专题01 数列裂项求和讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

专题一 裂项相消法求和 裂项相消法的基本思想：设法将数列的每一项拆成两项或若干项，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后正负相消，进而求出数列的前n项和。使用此方法时必须弄清消去了哪些项，保留了哪些项，未被消去的项通常有前后对称的特点。 常见的拆项公式如下： （1）若{an}是等差数列，公差d≠0，则：①；②。 （2）。 （3）。 （4）。 （5）。 例1.已知数列{an}是公差不为零的等差数列，，且成等比数列。 （1）求{an}的通项公式。 （2）设，求数列{bn}的前n项和Sn。 解：(1)等差数列{an}中，，解得。 因成等比数列，即。 设{an}的公差为d，于是得。 整理得：，而d≠0，解得d=3。 ∴。 (2)由（1）知，。 ∴。 例2.记Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和，若S3=6，a1是a1和a9的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记，求数列{bn}的前20项和. 解：(1)由题意知。 设等差数列{an}的公差为d，则。 ∵d≠0，解得。 又，。 ∴数列{an}是以1为首项和公差为1的等差数列， ∴。 (2)由（1）可知。 设数列{bn}的前n和为，则： 。 ∴，所以数列{bn}的前20和为。 专题专练 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，，求数列的前100项和。 解：（1）∵S515。 ∴a1＝1，∴d1。 ∴an＝1+（n﹣1）＝n．bn。 ∴数列{bn}的前100项和为：11。 2.Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0，。 （1）求{an}的通项公式。 （2）设，求数列{bn}的前n项和。 解：（1）∵an2+2an＝4Sn+3。 ∴an+12+2an+1＝4Sn+1+3。 两式相减得：an+12﹣an2+2an+1﹣2an＝4an+1，整理得：an+12﹣an2＝2（an+1+an）。 又∵an＞0，∴an+1﹣an＝2。 又∵a12+2a1＝4a1+3，∴a1＝3或a1＝﹣1（舍）。 ∴数列{an}是以3为首项、2为公差的等差数列，∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1。 （Ⅱ）由（I）可知an＝2n+1。 ∴bn（）。 ∴数列{bn}的前n项和为：（(•。 3.已知函数，数列{an}是公差为d的等差数列，，。 （1）求数列{an}的通项公式。 （2）若Sn为数列{an}的前n项和。求证：。 解：（1）由题意可得：a1＝f（d﹣1）＝d2﹣4d+7，a3＝f（d+1）＝d2+3。 又由a3＝a1+2d，可得d＝2，所以a1＝3，an＝2n+1。 （2）证明：由题意，Sn。 ∴。 ∴。 4.已知等差数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足，。 （1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足，且，求数列的前n项和Tn。 解：（1）设等差数列{an}的公差为d.。 ∵数列{an}是等差数列，且，所以。 又{an}的各项均为正数，所以。 ∵，所以。 又d==9-7=2。 ∴。 （2）由题意可知：。 当n≥2时，。 当n=1时，=3，满足。 ∴。 ∴。 5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a5＝25，S5＝55。 (1) 求数列{an}的通项公式。 (2) 设anbn＝，求数列{bn}的前n项和Tn 。 解： (1) 设等差数列{an}的公差为d。 由题意得 ，解得 。 ∴ an＝5＋3(n－1)＝3n＋2。 （2）由(1)得 bn＝＝＝＝。 Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝。 6.在等比数列{bn}中，已知b1＋b2＝，且b2＋b3＝。 (1) 求数列{bn}的通项公式。 (2) 若数列是首项为b1，公差为b2的等差数列，求数列的前n项和。 解： (1) 设数列{bn}的公比为q，则，解得 所以bn＝。 (2) 由(1)知数列是首项为，公差为的等差数列。 ∴∴ 。 ∴所以数列的前n项和。 。 7.若数列{an}满足a1＝1，＝an＋1(n∈N*)。 (1)求证：数列{an2}是等差数列，并求出{an}的通项公式。 (2)若，求数列{bn}的前n项和。 解：(1) 由得，且。 ∴数列{an2}是以1为首项，2为公差的等差数列。 所以an2＝1＋(n－1)×2＝2n－1。 又由已知得an>0。 ∴an＝(n∈N*)。 （2）。 ∴{bn}的前n项和。 8.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝8，。 (1) 求数列{an}的通项公式。 (2) 求数列的前n项和Tn。 解：(1) 因为a2＝8，，所以a1＝S1＝－2＝2。 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n－1－，即an＋1＝3an＋2。 又a2＝8＝3a1＋2。 ∴an＋1＝3an＋2，n∈N*，所以an＋1＋1＝3(an＋1)。 所以数列{an＋1}是等比数列，且首项为a1＋1＝3，公比为3。 所以an＋1＝3×3n-1＝3n，所以an＝3n－1。 (2) 因为。 ∴的前n项和。 学科网（北京）股份有限公司 $专题一裂项相消法求和 裂项相消法的基本思想：设法将数列的每一项拆成两项或若干项，并使它们在相加时除 了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后正负相消，进而求出数列的前n项和。使 用次方法时必须弄清消去了哪些项，保留了哪些项，未被消去的项通常有前后对称的特点。 常见的拆项公式如下： (1)若{an}是等差数列，公差d≠0，则： ①a=(毫-)：②=（品-）， (2)=a-燕) (3) 2r2=(品点-). (4④mia=-mm]. =a+-回 (5)n+n+k 例1.已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a2十a4=14,且a1,a2,a6成等比数列。 (1)求{an}的通项公式： C2)设bn='求数列6，m的前n项和S 例2.记Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和，若S3=6,a1是a1和ag的等比中项 (I)求数列{an}的通项公式： ②记bn='求数列，的前20项和 专题专练 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,Ss=15,求数列{}的前100项和。 2.Sn为数列{am}的前n项和，己知a0,a+2an=4Sn十3。 (1)求{am}的通项公式： (2)设b如=，求数列{b,的前n项和。 3.已知函数f(8)=x2-2x+4,数列{am是公差为d的等差数列，a1=f(d-1), a3=fd+1). (1)求数列{an}的通项公式； (2)若Sn为数列{an}的前n项和。求证：号++…+。≥青。 4.已知等差数列{am}的各项均为正数，前n项和为S,且满足a1十a5=号弱，S7=63。 (1)求数列{am}的通项公式： (2)若数列bn}满足b1=a1,且bH1-bn=aH1,求数列{}的前n项和Tn 5.已知等差数列{a}的前n项和为Sm,且a2十a5=25,Ss=55. (1)求数列{a}的通项公式； 2》设ab。=3n- 1 ,求数列{bn}的前n项和Tn。 6.在等比数列b中，已知b1十h,=3,且s十bs=3 4 (1)求数列{bm}的通项公式： (2)若数列 是首项为b1,公差为b2的等差数列，求数列 1 的前n项和 n a 7.若数列a}满足a=1,√an2+2=a+1n∈N). (1)求证：数列{an}是等差数列，并求出{an}的通项公式； ②)若b,= 一，求数列b)的前n项和. 2 an +an+ 8.已知数列(a的前n项和为S,且a=8,S,=01-n-1. 2 (1)求数列{a,}的通项公式： 2×3" (2)求数列 的前n项和Tn anan+)