九上第2章 一元二次方程-【追梦之旅·期末真题篇】2025-2026学年九年级数学全一册（北师大版）河南专版

第二章 一元二次方程 ⊙)考点1 认识一元二次方程 1.定义：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)》 的形式，这样的方程叫做一元二次方程. 2.一般形式：ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)，其中ax2,bx,c分别称为二次项、一次项、常数 项，a、b分别为二次项系数和一次项系数. 心)考点2解一元二次方程 1.直接开平方法：利用平方根的意义，直接开平方求一元二次方程的解的方法。 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤：一化：化二次项系数为1；二移：将常数项移到方程的 右边；三配：配方并化成(x+m)2=n的形式：四开：若n≥0，则左右两边同时开平方得x+m= ±√n;五解：方程的根为x=-m±√n: 3.用公式法解一元二次方程 (1)求根公式：一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，它的根是 =-b生-4c,这个式子称为一元二次方程的求根公式 2a 【注意】公式法适用于所有一般形式的一元二次方程 (2)根的情况与根的判别式之间的关系：当△=b2-4ac>0,方程有两个不相等的实数根；当△= b2-4ac=0,方程有两个相等的实数根；当△=b2-4ac<0,方程没有实数根 4.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)移项：将方程的右边化为0：（2)化积：将方程 的左边分解为两个一次因式的乘积：(3)转化：令每个一次因式都为0，转化为两个一元一次 方程；(4)求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 【拓展】①因式分解法的理论依据为：如果两个因式的积为0，那么至少有一个因式等于0 (若ab=0,则a=0或b=0或a=b=0);②十字相乘法：x2+(p+q)x+pg=(x+p)(x+q). 心)考点3)一元二次方程的根与系数的关系 如果方程ar2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,,那么+，=-b a a 【拓展】与两根有关的几个代数式的变形：①平方和：x+x2=(x1+x2)2-2x1x2;②倒数和：一+ t, 1x1+x2 ③两根差的绝对值：x1-x21=√(x1-x2)2=√(x1+x2)2-4xx2: )考点4) 应用一元二次方程 实际问题的常见类型 几何图形 应用面积公式将几何图形的面积表示出来，若是不规则图形，则割补法将其转化为规 面积问题 则图形，再用面积公式求其面积 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBB·九年级数学第3页 平均增长（降 若起始值是a,终止值是b,平均增长（降低）的百分率为x,增长（降低）次数为n,可得 低)率问题 (1)平均增长率：a(1+x)"=b: (2)平均降低率：a(1-x)”=b 动点问题 根据题目中的等量关系（图形的面积、勾股定理等）列出方程 利润=售价-进价； 利润率= 利润 利润问题 售价=进价×(1+利润率)； 进价 ×100%; 总利润=单个利润×销售总量=总售价一总成本 若一个两位数的十位上的数字是a,个位上的数字是b,则这个数可以表示为10a+b; 数字问题 若一个三位数的百位上的数字是m,十位上的数字是，个位上的数字是c,则这个数 可以表示为100m+10n+c 叁针对练习 1.用配方法解一元二次方程x2-8x+9=0,变形后的结果正确的是( A.(x-4)2=-7B.(x-4)2=25 C.(x+4)2=7 D.(x-4)2=7 2若关于x的一元二次方程的根为x=-2±√2-4x1x(-4 2×1 ,则这个方程是( A.x2+2x+4=0 B.x2-2x+4=0 C.x2+2x-4=0 D.x2-2x-4=0 3.关于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0有两个相等的实数根，则关于x的一元二次方程x2 -4x+k=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判定 4.生活情境·一盔二带公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规 定.某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500 个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同. (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600 个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到 10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBB·九年级数学第4页答案详解详析·易错剖析 7的 3.D4.B 5《课本知识集锦》答案 5.C【解析】由题意得：∠AGC=∠FGE,AC⊥CE,FE ⊥CE,∴.∠ACG=∠FEG=90°，∴.△ACG△FEG, 九年级上册 六FEEC心L72,解得AC=85.:BC=DB= AC CG AC 10 第一章特殊平行四边形 1.A2.B 1m,.AB=AC+BC=9.5m,∴.凉亭的高度为9.5m. 故选C. 3A【解析】由题意，得0A=4C=4,4C1BD,BD 第五章投影与视图 =2OB,在Rt△AB0中，由勾股定理得OB= 1.D 2.B【解析】延长PA、PB分别交x轴于A'、B',作 VAB-0A=3,BD=6,S菱1= 2AC·BD= PE⊥x轴于E,交AB于D.P(2,2),A(0,1),AB ∥x轴，PD=1,PE=2,A'B'=6.AB∥A'B', 24.故选A. 4.C【解析】：四边形ABCD是菱形，.AB=BC. AB_PD,即 ∠B=60°，△ABC是等边三角形，.AB=AC=8, P时E份PE中设：AR= 则正方形的边长为8.故选C. 3.点A的坐标为(0,1)，B(3,1).故选B. 3.C 5.B【解析】：四边形ABCD是矩形，∴.∠ABC= 第六章反比例函数 90°，AD=BC=3,在Rt△ABD中，AB=7,AD=3, 1.D2.B3.R≥1 .BD=√AB2+AD2=4.故选B. 九年级下册 6.B【解析】连接CM、CN.DE=4,点M、N分别是 第一章直角三角形的边角关系 DE4AB的中点CN=B=5,C1=DE=2,当 1.A【解析】在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=12, C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，.MN的 AC=13,BC=T3-122=5,inA-BC-5 最小值为5-2=3.故选B. AC3故 选A 第二章一元二次方程 1.D2.C 3.C【解析】由题意，得4=42-4(k-1)=0,.k=5, 2.C【解析小sim4= .1 F2,c0sB=2∠A=45°，∠B .关于x的一元二次方程x2-4x+k=0中，△=16 =60°，∴.∠C=75°，∴.△ABC的形状是锐角三角 4h=-4<0,·该方程没有实数根.故选C. 形.故选C 3.C 【点拨】掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 第二章二次函数 根与△=b2-4ac有如下关系：当△>0时，方程有两 1.A 个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的 2.D【解析】关于二次函数y=2(x-3)2+1,a=2>0, 实数根；当△<0时，方程无实数根. 开口向上；对称轴为直线x=3;顶，点坐标为(3,1). 4.解：(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x,根据 故选D. 题意得：500(1+x)2=720,解得x1=0.2=20%,x2= 3.C【解析】：二次函数y=ax2+bx+c的顶点为(1， -2.2(不符合题意，舍去).答：该品牌头盔销售量 -4),.对称轴为x=1,而对称轴左侧图象与x轴 的月增长率为20%； 交点横坐标的取值范围是-3<x<-2,∴右侧交点横 (2)设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个，根 坐标的取值范围是4<x<5.故选C. 据题意得：(y-30)(1000-10y)=10000,解得y,= 50,y2=80,又：要尽可能让市民得到实惠，∴.y= 4D【解析由题意，当y=0时，则2+2+5 3 50.答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个. 0,解得x=-2(舍去)或x=10.故选D. 第三章概率的进一步认识 分心n心心∽nt与 1.C【解析】设袋中红球有x个，根据题意，可得：5 《课本回头练》答案〔 =0.4,解得x=6,则黄球的个数为15-6=9（个）. 基础知识抓分练1 故选C. 1.D 2c3后 2.D【解析】M,N分别为BC,OC的中点，MN=3, ∴.B0=2MN=6.在矩形ABCD中，∠BAD=90°，OB 第四章图形的相似 =OD,..BD=12..AB=6,..AD=BD2-AB2 =6 1.A √3.故选D. 2.C【解析】：AB=3,BC=2,.AC=AB+BC=5.L1 3.D【解析】连接OA,BC.作AE⊥y轴于点E,则 mm…器-光 ∠AE0=90°.A(-2,4),∴.E(0,4),∴.AE=2,0E .故选C =4,∴.0A=√2+42=25，四边形0BAC是矩 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBB·九年级数学第1页