第一章直角三角形边角关系题型总结1.1-1.5题型分类讲义 北师大版九年级下册

北师大版九年级下册第一单元直角三角形边角关系题型总结1.1-1.5题型分类讲义 【题型一】锐角三角函数的定义 【例1】（2025秋•虹口区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝3，那么∠B的正弦值是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025秋•浦东新区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，则下列等式中不正确的是（　　） A．a＝csinA B．a C．b＝csinB D．c 【变式2】（2025秋•浦东新区期中）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tanA的值为（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2025秋•浦东新区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝1，现给出下列结论：①sinA；②cosB；③tanA＝2；④sinB，其中正确的是　 　 ． 【题型二】同角三角函数的关系 【例1】（2025•南陵县一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025•江岸区校级模拟）在△ABC中，∠C＝90°，tanA，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024秋•海曙区期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，下列结论：①；②；③，其中结论正确的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型三】互余两角三角函数的关系 【例1】（2025秋•蓬莱区期中）若∠α的余角是30°，则cosα的值是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025秋•烟台期中）若sin（80°﹣α）＝cos50°，则α的度数是（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【变式2】（2025秋•崇明区期中）已知△ABC中，∠C＝90°，，则cotB＝ 　 　 ． 【题型四】特殊角的三角函数值 【例1】（2025秋•长春期中）若，则锐角α的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【变式1】（2025•齐河县模拟）在△ABC中，若∠A，∠B满足，且∠A，∠B均为锐角，则∠C的度数为（　　） A．45° B．60° C．75° D．105° 【变式2】（2025秋•苏州校级期中）在Rt△ABC中，，则锐角α的度数为　 　 °． 【题型五】解直角三角形（网格类） 【例1】（2025秋•蓬莱区期中）如图，点A，B，C，D，E均在正方形网格的格点上，DE，AB交于点F，则tan∠EFB＝（　　） A．3 B． C．2 D． 【例2】（2024秋•烟台期末）如图是由全等的含60°角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点A，B，C在格点上，则tan∠CAB的值为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025秋•莱州市期中）如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则sin∠BAC的值是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025秋•碑林区校级期中）如图，在4×4的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，连接AB，AC，则sin∠BAC的值为 　 ． 【变式3】（2025秋•东城区校级期中）如图所示的网格是边长为1的正方形网格，点A，B，C是网格线交点，则sin∠ABC＝　 　 ． 【题型六】解直角三角形 【例1】（2025秋•碑林区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE垂直平分AC，交AC于点E，则∠C的正切值为（　　） A． B． C． D．1 【例2】（2025秋•苏州校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025秋•永春县期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD，CB相交于点H，E，AH＝2CH． （1）求证：AH•AB＝AC•BC； （2）求sinB的值． 【变式2】（2025秋•黄浦区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，，点D在边AB上，，过D作DE⊥DC，交CB延长线于点E． （1）求∠BDE的正弦值； （2）求的值． 【变式3】（2024秋•渭滨区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，延长BC至点D，连接AD． （1）求sinB的值； （2）若∠ADB＝30°，求CD的长． 【题型七】．解直角三角形的应用 【例1】（2025秋•正定县期中）如图是某商场到地下停车场的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示地下停车场、商场电梯口处地面的水平线，∠ABC＝135°，BC的长约是5m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（　　） A． B．5m C． D．10m 【例2】（2025•南山区校级三模）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角∠BAC＝132°，点D在伞柄AP上，AE＝AF＝DE＝DF＝m，则AD的长度可表示为（　　） A．m sin66° B．m cos66° C．2m sin66° D．2m cos66° 【变式1】（2026•江西模拟）新素材正六边形蜂窝状置物架如图（1）是某阅览室墙上安装的正六边形蜂窝状置物架，将该置物架抽象成如图（2）所示的图形，点A，B，C，D，E，F均为正六边形的顶点，点O为AB的中点，每个正六边形的边长均为2dm． （1）连接OF，求OF的长； （2）求该置物架所占用墙面的宽度d． 【变式2】（2025•兰州）天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如表： 问题 月球与地球之间的距离约为多少？ 工具 天文望远镜、天文经纬仪等 月球、地球的实物图与平面示意图 说明 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段AB作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得∠ABP和∠BAP的度数，根据实际问题画出平面示意图（如图），过点P作PH⊥AB于点H，连接AP，BP． 数据 AB≈0.8万千米，∠ABP＝89°25'37.43′′，∠BAP＝89°22'38.09′′． 根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离PH．（结果精确到1万千米） （参考数据：tan89°25′37.43''≈100.00，tan89°22′38.09''≈92.00，sin89°25′37.43''≈0.99995，sin89°22′38.09′′≈0.99994，cos89°25′37.43′′≈0.00999，cos89°22′38.09′′≈0.01087） 【变式3】（2025秋•莲湖区期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了精准研究放风筝的技巧，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线BC的长为25米，且满足∠BDC＝90°．若小明想把风筝沿CD方向下降12米到达点M处，则他应该往回收线多少米？ 【题型八】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【例1】（2025秋•鲤城区校级期中）如图，滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为50米，若这个滑雪道坡度i＝1：3（即AB：BC＝1：3），则滑雪道AC长为（　　）米． A．150 B． C． D． 【例2】（2025秋•碑林区校级月考）如图是旗杆AB竖直放置在矩形平台EFMC上的示意图，在某一时刻旗杆AB形成的影子的顶端恰好落在斜坡CD的D处，点F，M，D在一条直线上，现测得BC＝10m，CD＝8m，∠CDM＝37°，∠ADF＝45°，求旗杆AB的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【变式1】（2025•广阳区校级二模）某商场为了方便顾客使用购物车，将负一层超市的台阶式扶梯改为斜坡式长梯．如图，改造前台阶式扶梯的斜坡AC与地面的夹角∠ACB＝30°，AC＝10米；改造后斜坡AD的坡度i＝1：3． （1）求CD的长（取1.73，结果保留一位小数）； （2）扶梯顶部距A水平距离6.6米的E处有一广告牌EF，EF＝1米，身高1.9米的人乘坐改造后的扶梯，是否能碰到此广告牌？若能，需要将广告牌EF和点A的距离AE调整为超过多少才能碰不到广告牌；若不能，请简要说明理由． 【变式2】（2025•秦都区校级模拟）某中学计划利用综合实践活动时间，测量悬停在空中的无人机离地面的高度． 课题 测量悬停在空中的无人机离地面的高度 测量工具 平面镜、测倾器和皮尺 测量示意图及说明 说明： （1）所有点都在同一平面内； （2）F、P、D在同一条直线上，EF⊥DF于点F；CD⊥DF于点D； （3）平面镜放置于P处，且大小忽略； （4）测倾器放置于D处，且高度CD＝1米； （5）无人机看作点A． 相关数据 信息一：小亮站在F处，恰好可以通过平面镜看到无人机A，小亮眼睛到地面的铅直高度EF＝1.6米，到平面镜的距离PF＝2.4米； 信息二：小莹在点D处利用测倾器测得∠ACQ＝45°，且DP＝39米． 请你根据以上测量信息，求悬停在空中的无人机离地面的高度． 【变式3】（2025•安徽模拟）生活中，我们经常用平均速度的大小来描述物体的运动快慢．如图为某校物理兴趣小组利用小球在斜面上运动模拟汽车区间测速的装置．先将木板CE垫成倾斜角为12°的斜面，让小球从E点（此时小球的速度为0）沿斜面下滑到C点，测出这一过程中小球运动的时间为2s，再将同样长度的木板放置在AB处，使点A在CE上，且B，C，D在同一水平线上，测得BC＝50cm，此时倾斜角为8°，按照同样的条件测得小球从A点沿斜面运动到B点所用的时间为4s．求木板端点A到BD的高度．（结果保留一位小数．参考数据：sin8°≈0.14，cos8°≈0.99，tan8°≈0.14，sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan12°≈0.21） 【课后练习】 1．（2025秋•莱州市期中）若α为锐角，且，则m的取值范围是 　 　 ． 2．（2025秋•长宁区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，那么cosB的值为　 　 ． 3．（2025秋•闵行区期中）已知α是锐角，，那么锐角α的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 4．（2025秋•闽侯县期中）如图，已知∠B＝60°，∠C＝90°，BC＝3，则AB的长等于 　 　 ． 5．（2025秋•松江区期中）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，，那么BC的长为 　 　 ． 6．（2025秋•浦东新区期中）如图，在△ABC中，AB，tanB，∠C＝45°，则△ABC的周长是 　 ． 7．（2025秋•济南期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，，求AB的长及cosA的值． 8．（2025秋•金山区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，过点B作BD⊥AC，垂足为点D． （1）求tan∠A的值； （2）点E是BD延长线上一点，联结CE，当∠BCE＝∠A时，求线段CE的长． 9．（2025秋•杨浦区期中）如图，已知△ABC中，，BC＝2，，求边AC的长． 10．（2024秋•寿阳县期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，，求AB的长． 11．（2025春•海淀区校级期中）如图所示，CD是△ABC的中线，∠B是锐角，sinB，tanA，AC． （1）求AB的长； （2）求cos∠BCD的值． 12．（2025秋•石家庄期中）如图，两束光线从成像图层的点O处发射，经过平面镜的反射后在成像图层上形成光点M和N，若入射角∠1＝45°，∠2＝60°，平面镜与成像图层平行，它们之间的距离为4dm，则M，N两点之间的距离为（　　） A．4dm B．8dm C． D． 13．（2025•思明区校级模拟）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边，OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内，AB＝1，AD＝4，∠BCO＝α，则点A到OC的距离为（　　） A．tanα+4sinα B．tanα+4cosα C．sinα+4cosα D．cosα+4sinα 14．（2025•深圳）如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sinA的值为（　　） A． B．3 C． D． 15．（2025•海南）现有一台红外线理疗灯（如图1所示），该设备的主体由底座AB、立柱BC、伸缩杆CD和灯臂DE组成，A、B、C三点在同一直线上，图2是该设备的平面示意图．AC垂直于AF，AF与水平线l平行，CD与l的夹角为∠1，DE与l的夹角为∠2．经测量：AB为12cm，BC为26cm，DE为30cm，∠BCD＝154°，∠CDE＝63°． （1）填空：∠1＝　 　 °，∠2＝　 　 °； （2）已知点E到AF的距离EM为50cm时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆CD的长度．（参考数据：sin26°＝0.44，cos26°＝0.90，sin37°＝0.60，cos37°＝0.80） 16．（2025•长安区一模）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂，EM∥QN）．已知基座高度MN为1m，主臂MP长为5m，测得主臂伸展角∠PME＝37°． （参考数据：）． （1）求点P到地面的高度； （2）当挖掘机挖到地面上的点Q时，∠MPQ＝113°，求QN． 17．（2025•锦江区校级模拟）随着人民生活水平的日益提高，许多农村的房屋普遍进行了改造，小明家改造时在门前安装了一个遮阳棚，如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为4米，与墙面AD的夹角∠BAD＝75.5°，靠墙端A离地高AD为3米，当太阳光线BC与地面DE的夹角为45°时，求阴影CD的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin75.5°≈0.97，cos75.5°≈0.25，tan75.5°≈3.87） 18．（2025秋•福山区期中）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，BE，CD，GF为长度固定的支架，支架在A，D，G处与立柱AH连接（AH⊥MN，垂足为H），在B，C处与篮板连接（BC⊥MN），EF是可以调节长度的伸缩臂（旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度）． 已知，AD＝BC，DH＝2.09m，测得∠GAE＝60°时，点C离地面的高度为2.89m．调节伸缩臂EF，将∠GAE由60°调节到54°． 请判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：sin54°≈0.8，cos54°≈0.6） 19．（2025秋•淄川区期中）如图，某梯子AB长5m，斜靠在竖直的墙面上．当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处．现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β．已知，则梯子顶端上升了（　　） A． B． C．1m D． 20．（2025•通辽二模）河堤横断面如图所示，堤高BC＝7m，迎水坡AB的坡比为1：，则AC的长为（　　） A． B．21m C．14m D． 21．（2025•南关区校级模拟）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角∠BAC＝18°，高BC＝5米，则自动扶梯的长AB可表示为（　　） A．5sin18°米 B．5cos18°米 C．米 D．米 22．（2025秋•宝山区期中）某超市自动扶梯的坡比为1：2.4．一位顾客从地面沿扶梯上行了6.5米，那么这位顾客此时离地面的高度为 　 　 米． 23．（2025•济南）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度AB为21m，倾斜角为40°，右边滑梯的高度DF为11m，倾斜角为32°，支架AC，NF都与地面垂直，AN，MD都与地面平行，两支架之间的距离CF为3m（点B，C，F，E在同一条直线上） （1）求两滑梯的高度差； （2）两滑梯的底端分别为B，E，求BE的长．（结果精确到0.01m．参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版九年级下册第一单元直角三角形边角关系题型总结1.1-1.5题型分类讲义 【题型一】锐角三角函数的定义 【例1】（2025秋•虹口区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝3，那么∠B的正弦值是（　　） A． B． C． D． 【考点】锐角三角函数的定义．版权所有 【分析】利用三角形的三边关系可得结论． 【解答】解：在Rt△ABC中，∵sinB， 故选：A． 【变式1】（2025秋•浦东新区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，则下列等式中不正确的是（　　） A．a＝csinA B．a C．b＝csinB D．c 【考点】锐角三角函数的定义．版权所有 【分析】根据锐角三角函数的定义进行判断即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边， 所以sinA，即a＝c•sinA，因此选项A不符合题意， tanA，即a＝b•tanA，因此选项B符合题意， sinB，即b＝c•sinB，因此选项C不符合题意， cosA，即c，因此选项D不符合题意， 故选：B． 【变式2】（2025秋•浦东新区期中）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tanA的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】锐角三角函数的定义．版权所有 【分析】锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA，据此进行计算即可． 【解答】解：在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴tanA． 故选：C． 【变式3】（2025秋•浦东新区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝1，现给出下列结论：①sinA；②cosB；③tanA＝2；④sinB，其中正确的是　②③　 ． 【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．版权所有 【分析】首先求出AB的长，进而利用锐角三角函数关系分别判断得出答案． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝1， ∴AB， ∴①sinA，故此选项错误； ②cosB，故此选项正确； ③tanA2，故此选项正确； ④sinB，故此选项错误． 故答案为：②③． 【题型二】同角三角函数的关系 【例1】（2025•南陵县一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 【考点】同角三角函数的关系．版权所有 【分析】根据题意设BC＝4x，AB＝5x，根据勾股定理求出AC，最后根据锐角三角函数的定义进行计算即可． 【解答】解：由条件可知， 设BC＝4x，AB＝5x， ， ∴， 故选：B． 【变式1】（2025•江岸区校级模拟）在△ABC中，∠C＝90°，tanA，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】同角三角函数的关系．版权所有 【分析】根据正切的定义得到tanA，于是可设BC＝x，则AC＝3x，根据勾股定理计算出AB，然后利用余弦的定义求解． 【解答】解：如图， ∵tanA， ∴设BC＝x，则AC＝3x， ∴ABx， ∴cosA． 故选：D． 【变式2】（2024秋•海曙区期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，下列结论：①；②；③，其中结论正确的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点】同角三角函数的关系；勾股定理．版权所有 【分析】根据勾股定理，可用BC表示AB，根据锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，可得答案． 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝2BC， 由勾股定理，得ABBC， ①sinA，故①错误； ②cosA，故②错误； ③tanA，故③正确； 故选：B． 【题型三】互余两角三角函数的关系 【例1】（2025秋•蓬莱区期中）若∠α的余角是30°，则cosα的值是（　　） A． B． C． D． 【考点】互余两角三角函数的关系．版权所有 【分析】根据互为余角的定义求出锐角∠α的度数，再根据特殊锐角三角函数值进行解答即可． 【解答】解：∵∠α的余角是30°， ∴∠α＝90°﹣30°＝60°， ∴cosα＝cos60°， 故选：A． 【变式1】（2025秋•烟台期中）若sin（80°﹣α）＝cos50°，则α的度数是（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【考点】互余两角三角函数的关系．版权所有 【分析】利用互余角的正余弦关系，得80°﹣α＝90°﹣50°，即可求解． 【解答】解：∵sin（80°﹣α）＝cos50°， ∴80°﹣α＝90°﹣50°， ∴α＝40°， 故选：C． 【变式2】（2025秋•崇明区期中）已知△ABC中，∠C＝90°，，则cotB＝ 　　 ． 【考点】互余两角三角函数的关系．版权所有 【分析】∠A和∠B互余，得出tanA＝cotB． 【解答】解：∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵， ∴cotB＝ ， 故答案为：． 【题型四】特殊角的三角函数值 【例1】（2025秋•长春期中）若，则锐角α的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【考点】特殊角的三角函数值．版权所有 【分析】根据特殊角的三角函数值即可解答． 【解答】解：∵sinα， ∴锐角α的度数是45°． 故选：B． 【变式1】（2025•齐河县模拟）在△ABC中，若∠A，∠B满足，且∠A，∠B均为锐角，则∠C的度数为（　　） A．45° B．60° C．75° D．105° 【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．版权所有 【分析】根据非负数的性质列出算式，根据特殊角的三角函数值分别求出∠A，∠B，再根据三角形内角和定理解答即可． 【解答】解：由题意得：cosA0，1﹣tanB＝0， ∴cosA，tanB＝1， ∴∠A＝30°，∠B＝45°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣30°﹣45°＝105°， 故选：D． 【变式2】（2025秋•苏州校级期中）在Rt△ABC中，，则锐角α的度数为　80　 °． 【考点】特殊角的三角函数值．版权所有 【分析】先判断出α﹣20°也是锐角，再根据可得α﹣20°＝60°，由此即可得． 【解答】解：由条件可知α﹣20°是锐角， 由题意可得， ∴α﹣20°＝60°， ∴α＝80°， 故答案为：80． 【题型五】解直角三角形（网格类） 【例1】（2025秋•蓬莱区期中）如图，点A，B，C，D，E均在正方形网格的格点上，DE，AB交于点F，则tan∠EFB＝（　　） A．3 B． C．2 D． 【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质；勾股定理．版权所有 【分析】取格点G，使BG∥DE，可得∠BFE＝∠ABG，AB＝AG，从而得到∠AGB＝∠ABG，进而得到∠BFE＝∠AGB，即可求解． 【解答】解：如图，取格点G，使BG∥DE， ∴∠BFE＝∠ABG， 根据题意得：，BC＝3，CG＝1， ∴AB＝AG， ∴∠BFE＝∠AGB， ∴． 故选：A． 【例2】（2024秋•烟台期末）如图是由全等的含60°角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点A，B，C在格点上，则tan∠CAB的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】解直角三角形．版权所有 【分析】如图，连接BE，交AC于点D，由菱形的性质可得，BE⊥AC，设菱形的边长为a，则BD＝3a，DE＝2a，AE＝4a，勾股定理求得AD，进而根据，计算求解即可． 【解答】解：如图所示，连接BE，交AC于点D 设菱形的边长为a， ∴BD＝3a，DE＝2a，AE＝4a，． ∴． 故选：B． 【变式1】（2025秋•莱州市期中）如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则sin∠BAC的值是（　　） A． B． C． D． 【考点】解直角三角形．版权所有 【分析】连接BC，过点C作CH⊥AB于点H，利用等面积法求得CH，即可求得sin∠BAC． 【解答】解：连接BC，过点C作CH⊥AB于点H， 由题得S△ABC1，AB＝5， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2】（2025秋•碑林区校级期中）如图，在4×4的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，连接AB，AC，则sin∠BAC的值为 　　 ． 【考点】解直角三角形．版权所有 【分析】连接BC，根据网格得出AB⊥BC，AB＝BC，据此可解决问题． 【解答】解：连接BC， 由网格可知，AB⊥BC，AB＝BC， 所以三角ABC是等腰直角三角形且∠ABC＝90°， 所以∠BAC＝45°， 所以sin∠BAC＝sin45°． 故答案为：． 【变式3】（2025秋•东城区校级期中）如图所示的网格是边长为1的正方形网格，点A，B，C是网格线交点，则sin∠ABC＝　　 ． 【考点】解直角三角形．版权所有 【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用勾股定理可以求得AB的长，从而可以求得sin∠ABC的值． 【解答】解：作AD⊥BC交BC的延长线于点D，如图所示， 由图可知，AD＝3，BD＝4，∠ADB＝90°， ∴AB5， ∴sin∠ABC， 故答案为：． 【题型六】解直角三角形 【例1】（2025秋•碑林区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE垂直平分AC，交AC于点E，则∠C的正切值为（　　） A． B． C． D．1 【考点】解直角三角形；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．版权所有 【分析】利用角平分线的性质、线段垂直平分线及等腰三角形的性质先说明∠BAD、∠CAD、∠C间关系，再利用三角形的内角和定理求出∠C，利用特殊角的函数值得结论． 【解答】解：∵DE垂直平分AC， ∴AD＝CD． ∴∠C＝∠CAD． ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD． ∴∠BAD＝∠CAD＝∠C． ∵∠B＝90°， ∴∠BAD+∠CAD+∠C＝90°． ∴∠C＝30°． ∴tanC＝tan30°． 故选：A． 【例2】（2025秋•苏州校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】解直角三角形．版权所有 【分析】根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴∠B+∠C＝∠B+∠BAD＝90°， ∴∠C＝∠BAD ∴，故C选项错误，不符合题意； ，故B选项错误，不符合题意； ，故A选项正确，符合题意； ，故D选项错误，不符合题意； 故选：A． 【变式1】（2025秋•永春县期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD，CB相交于点H，E，AH＝2CH． （1）求证：AH•AB＝AC•BC； （2）求sinB的值． 【考点】解直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．版权所有 【分析】（1）证明△ACH∽△BAC，可得结论； （2）求出sin∠CAH可得结论． 【解答】（1）证明：∵AE⊥CD，∠ACB＝90°， ∴∠AHC＝∠ACB＝90°， ∴∠ACH+∠CAH＝90°，∠ACH+∠ECH＝90°， ∴∠CAH＝∠HCE， ∵AD＝DB， ∴CD＝DA＝DB， ∴∠HCE＝∠B， ∴∠CAH＝∠B， ∴△ACH∽△BAC， ∴， ∴AH•AB＝AC•BC； （2）解：∵AH＝2CH， ∴可以假设CH＝m，则AH＝2m，ACm， ∴sin∠CAH， ∵∠B＝∠CAH， ∴sinB． 【变式2】（2025秋•黄浦区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，，点D在边AB上，，过D作DE⊥DC，交CB延长线于点E． （1）求∠BDE的正弦值； （2）求的值． 【考点】解直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定与性质．版权所有 【分析】（1）通过作辅助线 CF⊥AB 构造直角三角形，利用三角函数、勾股定理求出相关线段长度，再借助角的互余关系将∠BDE 转化为可求的∠FCD，进而利用正弦定义求解． （2）通过作 CF⊥AB、DG⊥BC、BM⊥DE 等辅助线，结合三角形面积公式、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，推导 CE 与 BC 的比值． 【解答】解：（1）过C作CF⊥AB于F，设CF＝3k．在△ABC中，AB＝AC，，点D在边AB上，， ∵， ∴AF＝4k， ∵CF⊥AB， ∴， ∵，AB＝5k， ∴AD＝2k，BD＝3k， ∴DF＝AF﹣AD＝4k﹣2k＝2k， ， ∵∠BDE+∠FDC＝90°，∠FCD+∠FDC＝90°， ∴∠BDE＝∠FCD， ∴； （2）过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DG⊥BC于点G，过点B作BM⊥DE于点M． 设CF＝3k，由（1）知AB＝5k，BD＝3k，AF＝4k，AD＝2k，， ∴BF＝AB﹣AF＝k， ∴， ， 即， ∴． ∴， ∴． ∵∠EDB＝∠FCD，∠DMB＝∠CFD＝90°， ∴△DMB∽△CFD． ∴，即 ， 解得 ． 又∵∠E＝∠E，∠EMB＝∠EDC＝90°， ∴△EMB∽△EDC． ∴， 设 CE＝x，则 ，， ∴， 解得， ∴． 【变式3】（2024秋•渭滨区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，延长BC至点D，连接AD． （1）求sinB的值； （2）若∠ADB＝30°，求CD的长． 【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质；勾股定理．版权所有 【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E，利用三线合一性质得到，利用勾股定理求出AE的长，最后利用正弦的定义即可求解； （2）利用正切的定义可得，求出DE的长，再利用CD＝DE﹣CE即可求解． 【解答】解：（1）过点A作AE⊥BC于点E， ∵AB＝AC＝4，AE⊥BC， ∴，∠AEB＝∠AEC＝90°， 在Rt△ABE中，， ∴， 即sinB的值为； （2）在Rt△ADE中，， ∴， ∵CE＝BE＝3， ∴． 【题型七】．解直角三角形的应用 【例1】（2025秋•正定县期中）如图是某商场到地下停车场的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示地下停车场、商场电梯口处地面的水平线，∠ABC＝135°，BC的长约是5m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（　　） A． B．5m C． D．10m 【考点】解直角三角形的应用．版权所有 【分析】过点C作CE⊥AB，在Rt△BCE中利用直角三角形的边角间关系及特殊角的函数值得结论． 【解答】解：过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E． ∵∠ABC+∠CBE＝180°， ∴∠CBE＝45°． 在Rt△BCE中， ∵sin∠CBE， ∴CE＝sin∠CBE•CB5（m）． 故选：A． 【例2】（2025•南山区校级三模）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角∠BAC＝132°，点D在伞柄AP上，AE＝AF＝DE＝DF＝m，则AD的长度可表示为（　　） A．m sin66° B．m cos66° C．2m sin66° D．2m cos66° 【考点】解直角三角形的应用．版权所有 【分析】连接EF交AD于点G，根据已知易得四边形AEDF是菱形，然后利用菱形的性质可得AD⊥EF，AD＝2AG，AD平分∠BAC，从而可得∠EAG＝66°，最后在Rt△AEG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，即可解答． 【解答】解：连接EF交AD于点G， ∵AE＝AF＝DE＝DF＝m， ∴四边形AEDF是菱形， ∴AD⊥EF，AD＝2AG，AD平分∠BAC， ∴∠EAG∠EAF＝66°， 在Rt△AEG中，AG＝AE•cos66°＝m cos66°， ∴AD＝2AG＝2m cos66°， 故选：D． 【变式1】（2026•江西模拟）新素材正六边形蜂窝状置物架如图（1）是某阅览室墙上安装的正六边形蜂窝状置物架，将该置物架抽象成如图（2）所示的图形，点A，B，C，D，E，F均为正六边形的顶点，点O为AB的中点，每个正六边形的边长均为2dm． （1）连接OF，求OF的长； （2）求该置物架所占用墙面的宽度d． 【考点】解直角三角形的应用．版权所有 【分析】（1）连接FD并延长交AB的延长线于点 G，作ER⊥DF于点R．先求出∠EFD＝∠EDF＝30°，，过点C作CH⊥BG，垂足为H，证明四边形CDGH为矩形，得出，再根据勾股定理求出结论； （2）由题意得：M，M1，M2，M3，M4，M5，M6共线，连接MM6，过点Q作QN⊥MM6，垂足为N，则MM1＝M2M3＝M4M5，M1M2＝M3M4＝M5M6＝2，求出M6N＝1，在求出MM1＝2×2＝4，即可求出结论． 【解答】解：（1）连接FD并延长交AB的延长线于点 G，作ER⊥DF于点R． ∵EF＝ED， ∴△EFD是等腰三角形， ∵∠CDE＝∠DEF＝6﹣2×180°6＝120°， ∴， ∴， ∴， ∵∠BCD＝360°﹣120°﹣120°＝120°＝∠ABC， ∴AB∥CD， ∴∠G＝∠CDF＝90°， ∵∠ABC＝120°， ∴∠CBG＝60°． 过点C作CH⊥BG，垂足为H， 由三角函数可知，， ∵∠CHG＝∠G＝∠CDG＝90°， ∴四边形CDGH为矩形， ∴， ∴， ∴OF2＝OG2+FG2＝42+（3）2＝43（dm）， ∴OF（dm）； （2）如图3，由题意得：M，M1，M2，M3，M4，M5，M6共线，连接MM6， 过点Q作QN⊥MM6，垂足为N， 则 MM1＝M2M3＝M4M5，M1M2＝M3M4＝M5M6＝2dm， ∴∠NM6Q＝180°﹣120°＝60°，M6Q＝2dm， ∴（dm）， 设左上角正六边形中心为点O，其左上角的顶点为W，连接OW， 则， ∴△OMW是等边三角形， ∴OM＝OM1＝MW＝2dm， ∴MM1＝2×2＝4（dm）， ∴MN＝3MM1+3M1M2+M6N＝3×4+3×2+1＝19（dm）， 答：该置物架所占用墙面的宽度 d为19dm． 【变式2】（2025•兰州）天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如表： 问题 月球与地球之间的距离约为多少？ 工具 天文望远镜、天文经纬仪等 月球、地球的实物图与平面示意图 说明 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段AB作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得∠ABP和∠BAP的度数，根据实际问题画出平面示意图（如图），过点P作PH⊥AB于点H，连接AP，BP． 数据 AB≈0.8万千米，∠ABP＝89°25'37.43′′，∠BAP＝89°22'38.09′′． 根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离PH．（结果精确到1万千米） （参考数据：tan89°25′37.43''≈100.00，tan89°22′38.09''≈92.00，sin89°25′37.43''≈0.99995，sin89°22′38.09′′≈0.99994，cos89°25′37.43′′≈0.00999，cos89°22′38.09′′≈0.01087） 【考点】解直角三角形的应用．版权所有 【分析】根据题意，设PH＝x万千米，在Rt△PHB中表示出BH，在Rt△PHA中表示出AH，利用AH+BH＝AB，得到方程，解方程得到结果． 【解答】解：设PH＝x万千米， ∵在Rt△PHB中，∠PHB＝90°，∠ABP＝89°25'37.43′′， ∴BH， ∵在Rt△PHA中，∠PHA＝90°，∠BAP＝89°22'38.09′′， ∴AH， ∵AH+BH＝AB≈0.8（万千米）， ∴， 解得x≈38， 即PH≈38（万千米）， 答：月球与地球之间的近似距离PH约为38万千米． 【变式3】（2025秋•莲湖区期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了精准研究放风筝的技巧，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线BC的长为25米，且满足∠BDC＝90°．若小明想把风筝沿CD方向下降12米到达点M处，则他应该往回收线多少米？ 【考点】解直角三角形的应用；勾股定理的应用．版权所有 【分析】先根据勾股定理求出来CD的长；然后根据降低的高度求出DF的长，然后根据勾股定理求出BF的长，最后用风筝线长减去的长即可求出结果． 【解答】解：在Rt△CDB中BC＝25米，BD＝15米， 由勾股定理得， CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400， 由CD＞0，得CD＝20米． 如图，设下降后的点为M， ∵CD＝24米， ∴CM＝12米， ∴DM＝CD﹣CM＝8米， 在Rt△BDM中， 由勾股定理得，BM2＝BD2+DM2＝152+82＝289． 由BM＞0得BM＝17． ∴BC﹣BM＝25﹣17＝8（米）， ∴他应该往回收线8米． 【题型八】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【例1】（2025秋•鲤城区校级期中）如图，滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为50米，若这个滑雪道坡度i＝1：3（即AB：BC＝1：3），则滑雪道AC长为（　　）米． A．150 B． C． D． 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．版权所有 【分析】根据坡度的概念求出BC，再根据勾股定理求出AC． 【解答】解：∵滑雪道的坡度为i＝1：3，即AB：BC＝1：3， ∵AB＝50米， ∴BC＝150米， 由勾股定理得：米， 故选：C． 【例2】（2025秋•碑林区校级月考）如图是旗杆AB竖直放置在矩形平台EFMC上的示意图，在某一时刻旗杆AB形成的影子的顶端恰好落在斜坡CD的D处，点F，M，D在一条直线上，现测得BC＝10m，CD＝8m，∠CDM＝37°，∠ADF＝45°，求旗杆AB的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；平行投影．版权所有 【分析】延长AB交DF于点N，则∠AND＝90°，BN＝CM，MN＝BC＝10m，分别在Rt△CDM和Rt△ADN中，利用锐角三角函数求出BN，AN的长，即可求解． 【解答】解：现测得BC＝10m，CD＝8m，∠CDM＝37°，∠ADF＝45°，求旗杆AB的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）， 如图，延长AB交DF于点N，则∠AND＝90°，BN＝CM，MN＝BC＝10m， 在Rt△CDM中，CD＝8m，∠CDM＝37°， ∴CM＝CD×sin∠CDM≈8×0.6＝4.8m，DM＝CD×cos∠CDM≈8×0.8＝6.4（m）， ∴DN＝MN+DM＝16.4m， 在Rt△ADN中，∠ADF＝45°， ∴AN＝DN×tan∠ADF＝16.4m， ∴AB＝AN﹣BN＝11.6m， 即旗杆AB的高度为11.6m． 【变式1】（2025•广阳区校级二模）某商场为了方便顾客使用购物车，将负一层超市的台阶式扶梯改为斜坡式长梯．如图，改造前台阶式扶梯的斜坡AC与地面的夹角∠ACB＝30°，AC＝10米；改造后斜坡AD的坡度i＝1：3． （1）求CD的长（取1.73，结果保留一位小数）； （2）扶梯顶部距A水平距离6.6米的E处有一广告牌EF，EF＝1米，身高1.9米的人乘坐改造后的扶梯，是否能碰到此广告牌？若能，需要将广告牌EF和点A的距离AE调整为超过多少才能碰不到广告牌；若不能，请简要说明理由． 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；含30度角的直角三角形．版权所有 【分析】（1）先解Rt△ABC，求出AB和BD的长，再解Rt△ABD，求出BD的长，进一步求出CD的长即可； （2）延长EF交AD于点G，求出EG的长，进而求出GF的长，进行判断即可，当AE调整为3a米，则EG＝a米，FG＝（a﹣1）米，据此列不等计算即可求解． 【解答】解：（1）由题意可得： ，， ∵新坡面AD的坡度i＝1：3， ∴，即， ∴BD＝15， ∴； （2）会，理由如下： 延长EF交AD于点G，由题意，得：AE∥BD，EF⊥BD， ∴∠D＝∠EAG，∠AEG＝90°，， ∴， ∴FG＝EG﹣EF＝1.2＜1.9， ∴会碰到． 当AE调整为3a米，则EG＝a米，FG＝（a﹣1）米， 由题意得a﹣1＞1.9， 解得a＞2.9， ∴AE＞8.7， 答：会碰到．需要将AE调整为超过8.8米才能碰不到广告牌． 【变式2】（2025•秦都区校级模拟）某中学计划利用综合实践活动时间，测量悬停在空中的无人机离地面的高度． 课题 测量悬停在空中的无人机离地面的高度 测量工具 平面镜、测倾器和皮尺 测量示意图及说明 说明： （1）所有点都在同一平面内； （2）F、P、D在同一条直线上，EF⊥DF于点F；CD⊥DF于点D； （3）平面镜放置于P处，且大小忽略； （4）测倾器放置于D处，且高度CD＝1米； （5）无人机看作点A． 相关数据 信息一：小亮站在F处，恰好可以通过平面镜看到无人机A，小亮眼睛到地面的铅直高度EF＝1.6米，到平面镜的距离PF＝2.4米； 信息二：小莹在点D处利用测倾器测得∠ACQ＝45°，且DP＝39米． 请你根据以上测量信息，求悬停在空中的无人机离地面的高度． 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．版权所有 【分析】过点A作AB⊥FD于B，延长CQ，交AB于H，证明△EPF∽△APB，根据相似三角形的性质得到，设AB＝2xm，根据等腰直角三角形的性质列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：如图，过点A作AB⊥FD于B，延长CQ，交AB于H， 则四边形HBDC为矩形， ∴BH＝CD＝1m，CH＝BD， ∵EF⊥DF， ∴∠EFP＝∠ABP＝90°， ∵∠EPF＝∠APB， ∴△EPF∽△APB， ∴，即， 设AB＝2xm，则PB＝3xm， 则AH＝（2x﹣1）m，BD＝（39﹣3x）m， 在Rt△AHC中，∠ACH＝45°， 则AH＝HC， ∴2x﹣1＝39﹣3x， 解得：x＝8， ∴AB＝2x＝16m， 答：无人机离地面的高度为16m． 【变式3】（2025•安徽模拟）生活中，我们经常用平均速度的大小来描述物体的运动快慢．如图为某校物理兴趣小组利用小球在斜面上运动模拟汽车区间测速的装置．先将木板CE垫成倾斜角为12°的斜面，让小球从E点（此时小球的速度为0）沿斜面下滑到C点，测出这一过程中小球运动的时间为2s，再将同样长度的木板放置在AB处，使点A在CE上，且B，C，D在同一水平线上，测得BC＝50cm，此时倾斜角为8°，按照同样的条件测得小球从A点沿斜面运动到B点所用的时间为4s．求木板端点A到BD的高度．（结果保留一位小数．参考数据：sin8°≈0.14，cos8°≈0.99，tan8°≈0.14，sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan12°≈0.21） 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．版权所有 【分析】过点A作AF⊥BD于点F，设AF＝xcm，分别在Rt△ACF和Rt△ABF中，通过三角函数关系列式，得到用x的式子表示出的CF，BF，再利用BF﹣CF＝BC列方程求解即可． 【解答】解：过点A作AF⊥BD于点F，设AF＝xcm， 在Rt△ACF中，， 在Rt△ABF中，， ∵BF﹣CF＝BC＝50cm， ∴， 150x﹣100x＝1050， 50x＝1050， 解得：x＝21.0， 答：木板端点A到BD的高度为21.0cm． 【课后练习】 1．（2025秋•莱州市期中）若α为锐角，且，则m的取值范围是 　﹣1＜m＜1　 ． 【考点】锐角三角函数的定义．版权所有 【分析】根据余弦的定义和性质得到0＜cosα＜1，所以01，然后解不等式组即可． 【解答】解：∵α为锐角， ∴0＜cosα＜1， ∴01， 解得﹣1＜m＜1， 即m的取值范围为﹣1＜m＜1． 故答案为：﹣1＜m＜1． 2．（2025秋•长宁区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，那么cosB的值为　　 ． 【考点】互余两角三角函数的关系．版权所有 【分析】根据正切的定义得出BC、AC的关系，根据勾股定理、余弦的定义计算即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，tanA， 设BC＝x，则AC＝3x， 由勾股定理得：ABx， ∴cosB， 故答案为：． 3．（2025秋•闵行区期中）已知α是锐角，，那么锐角α的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【考点】特殊角的三角函数值．版权所有 【分析】根据特殊锐角三角函数值即可求得答案． 【解答】解：已知α是锐角，， 则锐角α的度数是45°， 故选：B． 4．（2025秋•闽侯县期中）如图，已知∠B＝60°，∠C＝90°，BC＝3，则AB的长等于 　6　 ． 【考点】特殊角的三角函数值．版权所有 【分析】根据余弦的定义得到cosB，然后利用cosB＝cos60°可计算出AB． 【解答】解：∵∠C＝90°， ∴cosB， ∴AB6． 故答案为：6． 5．（2025秋•松江区期中）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，，那么BC的长为 　6　 ． 【考点】解直角三角形．版权所有 【分析】根据正切的定义进行计算即可． 【解答】解：在Rt△ABC中， tanB， 则， 解得BC＝6． 故答案为：6． 6．（2025秋•浦东新区期中）如图，在△ABC中，AB，tanB，∠C＝45°，则△ABC的周长是　3　 ． 【考点】解直角三角形．版权所有 【分析】作AD⊥BC于D，由三角函数求出AD、BD，证出△ACD是等腰直角三角形，得出CD＝AD＝1，BC＝BD+CD＝3，ACAD，即可得出结果． 【解答】解：作AD⊥BC于D，如图所示： ∵tanB，AB， ∴AD＝1，BD＝2， ∵∠C＝45°， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴CD＝AD＝1， ∴BC＝BD+CD＝3，ACAD， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC3． 7．（2025秋•济南期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，，求AB的长及cosA的值． 【考点】解直角三角形．版权所有 【分析】先结合∠B的正切值求出AC的长，再利用勾股定理求出AB的长，最后根据余弦的定义求出∠A的余弦即可． 【解答】解：由题知， 在Rt△ABC中， tanB， 则AC， 所以AB13， 则cosA． 8．（2025秋•金山区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，过点B作BD⊥AC，垂足为点D． （1）求tan∠A的值； （2）点E是BD延长线上一点，联结CE，当∠BCE＝∠A时，求线段CE的长． 【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质；勾股定理．版权所有 【分析】（1）先用面积法求出BD的长，再用勾股定理求出AD的长，最后结合正切的定义即可解决问题； （2）过点E作BC的垂线，借助于∠DBC的正切值进行计算即可． 【解答】解：（1）过点A作BC的垂线，垂足为M， ∵AB＝AC，BC＝12， ∴BM， 则AM． ∵， ∴BD， 则AD． 在Rt△ABD中， tan∠BAD； （2）过点E作BC的垂线，垂足为M， ∵∠BCE＝∠A， ∴tan∠BCE＝tan∠BAC． 令EM＝24x，CM＝7x， 则CE． ∵AD， ∴CD＝10． 在Rt△BCD中， tan∠DBC． 在Rt△EBM中， tan∠DBC， 则， 解得x， 经检验x是原方程的解，且符合题意， ∴CE． 9．（2025秋•杨浦区期中）如图，已知△ABC中，，BC＝2，，求边AC的长． 【考点】解直角三角形．版权所有 【分析】过点A作AD⊥BC于点D，由题意易得，然后根据勾股定理可得AD＝2，BD＝3，则有CD＝1，进而根据勾股定理可进行求解． 【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示： 由条件可知， 设AD＝2k，BD＝3k， ∴， ∴k＝1， ∴AD＝2，BD＝3， ∵BC＝2， ∴CD＝1， ∴． 10．（2024秋•寿阳县期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，，求AB的长． 【考点】解直角三角形．版权所有 【分析】过点C作CD⊥AB，根据∠B＝45°，得CD＝BD，根据勾股定理和BC＝4得出BD，再根据∠A＝30°，得出AD，从而得出AB即可． 【解答】解：过点C作CD⊥AB， ∵∠B＝45°，， ∴CD＝BD＝BC3， ∵∠A＝30°， ∴tan30°， ∴AD， ∴AB＝AD+BD＝33． 11．（2025春•海淀区校级期中）如图所示，CD是△ABC的中线，∠B是锐角，sinB，tanA，AC． （1）求AB的长； （2）求cos∠BCD的值． 【考点】解直角三角形．版权所有 【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E，解Rt△ACE得CE，AE＝2CE，根据sinB得∠B＝45°，则△BCE是等腰直角三角形，进而得BE＝CE，BC＝2，由此即可得出AB的长； （2）过点D作DF⊥BC于点F，由（1）可知AB，∠B＝45°，BC＝2，根据CD是△ABC的中线得BD，证明△BDF是等腰直角三角形，由勾股定理得DF＝BFBD，则CF，再由勾股定理求出CD，继而根据余弦函数的定义即可得出cos∠BCD的值． 【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E，如图1所示： 在Rt△ACE中，AC，tanA， ∴AE＝2CE， 由勾股定理得：ACCE， ∴CE， ∴CE， ∴AE＝2CE， 在Rt△BCE中，sinB， ∴∠B＝45°， ∴△BCE是等腰直角三角形， ∴BE＝CE， 由勾股定理得：BC2， ∴AB＝AE+BE； （2）过点D作DF⊥BC于点F，如图2所示： 由（1）可知：AB，∠B＝45°，BC＝2， ∵CD是△ABC的中线， ∴BDAD， ∵DF⊥BC，∠B＝45°， ∴△BDF是等腰直角三角形， ∴DF＝BF， 由勾股定理得：BDDF， ∴DF＝BFBD， ∴CF＝BC﹣BF， 在Rt△CDF中，由勾股定理得：CD， ∴cos∠BCD． 12．（2025秋•石家庄期中）如图，两束光线从成像图层的点O处发射，经过平面镜的反射后在成像图层上形成光点M和N，若入射角∠1＝45°，∠2＝60°，平面镜与成像图层平行，它们之间的距离为4dm，则M，N两点之间的距离为（　　） A．4dm B．8dm C． D． 【考点】解直角三角形的应用．版权所有 【分析】分别过反射点作成像图层的垂线，构建直角三角形，利用三角函数求出OM和ON的长度，再通过MN＝ON﹣OM计算出两点间距离． 【解答】解：如图，分别过反射点作成像图层的垂线，设平面镜上两个反射点为A、B，过A作AC⊥ON于C，过B作BD⊥ON于D． 由题意知AC＝BD＝4dm． 对于∠1＝45°的光线： 根据反射定律，入射角等于反射角， ∴△OAC是等腰直角三角形（∠AOC＝45°）． 在Rt△OAC中，，即， 解得OC＝4dm． 由条件可知OM＝2×OC＝8dm． 对于∠2＝60°的光线： 在Rt△OBD中，，即， 解得． 同理，BD垂直平分ON， ∴． ． 故选：D． 13．（2025•思明区校级模拟）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边，OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内，AB＝1，AD＝4，∠BCO＝α，则点A到OC的距离为（　　） A．tanα+4sinα B．tanα+4cosα C．sinα+4cosα D．cosα+4sinα 【考点】解直角三角形的应用；矩形的判定与性质．版权所有 【分析】作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，可得四边形AEOF是矩形，得到AE＝FO，又由四边形ABCD是矩形，可得∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，进而可得∠ABF＝180°﹣∠ABC﹣∠CBO＝α，再分别解Rt△ABF和Rt△BOC求出FB和BO，进而即可求解．． 【解答】解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F， ∵OC⊥OB，∴∠AFB＝∠AEO＝∠BOC＝90°， ∴四边形AEOF是矩形， ∴AE＝FO， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝1，AD＝4， ∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝4， ∵∠BCO＝α， ∴∠CBO＝90°﹣α， ∴∠ABF＝180°﹣∠ABC﹣∠CBO＝180°﹣90°﹣（90°﹣α）＝α， 在Rt△ABF中，FB＝AB•cos∠ABF＝cosα， 在Rt△BOC中，BO＝BC•sin∠BCO＝4sinα， ∴AE＝FO＝FB+BO＝cosα+4sinα， ∴点A到OC的距离等于cosα+4sinα， 故选：D． 14．（2025•深圳）如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sinA的值为（　　） A． B．3 C． D． 【考点】解直角三角形的应用．版权所有 【分析】根据正弦三角函数的概念，结合图形，可得到结果． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，BC＝10米，AC＝30米， ∴sinA． 故选：D． 15．（2025•海南）现有一台红外线理疗灯（如图1所示），该设备的主体由底座AB、立柱BC、伸缩杆CD和灯臂DE组成，A、B、C三点在同一直线上，图2是该设备的平面示意图．AC垂直于AF，AF与水平线l平行，CD与l的夹角为∠1，DE与l的夹角为∠2．经测量：AB为12cm，BC为26cm，DE为30cm，∠BCD＝154°，∠CDE＝63°． （1）填空：∠1＝　64　 °，∠2＝　53　 °； （2）已知点E到AF的距离EM为50cm时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆CD的长度．（参考数据：sin26°＝0.44，cos26°＝0.90，sin37°＝0.60，cos37°＝0.80） 【考点】解直角三角形的应用．版权所有 【分析】（1）根据题意，由∠BCD＝154°，利用三角形的外角的性质，可求得∠1的度数，利用平角的定义，可得到∠2的度数； （2）在Rt△EDH中，利用EH＝DE•cos∠HED，求得EH的长，得到MH的长，即可知AG，结合已知条件，得到CG长，在Rt△CGD中，利用三角函数求得CD长即可． 【解答】解：（1）如图，延长AC交DG于G点，延长ME交DG于H点， ∴∠CGD＝90°，∠EHD＝90°， ∵∠BCD＝154°， ∴∠1＝∠BCD﹣∠CGD＝154°﹣90°＝64°， ∵∠CDE＝63°， ∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠CDE＝180°﹣64°﹣63°＝53°， 故答案为：64，53； （2）∵∠2＝53°，∠EHD＝90°， ∴∠HED＝37°， ∵在Rt△EDH中，DE＝30cm，cos∠HED， ∴EH＝DE•cos∠HED＝30×cos37°≈24（cm）， ∵EM＝50cm ∴MH＝EM+EH＝74（cm）， ∴AG＝MH＝74cm， ∵AC＝AB+BC＝12+26＝38（cm）， ∴CG＝AG﹣AC＝36（cm）， ∵在Rt△CGD中，∠GCD＝90°﹣∠1＝26°，cos∠GCD， ∴CD40（cm）， 答：此时伸缩杆CD的长度约为40cm． 16．（2025•长安区一模）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂，EM∥QN）．已知基座高度MN为1m，主臂MP长为5m，测得主臂伸展角∠PME＝37°． （参考数据：）． （1）求点P到地面的高度； （2）当挖掘机挖到地面上的点Q时，∠MPQ＝113°，求QN． 【考点】解直角三角形的应用．版权所有 【分析】（1）过点P作PH⊥QN，延长ME交PH于F，易知四边形MNHF为矩形，则FH＝MN＝1m，PF＝PM•sin∠PME，进而可求PH＝PF+FH得答案； （2）由（1）可知，四边形MNHF为矩形，则HN＝FM＝PM•cos∠PME，求得∠QPH＝60°进而可得，据此求解可得答案． 【解答】解：（1）已知基座高度MN为1m，主臂MP长为5m，测得主臂伸展角∠PME＝37°．如图，过点P作PH⊥QN于H，延长ME交PH于F， 则四边形MNHF为矩形， ∴FH＝MN＝1m，∠PFM＝90°， 则， ∴点P到地面的高度：PH＝PF+FH＝4m， 即点P到地面的高度为4m； （2）由（1）可知，四边形MNHF为矩形， 则HN＝FM＝PM•cos∠PME＝PM•cos37°＝4m， ∵∠PME＝37°， ∴∠MPF＝53°， ∴∠QPH＝113°﹣53°＝60°， ∵PH＝4m， ∴， ∴， ∴． 17．（2025•锦江区校级模拟）随着人民生活水平的日益提高，许多农村的房屋普遍进行了改造，小明家改造时在门前安装了一个遮阳棚，如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为4米，与墙面AD的夹角∠BAD＝75.5°，靠墙端A离地高AD为3米，当太阳光线BC与地面DE的夹角为45°时，求阴影CD的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin75.5°≈0.97，cos75.5°≈0.25，tan75.5°≈3.87） 【考点】解直角三角形的应用；平行投影．版权所有 【分析】过B作BT⊥AD于点T，BK⊥DE于点K，在Rt△ABT中，求出AT，BT，得到DK＝BT，BK＝DT＝AD﹣AT，根据∠BCK＝45°，得到CK，根据CD＝DK﹣CK计算即可． 【解答】解：如图，过B作BT⊥AD于点T，BK⊥DE于点K， 在Rt△ABT中， sin∠BAT，cos∠BAT， ∴BT＝AB•sin∠BAT＝4×sin75.5°≈3.9（米），AT＝AB•cos∠BAT＝4×cos75.5°≈1.0（米）， ∵∠BTD＝∠D＝∠CKB＝90°， ∴四边形BTDK是矩形， ∴DK＝BT＝3.9米，BK＝DT＝AD﹣AT＝3﹣1＝2（米）， 在Rt△BKC中，∠BCK＝45°， ∴CK＝BK＝2米， ∴CD＝DK﹣CK＝3.9﹣2＝1.9（米）， 答：阴影CD的长约为1.9米． 18．（2025秋•福山区期中）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，BE，CD，GF为长度固定的支架，支架在A，D，G处与立柱AH连接（AH⊥MN，垂足为H），在B，C处与篮板连接（BC⊥MN），EF是可以调节长度的伸缩臂（旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度）． 已知，AD＝BC，DH＝2.09m，测得∠GAE＝60°时，点C离地面的高度为2.89m．调节伸缩臂EF，将∠GAE由60°调节到54°． 请判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：sin54°≈0.8，cos54°≈0.6） 【考点】解直角三角形的应用；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质．版权所有 【分析】如图，延长BC与底面交于点K，过D作DQ⊥CK于Q，则四边形DHKQ为矩形，可得QK＝DH＝209，证明四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，当∠GAE＝60°时，则∠QCD＝∠QBA＝∠GAE＝60°，此时∠CDQ＝30°，CQ＝289﹣209＝80，CD＝2CQ＝160，当∠GAE＝54°时，则∠QCD＝∠QBA＝∠GAE＝54°，CQ＝CD•cos54°≈160×0.6＝96，从而可得答案． 【解答】解：如图，延长BC与底面交于点K，过D作DQ⊥CK于Q，则四边形DHKQ为矩形， ∴QK＝DH＝209， ∵AD＝BC，AD∥BC， ∴AB∥CD， 当∠GAE＝60°时，则∠QCD＝∠QBA＝∠GAE＝60°， 此时∠CDQ＝30°，CQ＝289﹣209＝80， ∴CD＝2CQ＝160， 当∠GAE＝54°时，则∠QCD＝∠QBA＝∠GAE＝54°， ∴CQ＝CD•cos54°≈160×0.6＝96， 而96＞80，96﹣80＝16， ∴点C离地面的高度升高了，升高了16cm． 19．（2025秋•淄川区期中）如图，某梯子AB长5m，斜靠在竖直的墙面上．当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处．现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β．已知，则梯子顶端上升了（　　） A． B． C．1m D． 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．版权所有 【分析】利用三角函数求出梯子顶端在两次位置时的高度，再求高度差． 【解答】解：在Rt△A′OB′中，， ∴， ∴， 在Rt△AOB中，， ∴． ∴梯子顶端上升了OA′﹣OA＝4﹣3＝1（m）． 故选：C． 20．（2025•通辽二模）河堤横断面如图所示，堤高BC＝7m，迎水坡AB的坡比为1：，则AC的长为（　　） A． B．21m C．14m D． 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．版权所有 【分析】根据坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比计算即可． 【解答】解：∵迎水坡AB的坡比为1：， ∴BC：AC＝1：， ∵BC＝7m， ∴AC＝7m， 故选：D． 21．（2025•南关区校级模拟）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角∠BAC＝18°，高BC＝5米，则自动扶梯的长AB可表示为（　　） A．5sin18°米 B．5cos18°米 C．米 D．米 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．版权所有 【分析】利用正弦的定义得到即可求解． 【解答】解：某商场有一自动扶梯，其倾斜角∠BAC＝18°，高BC＝5米， ∴， 解得． 故选：D． 22．（2025秋•宝山区期中）某超市自动扶梯的坡比为1：2.4．一位顾客从地面沿扶梯上行了6.5米，那么这位顾客此时离地面的高度为 　2.5　 米． 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．版权所有 【分析】根据坡比定义，垂直高度与水平宽度之比为1：2.4，设垂直高度为h米，则水平宽度为2.4h米，利用勾股定理建立方程求解即可． 【解答】解：设顾客离地面的高度为h米，则水平宽度为2.4h米， 由勾股定理，得h2+（2.4h）2＝6.52， 解得：h＝2.5（舍去负值）； 故答案为：2.5． 23．（2025•济南）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度AB为21m，倾斜角为40°，右边滑梯的高度DF为11m，倾斜角为32°，支架AC，NF都与地面垂直，AN，MD都与地面平行，两支架之间的距离CF为3m（点B，C，F，E在同一条直线上） （1）求两滑梯的高度差； （2）两滑梯的底端分别为B，E，求BE的长．（结果精确到0.01m．参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839） 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．版权所有 【分析】（1）通过解Rt△ABC，求出AC，再通过AC﹣DF即可求出两滑梯的高度差； （2）通过解Rt△ABC，求出BC，通过解Rt△EFD，求出EF，再通过BE＝BC+CF+EF，代入数值计算即可得出答案． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°， ∵sin∠B， ∴AC＝AB×sin∠B＝AB×sin40°≈21×0.643＝13.503m， ∴AC﹣DF＝13.503﹣11＝2.503≈2.50m， 答：两滑梯高度差为2.50m； （2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°， ∵cos∠B， ∴BC＝ABcos∠B＝ABcos40°≈21×0.766＝16.086m， 在Rt△EFD中，∠DEF＝90°，∠DEF＝32°， ∵tan∠DEF， ∴， ∴BE＝BC+CF+EF＝16.086+3+17.6＝36.686≈36.69m， 答：BE长36.69m． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $