九下第1章 直角三角形的边角关系&第2章 二次函数-【追梦之旅·期末真题篇】2025-2026学年九年级数学全一册（北师大版）河南专版

九年级下册 第一章直角三角形的边角关系 C)考点1 锐角三角函数及特殊角的三角函数值 1.正弦，余弦，正切 名称 表示方法 梯子倾斜程度 图示 正弦 ∠A的对边 sinA= sinA的值越大，梯子越陡 斜边 余弦 c0sA=∠A的邻边 c0sA的值越小，梯子越陡 斜边 ∠A的对边 正切 tanA= tanA的值越大，梯子越陡 ∠A的邻边 【拓展延伸】(1)锐角三角函数值都是正实数，0<sima<1,0<cosa<1,tana>0;(2)同角三角 sina 函数间的关系：①sin+cos2a=1(平方关系)：②tana= (商的关系)： cosa 2.30°，45°，60°角的三角函数值 三角函数 角a 三角函数值 sina cosa tana 1 30° 3 3 2 2 3 45° 2 √2 2 2 60° 3 1 2 2 ⊙)考点2解直角三角形 1.解直角三角形：由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形. 2.解直角三角形的依据：(1)三边之间的关系：两直角边的平方和等于斜边的平方；(2)锐角之 间的关系：两锐角互余；(3)边角之间的关系. 参针对练习 1.在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=12,AC=13,则sinA的值为( 5 B. 2 13 C.S 12 D. 12 2.△ABC中，∠A,∠B都是锐角，且iM= 2,cosB=- 2,则△ABC的形状是( A.直角三角形B.钝角三角形 C锐角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形 3.如图所示，在一组平行光线与地面呈50°角的照射下，一个篮球在地面上 的投影长度AB=32cm,已知sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19， 则这个篮球的直径约为() -B A.20.48cm B.22.63cm C.24.64cm D.26.89cm 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBB·九年级数学第10页 第二章二次函数 C)考点1 二次函数的图象与性质 1.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 a的 开口 顶，点 大致图象 坐标 对称轴 增减性 最值 取值 方向 2a x< 2ay随x增大而减小， b x=- 时， 2a a>0 向上 4ac-b2 直线 t> b 4ac-b2 2a)随x增大而增大 Y最小值= Aa 2a' 6 1ˉ 4a 2a x< 2ay随x增大而增大， X=- b时 2a a<0 向下 x> 2ay随x增大而减小 4ac-b2 y最大位 2a. 4a 【点拨】二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与a,b,c的符号关系：(1)a的正负决定开口方 向：①a>0,开口向上：2a<0,开口向下.(2)a,6同时决定对称轴（直线x=2a)的位置：①0 =0,对称轴为y轴；②a,b同号，对称轴在y轴左侧；③a,b异号，对称轴在y轴右侧.(3)c 决定与y轴交，点（令x=0时）的位置：①c=0,抛物线过原，点；②c>0,抛物线与y轴交于正 半轴：③c<0,抛物线与y轴交于负半轴！ 2.二次函数y=ax2+bx+c的最大（小）值的求法：(1)自变量x的取值范围是全体实数，一般有两 种方法①公式法：当=乡时，n-:2配方法：把二次两数y=2+加配方，化为 2a _4a y=a(x-h)2+k的形式，当x=h时，y最值=k. (2)自变量x的取值范围不是全体实数，而是x,≤x≤x2时，要根据图象的对称轴与x,x2的 关系来讨论其最值.其中函数图象最高点的纵坐标是其最大值，最低点的纵坐标是其最小值. 3.二次函数图象的平移规律：二次函数y=a(x-h)2+k的图象可由二次函数y=ax2的图象向右 (或左)平移1个单位长度，再向上（或下）平移k1个单位长度得到：简记为“上加下减常数 项，左加右减自变量” 4.二次函数表达式常见的三种形式 形式 内容 适用条件 一般式 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0) 已知抛物线上任意三，点坐标 顶点式 y=a(x-h)+k(a、h、k为常数，a≠0)，抛物线的顶 已知抛物线的顶点坐标或对称轴 点坐标为(h,k) y=a(x-x1)(x-x2)(a、x1、x2为常数，a≠0)，其中 交点式 已知抛物线与x轴的两个交，点坐标 x1、x2是抛物线与x轴两交，点的横坐标 【注意】二次函数表达式的三种形式互相联系，可以互相转化.如果求二次函数的表达式时设 的是交点式或顶点式，最后的结果一般化为一般式： 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBB·九年级数学第11页 )考点2)二次函数与一元二次方程 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点.与 此相对应，一元二次方程ax+bx+c=0的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等 的实数根、没有实数根.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程 ax2+bx+c=0的根. )考点3 二次函数的应用 用二次函数解决实际问题的一般步骤 (1)审：仔细审题，理清题意； (2)设：找出问题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分 析，设出适当的未知数： (3)列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的表达式： (4)解：依据已知条件，借助二次函数的表达式、图象和性质等求解实际问题； (5)检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论 誉针对练习 1.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=-ax2-c的图象大致为( 心女基点 2.关于二次函数y=2(x-3)2+1,下列说法正确的是( A.图象的开口向下 B.图象的对称轴为直线x=-3 C.图象顶点坐标为(3，-1) D.当x<3时，y随x的增大而减小 3.如图，以(1，-4)为顶点的二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二 次方程ax2+bx+c=0的正数解的范围是( A.2<x<3 B.3<x<4 C.4<x<5 D.5<x<6 第3题图 第4题图 4.掷实心球是中学生体质健康检测中的一项，小明对自己某次实心球训练的录像进行分 析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y(米)与 飞行的水平距离x(米)之间具有函数关系y=- +子士}小明这次球训练的成 绩为( B.3 C.8 D.10 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBB·九年级数学第12页答案详解详析·易错剖析 7的 3.D4.B 5《课本知识集锦》答案 5.C【解析】由题意得：∠AGC=∠FGE,AC⊥CE,FE ⊥CE,∴.∠ACG=∠FEG=90°，∴.△ACG△FEG, 九年级上册 六FEEC心L72,解得AC=85.:BC=DB= AC CG AC 10 第一章特殊平行四边形 1.A2.B 1m,.AB=AC+BC=9.5m,∴.凉亭的高度为9.5m. 故选C. 3A【解析】由题意，得0A=4C=4,4C1BD,BD 第五章投影与视图 =2OB,在Rt△AB0中，由勾股定理得OB= 1.D 2.B【解析】延长PA、PB分别交x轴于A'、B',作 VAB-0A=3,BD=6,S菱1= 2AC·BD= PE⊥x轴于E,交AB于D.P(2,2),A(0,1),AB ∥x轴，PD=1,PE=2,A'B'=6.AB∥A'B', 24.故选A. 4.C【解析】：四边形ABCD是菱形，.AB=BC. AB_PD,即 ∠B=60°，△ABC是等边三角形，.AB=AC=8, P时E份PE中设：AR= 则正方形的边长为8.故选C. 3.点A的坐标为(0,1)，B(3,1).故选B. 3.C 5.B【解析】：四边形ABCD是矩形，∴.∠ABC= 第六章反比例函数 90°，AD=BC=3,在Rt△ABD中，AB=7,AD=3, 1.D2.B3.R≥1 .BD=√AB2+AD2=4.故选B. 九年级下册 6.B【解析】连接CM、CN.DE=4,点M、N分别是 第一章直角三角形的边角关系 DE4AB的中点CN=B=5,C1=DE=2,当 1.A【解析】在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=12, C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，.MN的 AC=13,BC=T3-122=5,inA-BC-5 最小值为5-2=3.故选B. AC3故 选A 第二章一元二次方程 1.D2.C 3.C【解析】由题意，得4=42-4(k-1)=0,.k=5, 2.C【解析小sim4= .1 F2,c0sB=2∠A=45°，∠B .关于x的一元二次方程x2-4x+k=0中，△=16 =60°，∴.∠C=75°，∴.△ABC的形状是锐角三角 4h=-4<0,·该方程没有实数根.故选C. 形.故选C 3.C 【点拨】掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 第二章二次函数 根与△=b2-4ac有如下关系：当△>0时，方程有两 1.A 个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的 2.D【解析】关于二次函数y=2(x-3)2+1,a=2>0, 实数根；当△<0时，方程无实数根. 开口向上；对称轴为直线x=3;顶，点坐标为(3,1). 4.解：(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x,根据 故选D. 题意得：500(1+x)2=720,解得x1=0.2=20%,x2= 3.C【解析】：二次函数y=ax2+bx+c的顶点为(1， -2.2(不符合题意，舍去).答：该品牌头盔销售量 -4),.对称轴为x=1,而对称轴左侧图象与x轴 的月增长率为20%； 交点横坐标的取值范围是-3<x<-2,∴右侧交点横 (2)设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个，根 坐标的取值范围是4<x<5.故选C. 据题意得：(y-30)(1000-10y)=10000,解得y,= 50,y2=80,又：要尽可能让市民得到实惠，∴.y= 4D【解析由题意，当y=0时，则2+2+5 3 50.答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个. 0,解得x=-2(舍去)或x=10.故选D. 第三章概率的进一步认识 分心n心心∽nt与 1.C【解析】设袋中红球有x个，根据题意，可得：5 《课本回头练》答案〔 =0.4,解得x=6,则黄球的个数为15-6=9（个）. 基础知识抓分练1 故选C. 1.D 2c3后 2.D【解析】M,N分别为BC,OC的中点，MN=3, ∴.B0=2MN=6.在矩形ABCD中，∠BAD=90°，OB 第四章图形的相似 =OD,..BD=12..AB=6,..AD=BD2-AB2 =6 1.A √3.故选D. 2.C【解析】：AB=3,BC=2,.AC=AB+BC=5.L1 3.D【解析】连接OA,BC.作AE⊥y轴于点E,则 mm…器-光 ∠AE0=90°.A(-2,4),∴.E(0,4),∴.AE=2,0E .故选C =4,∴.0A=√2+42=25，四边形0BAC是矩 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBB·九年级数学第1页