1.6利用三角函数测高2025-2026学年北师大版九年级数学下册第一章题型分类讲义

北师大版九年级下册第一单元题型分类讲义 1.6利用三角函数测高 【题型一】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【例1】（2025•威海）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度AB．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角∠1的度数，大楼底部点A的俯角∠2的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角∠3的度数．若∠1＝45°，∠2＝52°，∠3＝65°，CD＝10m，求大楼的高度AB．（精确到1m）． 参考数据：sin52°≈0.8，cos52°≈0.6，tan52°≈1.3；sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1． 【变式1】（2025•甘孜州）为测量物体的高度，某数学兴趣小组开展了如下活动： 【制作仪器】 把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，当测量物体时，将该仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径所在直线刚好到达物体的最高点． 【测量高度】 小丽同学用此测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A，站立此处，测得树顶端D的仰角为37°，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离地面点A的距离为1.5米，请根据这些数据，求出树的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【变式2】（2025•滨州）【活动背景】 如图，建筑物AC，BD的高度不可直接测量．为测量建筑物AC，BD的高度，技术员小李用皮尺测得A，B之间的水平距离为150m，用测角仪在C处测得D点的俯角为35°．测得B点的俯角为43°． 【问题解决】 （1）请运用技术员小李提供的数据求出建筑物AC，BD的高度（结果保留整数）； （参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93） （2）请再设计一种测量建筑物AC，BD高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物AC，BD的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪．） 【变式3】（2025•甘肃）如图1，位于嘉峪关的长城第一墩，又称天下第一墩，是明代万里长城最西端的一座墩台，始建于明嘉靖十八年（1539年）．该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖之上，扼守丝绸之路咽喉要道，与嘉峪关关城、悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御体系．随着岁月的变迁和自然的风化，长城第一墩的高度在慢慢降低．为了解长城第一墩的现存高度．某校同学们开展了“测量长城第一墩高度”的综合实践活动．如图2是他们测量长城第一墩高度AB的示意图，点A为最高点，点B、F，D是地面同一直线上的三个点（点D，F都在保护栅栏外），在D，F处分别用测角仪测得∠ACG＝16.7°，∠AEG＝22°，其中CD＝EF＝1.7m（测角仪的高度），DF＝CE＝5.5m，求长城第一墩的高度AB（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin16.7°≈0.29，cos16.7°≈0.96，tan16.7°≈0.30） 【变式3】（2025•遂宁）在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度CF，在A处用高为1.6米的测角仪AD测得摩天轮顶端C的仰角α＝37°，再向摩天轮方向前进30米至B处，又测得摩天轮顶端C的仰角β＝50°．求摩天轮CF的高度．（结果精确到0.1米） （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19） 【题型二】解直角三角形的应用-方向角问题 【例1】（2025•武汉模拟）如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长 　 ．（结果保留整数）（参考数据：；；；） 【变式1】（2025•恩施市二模）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．这时，B处距离A处的距离是 　 　 海里．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【变式2】（2025•西宁一模）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船与观测站之间的距离（即OB的长）为　 　 km． 【变式3】（2023•眉山）一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是 　 　 海里． 【课后练习】 1．（2025秋•芝罘区期中）如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥，被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某校九年级学生为了测量该桥主塔上某位置A的高度，站在B处看点A，仰角为60°，然后向后走160米（BC＝160米），到达C处，此时看点A，仰角为30°，则A点的高度是（　　） A．160米 B．米 C．200米 D．米 2．（2025•长春）如图，已知某山峰的海拔高度为m米，一位登山者到达海拔高度为n米的点A处，测得山峰顶端B的仰角为α，则A、B两点之间的距离为（　　） A．（m﹣n）sinα米 B．米 C．（m﹣n）cosα米 D．米 3．（2025•浙江模拟）为测量小河的宽度CD，小明在河两岸C，D测得大楼AB楼顶A的仰角分别为α，β．若大楼AB的高为h，则CD的长可表示为（　　） A．（tanα﹣tanβ）h B．（sinα﹣sinβ）h C． D． 4．（2025•秦皇岛模拟）为测量校园内的旗杆AC的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为1.5m的B处，使用测角仪测得∠ABC＝75°，由于75°角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在AB的延长线上取一点M，将一根木棒MN竖直立在地面上的点M处，MN＝1.5m，此时测得∠NBM＝15°，故淇淇得出结论△ABC≌△MNB，进而推得BM＝AC，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（　　） A．SAS B．AAS C．HL D．SSS 5．（2025•南关区校级模拟）如图．点A是地平面上的一点，淇淇在点A的正上方放飞无人机，他将无人机升高至50m（AC＝50m），此时测得点B的俯角为α，点A，B，C在同一平面内，则点A，B间的距离为（　　） A．50tanαm B． C．50sinαm D． 6．（2025•深圳校级二模）航天员也能“点外卖”：北京时间2024年11月15日23时13分，搭载天舟八号货运飞船的长征七号遥九运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟八号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，之后飞船太阳能帆板顺利展开，发射取得圆满成功．当天火箭从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角∠DPA为30°，A与P两点的距离为10千米；它沿铅垂线上升到达B处时，此时在P处测得B点的仰角∠DPB为45°，则天舟二号从A处到B处的距离AB的长为（　　）（参考数据：）． A．2.0千米 B．1.5千米 C．2.5千米 D．3.5千米 7．（2025•浙江）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为500m，从点A观测点P的仰角为α，cosα＝0.98，则A处到B处的距离为　 　 m． 8．（2025•武汉）某科技小组用无人机测量一池塘水面两端A，B的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面120m的P处，测得A处的俯角为45°，B处的俯角为22°，则A，B之间的距离是　 　 m．（tan22°取0.4） 9．（2025•内蒙古）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量，他们将无人机上升并飞行至距湖面90m的点C处，从C点测得A点的俯角为60°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为　 　 m（结果保留根号）． 10．（2025•陕西）小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡BM上的点C处安装测角仪CD，测得河对岸点A的俯角α为8.5°，CD与BM的夹角β为78.5°，又测得点C与河岸点B之间的距离CB为10m．已知CD＝1.6m，点A，B，C，D，M，N在同一平面上，点A，B，N在同一水平直线上，且CD⊥AB．求河宽AB．（参考数据：sin8.5°≈0.15，cos8.5°≈0.99，tan8.5°≈0.15，sin78.5°≈0.98，cos78.5°≈0.20，tan78.5°≈4.92） 11．（2025•资阳）如图，已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN，该平台上有一个竖直的建筑物CD．在A处测得建筑物顶端C的仰角为30°，在B处测得C的仰角为60°，斜坡AB的坡度i＝1：3，米，CD⊥BD．（点A，B，C，D在同一竖直平面内）． （1）求平台BN的高度； （2）求建筑物的高度（即CD的长）． 12．（2025•巴中）某学习小组带着测角仪开展“测量高压电塔高度”的实践活动，绘制了如下示意图．在A处测得塔顶D的仰角为30°，向前行40米，在B处测得塔顶D的仰角为75°，A、B与电塔底部C在同一直线上． （1）求点B到AD的距离； （2）求高压电塔CD的高度（结果保留根号）． 13．（2025•大庆）数学综合实践活动中，两个兴趣小组要合作测量楼房高度BC．如图，第一小组用无人机在离地面40米高的点D处，测得地面上一点A的俯角为45度，测得楼顶C处的俯角为30度（点A，B，C，D都在同一平面内，无人机在点A和楼房之间的点D处测量）；第二小组人工测量得到点A和大楼之间的水平距离AB＝70米．请根据提供的数据，求出楼房高度．（结果精确到1米，参考数据：） 14．（2025•广元）为传承红色文化，广元人民在“九华岩战斗遗址”修建了纪念塔．该塔由基座、塔身和塔顶五角星三部分构成（如图①）．小刚想知道塔顶五角星的高度，进行了如下测量（如图②）：他站在与塔底同一水平面的点E处，测得五角星最高点A的仰角∠ACD＝74°，最低点B的仰角∠BCD＝73°，点E到塔底中心O的距离OE为15米．求五角星高度AB大约是多少米（结果保留整数）？（参考数据：tan74°≈3.49，tan73°≈3.27） 15．（2025•青岛）学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点A，B，C，D，E在同一平面内．点B，C，D在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部A测得博学楼的顶部E的俯角为22°，另一组成员沿BD方向从厚德楼底部B点向博学楼走15米到达C点，在C点测得博学楼顶部E的仰角为42°，求博学楼DE的高度． （参考数据：sin22°，cos22°，tan22°，sin42°，cos42°，tan42°） 16．（2025•陕西）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面FB上的点D处安装测角仪DE，测得信号杆顶端A的仰角α为45°，DE与坡面的夹角β为72.5°，又测得点D与信号杆底端B之间的距离DB为22m．已知DE＝1.7m，点A，B，C在同一条直线上，AB，DE均与水平线FC垂直．求信号杆的高AB．（参考数据：sin72.5°≈0.95，cos72.5°≈0.30，tan72.5°≈3.17） 17．（2025•天津）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑AB的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，E，C依次在同一条水平直线上，CD⊥AC，EF⊥AC，且CD＝EF＝1.7m．在D处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为22°，在F处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为31°，CE＝32m．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑AB的高度（结果取整数）． 参考数据：tan22°≈0.4，tan31°≈0.6． 18．（2025•湖北）如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼A处看乙楼顶部B的仰角为35°，A到地面的距离为18m，求乙楼的高．（参考数据：tan35°≈0.7） 19．（2025•新疆）某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下： 实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 1．站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树CD的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时F，C，E三点在同一直线上）； 2．测量A，D两点和B，D两点间的距离； 3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角∠EFG； 4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间的距离； 5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角∠MNG． 实验图示 测量数据 1．AD＝4m 2．BD＝10m 3．BH＝13.5m 4．∠EFG＝43° 5．∠MNG＝21.8° 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．AE，CD，FB，NH均与地面垂直． 参考数据：sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40；sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93． 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度EM的值． 20．（2025•深圳模拟）如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东35°的方向上有一棵大树B，已知凉亭A在大树B的正西方向，若BC＝100米，则A、B两点相距（　　）米． A．100（cos35°+sin35°） B．100（cos35°﹣sin35°） C．（） D．（） 21．（2025•海南模拟）如图，学生甲在凉亭A处测得湖心岛C在其南偏西15°的方向上，又从A处向正东方向行驶300米到达凉亭B处，测得湖心岛C在其南偏西60°的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为（　　）米． A．150 B． C． D． 22．（2025•德阳模拟）某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为A→B→C→A．点B在点A的南偏东25°方向处，点C在点A的北偏东80°方向，∠ABC＝45°．则检查点B和C之间的距离为（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．4.5千米 23．（2025•雨花区校级三模）“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汩罗江国际龙舟竞渡中心广场点P处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上，终点B位于点P的北偏东60°方向上，AB＝200米，则点P到赛道AB的距离约为 　 　 米（结果保留根号）． 24．（2025•巴林左旗模拟）如图是某活动小组在测量湖中古亭与岸边古塔之间的距离时绘制的，在古塔A处测得古亭B位于北偏东60°，他们向南走100m到达D点，测得古亭B位于北偏东45°，则古亭与古塔之间的距离AB的长约为 　 　 m．（结果精确到1m．参考数据： 25．（2025•呼和浩特二模）如图，兴康社区附近有A、B、C三个快递中转站：B站在A站南偏西53°方向上，C站在B站的东北方向上，A站在C站的北偏东60°方向上且距离C站4km处，则B站到C站的距离为　3.4　 km（精确到0.1km）．（A、B、C、D在同一平面内，参考数据：1.41，，，，， 26．（2025•雨城区校级模拟）如图，一艘货轮以36海里/小时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B．货轮继续向北航行40分钟后到达C处，发现灯塔B在它北偏东75°方向，则此时货轮与灯塔B的距离为　 　 海里（结果精确到0.01海里．参考数据：）． 27．（2025•巴彦淖尔校级二模）如图，某日我国某岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B船，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是 　 　 ．（结果保留根号） 28．（2025•烟台）【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西14°方向 14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处 15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离； （2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）． 29．（2025•重庆）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西30°方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西30°方向上． （参考数据：1.41，1.73，2.24，2.65） （1）求BD的长度（结果保留小数点后一位）； （2）甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿BC，DC往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？ 30．（2025•长沙）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上．已知AB＝800m． （1）求∠ACB的度数； （2）求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 31．（2025•连云港）如图，港口B位于岛A的北偏西37°方向，灯塔C在岛A的正东方向，AC＝6km，一艘海轮D在岛A的正北方向，且B、D、C三点在一条直线上，DCBD． （1）求岛A与港口B之间的距离； （2）求tanC． （参考数据：sin37°，cos37°） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版九年级下册第一单元题型分类讲义 1.6利用三角函数测高 【题型一】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【例1】（2025•威海）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度AB．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角∠1的度数，大楼底部点A的俯角∠2的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角∠3的度数．若∠1＝45°，∠2＝52°，∠3＝65°，CD＝10m，求大楼的高度AB．（精确到1m）． 参考数据：sin52°≈0.8，cos52°≈0.6，tan52°≈1.3；sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1． 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．版权所有 【分析】过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H，则四边形CDHG是矩形，根据矩形的性质得到GH＝CD＝10m，CG＝DH，根据等腰直角三角形的性质得到CG＝AG，设CG＝AG＝DH＝xm，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H， 则四边形CDHG是矩形， ∴GH＝CD＝10m，CG＝DH， ∵∠1＝45°， ∴CG＝BG， 设AH＝xm， ∴AG＝（x+10）， 在Rt△ACG中， ∵∠2＝52°， ∴CGm， ∴BG＝CGm， ∴BH＝BG+GH＝（10）m， 在Rt△BDH中，∠3＝65°， ∴tan65°2.1， ∴x≈1.8，AH≈1.8，BH≈19.1， ∴AB＝BH+AH≈21（m）． 答：大楼的高度AB约为21m． 【变式1】（2025•甘孜州）为测量物体的高度，某数学兴趣小组开展了如下活动： 【制作仪器】 把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，当测量物体时，将该仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径所在直线刚好到达物体的最高点． 【测量高度】 小丽同学用此测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A，站立此处，测得树顶端D的仰角为37°，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离地面点A的距离为1.5米，请根据这些数据，求出树的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．版权所有 【分析】为了解决这个问题，我们需要利用三角函数的定义来计算树的高度，我们可以将树的高度分为两部分，一部分是从眼睛所在位置点C到树顶端D的高度，另一部分是从地面点A到眼睛所在位置点C的高度． 【解答】解：在△ACD中，∠CAD＝37°，AC＝20米， 根据正切函数的定义，可得 CD＝AC×tan∠CAD， 将AC＝20米，（tan37°≈0.75）代入上式，可得 CD＝20×0.75＝15（米）， ∵AC＝1.5（米）， ∴树的高度 BD＝CD+AC＝15+1.5＝16.5（米）． 综上：树的高度为16.5 米． 【变式2】（2025•滨州）【活动背景】 如图，建筑物AC，BD的高度不可直接测量．为测量建筑物AC，BD的高度，技术员小李用皮尺测得A，B之间的水平距离为150m，用测角仪在C处测得D点的俯角为35°．测得B点的俯角为43°． 【问题解决】 （1）请运用技术员小李提供的数据求出建筑物AC，BD的高度（结果保留整数）； （参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93） （2）请再设计一种测量建筑物AC，BD高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物AC，BD的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪．） 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．版权所有 【分析】（1）延长BD交过C的水平线与E点，如图1，易得四边形ABEC为矩形，所以∠BEC＝90°，CE＝AB＝150m，BD＝AC，再利用正切的定义，在Rt△CDE中计算出DE≈105m，在Rt△BCE中计算出BE≈140m，然后计算BE﹣DE得到BD的高； （2）为测量建筑物AC，BD的高度，用皮尺测得A，B之间的水平距离为am，用测角仪在D处测得A点的俯角为α，测得C点的俯角为β，如图2，过D点的水平线交AC于E点，如图2，则DE＝AB＝am，BD＝AE，根据正切的定义，在Rt△ADE中可求出AE＝atanα，则BD＝atanαm，在Rt△DEC中可求出CE＝atanβ，然后计算AE+CE得到AC的高 【解答】解：（1）延长BD交过C的水平线与E点，如图1， ∵∠CAB＝∠ECA＝∠ABE＝90°， ∴四边形ABEC为矩形， ∴∠BEC＝90°，CE＝AB＝150m，BD＝AC， 在Rt△CDE中，∵tan∠DCE， ∴DE＝150tan35°≈105（m）， 在Rt△BCE中，∵tan∠BCE， ∴BE＝150tan43°≈140（m）， ∴AC＝BE＝140m，BD＝BE﹣DE＝35（m）． 答：建筑物AC的高度为140m，建筑物BD的高度为35m； （2）为测量建筑物AC，BD的高度，用皮尺测得A，B之间的水平距离为am，用测角仪在D处测得A点的俯角为α，测得C点的俯角为β，如图2， 过D点的水平线交AC于E点，如图2，则DE＝AB＝am，BD＝AE， 在Rt△ADE中，∵tan∠ADE， ∴AE＝atanα， ∴BD＝AE＝atanα（m）， 在Rt△DEC中，∵tan∠CDE， ∴CE＝atanβ， ∴AC＝AE+CE＝a（tanα+tanβ）m， 即建筑物AC，BD的高度分别为atanαm，a（tanα+tanβ）m． 【变式3】（2025•甘肃）如图1，位于嘉峪关的长城第一墩，又称天下第一墩，是明代万里长城最西端的一座墩台，始建于明嘉靖十八年（1539年）．该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖之上，扼守丝绸之路咽喉要道，与嘉峪关关城、悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御体系．随着岁月的变迁和自然的风化，长城第一墩的高度在慢慢降低．为了解长城第一墩的现存高度．某校同学们开展了“测量长城第一墩高度”的综合实践活动．如图2是他们测量长城第一墩高度AB的示意图，点A为最高点，点B、F，D是地面同一直线上的三个点（点D，F都在保护栅栏外），在D，F处分别用测角仪测得∠ACG＝16.7°，∠AEG＝22°，其中CD＝EF＝1.7m（测角仪的高度），DF＝CE＝5.5m，求长城第一墩的高度AB（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin16.7°≈0.29，cos16.7°≈0.96，tan16.7°≈0.30） 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．版权所有 【分析】根据题意可得：CG⊥AB，CD＝EF＝BG＝1.7m，然后设EG＝xm，则CG＝（x+5.5）m，分别在Rt△ACG和Rt△AEG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：CG⊥AB，CD＝EF＝BG＝1.7m， 设EG＝xm， ∵CE＝DF＝5.5m， ∴CG＝CE+EG＝（x+5.5）m， 在Rt△ACG中，∠ACG＝16.7°， ∴AG＝CG•tan16.7°≈0.3（x+5.5）m， 在Rt△AEG中，∠AEG＝22°， ∴AG＝EG•tan22°≈0.4x（m）， ∴0.4x＝0.3（x+5.5）， 解得：x＝16.5， ∴AG＝0.4x＝6.6（m）， ∴AB＝AG+BG＝6.6+1.7≈8.3（m）， ∴长城第一墩的高度AB约为8.3m． 【变式3】（2025•遂宁）在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度CF，在A处用高为1.6米的测角仪AD测得摩天轮顶端C的仰角α＝37°，再向摩天轮方向前进30米至B处，又测得摩天轮顶端C的仰角β＝50°．求摩天轮CF的高度．（结果精确到0.1米） （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19） 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．版权所有 【分析】连接DE，延长线交CF于点G，设CG＝xm，在Rt△CEG中，利用tanβ求出EG，然后在Rt△CDG中，利用tanα求出x即可解答． 【解答】解：连接DE，延长线交CF于点G， ∴DG⊥CF， ∵DA⊥AF，BE⊥AF，CF⊥AF， ∴四边形DEBA和四边形EGFB是矩形， ∴DE＝AB＝30m，BE＝GF＝1.6m， 设CG＝xm，在Rt△CEG中，tan∠CEG＝tanβ， ∴EG， ∴DG＝DE+EG＝30， 在Rt△CDG中，tan∠CDG＝tanα， ∴0.75， 解得x≈60.85， 经检验x是方程的解， ∴CF＝CG+GF＝60.85+1.6＝62.45≈62.5（m）， 答：摩天轮CF的高度约为62.5米． 【题型二】解直角三角形的应用-方向角问题 【例1】（2025•武汉模拟）如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长 　595km ．（结果保留整数）（参考数据：；；；） 【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．版权所有 【分析】过点B作BD⊥AC于点D，构造出两个直角三角形，在Rt△ABD中利用锐角三角函数的定义求出AD及BD的长，再放在Rt△CBD中求出CD的长，进而可得出结论． 【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC于点D， ∵B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km， ∴∠ABD＝67°，AB＝520， 在Rt△ABD中，，， ∵C地位于B地南偏东30°方向， ∴∠CBD＝30°， 在Rt△CBD，， ∴． 答：A地到C地之间高铁线路的长为595km， 故答案为：595km． 【变式1】（2025•恩施市二模）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．这时，B处距离A处的距离是 　140　 海里．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．版权所有 【分析】如图：过P作PC⊥AB于C，在Rt△APC中解直角三角形可得PC＝60、AC＝80，再在Rt△PBC中可得BC＝PC＝60，然后根据线段的和差即可解答． 【解答】解：如图：过P作PC⊥AB于C， 在Rt△APC中，∠A＝37°，AP＝100海里， ∴P C＝A P•sin A≈100×0.6＝60（海里），AC＝AP•cos37°≈100×0.8＝80（海里）， 在Rt△PBC中，∠B＝45°， ∴BC＝PC＝60海里， ∴AB＝AC+BC＝80+60＝140（海里）． 【变式2】（2025•西宁一模）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船与观测站之间的距离（即OB的长）为　（22）　 km． 【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．版权所有 【分析】作AD⊥OB于点D，根据题目条件得出∠OAD＝60°、∠DAB＝45°、OA＝4km，再分别求出AD、OD、BD的长，从而得出答案． 【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥OB于点D， 由题意知，∠AOD＝30°，OA＝4km， 则∠OAD＝60°， ∴∠DAB＝45°， 在Rt△OAD中，AD＝OAsin∠AOD＝4×sin30°＝42（km）， OD＝OAcos∠AOD＝4×cos30°＝42（km）， 在Rt△ABD中，BD＝AD＝2km， ∴OB＝OD+BD＝22（km）， 故答案为：（22）． 【变式3】（2023•眉山）一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是 　（66）　 海里． 【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．版权所有 【分析】过点C作CH⊥AB于H．证得BH＝CH，在Rt△ACH中，解直角三角形求出CH的值即可． 【解答】解：过点C作CH⊥AB于H． ∵∠DAC＝60°，∠CBE＝45°， ∴∠CAH＝90°﹣∠CAD＝30°，∠CBH＝90°﹣∠CBE＝45°， ∴∠BCH＝90°﹣45°＝45°＝∠CBH， ∴BH＝CH， 在Rt△ACH中，∠CAH＝30°，AH＝AB+BH＝12+CH，tan30°， ∴CH（12+CH）， 解得CH＝6（1）． 答：渔船与灯塔C的最短距离是6（1）海里． 故答案为：（66）． 【课后练习】 1．（2025秋•芝罘区期中）如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥，被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某校九年级学生为了测量该桥主塔上某位置A的高度，站在B处看点A，仰角为60°，然后向后走160米（BC＝160米），到达C处，此时看点A，仰角为30°，则A点的高度是（　　） A．160米 B．米 C．200米 D．米 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．版权所有 【分析】过点A作AD⊥CB，垂足为D，先根据三角形的外角性质可得∠BAC＝∠ACD＝30°，从而可得AB＝BC＝160米，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，即可解答． 【解答】解：过点A作AD⊥CB，垂足为D， ∵∠ABD是△ABC的一个外角，∠ABD＝60°，∠ACD＝30°， ∴∠BAC＝∠ABD﹣∠ACD＝30°， ∴∠BAC＝∠ACD＝30°， ∴AB＝BC＝160米， 在Rt△ABD中，AD＝AB•sin60°＝16080（米）， ∴该A的高度是米， 故选：D． 2．（2025•长春）如图，已知某山峰的海拔高度为m米，一位登山者到达海拔高度为n米的点A处，测得山峰顶端B的仰角为α，则A、B两点之间的距离为（　　） A．（m﹣n）sinα米 B．米 C．（m﹣n）cosα米 D．米 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．版权所有 【分析】根据题意，结合图形，Rt△ABC中，AB，得到结果． 【解答】解：∵依题意，在Rt△ABC中，BC＝（m﹣n）米，∠ACB＝90°，∠BAC＝α， ∴AB， 故选：B． 3．（2025•浙江模拟）为测量小河的宽度CD，小明在河两岸C，D测得大楼AB楼顶A的仰角分别为α，β．若大楼AB的高为h，则CD的长可表示为（　　） A．（tanα﹣tanβ）h B．（sinα﹣sinβ）h C． D． 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．版权所有 【分析】根据题意可得：AB⊥BC，然后分别在Rt△ABD和Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义求出BD和BC的长，从而进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：AB⊥BC， 在Rt△ABD中，AB＝h，∠ADB＝β， ∴BD， 在Rt△ACB中，∠ACB＝α， ∴BC， ∴CD＝BC﹣BD， 故选：C． 4．（2025•秦皇岛模拟）为测量校园内的旗杆AC的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为1.5m的B处，使用测角仪测得∠ABC＝75°，由于75°角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在AB的延长线上取一点M，将一根木棒MN竖直立在地面上的点M处，MN＝1.5m，此时测得∠NBM＝15°，故淇淇得出结论△ABC≌△MNB，进而推得BM＝AC，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（　　） A．SAS B．AAS C．HL D．SSS 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；全等三角形的应用．版权所有 【分析】由全等三角形的判定定理AAS或ASA均可证得图中两个三角形全等，从而可得答案． 【解答】解：由题意可得：测量校园内的旗杆AC的高度，MN＝AB＝1.5，∠CAB＝∠BMN＝90°， ∵∠ABC＝75°， ∴∠ACB＝90°﹣75°＝15°＝∠MBN， ∴△ABC≌△MNB， ∴AC＝BM， ∴依据可能是AAS，所以答案B符合题意． 故选：B． 5．（2025•南关区校级模拟）如图．点A是地平面上的一点，淇淇在点A的正上方放飞无人机，他将无人机升高至50m（AC＝50m），此时测得点B的俯角为α，点A，B，C在同一平面内，则点A，B间的距离为（　　） A．50tanαm B． C．50sinαm D． 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．版权所有 【分析】在Rt△ABC中，根据正切的定义求解即可． 【解答】解：∵∠ABC＝α，AC＝50m， 由三角函数可得：． 故选：B． 6．（2025•深圳校级二模）航天员也能“点外卖”：北京时间2024年11月15日23时13分，搭载天舟八号货运飞船的长征七号遥九运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟八号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，之后飞船太阳能帆板顺利展开，发射取得圆满成功．当天火箭从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角∠DPA为30°，A与P两点的距离为10千米；它沿铅垂线上升到达B处时，此时在P处测得B点的仰角∠DPB为45°，则天舟二号从A处到B处的距离AB的长为（　　）（参考数据：）． A．2.0千米 B．1.5千米 C．2.5千米 D．3.5千米 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；含30度角的直角三角形．版权所有 【分析】根据题意可得：BD⊥DP，然后在Rt△ADP中，利用含30度角的直角三角形的性质可得AD＝5千米，DP＝5千米，再在Rt△BDP中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，最后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：BD⊥DP， 在Rt△ADP中，∠DPA＝30°，AP＝10千米， ∴ADAP＝5（千米），DPAD＝5（千米）， 在Rt△BDP中，∠BPD＝45°， ∴BD＝DP•tan45°＝5（千米）， ∴AB＝BD﹣AD＝55≈3.5（千米）， ∴天舟二号从A处到B处的距离AB的长约为3.5千米， 故选：D． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，含30度角的直角三角形，准确熟练地进行计算是解题的关键． 7．（2025•浙江）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为500m，从点A观测点P的仰角为α，cosα＝0.98，则A处到B处的距离为　490　 m． 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．版权所有 【分析】根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：在Rt△ABP中，∵∠B＝90°，AP＝500m，∠A＝α， ∴AB＝AP•cosα＝500×0.98＝490（m）， 答：A处到B处的距离为490m． 故答案为：490． 8．（2025•武汉）某科技小组用无人机测量一池塘水面两端A，B的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面120m的P处，测得A处的俯角为45°，B处的俯角为22°，则A，B之间的距离是　180　 m．（tan22°取0.4） 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．版权所有 【分析】根据题意可得：PD∥CB，从而可得∠PAC＝∠DPA＝45°，∠DPB＝∠PBC＝22°，然后分别在Rt△PAC和Rt△PBC中，利用锐角三角函数的定义求出AC和BC的长，从而进行计算即可解答． 【解答】解：如图： 由题意得：PD∥CB， ∴∠PAC＝∠DPA＝45°，∠DPB＝∠PBC＝22°， 在Rt△PAC中，PC＝120m， ∴AC120（m）， 在Rt△PBC中，∠PBC＝22°， ∴BC300（m）， ∴AB＝BC﹣AC＝300﹣120＝180（m）， ∴A，B之间的距离约是180m， 故答案为：180． 9．（2025•内蒙古）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量，他们将无人机上升并飞行至距湖面90m的点C处，从C点测得A点的俯角为60°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为　120　 m（结果保留根号）． 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．版权所有 【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据题意可得：EF∥AB，从而可得∠FCA＝∠CAB＝60°，∠ECB＝∠CBA＝30°，然后分别在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出AD和BD的长，最后进行计算即可解答． 【解答】解：如图：过点C作CD⊥AB，垂足为D， 由题意得：EF∥AB， ∴∠FCA＝∠CAB＝60°，∠ECB＝∠CBA＝30°， 在Rt△ACD中，CD＝90m， ∴AD30（m）， 在Rt△BCD中，BD90（m）， ∴AB＝AD+BD＝120（m）， ∴湖泊两端A，B的距离为120m， 故答案为：120． 10．（2025•陕西）小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡BM上的点C处安装测角仪CD，测得河对岸点A的俯角α为8.5°，CD与BM的夹角β为78.5°，又测得点C与河岸点B之间的距离CB为10m．已知CD＝1.6m，点A，B，C，D，M，N在同一平面上，点A，B，N在同一水平直线上，且CD⊥AB．求河宽AB．（参考数据：sin8.5°≈0.15，cos8.5°≈0.99，tan8.5°≈0.15，sin78.5°≈0.98，cos78.5°≈0.20，tan78.5°≈4.92） 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．版权所有 【分析】延长DC交AN于点H，在Rt△BCH和Rt△DAH中，利用直角三角形的边角间关系求出BH、CH、AH，最后利用线段的和差关系得结论． 【解答】解：延长DC交AN于点H，则DH⊥AN． 在Rt△BCH中，∠BCH＝∠β＝78.5°， ∵cos∠BCH，sin∠BCH， ∴CH＝CB•cos78.5° ≈10×0.20 ＝2（m）， BH＝CB•sin78.5° ≈10×0.98 ＝9.8（m）． ∴DH＝CD+CH＝3.6（m）． ∵DE∥AN， ∴∠DAN＝∠EDA＝α＝8.5°． 在Rt△DAH中， ∵tan∠DAN， ∴（m）． ∴AB＝AH﹣BH＝24﹣9.8＝14.2（m）， 答：河宽AB约为14.2m． 11．（2025•资阳）如图，已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN，该平台上有一个竖直的建筑物CD．在A处测得建筑物顶端C的仰角为30°，在B处测得C的仰角为60°，斜坡AB的坡度i＝1：3，米，CD⊥BD．（点A，B，C，D在同一竖直平面内）． （1）求平台BN的高度； （2）求建筑物的高度（即CD的长）． 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．版权所有 【分析】（1）过点B作BE⊥AM于E，根据坡度的概念得到AE＝3BE，再根据勾股定理求出BE； （2）延长CD交AM于F，设CD＝x米，根据正切的定义用x表示出AF、EF，根据题意列式计算得到答案． 【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥AM于E， ∵斜坡AB的坡度为1：3， ∴， ∴AE＝3BE， 在Rt△ABE中，AB2＝BE2+AE2，即（10）2＝BE2+（3BE）2， 解得：BE＝10， 答：平台BN的高度为10米； （2）如图，延长CD交AM于F， 则CF⊥AM， ∴四边形BEFD为矩形， ∴DF＝BE＝10米，BD＝EF， 设CD＝x米，则CF＝（x+10）米， 在Rt△ACF中，∠CAF＝30°， ∵tan∠CAF， ∴， ∴AF（x+10）米， 在Rt△CBD中，∠CBD＝60°， 则BDx米， 由（1）可知：AE＝3BE＝30米， ∴（x+10）x＝30， 解得：x＝1515， 答：建筑物的高度为（1515）米． 12．（2025•巴中）某学习小组带着测角仪开展“测量高压电塔高度”的实践活动，绘制了如下示意图．在A处测得塔顶D的仰角为30°，向前行40米，在B处测得塔顶D的仰角为75°，A、B与电塔底部C在同一直线上． （1）求点B到AD的距离； （2）求高压电塔CD的高度（结果保留根号）． 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．版权所有 【分析】（1）过点B作BE⊥AD于点E，根据含30度角的直角三角形即可解决问题； （2）根据含30度角的直角三角形求出AE，然后证明DE＝BE＝20m，再利用含30度角的直角三角形即可解决问题． 【解答】解：（1）过点B作BE⊥AD于点E， ∵∠A＝30°， ∴， ∴点B到AD的距离为20m； （2）由（1）得：BE＝20m， ∵∠A＝30°， ∴， 又∵∠DBC＝75°， ∴∠ADB＝∠DBC﹣∠A＝75°﹣30°＝45°， ∴∠EDB＝90°﹣45°＝45°， ∴DE＝BE＝20m， ∴， ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴． ∴高压电塔CD的高度为（10+10）m． 13．（2025•大庆）数学综合实践活动中，两个兴趣小组要合作测量楼房高度BC．如图，第一小组用无人机在离地面40米高的点D处，测得地面上一点A的俯角为45度，测得楼顶C处的俯角为30度（点A，B，C，D都在同一平面内，无人机在点A和楼房之间的点D处测量）；第二小组人工测量得到点A和大楼之间的水平距离AB＝70米．请根据提供的数据，求出楼房高度．（结果精确到1米，参考数据：） 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．版权所有 【分析】延长BC交直线l于点F，过点A作AE⊥l，垂足为E，则BF⊥l，根据题意可得：AE＝BF＝40米，AB＝EF＝70米，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，从而求出DF的长，再在Rt△CDF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，最后进行计算即可解答． 【解答】解：延长BC交直线l于点F，过点A作AE⊥l，垂足为E，则BF⊥l， 由题意得：AE＝BF＝40米，AB＝EF＝70米， 在Rt△ADE中，∠ADE＝45°， ∴DE40（米）， ∴DF＝EF﹣DE＝70﹣40＝30（米）， 在Rt△CDF中，∠CDF＝30°， ∴CF＝DF•tan30°＝3010（米）， ∴BC＝BF﹣CF＝40﹣1023（米）， ∴楼房高度约为23米． 14．（2025•广元）为传承红色文化，广元人民在“九华岩战斗遗址”修建了纪念塔．该塔由基座、塔身和塔顶五角星三部分构成（如图①）．小刚想知道塔顶五角星的高度，进行了如下测量（如图②）：他站在与塔底同一水平面的点E处，测得五角星最高点A的仰角∠ACD＝74°，最低点B的仰角∠BCD＝73°，点E到塔底中心O的距离OE为15米．求五角星高度AB大约是多少米（结果保留整数）？（参考数据：tan74°≈3.49，tan73°≈3.27） 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．版权所有 【分析】延长CD交AO于F，根据矩形的性质得到∠AEC＝∠CFO＝90°，CF＝OE＝15米，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：延长CD交AO于F， 则四边形CEOF是矩形， ∴∠AEC＝∠CFO＝90°，CF＝OE＝15米， 在Rt△ACE中，tan∠ACE3.49， ∴AF＝15×3.49＝52.35（米）， 在Rt△BCF中，tan∠BCF3.27， ∴BF＝15×3.27＝49.05（米）， ∴AB＝AF﹣BF＝52.35﹣49.05≈3（米）． 答：五角星高度AB大约是3米． 15．（2025•青岛）学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点A，B，C，D，E在同一平面内．点B，C，D在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部A测得博学楼的顶部E的俯角为22°，另一组成员沿BD方向从厚德楼底部B点向博学楼走15米到达C点，在C点测得博学楼顶部E的仰角为42°，求博学楼DE的高度． （参考数据：sin22°，cos22°，tan22°，sin42°，cos42°，tan42°） 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．版权所有 【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，根据题意可得：EF＝BD，BF＝DE，BC＝15米，AG∥EF，从而可得∠GAE＝∠AEF＝22°，然后设CD＝x米，则EF＝BD＝（x+15）米，分别在Rt△DCE和Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出DE和AF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：如图：过点E作EF⊥AB，垂足为F， 由题意得：EF＝BD，BF＝DE，BC＝15米，AG∥EF， ∴∠GAE＝∠AEF＝22°， 设CD＝x米，则EF＝BD＝BC+CD＝（x+15）米， 在Rt△DCE中，∠ECD＝42°， ∴DE＝CD•tan42°x（米）， ∴DE＝BFx米， 在Rt△AEF中，∠AEF＝22°， ∴AF＝EF•tan22°（x+15）米， ∵AF+BF＝AB， ∴（x+15）x＝19， 解得：x＝10， ∴DEx＝9（米）， ∴博学楼DE的高度约为9米． 16．（2025•陕西）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面FB上的点D处安装测角仪DE，测得信号杆顶端A的仰角α为45°，DE与坡面的夹角β为72.5°，又测得点D与信号杆底端B之间的距离DB为22m．已知DE＝1.7m，点A，B，C在同一条直线上，AB，DE均与水平线FC垂直．求信号杆的高AB．（参考数据：sin72.5°≈0.95，cos72.5°≈0.30，tan72.5°≈3.17） 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．版权所有 【分析】理解题意，得出∠DBH＝∠BDE＝72.5°，再在Rt△DBH 中，运用HD＝BD×sin72.5°，BH＝BD×cos72.5°，代入数值进行计算，得出HD，BH的值，然后证明四边形EDHI是矩形，故EI＝HD＝20.9m，根据∠AEI＝45°，∠AIE＝90°，得∠EAI＝45°，AI＝EI＝20.9m，把数值代入AB＝AI+IH﹣BH进行计算，即可作答． 【解答】解：过点E作EI⊥AC于点I，过点D作DH⊥AC于点H，如图所示： ∵AB，DE均与水平线FC垂直， ∴DE∥AC， ∴∠DBH＝∠BDE＝72.5°， ∵DH⊥AC， ∴∠DHI＝90°， 在Rt△DBH中，， 则HD＝BD×sin72.5°＝22×0.95＝20.9（m）， 在Rt△DBH中，BD＝22m，， 则BH＝BD×cos72.5°＝22×0.30＝6.6（m）， ∵过点E作EI⊥AC于点I，过点D作DH⊥AC于点H，DE∥AC， ∴∠EDH＝∠DHI＝∠HIE＝90°， ∴四边形EDHI是矩形， ∴EI＝HD＝20.9m， ∴∠AEI＝45°，∠AIE＝90°， ∴∠EAI＝45°， ∴AI＝EI＝20.9m， ∴AB＝AI+IH﹣BH＝20.9+1.7﹣6.6＝16（m）， 信号杆的高AB为16m． 17．（2025•天津）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑AB的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，E，C依次在同一条水平直线上，CD⊥AC，EF⊥AC，且CD＝EF＝1.7m．在D处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为22°，在F处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为31°，CE＝32m．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑AB的高度（结果取整数）． 参考数据：tan22°≈0.4，tan31°≈0.6． 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．版权所有 【分析】延长DF与AB相交于点G，根据题意可得DG∥CA，得出DF＝1.7m，在Rt△FGB中，，可得．在Rt△DGB中，，可得，根据GF+DF＝GD列式计算即可． 【解答】解：如图，延长DF与AB相交于点G， 根据题意可得四边形GAEF和四边形FECD是矩形，∠GDB＝22°，∠GFB＝31°，∠DGB＝90°， ∴AG＝EF＝CD＝1.7m，DF＝CE＝32m， 在Rt△FGB中，， ∴， 在Rt△DGB中，， ∴． ∵GF+DF＝GD， ∴． ∴． ∴AB＝AG+GB≈1.7+38.4≈40（m）， 答：世纪钟建筑AB的高度约为40m． 18．（2025•湖北）如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼A处看乙楼顶部B的仰角为35°，A到地面的距离为18m，求乙楼的高．（参考数据：tan35°≈0.7） 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．版权所有 【分析】过A作AC⊥BC于C，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：过A作AC⊥BC于C， 则∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝35°，AC＝30m， ∴BC＝AC•tan35°≈30×0.7＝21（m）， ∴乙楼的高＝21+18＝39（m）． 19．（2025•新疆）某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下： 实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 1．站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树CD的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时F，C，E三点在同一直线上）； 2．测量A，D两点和B，D两点间的距离； 3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角∠EFG； 4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间的距离； 5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角∠MNG． 实验图示 测量数据 1．AD＝4m 2．BD＝10m 3．BH＝13.5m 4．∠EFG＝43° 5．∠MNG＝21.8° 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．AE，CD，FB，NH均与地面垂直． 参考数据：sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40；sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93． 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度EM的值． 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．版权所有 【分析】由题意得，四边形FGAB，四边形NHAG为矩形，则FG＝AB＝AD+BD＝14m，NG＝AH＝AD+DB+BH＝27.5m，然后分别解Rt△EFG求出EG，解Rt△MNG求出MG，再由EM＝EG﹣MG即可求解． 【解答】解：由题意得，四边形FGAB，四边形NHAG为矩形， ∴FG＝AB＝AD+BD＝10+4＝14m，NG＝AH＝AD+DB+BH＝4+10+13.5＝27.5m， ∵在Rt△EFG中，， ∴， ∴EG＝14×0.93＝13.02m， 在Rt△MNG中，， ∴， ∴MG＝1lm， ∴EM＝EG﹣MG＝13.02﹣11＝2.02m， 答：校徽的高度约为2.02m． 20．（2025•深圳模拟）如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东35°的方向上有一棵大树B，已知凉亭A在大树B的正西方向，若BC＝100米，则A、B两点相距（　　）米． A．100（cos35°+sin35°） B．100（cos35°﹣sin35°） C．（） D．（） 【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．版权所有 【分析】本题可通过构建直角三角形来解答，过点C作AB的垂线交AB于D，CD是直角三角形ACD和CBD的公共直角边，要先求出CD的值然后再求AD，BD的值，进而得出AB的长． 【解答】解：过点C作AB的垂线交AB于D， ∵B点在A点的正东方向上， ∴∠ACD＝45°，∠DCB＝35°， 在Rt△BCD中，BC＝100， ∴DB＝BCsin35°＝100•sin35°（米）， CD＝BCcos35°＝100•cos35°（米）， 在Rt△ACD中，AD＝CD， ∴AB＝AD+DB＝100（sin35°+cos35°）（米）． 故选：A． 21．（2025•海南模拟）如图，学生甲在凉亭A处测得湖心岛C在其南偏西15°的方向上，又从A处向正东方向行驶300米到达凉亭B处，测得湖心岛C在其南偏西60°的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为（　　）米． A．150 B． C． D． 【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．版权所有 【分析】过点A作AD⊥BC与点D，利用锐角三角函数求出AD＝150米，米，再求出CD＝150米，即可求解． 【解答】解：A处向正东方向行驶300米到达凉亭B处，如图，过点A作AD⊥BC与点D，则AB＝300米， ∵∠CBF＝60°， ∴∠ABC＝30°， ∵AD⊥BC， ∴∠BAD＝60°， 在Rt△ADB中，∠ABD＝30°，AB＝300米， ∴ADAB＝150米，米， ∵∠1＝15°， ∴∠BAC＝90°+15°＝105°， ∴∠CAD＝105°﹣60°＝45°， 在Rt△ACD中，CD＝AD＝150米， ∴米， 故选：B． 22．（2025•德阳模拟）某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为A→B→C→A．点B在点A的南偏东25°方向处，点C在点A的北偏东80°方向，∠ABC＝45°．则检查点B和C之间的距离为（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．4.5千米 【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．版权所有 【分析】过A点作AH⊥BC于H点，如图，根据方向角的定义和平角的定义可计算出∠BAC＝75°，再计算出∠CAH＝30°，接着在Rt△ABH中利用等腰直角三角形的性质计算出AH＝BH＝3km，然后在Rt△ACH中利用∠CAH＝30°计算出CHkm，最后计算BH+CH即可． 【解答】解：过A点作AH⊥BC于H点，如图， ∵点B在点A的南偏东25°方向处，点C在点A的北偏东80°方向， ∴∠BAC＝180°﹣80°﹣25°＝75°， ∵∠ABC＝90°，∠AHB＝90°， ∴∠BAH＝45°， ∴∠CAH＝∠BAC﹣∠BAH＝75°﹣45°＝30°， 在Rt△ABH中，∵∠B＝45°， ∴AH＝BHAB33（km）， 在Rt△ACH中，∵∠CAH＝30°， ∴CHAH3（km）， ∴BC＝BH+CH＝（3）km． 故选：C． 23．（2025•雨花区校级三模）“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汩罗江国际龙舟竞渡中心广场点P处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上，终点B位于点P的北偏东60°方向上，AB＝200米，则点P到赛道AB的距离约为 　　 米（结果保留根号）． 【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．版权所有 【分析】过点P作PC⊥AB，垂足为P，设PC＝x米，然后分别在Rt△APC和Rt△CBP中，利用锐角三角函数的定义求出AC，BC的长，再根据AB＝200米，列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：过点P作PC⊥AB，垂足为C， 设PC＝x米， ∵∠APC＝30°， ∴（米）， ∵∠CPB＝60°， ∴（米）， ∵AB＝200米， ∴AC+BC＝200， ∴， ∴， ∴米， 故答案为：． 24．（2025•巴林左旗模拟）如图是某活动小组在测量湖中古亭与岸边古塔之间的距离时绘制的，在古塔A处测得古亭B位于北偏东60°，他们向南走100m到达D点，测得古亭B位于北偏东45°，则古亭与古塔之间的距离AB的长约为 　273　 m．（结果精确到1m．参考数据： 【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．版权所有 【分析】过点B作BC⊥AD，交DA的延长线于点C，设AC＝xm，则CD＝（x+100）m，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，再证明BC＝DC，列出关于x的方程，求出AC的长，然后在Rt△ABC中，由含30°角的直角三角形的性质求出AB的长即可． 【解答】解：如图，过点B作BC⊥AD，交DA的延长线于点C， 设AC＝xm，则CD＝AC+AD＝（x+100）m， 在Rt△ABC中，∠CAB＝60°， ∴BC＝AC•tan60°x（m）， 在Rt△BCD中，∠BDC＝45°， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∴BC＝CD， ∴x＝x+100， 解得：x＝5050， ∴AC＝（5050）m， ∵∠ABC＝90°﹣∠BAC＝30°， ∴AB＝2AC＝100100≈273（m）， ∴古亭与古塔之间的距离AB的长约为273m． 故答案为：273． 25．（2025•呼和浩特二模）如图，兴康社区附近有A、B、C三个快递中转站：B站在A站南偏西53°方向上，C站在B站的东北方向上，A站在C站的北偏东60°方向上且距离C站4km处，则B站到C站的距离为　3.4　 km（精确到0.1km）．（A、B、C、D在同一平面内，参考数据：1.41，，，，， 【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．版权所有 【分析】过点C作CF⊥AD于点F，作CE⊥BD于点E，证明四边形CFDE是矩形，则CF＝DE，DF＝CE，求出AF＝2，米，设BC＝x，根据，列式计算即可求解即可． 【解答】解：过点C作CF⊥AD于点F，作CE⊥BD于点E，则∠CFD＝∠CED＝∠D＝90°， ∴CF＝DE，DF＝CE， 在Rt△ACF中，∠ACF＝30°， ∴， ， ∴， 设BC＝xkm， 在Rt△BCE中， ∴ km， ∴ km， ∵∠ABD＝90°﹣53°＝37°， ∴， ∴， 解得， 即B站到C站的距离为3.4km． 26．（2025•雨城区校级模拟）如图，一艘货轮以36海里/小时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B．货轮继续向北航行40分钟后到达C处，发现灯塔B在它北偏东75°方向，则此时货轮与灯塔B的距离为　33.94　 海里（结果精确到0.01海里．参考数据：）． 【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．版权所有 【分析】根据题意得到∠B＝75°﹣45°＝30°，（海里），如图所示，过点C作CD⊥AB于点D，根据，得到（海里），在Rt△BCD中有含30°角的直角三角形的性质得到（海里），由此即可求解． 【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∵， 根据题意，∠B＝75°﹣45°＝30°，（海里）， ∴（海里）， 在Rt△BCD中，∠B＝30°， ∴（海里）， 故答案为：33.94． 27．（2025•巴彦淖尔校级二模）如图，某日我国某岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B船，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是 　是海里　 ．（结果保留根号） 【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．版权所有 【分析】过点B作BD⊥AC于点D，进而利用BD＝AB•sin∠BAD，，求出即可． 【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D， 由已知条件可得：∠ABC＝90°+15°＝105°， 则∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝30°， ∴， ∴． 故答案为：海里． 28．（2025•烟台）【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西14°方向 14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处 15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离； （2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）． 【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．版权所有 【分析】（1）过点B作 BE⊥AC于点E，设BE＝x，根据题意得出EC＝ED+DC＝x+5，解Rt△BCE，得出，建立方程，即可求解； （2）求得AE的距离，计算AC的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即可求解． 【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥AC于点E， 设BE＝x， 依题意，∠EBC＝53°，∠EBD＝45°，CD＝105， ∴∠C＝90°﹣∠EBC＝37°，ED＝x， ∴EC＝ED+DC＝x+5， 在Rt△BCE中，EC， ∴， 解得：x＝15， ∴渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里； （2）在Rt△ABE中，∠ABE＝14°，BE＝15， ∴AE＝BE•tan14°≈15×0.25＝3.75， ∴AC＝AE+DE+DC＝15+3.75+5＝23.75， 23.75÷10＝2.375小时＝142.5分钟， 从14：30，经过142.5分钟是16：52：30，在17：30之前到达， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A． 29．（2025•重庆）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西30°方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西30°方向上． （参考数据：1.41，1.73，2.24，2.65） （1）求BD的长度（结果保留小数点后一位）； （2）甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿BC，DC往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？ 【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．版权所有 【分析】（1）过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F，由题意得，∠DAE＝30°，解Rt△ADE得到千米，DE＝10千米，证明四边形AEFB是矩形，得到EF＝AB＝10千米，千米，得到DF＝DE+EF＝20千米，再利用勾股定理即可求出BD的长； （2）当甲无人机运动到M，乙无人机运动到M时，此时满足MN＝20千米，过点M作MT⊥CD于T，由题意得，∠BCF＝90°﹣30°＝60°，解Rt△FBC得到BC＝20千米，CF＝10千米，则CD＝DF+CF＝30千米，设BM＝x千米，则DN＝2x千米，CM＝（20﹣x）千米，解Rt△CMT得到CT＝（10﹣2x）千米，千米，则米，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）如图所示，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F， ∴∠AED＝∠BFC＝90°， 由题意得，∠DAE＝30°， 在Rt△ADE中，（千米）， DE＝AD•sin∠DAE＝20•sin30°＝10（千米）， ∵无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上， ∴AB∥CD， ∴AE⊥AB，BF⊥AB， ∴四边形AEFB是矩形， ∴EF＝AB＝10千米，千米， ∴DF＝DE+EF＝20千米， ∴（千米）， 答：BD的长度约为26.5千米； （2）如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足MN＝20千米，过点M作MT⊥CD于T， 由题意得，∠BCF＝90°﹣30°＝60°， 在 Rt△FBC中，千米， 千米， ∴CD＝DF+CF＝30千米， 设 BM＝x千米，则DN＝2x千米，CM＝（20﹣x） 千米， 在 Rt△CMT 中，千米， MT＝CM•sin∠MCT＝（20﹣x）•sin60°＝（x）千米， ∴TN＝CD﹣DN﹣CT＝30﹣2x﹣（10x）＝（20x）千米， 在Rt△MNT中，由勾股定理得MN2＝MT2+NT2， ∴， ∴或（此时大于BC的长，舍去）， ∴（千米）， 答：甲无人机飞离B处3.8千米时，两无人机可以开始相互接收到信号． 30．（2025•长沙）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上．已知AB＝800m． （1）求∠ACB的度数； （2）求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．版权所有 【分析】（1）由题意可得∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，∠BDM＝45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM，进而可以解决问题； （2）根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题． 【解答】解：（1）如图，由题意点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上， ∴∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，∠BDM＝45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM， ∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ACM＝∠CAF＝30°， ∴∠ACB＝∠BCM﹣∠ACM＝60°﹣30°＝30°； （2）方法一： ∵∠CBE＝60°， ∴∠CBM＝90°﹣∠CBE＝90°﹣60°＝30°， 由（1）得∠ACB＝30°， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°， 又∵AB＝800m， ∴AB＝AC＝800m， 在Rt△ACM中，， ∴（m）， （m）， ∴BM＝BA+AM＝800+400＝1200（m）， ∵∠BDM＝45°，BM⊥DM， ∴DM＝BM＝1200m， ∴， ∴景点C与景点D之间的距离为． 方法二： ∵∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，BE∥AF∥DM， ∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ACM＝∠CAF＝30°． 设AM＝xm， ∴AC＝2xm， ∴CMAMx（m）， 在Rt△BCM中， ， 即， 解得x＝400， 经检验得x＝400是原方程的解， ∴BM＝BA+AM＝800+400＝1200（m）， ∵∠BDM＝45°，BM⊥DM， ∴BM＝DM＝1200m， ∴． ∴景点C与景点D之间的距离为（）m． 31．（2025•连云港）如图，港口B位于岛A的北偏西37°方向，灯塔C在岛A的正东方向，AC＝6km，一艘海轮D在岛A的正北方向，且B、D、C三点在一条直线上，DCBD． （1）求岛A与港口B之间的距离； （2）求tanC． （参考数据：sin37°，cos37°） 【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．版权所有 【分析】（1）过点B作BM⊥AD，垂足为M，证明△BDM∽△CDA，得出，结合，AC＝6km，求出，再在Rt△ABM 中利用三角函数即可求解； （2）在Rt△ABM中，利用三角函数求出AM，利用△BDM∽△CDA，得出，则可求出AD，再在Rt△ADC 中利用三角函数即可求解． 【解答】解：（1）如图，过点B作BM⊥AD，垂足为M， ∵AC⊥AD， ∴BM∥AC， ∴△BDM∽△CDA， ∴， ∵，AC＝6km， ∴， 得， 在Rt△ABM中，由， 得AB＝4， 答：岛A与港口B之间的距离为4km； （2）在Rt△ABM 中，， ∵△BDM∽△CDA， ∴， ∴， 在Rt△ADC 中， ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $