求出，然后由|a|越小开口越大，|a|越大开口越小，点F在（3，0）和（4，0）之间（包括这两点）得到当抛物线顶点为点M，且经过点（4，0）时，开口最大，此时a最大，当抛物线顶点为点P，且经过点（3，0）时，开口最小，此时a最小，然后分别利用待定系数法求解即可． 【解答】解：（1）∵当，时，， ∵点F坐标为（2，0）， ∴， ∴c＝1， ∴抛物线C1的表达式为； （2）不能，理由如下： ∵FG＝4，点F坐标为（2，0）， ∴G（6，0）， ∴， ∵点A的坐标为（4.5，0），AB＝1， ∴B（5.5，0）， ∴将x＝5.5代入0.35＜0.5， ∴此时石块沿抛物线C2运动时不能越过障碍物； （3）∵四边形MNPQ是正方形，，N（1，1），， ∴， 如图所示， ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵|a|越小开口越大，|a|越大开口越小，点F在（3，0）和（4，0）之间（包括这两点）， ∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点（4，0）时，开口最大，此时a最大， ∴设C1的表达式为， 将（4，0）代入得，， 解得， ∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点（3，0）时，开口最小，此时a最小， ∴设C1的表达式为， 将（3，0）代入得，， 解得， ∴a的取值范围为． 10．（2025•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx过点（﹣1，3），且对称轴为直线x＝1，直线y＝kx﹣k与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当k＝1时，直线AB与y轴交于点D，与直线x＝2交于点E．若抛物线y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点，求h的取值范围； （3）过点C与AB垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是AB，PQ的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得TC总是平分∠MTN？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）求出D，E点的坐标，易得抛物线的顶点坐标在直线y＝﹣1上移动，根据抛物线y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点，得到抛物线与直线AB有一个交点开始，将抛物线向右移动直至抛物线与线段DE只有一个交点为E（2，1）时，均满足题意，求出两个临界值即可得出结果； （3）先求出C点坐标，进而求出直线PQ的解析式，联立抛物线与直线AB，根据根与系数的关系结合中点坐标公式求出M点坐标，同理求出N点坐标，作MH⊥CT，NF⊥CT根据TC平分∠MTN，得到tan∠NTF＝tan∠MTH，设T（1，t），根据正切的定义，列出比例式进行求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx过点（﹣1，3），且对称轴为直线x＝1， ∴， 解得， 则该抛物线解析式为：y＝x2﹣2x； （2）当k＝1时，则y＝x﹣1， ∴当x＝0，y＝﹣1，当x＝2时，y＝1， ∴D（0，﹣1），E（2，1）， ∵y＝（x﹣h）2﹣1， ∴顶点坐标在直线y＝﹣1上移动， ∵y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点， ∴联立， 整理，得x2﹣（2h+1）x+h2＝0， ∴当Δ＝（2h+1）2﹣4h2＝0， 即时，满足题意， 将开始向右移动，直至抛物线与线段DE只有一个交点为E（2，1）时，y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE均有公共点， ∴当y＝（x﹣h）2﹣1过点E（2，1）时，（2﹣h）2﹣1＝1， 解得：， ∴当时，抛物线y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点； （3）存在， ∵y＝kx﹣k， ∴当y＝0时，x＝1， ∴C（1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴点C在抛物线的对称轴上， ∵PQ过点C，且与直线AB垂直， ∴直线PQ的解析式为：，即：， 联立，整理，得x2﹣（k+2）x+k＝0， ∴xA+xB＝k+2，， ∵M为AB的中点， ∴M， 联立， 同理可得：N， 作MH⊥CT，NF⊥CT， ∵TC 平分∠MTN， ∴∠NTF＝∠MTH， ∴tan∠NTF＝tan∠MTH， ∴， 设T（1，t），则， 解得：， ∴抛物线的对称轴上存在，使得TC 总是平分∠MTN． 11．（2025•济南）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（3，1），B（0，﹣2）两点，顶点为G． （1）求二次函数的表达式和顶点G的坐标． （2）如图1，将二次函数y＝x2+bx+c的图象沿x轴方向平移n（n＞0）个单位长度得到一个新函数的图象，当0≤x≤3时，新函数的最大值是8，求n的值． （3）如图2，将二次函数y＝x2+bx+c的图象沿直线AB平移，点A，G的对应点分别为A′，G′，连接AG′，A′G，线段AG′与A′G交于点M．若，请直接写出点G′的坐标． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【分析】（1）利用待定系数法求解析式，将二次函数一般式化为顶点式，可得顶点坐标； （2）分两种情况进行讨论，抛物线向左平移或者向右平移，根据平移规律可得新抛物线解析式为：y＝（x﹣1﹣n）2﹣3找y＝（x﹣1+n）2﹣3，根据对称轴与区间范围的中轴线之间的关系分类讨论即可； （3）分成两种情况进行讨论，抛物线沿射线AB方向或射线BA方向平移．沿射线BA方向平移，求出直线AB的解析式为y＝x﹣2，由直线性质可知图象沿上下方向与左右方向平移相同的单位，设向上、向右平移了m个单位，可得 A'（3+m，1+m），G'（1+m，﹣3+m），由平移性质可证四边形A'AGG'是平行四边形，推出交点M坐标为，可证明△ABG 为直角三角形且，根据，可得A、B、G、M四点共圆，是在以AG为直径的圆上，可求AG中点P（2，﹣1），根据，列方程即可求得m的值，则题目可解；抛物线沿射线AB方向，作A关于B点对称点A''（﹣3，﹣5），方法同上． 【解答】解：（1）将A（3，1），B（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c， ， 解得， ∴y＝x2﹣2x﹣2， ∵y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3， ∴当x＝1时，y取最小值，最小值为﹣3， ∴顶点G的坐标为（1，﹣3）． （2）a．当抛物线向右平移时，根据平移规律可得新抛物线解析式为：y＝（x﹣1﹣n）2﹣3， 对称轴为直线x＝n+1， ∵n＞0， ∴n+1＞1， 分情况讨论： ①当时，即时，如图： 直线x＝3与抛物线交点M纵坐标最大， 将x＝3，y＝8代入解析式得8＝（3﹣1﹣n）2﹣3， 解得，与矛盾，不合题意； ②当时，即时，如图： 直线x＝0与抛物线交点N纵坐标最大， 将x＝0，y＝8代入解析式得8＝（0﹣1﹣n）2﹣3， 解得，与矛盾，不合题意； ，符合题意； b．当抛物线向左平移时，根据平移规律可得新抛物线解析式为：y＝（x﹣1+n）2﹣3， 对称轴为直线x＝1﹣n， ∵n＞0， ∴1﹣n＜1， ∴当x＝3时，y取最大值8， 代入解析式得：8＝（3﹣1+n）2﹣3， 解得：，（舍）； 综上可知，或； （3）设直线AB的解析式为y＝kx+b， 将A（3，1），B（0，﹣2）代入得，， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝x﹣2， 图象沿直线AB平移时，上下与左右平移的距离相等， 设向上，向右平移m个单位， ∴A′（3+m，1+m），G′（1+m，﹣3+m）， 由平移得AA′＝GG′，AA′∥GG′， ∴四边形A′AGG′是平行四边形， ∵线段AG′与A′G交于点M， ∴， a．如图，抛物线沿射线BA平移， ∵A（3，1），B（0，﹣2），G（1，﹣3）， ∴由勾股定理可得，，， ∴AB2+BG2＝AG2， ∴∠ABG＝90°，且， ∵， ∴∠BMG＝∠BAG， ∴A、B、G、M四点共圆，是在以AG为直径的圆上， ∵AG 中点P（2，﹣1），则， ∴， 即， 解得：或（舍）， ∴； b．如图，抛物线沿射线AB平移， 作A关于B点对称点A''（﹣3，﹣5）， 则可同理证明∠A''BG＝90°，且， ∵， ∴∠BMG＝∠BA''G， ∴A''、B、G、M四点共圆，在以A''G为直径的圆上， ∵A''G中点P'（﹣1，﹣4），则， ∴， 即， 解得：或（舍）， ∴； 综上所述：或． 12．（2025•大庆）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为y轴，且过坐标原点O及点，过点A作射线AM平行于y轴（点M在点A上方），点F坐标为（0，1），连接AF并延长交抛物线于点E，射线AB平分∠FAM，过点A作AB的垂线l交y轴于点T． （1）求二次函数的表达式； （2）判断直线l与二次函数y＝ax2+bx+c的图象的公共点的个数，并说明理由； （3）点P（m，0）为x轴上的一个动点，且∠APE为钝角，请直接写出实数m的取值范围． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【分析】（1）由对称轴为y轴可知b＝0，由抛物线经过原点可知c＝0，再将点A代入即可求a的值，从而得到函数的解析式； （2）设直线AE与x轴的交点为G，延长MA交x轴于点H，直线AT与x轴的交点为N，先求直线AF的解析式为yx+1，可知G（，0），再求∠GAH＝60°，得到∠MAG＝120°，由AB平分∠EAM，可得∠BAF＝60°，由AB⊥AT，求出∠TAH＝30°，在Rt△ANH中，求出NH，则N（，0），待定系数法求出直线AT的解析式为yx﹣3，当x﹣3x2时，由Δ＝0，可知直线l与二次函数的图象的公共点只有一个； （3）先求出E（，），设AE的中点为M，则M（，），AE，当∠APE＝90°时，PMAE，求出m的值，再结合题意求解即可． 【解答】解：（1）∵函数的对称轴为y轴， ∴b＝0， ∵抛物线经过原点， ∴c＝0， ∴y＝ax2， 将点代入y＝ax2， ∴12a＝3， 解得a， ∴抛物线的解析式为yx2； （2）直线l与二次函数的图象的公共点只有一个，理由如下： 设直线AE与x轴的交点为G，延长MA交x轴于点H，直线AT与x轴的交点为N， 设直线AE的解析式为y＝kx+1， ∴2k+1＝3， 解得k， ∴直线AF的解析式为yx+1， ∴G（，0）， ∵OH＝2， ∴GH＝3， ∵AH＝3， ∴tan∠AGH， ∴∠AGH＝30°， ∴∠GAH＝60°， ∴∠MAG＝120°， ∵AB平分∠EAM， ∴∠BAF＝60°， ∵AB⊥AT， ∴∠BAT＝90°， ∴∠GAT＝30°， ∴∠TAH＝30°， 在Rt△ANH中，AH＝3，∠NAH＝30°， ∴NH， ∴ON＝OH﹣NH， ∴N（，0）， 设直线AN的解析式为y＝k'x+n， ∴， 解得， ∴直线AT的解析式为yx﹣3， 当x﹣3x2时，整理得x2﹣4x+12＝0， ∴Δ＝48﹣48＝0， ∴直线l与二次函数的图象的公共点只有一个； （3）当x+1x2时，解得x＝2或x， ∴E（，）， 设AE的中点为M， ∵， ∴M（，），AE， 当∠APE＝90°时，PMAE， ∴（m）2+（）2＝（）2， 解得m或m， ∴m时，∠APE为钝角． 13．（2025•宁夏）如图，抛物线y＝ax2﹣2x+3与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，顶点C的横坐标为﹣1． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，将直线AB沿y轴向上平移m（m＞0）个单位长度，当它与抛物线有交点时，求m的取值范围； （3）如图2，抛物线的对称轴交直线AB于点D，交x轴于点E，连接AC．抛物线上是否存在点P（不与点C重合），使得S△PAD＝S△CAD．若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【分析】（1）利用顶点横坐标为﹣1和公式求出参数a，进而得到抛物线表达式； （2）先求点A和B的坐标，确定直线AB方程；将直线向上平移m个单位后与抛物线联立，利用判别式≥0求m的范围（注意m＞0）； （3）先求对称轴与直线AB的交点D及顶点C，计算S△CAD设点P坐标，利用面积公式S△PAD＝S△CAD列方程，得到绝对值方程并求解，排除与C重合的点，得出横坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线顶点横坐标为﹣1， ∴由顶点公式，其中b＝﹣2，即， ∴a＝﹣1， ∴抛物线表达式为y＝﹣x2﹣2x+3， 故答案为：y＝﹣x2﹣2x+3； （2）当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，即x2+2x﹣3＝0， 解得x＝﹣3或x＝1（正半轴，不合题意，舍去），故A（﹣3，0）， 当x＝0时，y＝3， 故B（0，3）， 设直线AB的方程为y＝kx+b， 将点A（﹣3，0）与点B（0，3）代入得b＝3，k＝1， ∴直线AB的方程为y＝x+3， 向上平移m个单位后，直线方程为y＝x+3+m， 与抛物线y＝﹣x2﹣2x+3联立：﹣x2﹣2x+3＝x+3+m， 整理得：x2+3x+m＝0， 抛物线与直线有交点时，Δ＝32﹣4×1×m＝9﹣4m≥0， 解得， 又m＞0， ∴m的取值范围为； （3）抛物线对称轴为x＝﹣1．直线AB：y＝x+3，当x＝﹣1时，y＝2，故D（﹣1，2）． 顶点C：当x＝﹣1，y＝﹣（﹣1）2﹣2×（﹣1）+3＝4， 故C（﹣1，4）．点A（﹣3，0）． ， 设P（x，y）在抛物线上，y＝﹣x2﹣2x+3，如图， 情况1：过点C作AB的平行线，与抛物线交于点P，此时S△PAD＝S△CAD＝2（同底等高）， 因OA＝OB，且PC∥AB，故可设直线PC的解析式为y＝x+t， 将点C（﹣1，4）代入求得t＝5，即PC的解析式为y＝x+5， 联立抛物线方程， 解得：（另一解为点C的坐标值）， 可解得点P坐标为（﹣2，3）； 情况2：过点E作AB的平行线，交抛物线于点P1与P2，因CD＝DE，即直线PC向下平移到直线AB的距离等于直线AB向下平移到直线P1P2的距离， ∴此时存在满足条件的点， 由于直线P1P2相较于直线AB，向下平移了2个单位，故解析式为y＝x+1， 联立抛物线方程， 消去y并整理得：x2+3x﹣2＝0， ∴， 即点P1的横坐标是，点P2的横坐标是， ∴存在点P，横坐标为﹣2，，． 14．（2025•广元）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a＞0）与x轴交于点A和点B（﹣4，0），与y轴交于点C． （1）求b与a的关系； （2）如图①，当a时，点P在抛物线上，S△PBC＝4，求点P的坐标； （3）如图②，若抛物线上一点Q关于直线BC的对称点是△AOC的外心M，求a的值． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【分析】（1）将B（﹣4，0）的代入y＝ax2+bx﹣4，即可求解； （2）过点P作PG∥y轴交直线BC与点G，设P（t，t2+t﹣4），则G（t，﹣t﹣4），则S△PBC4|t2+t﹣4+t+4|＝4，求出t的值即可求P点坐标； （3）将（1）中b＝4a﹣1代入函数解析式，求出A（，0），再由△OAC是直角三角形，可知△AOC的外心M为AC的中点，即M（，﹣2），过点M作MN∥x轴交直线BC于点N，过点N作NQ⊥MN，且NQ＝MN，连接QM，则M点与Q点关于BC对称，分别求出N（﹣2，﹣2），Q（﹣2，﹣4），再由Q点在抛物线上，可得方程﹣44a﹣2（4a﹣1）﹣4，求出a的值即可． 【解答】解：（1）将B（﹣4，0）的代入y＝ax2+bx﹣4， ∴16a﹣4b﹣4＝0， 解得b＝4a﹣1； （2）∵a， ∴yx2+x﹣4， ∴C（0，﹣4）， 设直线BC的解析式为y＝kx﹣4， ∴﹣4k﹣4＝0， 解得k＝﹣1， ∴y＝﹣x﹣4， 过点P作PG∥y轴交直线BC与点G， 设P（t，t2+t﹣4），则G（t，﹣t﹣4）， ∴S△PBC4|t2+t﹣4+t+4|＝4， 解得t＝﹣2或t＝22或t＝﹣22， ∴P（﹣2，﹣4）或（22，﹣2）或（﹣22，2）； （3）∵b＝4a﹣1， ∴y＝ax2+（4a﹣1）x﹣4， 当y＝0时，ax2+（4a﹣1）x﹣4＝0， 解得x＝﹣4或x， ∴A（，0）， ∵△OAC是直角三角形， ∴△AOC的外心M为AC的中点， ∴M（，﹣2）， 过点M作MN∥x轴交直线BC于点N，过点N作NQ⊥MN，且NQ＝MN，连接QM， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝45°， ∴∠MNC＝45°， ∴△MNQ是等腰直角三角形， ∴M点与Q点关于BC对称， ∴N（﹣2，﹣2）， ∴Q（﹣2，﹣4）， ∵Q点在抛物线上， ∴﹣44a﹣2（4a﹣1）﹣4， 解得a或a（舍）， ∴a的值为． 15．（2025•资阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴相交于点C（0，﹣3），且抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）． （1）求抛物线的表达式； （2）P是抛物线上位于第四象限的一点，点D（0，﹣1），连接BC，DP相交于点E，连接PB．若△CDE与△PBE的面积相等，求点P的坐标； （3）M，N是抛物线上的两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为G，H．是否存在点M，N，使得以M，N，G，H为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案； （2）解法1：设P（t，t2﹣2t﹣3），连接OP，利用图形的面积建立方程求解即可；解法2：连接CP，根据面积关系证得CP∥BD，求得直线CP的表达式，联立方程组求解即可； （3）分三种情况讨论：①若点M，N分别在直线BC的两侧，②若点M，N在直线BC的下方，③若点M，N在直线BC的上方，分别画出图形，利用正方形性质建立方程求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）， ∴设y＝a（x﹣1）2﹣4， 把C（0，﹣3）代入，得：﹣3＝a﹣4， 解得：a＝1， ∴抛物线的表达式为y＝（x﹣1）2﹣4，即y＝x2﹣2x﹣3； （2）解法1：设P（t，t2﹣2t﹣3），连接OP，如图1， ∵S△CDE＝S△PBE， ∴S△CDE+S四边形BODE＝S△PBE+S四边形BODE， 即S△BCO＝S四边形BODP＝S△POB+S△POD， ∴3×33×（﹣t2+2t+3）1×t， 解得：t1＝0（舍去），t2， ∴P（，）； 解法2：如图2，连接CP， ∵S△CDE＝S△PBE， ∴S△CDE+S△BDE＝S△PBE+S△BDE， 即S△BCD＝S△BPD， ∴CP∥BD， 设直线BD的表达式为y＝kx+b，则， 解得：， ∴直线BD的表达式为yx﹣1， 设直线CP的表达式为yx+c，把C（0，﹣3）代入得：c＝﹣3， ∴直线CP的表达式为yx﹣3， 联立得， 解得：（舍去），， ∴P（，）； （3）满足条件的点M、N存在． 理由如下： ①若点M，N分别在直线BC的两侧， 不妨令点M在直线BC上方，点N在直线BC下方，如图3， 可知∠MGH＝90°， 则∠MGN＝∠MGH+∠HGN＞90°，不符合题意． ②若点M，N在直线BC的下方， 不妨设点M在点H的下方，如图4， ∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，连接MH，GN，则△MGN是等腰直角三角形，∠HGN＝45°， ∴GN⊥y轴，MH⊥x轴， 设点M坐标为（m，m2﹣2m﹣3），其中0＜m＜3， 则点H坐标为（m，m﹣3）， 根据正方形的性质得：点N的坐标为（，）， 将点N的坐标代入抛物线表达式y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）， 得（3）（1）， 即（m2﹣5m+6）（m2﹣5m﹣2）＝2（m2﹣m﹣6）， 化简得（m﹣2）（m﹣3）（m2﹣5m﹣2）＝2（m﹣3）（m+2）， ∵0＜m＜3， ∴（m﹣2）（m2﹣5m﹣2）＝2（m+2）， 整理得m2﹣7m+6＝0， 解得：m1＝1，m2＝6（舍去）， 此时，MH＝2，正方形边长为． ③若点M，N在直线BC的上方， 不妨设点M在点H上方，如图5， 设点M（m，m2﹣2m﹣3），其中m＜0或m＞3， 根据正方形性质，点N坐标为（，）， 将点N的坐标代入抛物线的表达式y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）， 同理可得：m1＝1（舍去），m2＝6， 此时，MH＝18，正方形的边长为9． 综上所述，正方形的边长为或9． 16．（2025•青海）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A，B两点，点B的坐标为（1，0），点C（2，5）在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）①求点A的坐标； ②当y＜0时，根据图象直接写出x的取值范围 　﹣3＜x＜1　 ； （3）连接AC交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【分析】（1）将B（1，0）、C（2，5）代入y＝ax2+bx﹣3（a≠0）得方程组，解方程组即可； （2）①令y＝0，则x2+2x﹣3＝0，解方程即可求出点A的坐标； ②根据图象可知，当y＜0时，即抛物线在x轴下方的部分，根据A，B两点的坐标即可得出结论； （3）设点P的坐标为（0，a），先由两点间的距离公式得AC2＝50，AP2＝9+a2，CP2＝a2﹣10a+29，再分两种情况讨论：当AP为斜边时，则AP2＝AC2+CP2，当CP为斜边时，则CP2＝AC2+AP2，分别解方程即可． 【解答】解：（1）将B（1，0）、C（2，5）代入y＝ax2+bx﹣3（a≠0）得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3； （2）①令y＝0，则x2+2x﹣3＝0， 解得x＝﹣3或x＝1， ∴点A的坐标为（﹣3，0）； ②根据图象可知，当y＜0时，x的取值范围为﹣3＜x＜1， 故答案为：﹣3＜x＜1； （3）设点P的坐标为（0，a）， ∵A（﹣3，0），C（2，5）， ∴AC2＝（2+3）2+（5﹣0）2＝50，AP2＝（0+3）2+（a﹣0）2＝9+a2，CP2＝（0﹣2）2+（a﹣5）2＝a2﹣10a+29， ∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形， ∴分以下两种情况讨论： 当AP为斜边时，则AP2＝AC2+CP2， ∴9+a2＝50+a2﹣10a+29， 解得a＝7， ∴P1（0，7）， 当CP为斜边时，则CP2＝AC2+AP2， ∴a2﹣10a+29＝50+9+a2， 解得a＝﹣3， ∴P2（0，﹣3）， 综上所述，存在符合条件的P点，P1（0，7），P2（0，﹣3）． 17．（2025•辽宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y1（x﹣1）2+1的图象与x轴的正半轴相交于点A，二次函数y2＝ax2+c的图象经过点A，且与二次函数y1的图象的另一个交点为B，点B的横坐标为． （1）求点A的坐标及a，c的值． （2）直线x＝m与二次函数y1，y2的图象分别相交于点C，D，与直线AB相交于点E，当m＜3时， ①求证：DE＝2CE； ②当四边形ACBD的一组对边平行时，请直接写出m的值． （3）二次函数y1（x﹣1）2+1（x＜3）与二次函数y2＝ax2+c（x≥3）组成新函数y3，当x≤t﹣n时，函数y3的最小值为，最大值为t，求n的取值范围． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【分析】（1）先求出A（3，0），，再分别代入，列出二元一次方程组，即可解答； （2）①设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），将A（3，0），分别代入，得直线AB的解析式为，设点E的坐标为，求出， ，，则， ，即可解答． ②当AC∥DB时，△ACE∽△BDE，当AD∥BC时，△BCE∽△ADE，再分类讨论，即可解答； （3）易得，当时，y3取得最小值为，解出；当x＝1时，函数y3的最大值为，解得；当y2＝1时，，解得，或（舍去），，即可解答． 【解答】解：（1）令， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（3，0）， 将代入，得， ∴， 将A（3，0），分别代入，得 ， 解得． 答：点A的坐标为（3，0），a，c的值分别为． （2）①证明：如图， 设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），由条件可得： ，解得， ∴， 设点E的坐标为， ∵， ∴， 将x＝m代入y1得， 将x＝m代入y2，得， ∴， ， ∴DE＝2CE； ②如图： 当AC∥DB时，△ACE∽△BDE， ∴， ∴， 即，解得． 当AD∥BC时，△BCE∽△ADE， ∴， ∴， 即，解得， ∴或． （3）由条件可知， ∴当时，y随x的增大而增大；当1＜x＜3时，y随x的增大而减小； 当x≥3时，y随x的增大而增大．且当时，y3取得最小值． ∵当时，函数y3的最小值为，最大值为， ∴当时，y3取得最小值为，即， 解得． ∵时，函数y3的最大值为， ∴当x＝1时，函数y3的最大值为，即， 解得； 当y2＝1时，， 解得，或（舍去）， ∴， ∵， ∴，化简得， 解得，． 18．（2025•长春）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx经过点（3，3），点A、B是该抛物线上的两点，横坐标分别为m、m+1，已知点M（1，1），作点A关于点M的对称点C，作点B关于点M的对称点D，构造四边形ABCD． （1）求该抛物线所对应的函数表达式； （2）当A，B两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点C的坐标； （3）设抛物线在A、B两点之间的部分（含A、B两点）为图象G，当0＜m＜1时，若图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为，求m的值； （4）连结OA、OB，当∠AOB＝∠OAD+∠OBC时，直接写出m的取值范围．（这里∠AOB、∠OAD、∠OBC均是大于0°且小于180°的角） 【考点】二次函数综合题．版权所有 【分析】（1）将点（3，3）代入y＝x2+bx，求出b即可求解析式； （2）先求抛物线的对称轴为直线x＝1，由A，B两点关于该抛物线的对称轴对称，可得2m+1＝2，求出A（，），再由A、C关于M点对称，求出C点即可； （3）当0＜m时，最高点纵坐标为m2﹣2m，最低点为﹣1，当m＜1时，最高点纵坐标为m2﹣1，最低点为﹣1，分别求出相应的m的值即可； （4）根据题意可知四边形ABCD是平行四边形，过点O作直线EF∥BC，满足条件的m的临界位置分别为当OA与AD重合时，当OB与BC重合时． 【解答】解：（1）将点（3，3）代入y＝x2+bx， ∴9+3b＝3， 解得b＝﹣2， ∴y＝x2﹣2x； （2）∵点A、B横坐标分别为m、m+1， ∴A（m，m2﹣2m），B（m+1，m2﹣1）， ∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1， ∴对称轴为直线x＝1， ∵A，B两点关于该抛物线的对称轴对称， ∴2m+1＝2， 解得m， ∴A（，）， ∵A、C关于M点对称， ∴C（，）； （3）由（2）知m时，A、B关于对称轴对称， 当0＜m时，最高点纵坐标为m2﹣2m，最低点为﹣1， ∴m2﹣2m+1， 解得m或m（舍）； 当m＜1时，最高点纵坐标为m2﹣1，最低点为﹣1， ∴m2﹣1+1， 解得m或m（舍）； 综上所述：m的值为或； （4）∵A、C关于点M对称，B、D关于M点对称， ∴MA＝MC，MB＝MD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， 过点O作直线EF∥BC， ∴EF∥AD， ∵∠AOB＝∠OAD+∠OBC， ∴∠OBC＝∠BOF，∠OAD＝∠FOA， ∵A（m，m2﹣2m），B（m+1，m2﹣1）， ∴C（2﹣m，2﹣m2+2m），D（1﹣m，3﹣m2）， 直线OA的解析式为y＝（m﹣2）x，直线OB的解析式为y＝（m﹣1）x， 直线AD的解析式为yx+m2﹣2m， 直线BC的解析式为yx+m2﹣1， 当OA与AD重合时，m﹣2，解得m， 当OB与BC重合时，m﹣1，解得m＝4， ∴m＜4时，∠AOB＝∠OAD+∠OBC． 19．（2025•湖北）抛物线yx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． （1）求c的值； （2）如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求的值； （3）定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧MN（含端点M和N）．过M，N分别作x轴的垂线l1，l2，过抛物线弧MN的最高点和最低点分别作y轴的垂线l3，l4，直线l1，l2，l3与l4围成的矩形叫做抛物线弧MN的特征矩形，若点P在第四象限，记抛物线弧CP的特征矩形的周长为f． ①求f关于t的函数解析式； ②过点P作PQ∥x轴，交抛物线于点Q，点Q与点C不重合．记抛物线弧CQ的特征矩形的周长为g．若f+g，直接写出PQ的长． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【分析】（1）待定系数法进行求解即可； （2）一般式化为顶点式，求出T点坐标，根据P点横坐标，得到，进而求出PH，TH，进行求解即可； （3）①求出C点，B点坐标，分0＜t≤1，1＜t≤2，2＜t＜3三种情况，分别求出矩形的两条邻边长，利用周长公式，列出函数关系式即可； ②根据PQ∥x轴，得到P，Q关于对称轴对称，进而求出Q点坐标，分0＜t≤1，1＜t≤2，2＜t＜3三种情况，求出g的函数关系式，再根据，分别求出满足题意的t的值，进而求出PQ的长即可． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入， 得， ∴， （2）由（1）可知：， ∴T（1，﹣2）， ∵P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t， ∴， ∵过点P作对称轴的垂线，垂足为H， ∴PH＝1﹣t，， ∴； （3）①当x＝0时，，当时，x1＝﹣1，x2＝3， ∴，B（3，0）， 由（2）可知：T（1，﹣2），，对称轴为直线x＝1， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵P在第四象限， ∴0＜t＜3， 当0＜t≤1时，抛物线弧CP的最高点为C，最低点为P，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t，， ∴， 当1＜t≤2时，抛物线弧CP的最高点为C，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t，， ∴， 当2＜t＜3时，抛物线弧CP的最高点为P，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t，， ∴， 综上：； ②∵PQ∥x轴， ∴P，Q关于对称轴对称， ∴， 当0＜t≤l时，抛物线弧CQ的最高点为C，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：2﹣t，， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， 当1＜t≤2时，抛物线弧CQ的最高点为C，最低点为Q，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：2﹣t，， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； 当2＜t＜3时，抛物线弧CQ的最高点为Q，最低点为C，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t﹣2，， ∴； ∵， ∴， 解得：（舍去）或t， ∴PQ＝t﹣2+t＝2t﹣22， 综上： 20．（2025•宜宾）如图，O是坐标原点，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（3，0），C（0，3）． （1）求b、c的值； （2）点D为抛物线上第一象限内一点，连结BD，与直线AC交于点E，若DE：BE＝1：2，求点D的坐标； （3）若F为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为P（m，n）（m＞1），若P又在原抛物线上，新抛物线与直线x＝1交于点N，连结FP、PN，∠FPN＝120°．探究新抛物线与x轴是否存在两个不同的交点．若存在，求出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【分析】（1）理解题意，分别把A（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c进行计算，即可作答； （2）先得B（﹣1，0），A（3，0），再证明△DMB∽△ENB，运用DE：BE＝1：2，得，设点E的纵坐标为2m，则点D的纵坐标为3m，再分别求出AC的解析式为y＝﹣x+3，BE的解析式为，整理得点D（5﹣3m，3m），因为点D为抛物线上第一象限内一点，得3m＝﹣（5﹣3m）2+2（5﹣3m）+3，解得m1＝1，，即可作答； （3）先求出F（1，4），再整理得平移后的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣m）2+n，因为点P（m，n）在y＝﹣（x﹣1）2+4上，则（m﹣1）^{2}＝4﹣n，即N（1，﹣4+2n），故PF2＝PN2，所以△PFN是等腰三角形，再结合解直角三角函数得，代入数值计算得4﹣n，再运用换元法进行整理得（）＝0，解得t1＝0，，平移后的抛物线解析式为，求出，，即可作答． 【解答】解：（1）依题意，分别把A（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c， 得， 解得； （2）由（1）得b＝2，c＝3， 则y＝﹣x2+2x+3，C（0，3）， 令y＝0，则0＝﹣x2+2x+3＝（﹣x+3）（x+1）， ∴x1＝3，x2＝﹣1， 故B（﹣1，0），A（3，0）， 分别过点E、D作 EN⊥OA，DM⊥OA，如图所示： ∵EN⊥OA，DM⊥OA， ∴∠ENB＝∠DMB＝90°， ∵∠DBM＝∠EBN， ∴△DMB∽△ENB， ∴， ∵DE：BE＝1：2， ∴DB：BE＝3：2， ∴， 设点E的纵坐标为2m，则点D的纵坐标为3m， 设AC的解析式为y＝kx+r（k≠0）， ∵C（0，3），A（3，0）， ∴， 解得， ∴AC的解析式为y＝﹣x+3， 把y＝2m代入y＝﹣x+3， 得2m＝﹣x+3， ∴x＝3﹣2m， ∴E（3﹣2m，2m）， 设BE的解析式为y＝tx+q（t≠0）， 把E（3﹣2m，2m），B（﹣1，0）分别代入y＝tx+q， 得， 解得， ∴BE的解析式为， 依题意，把y＝3m代入， 得， 则x＝5﹣3m， 即点D（5﹣3m，3m）， ∵点D为抛物线上第一象限内一点，且y＝﹣x2+2x+3， ∴3m＝﹣（5﹣3m）2+2（5﹣3m）+3， 整理得3m2﹣7m+4＝（m﹣1）（3m﹣4）＝0， ∴， 此时的2﹣m≠0， 故m1＝1，是符合题意的， 当m＝1时，则5﹣3m＝5﹣3＝2，3m＝3，此时D（2，3）， 当m时，则5﹣3m＝5﹣4＝1，3m4此时D（1，4）， 综上：D（2，3）或D（1，4）； （3）存在，过程如下： 由（2）得y＝﹣x2+2x+3， 整理y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∵F为抛物线的顶点， ∴F（1，4）， ∵平移抛物线使得新顶点为P（m，n）（m＞1），P又在原抛物线上，新抛物线与直线x＝1交于点N， 连结FP、PN，过点P作PH⊥FN，∠FPN＝120°，如图所示： ∴平移后的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣m）2+n， 把x＝1代入y＝﹣（x﹣m）2+n， 得， ∵点P（m，n）在y＝﹣（x﹣1）2+4上， ∴n＝﹣（m﹣1）2+4， ∴（m﹣1）2＝4﹣n， ∴， ∴N（1，﹣4+2n）， ∵P（m，n），N（1，﹣4+2n），F（1，4）， ∴PF2＝（m﹣1）2+（n﹣4）2，PN2＝（m﹣1）2+[n﹣（﹣4+2n）]2＝（m﹣1）2+（n﹣4）2， 则PF2＝PN2， 即PF＝PN， ∴△PFN是等腰三角形， ∵∠FPN＝120°， ∴， 则， ∴， 令t＝m﹣1， ∴， 即， ∵n＝﹣（m﹣1）2+4， ∴， 即， ∴， ∴， ∴m﹣1＝0，或， ∴m＝1（舍去）或， ∴， ∴平移后的抛物线解析式为， 令y＝0，则， ∴， 即， ∴，， 则， ∴新抛物线与x轴存在两个不同的交点，这两个交点之间的距离为2． 21．（2025•威海）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），点B，交y轴于点C．点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线y＝ax2+bx﹣3上．点E为抛物线的顶点． （1）求抛物线的表达式及顶点E的坐标； （2）连接BC，点M是线段BC上一动点，连接OM，作射线CD． ①在射线CD上取一点F，使CF＝CO，连接FM．当OM+FM的值最小时，求点M的坐标； ②点N是射线CD上一动点，且满足CN＝CM．作射线CE，在射线CE上取一点G，使CG＝CO．连接GN，BN．求OM+BN的最小值； （3）点P在抛物线y＝ax2+bx﹣3的对称轴上，若∠OAP+∠OCA＝45°，则点P的坐标为　（1，1）或（1，﹣1）　 ． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【分析】（1）可求得D（2，﹣3），进而将点D和点A坐标代入抛物线的解析式，求得a，b，进一步得出结果； （2）①可求得OF＝3，从而得出OM+FM≥OF＝3，当O、M、F共线时，OM+FM最小，可证得四边形BOCF是正方形，进而得出点M坐标； ②连接NG，作EH⊥EN于H，可证得△OCM≌△GCN，从而NG＝OM，从而得出OM+BN＝NG+BN≥BG，根据∠BCG＝90°，BC＝3，CG＝3得出BG，从而得出结果； （3）设EP交AB于F，作FW⊥BC于W，可得出AC＝FC，从而∠FCO＝∠OCA，进而推出∠OAP＝∠BCF，进而得出tan∠OAP＝tan∠BCF，从而，从而求得PF，进而得出结果． 【解答】解：（1）由题意得， C（0，﹣3），D（2，﹣3）， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3， ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴E（1，﹣4）； （2）①∵C（0，﹣3），D（2，﹣3）， ∴CD⊥OC， ∵CF＝CO＝3， ∴OF＝3， ∴OM+FM≥OF＝3， 当O、M、F共线时，OM+FM最小， 由x2﹣2x﹣3＝0得， x1＝﹣1，x2＝3， ∴B（3，0）， ∴BF⊥OB， ∵∠BOC＝90°， ∴四边形BOCF是矩形， ∴矩形BOCF是正方形， ∴M（）； ②如图1， 连接NG，作EH⊥EN于H， ∵E（1，﹣4），C（0，﹣3）， ∴EH＝CH＝1， ∴∠ECH＝∠CEH＝45°， 由①知， 四边形BOCF是正方形， ∴∠BCO＝45°， ∴∠BCO＝∠ECH， ∵CG＝OC，CM＝CN， ∴△OCM≌△GCN（SAS）， ∴NG＝OM， ∴OM+BN＝NG+BN≥BG， ∴当B、N、G共线时，OM+BN最小， ∵∠BCG＝90°，BC＝3，CG＝3， ∴BG3， ∴（OM+BN）最小＝3； （3）如图2， 设EP交AB于F，作FW⊥BC于W， ∵E（1，﹣4）， ∴F（1，0）， ∵A（﹣1，0）， ∴OA＝OF， ∵OC⊥AF， ∴AC＝FC， ∴∠FCO＝∠OCA， ∵∠OCB＝45°， ∴∠FCO+∠BCF＝45°， ∵∠OAP+∠OCA＝45°， ∴∠OAP＝∠BCF， ∵BF＝OB﹣OF＝2，∠OBC＝45°， ∴FW＝BW， ∵BC＝3， ∴CW＝BC﹣BW＝2， ∴tan∠OAP＝tan∠BCF， ∴， ∴PF， ∴P（1，1）或（1，﹣1）， 故答案为：（1，1）或（1，﹣1）． 22．（2025•德阳）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图2，连接BC，过点C作CD⊥BC与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段BC上两个动点（点E在点F的右侧），且EF，连接OF，DE．求OF+DE的最小值． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【分析】（1）利用两点式求解抛物线解析式； （2）①延长DC与x轴相交于点G，证明△COG是等腰直角三角形，从而得到G点坐标，求出直线CG的解析式，联立抛物线解析式求解即可； ②过点O作OH∥EF，且，连接HE，DH，设DH交x轴为点G，然后证明四边形OFEH是平行四边形，根据DE+EH≥DH，得出DE+EH＝DH时，DE+EH最小，进一步求出DH即可． 【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（3，0）， 在二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象上， 设该二次函数为y＝﹣（x﹣x1）（x﹣x2）， ∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）， ∴y＝﹣x2+2x+3； （2）①把x＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得y＝3， ∴C（0，3）， 如图，延长DC与x轴相交于点G， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴OB＝OC＝3， ∵∠COB＝90°， ∴∠CBO＝45°， ∵∠DCB＝90°＝∠BCG， ∴∠CGB＝90°﹣∠CBO＝90°﹣45°＝45°， ∴∠GCO＝180°﹣∠COG﹣∠CGB＝180°﹣90°﹣45°＝45°， ∴OG＝OC＝3， ∴G（﹣3，0）， 设直线CG的解析式为：y＝kx+m（k≠0）， 把C（0，3），G（﹣3，0）代入， 得， 解得， ∴直线CG的解析式为：y＝x+3， ∵点D是直线CG与二次函数的交点， ∴联立解析式， 解得或， ∴D（1，4）； ②如图，过点D作二次函数的对称轴平行于y轴，过点O作OH∥EF交二次函数的对称轴于点H，且，连接HE，设DH交x轴为点G， ∵OH∥EF，且OH＝EF， ∴四边形OFEH是平行四边形， ∴OF＝EH， ∵∠CBO＝45°， ∴∠BOH＝45°， ∴△OGH为等腰直角三角形， ∴OG＝GH， ∵，OG2+GH2＝OH2， ∴OG＝GH＝1， ∴H（1，﹣1）， ∵DE+EH≥DH， ∴当DE+EH＝DH时，DE+EH最小， ∵D（1，4），H（1，﹣1）， ∴DH＝5．此时D、E、H三点共线且DH⊥x轴， ∴点F的坐标为（0，3）与点C重合，满足EF在线段BC上， ∴DE+OF的最小值为5． 23．（2025•苏州）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线BC，M（m，y1），N（m+2，y2）为二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上两点． （1）求直线BC对应函数的表达式； （2）试判断是否存在实数m使得y1+2y2＝10．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． （3）已知P是二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上一点（不与点M，N重合），且点P的横坐标为1﹣m，作△MNP．若直线BC与线段MN，MP分别交于点D，E，且△MDE与△MNP的面积的比为1：4，请直接写出所有满足条件的m的值． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【分析】（1）由解析式可知C（0，3），令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0．解得x＝﹣1，或x＝3．点B的坐标为（3，0），最后由待定系数法可求直线BC的表达式； （2）方法一：把M（m，y1），N（m+2，y2）代入y＝﹣x2+2x+3中，可得，求出此函数的最大值，即可判断；方法二：由方法一，得．当y1+2y2＝10时，可得方程﹣3m2﹣2m+9＝10，整理方程后用根的判别式考虑方程的解的问题； （3）作NH∥y轴，交x轴于点H，交BC于点N′，作PQ⊥NH，垂足为Q，作MM′∥y轴，交BC于点M′，则MM′∥NN′，当x＝1﹣m时，y＝﹣（1﹣m）2+2（1﹣m）+3＝﹣m2+4．点P的坐标为（1﹣m，﹣m2+4），点N的坐标为（m+2，﹣m2﹣2m+3），点Q的坐标为（m+2，﹣m2+4），点H的坐标为（m+2，0），点N′的坐标为（m+2，﹣m+1）．从而可知NQ＝PQ＝|2m+1|，BH＝HN′＝|﹣m+1|．故∠PNQ＝∠BN′H＝45°．证明△MDE∽△MNP，由面积比可推得，即MD＝ND．再证明△MM′D′∽△NN′D，由，即MM′＝NN′，由此用含m的式子表示线段长列方程求解即可． 【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，可得C的坐标为（0，3）． 令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或x＝3． 故点B的坐标为（3，0）， 设直线BC的表达式为y＝kx+b， 故解得， ∴直线BC对应函数的表达式为y＝﹣x+3． （2）不存在实数m使得y1+2y2＝10，理由如下： 方法一：把M（m，y1），N（m+2，y2）代入二次函数y＝﹣x2+2x+3中， 可得，， ∴， 配方得． 故当时，y1+2y2的最大值为10． 故不存在实数m使得y1+2y2＝10； 方法二：由方法一得． 当y1+2y2＝10时，即﹣3m2﹣2m+9＝10，整理可得3m2+2m+1＝0． ∵Δ＝4﹣12＝﹣8＜0， ∴方程没有实数根． ∴不存在实数m使得y1+2y2＝10； （3）或，理由如下： 如图1，作NH∥y轴，交x轴于点H，交BC于点N′， 作PQ⊥NH，垂足为Q，作MM′∥y轴，交BC于点M′， 则MM′∥NN′， 当x＝1﹣m时，y＝﹣（1﹣m）2+2（1﹣m）+3＝﹣m2+4． ∴点P的坐标为（1﹣m，﹣m2+4）． ∵点N的坐标为（m+2，﹣m2﹣2m+3）， ∴点Q的坐标为（m+2，﹣m2+4），点H的坐标为（m+2，0）， 点N′的坐标为（m+2，﹣m+1）． ∴NQ＝PQ＝|2m+1|，BH＝HN′＝|﹣m+1|． ∴∠PNQ＝∠BN′H＝45°． ∴PN∥BC， ∴△MDE∽△MNP． ∴， ∴，即MD＝ND． ∵MM′∥NN′， ∴△MM′D∽△NN′D． ∴，即MM′＝NN′， ∵点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3）， ∴点M′的坐标为（m，﹣m+3）． ∴m2﹣3m＝|﹣m2﹣m+2|，即m2﹣m﹣1＝0或﹣4m＝﹣2， 解得或或m（此时P与M重合，舍去）， 故或． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $