4.2等差数列讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2 等差数列 知识点一、数列及其有关概念 1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为或。 2.等差数列的通项公式：①；②。 等差数列的单调性：d>0为递增数列，d=0为常数列，d<0为递减数列。 3.等差中项的概念：如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项,其中。 知识点二、等差数列的性质 1.等差数列的性质： （1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项。[来源:学+科+网] （2）在等差数列中，对任意，，。 （3）在等差数列中，若，且，则。 特殊地，时，则，是的等差中项。 （4）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列。 （5）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列。 （7）若数列是等差数列,则仍为等差数列。 知识点三、等差数列的前n项和公式 1.等差数列的前n项和公式：若已知首项和末项，则，或等差数列的首项是，公差是d，则其前n项和公式为。 2.相关性质，设数列是等差数列，且公差为d： （1）若项数为偶数，设共有2n项，则①；②。 （2）若项数为奇数，设共有2n-1项，则①（中间项）；②。 （3）若与为等差数列，且前n项和分别为与，则。 （4）等差数列的增减性：d>0时为递增数列，且当时前n项和有最小值。 d<0时为递减数列，且当时前n项和有最大值。 题型一、数列概念及其性质 例1.等差数列{an}中． （1）已知a3＝﹣2，d＝3，求an的值； （2）若a5＝11，an＝1，d＝﹣2，求n的值． 例2.已知{an}是等差数列，a7+a13＝20，则a9+a10+a11＝（　　） A．36 B．30 C．24 D．18 跟踪训练： 1.在等差数列{an}中，a1+a3＝6，a2+a4＝12，则a1＝（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．6 2.等差数列{an}中，若a3+a5+a7＝30，则a1+a9的值为　 　． 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝8，a6＝12． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若Sn＝20，求n的值． 4.在等差数列{an}中，①已知a5﹣a3＝12，a12＝20，求a1和d； ②已知a1＝9，公差d＝﹣2，an＝﹣15，求n； ③已知a3＝9，a9＝3，求{an}的通项公式． 题型2、等差数列前n项和 例1.记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a4＝6，a3+a5＝2，则S9＝　 　． 例2.设Sn是等差数列{an}的前n项和，a3＝7，S6＝51． （1）求数列{an}的通项公式； （2）写出数列{an}的前n项和Sn． 跟踪训练： 1.已知在等差数列{an}中，a5＝3，a9＝﹣5． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{an}的前n项和Sn． 2.已知等差数列{an}． （1）若a6＝10，a8＝16，求S5； （2）若，求S5． 3.设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝7，S3＝15． （1）求{an}的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最大值及此时的n值． 课时对点练—巩固加强： 1.已知在等差数列{an}中，a4+a8＝20，a7＝12，则a4＝　 　． 2.在等差数列{an}中，a1+a2＝5，a5+a6＝7，则a9+a10＝　 　． 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a9＝9，则S17＝　 　． 4.若{an}为等差数列，a5+a8＝﹣3，则它的前12项和为　 　． 5.等差数列{an}的公差为2，记前n项的和为Sn，若S11＝11，则a1＝　 　． 6.记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则an＝　 　，Sn＝　 　． 课时对点练—巩固加强： 1.记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2+6，则公差d为（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝9，S12＝6，则S8＝（　　） A． B． C．10 D．11 3.若{an}是等差数列，首项a1＞0，a23+a24＞0，a23•a24＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是（　　） A．46 B．47 C．48 D．49 4.已知{an}是等差数列，a7+a13＝20，则a9+a10+a11＝（　　） A．36 B．30 C．24 D．18 5.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D． 6.等差数列{an}的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 7.已知等差数列{an}的公差为﹣2，且a2+a4+a6＝39，则a5＝（　　） A．9 B．11 C．13 D．15 8.已知{an}是等差数列，a1+a3＝a6，a3与a5是方程x2﹣12x+m＝0的两根，则{an}的前n项和为（　　） A． B． C． D． 9.在等差数列{an}中，若a3+a5+a7+a9+a11＝100，则a1+a13的值为　 　． 10.方程x2+6x+1＝0的两根的等差中项为　 　． 11.已知等差数列{an}满足a2+a4+a6＝3，a3+a5+a7＝9，则a1+a8＝　 　． 12.在等差数列{an}中，已知a1+a2+a3+a4+a5＝15，那么a3＝　 　． 13.若等差数列{an}满足a7+a8+a9＝0，a7+a10＝1，则a1＝　 　． 14.已知{an}为等差数列． （1）若S17＝51，求a9的值． （2）若a2+a16＝20，a4＝5，求an． 15.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝﹣5，S5＝﹣20． （1）求{an}的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值． 16.设数列{an}的前n项和． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求Sn的最大值及对应的n值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2 等差数列 知识点一、数列及其有关概念 1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为或。 2.等差数列的通项公式：①；②。 等差数列的单调性：d>0为递增数列，d=0为常数列，d<0为递减数列。 3.等差中项的概念：如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项,其中。 知识点二、等差数列的性质 1.等差数列的性质： （1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项。[来源:学+科+网] （2）在等差数列中，对任意，，。 （3）在等差数列中，若，且，则。 特殊地，时，则，是的等差中项。 （4）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列。 （5）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列。 （7）若数列是等差数列,则仍为等差数列。 知识点三、等差数列的前n项和公式 1.等差数列的前n项和公式：若已知首项和末项，则，或等差数列的首项是，公差是d，则其前n项和公式为。 2.相关性质，设数列是等差数列，且公差为d： （1）若项数为偶数，设共有2n项，则①；②。 （2）若项数为奇数，设共有2n-1项，则①（中间项）；②。 （3）若与为等差数列，且前n项和分别为与，则。 （4）等差数列的增减性：d>0时为递增数列，且当时前n项和有最小值。 d<0时为递减数列，且当时前n项和有最大值。 题型一、数列概念及其性质 例1.等差数列{an}中． （1）已知a3＝﹣2，d＝3，求an的值； （2）若a5＝11，an＝1，d＝﹣2，求n的值． 解：（1）∵a3＝﹣2，d＝3，且an＝a3+（n﹣3）d， ∴an＝a3+（n﹣3）d＝﹣2+（n﹣3）×3＝3n﹣11， （2）∵an＝a5+（n﹣5）d，a5＝11，an＝1，d＝﹣2， ∴1＝11+（n﹣5）（﹣2），∴n＝10． 例2.已知{an}是等差数列，a7+a13＝20，则a9+a10+a11＝（　　） A．36 B．30 C．24 D．18 解：由条件利用等差数列的性质可得 a7+a13＝20＝2a10，∴a10＝10， ∴a9+a10+a11＝3a10＝30，故选：B． 跟踪训练： 1.在等差数列{an}中，a1+a3＝6，a2+a4＝12，则a1＝（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．6 解：在等差数列{an}中，a1+a3＝6，a2+a4＝12， ∴，解得a1＝0，d＝3．则a1＝0．故选：B． 2.等差数列{an}中，若a3+a5+a7＝30，则a1+a9的值为 　20　 ． 解：根据题意，等差数列{an}中，有a1+a9＝a3+a7＝2a5， 又由a3+a5+a7＝30，即3a5＝30，变形可得a5＝10，则a1+a9＝2a5＝20．故答案为：20． 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝8，a6＝12． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若Sn＝20，求n的值． 解：（1）∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝8，a6＝12． ∴，解得a1＝2，d＝2， ∴数列{an}的通项公式an＝a1+（n﹣1）d＝2+（n﹣1）×2＝2n． （2）∵Sn＝20，∴n2+n＝20， 解得n＝4或n＝﹣5，∵n∈N*，∴n的值为4． 4.在等差数列{an}中，①已知a5﹣a3＝12，a12＝20，求a1和d； ②已知a1＝9，公差d＝﹣2，an＝﹣15，求n； ③已知a3＝9，a9＝3，求{an}的通项公式． 解：①因为a5﹣a3＝12，所以公差． 由a12＝a1+11d＝20，所以a1＝﹣46，故a1＝﹣46，d＝6． ②由an＝a1+（n﹣1）d，a1＝9，公差d＝﹣2，an＝﹣15，得﹣15＝9﹣2（n﹣1）， 解得n＝13． ③由a3＝9，a9＝3，可得，解得， 所以an＝a1+（n﹣1）d＝11﹣（n﹣1）＝﹣n+12． 题型2、等差数列前n项和 例1.记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a4＝6，a3+a5＝2，则S9＝ 　﹣9　 ． 解：等差数列{an}中，若a2+a4＝2a1+4d＝6，a3+a5＝2a1+6d＝2， 解得d＝﹣2，a1＝7，则S99×7+36×（﹣2）＝﹣9．故答案为：﹣9． 例2.设Sn是等差数列{an}的前n项和，a3＝7，S6＝51． （1）求数列{an}的通项公式； （2）写出数列{an}的前n项和Sn． 解：（1）不妨设等差数列的首项、公差分别为a1，d， 由题意a3＝a1+2d＝7，，解得a1＝1，d＝3， 所以， 即数列{an}的通项公式为． （2）由（1）可知， 所以． 跟踪训练： 1.已知在等差数列{an}中，a5＝3，a9＝﹣5． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{an}的前n项和Sn． 解：（1）在等差数列{an}中，a5＝3，a9＝﹣5， 设等差数列{an}的公差为d，则4d＝a9﹣a5＝﹣5﹣3＝﹣8，解得d＝﹣2， ∴an＝a5+（n﹣5）d＝3﹣2（n﹣5）＝13﹣2n； （2）∵a1＝11，∴． 2.已知等差数列{an}． （1）若a6＝10，a8＝16，求S5； （2）若，求S5． 解：（1）设等差数列{an}中a6＝10，a8＝16， ∴，解得d＝3，a1＝﹣5，∴． （2）∵a2+a4＝a1+a5，∴，∴． 3.设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝7，S3＝15． （1）求{an}的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最大值及此时的n值． 解：（1）设等差数列{an}的公差为d，因为a1＝7，S3＝15． 所以3a1+3d＝15，解得d＝﹣2，所以an＝7﹣2（n﹣1）＝﹣2n+9； （2）由（1）可得Sn（a1+an）（7﹣2n+9）＝﹣n2+8n， 所以，当且仅当n＝4时，Sn的最大值为16． 随堂演练—基础巩固： 1.已知在等差数列{an}中，a4+a8＝20，a7＝12，则a4＝ 　6　 ． 解：因为等差数列{an}中，a4+a8＝2a6＝20，a7＝12， 所以a6＝10，a7＝12，d＝2，所以a4＝a6﹣2d＝10﹣4＝6．故答案为：6． 2.在等差数列{an}中，a1+a2＝5，a5+a6＝7，则a9+a10＝　9　 ． 解：等差数列{an}中，a1+a2＝5，a5+a6＝7，则a9+a10+a1+a2＝2（a5+a6）＝14， 所以a9+a10＝9．故答案为：9． 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a9＝9，则S17＝ 　153　 ． 解：由等差数列的性质知，S17＝17a9＝153．故答案为：153． 4.若{an}为等差数列，a5+a8＝﹣3，则它的前12项和为 　18　 ． 解：{an}为等差数列，a5+a8＝﹣3，由等差数列{an}的性质得： ．故答案为：﹣18． 5.等差数列{an}的公差为2，记前n项的和为Sn，若S11＝11，则a1＝ 　9　 ． 解：由等差数列{an}的公差为2，且S11＝11，得：，可得a6＝1，又因为等差数列的公差d＝2，所以a6＝a1+5d＝1，解得a1＝﹣9． 6.记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则an＝ 　2n﹣5　 ，Sn＝ n2﹣4n ． 解：由S4＝0，a5＝5，得，解得a3＝1， 则，所以an＝a3+（n﹣3）d＝1+2（n﹣3）＝2n﹣5，． 故答案为：2n﹣5；n2﹣4n． 课时对点练—巩固加强： 1.记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2+6，则公差d为（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 解：Sn为等差数列{an}的前n项和，2S3＝3S2+6， 由等差数列前项n和公式：可得： 2（3a1+3d）＝3（2a1+d）+6⇒3d＝6⇒d＝2．故选：A． 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝9，S12＝6，则S8＝（　　） A． B． C．10 D．11 解：等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝9，S12＝6， 由题知S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等差数列，即9，S8﹣9，6﹣S8成等差数列， 即2（S8﹣9）＝9+6﹣S8，解得S8＝11． 故选：D． 3.若{an}是等差数列，首项a1＞0，a23+a24＞0，a23•a24＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是（　　） A．46 B．47 C．48 D．49 解：∵{an}是等差数列，并且a1＞0，a23+a24＞0，a23•a24＜0 可知{an}中，a23＞0，a24＜0，∴a1+a46＝a23+a24＞0 故使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是46，故选：A． 4.已知{an}是等差数列，a7+a13＝20，则a9+a10+a11＝（　　） A．36 B．30 C．24 D．18 解：由条件利用等差数列的性质可得 a7+a13＝20＝2a10，∴a10＝10， ∴a9+a10+a11＝3a10＝30，故选：B． 5.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D． 解：由{an}是等差数列，得，又， 所以2． 故选：C． 6.等差数列{an}的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 解：设此数列有n项，根据题意得：a1+a2+a3+a4＝124，an﹣3+an﹣2+an﹣1+an＝156， ∴，∴，解得n＝6．故选：B． 7.已知等差数列{an}的公差为﹣2，且a2+a4+a6＝39，则a5＝（　　） A．9 B．11 C．13 D．15 解：因为等差数列{an}的公差为﹣2，且a2+a4+a6＝39， 由等差数列的性质可得3a4＝39，即a4＝13，所以a5＝a4+d＝a4﹣2＝11．故选：B． 8.已知{an}是等差数列，a1+a3＝a6，a3与a5是方程x2﹣12x+m＝0的两根，则{an}的前n项和为（　　） A． B． C． D． 解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1+a3＝a6，a1+a3＝2a2，∴2a2＝a6， 又∵a3，a5是方程x2﹣12x+m＝0的两个实数根，∴a3+a5＝12＝a2+a6，∴a2＝4，a6＝8， ∴d＝1，an＝a2+（n﹣2）d＝n+2，∴a1＝3，．故选：C． 9.在等差数列{an}中，若a3+a5+a7+a9+a11＝100，则a1+a13的值为 　40　 ． 解：a3+a5+a7+a9+a11＝100，则5a7＝100，解得a7＝20， 在等差数列{an}中，a1+a13＝2a7＝40．故答案为：40． 10.方程x2+6x+1＝0的两根的等差中项为 　﹣3　 ． 解：设方程x2+6x+1＝0的两根分别为x1和x2， 则x1+x2＝﹣6，所以两根的等差中项为﹣3．故答案为：﹣3． 11.已知等差数列{an}满足a2+a4+a6＝3，a3+a5+a7＝9，则a1+a8＝ 　4　 ． 解：等差数列{an}满足a2+a4+a6＝3，a3+a5+a7＝9， ∴由题意有a2+a6＝2a4，a3+a7＝2a5，又a2+a4+a6＝3a4＝3，解得a4＝1， a3+a5+a7＝3a5＝9⇒，解得a5＝3，∴a1+a8＝a4+a5＝1+3＝4．故答案为：4． 12.在等差数列{an}中，已知a1+a2+a3+a4+a5＝15，那么a3＝　3　 ． 解：根据等差数列的性质可知，a1+a2+a3+a4+a5＝5a3＝15，所以a3＝3． 13.若等差数列{an}满足a7+a8+a9＝0，a7+a10＝1，则a1＝ 　﹣7　 ． 解：设等差数列{an}的公差为d，a7+a8+a9＝0，则3a8＝0，解得a8＝0， a7+a10＝a8+a9＝1，则a9＝1，d＝a9﹣a8＝1﹣0＝1，故a1＝a8﹣7d＝0﹣7＝﹣7． 故答案为：﹣7． 14.已知{an}为等差数列． （1）若S17＝51，求a9的值． （2）若a2+a16＝20，a4＝5，求an． 解：因为{an}为等差数列， （1）S1717a9＝51，则a9＝3； （2）若a2+a16＝2a1+16d＝20，a4＝a1+3d＝5，则d＝1，a1＝2，an＝2+n﹣1＝n+1． 15.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝﹣5，S5＝﹣20． （1）求{an}的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值． 解：（1）等差数列{an}的前n项和，a1＝﹣5，S5＝﹣20，设等差数列公差为d， 则，解得，∴； （2）由（1）得：， 当n＝10或11时，；则，Sn的最小值为． 16.设数列{an}的前n项和． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求Sn的最大值及对应的n值． 解：（1）根据题意，数列{an}的前n项和， 则 an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣n2+26n﹣[﹣（n﹣1）2+26（n﹣1）]＝﹣2n+27， 当n＝1时，a1＝S1＝25也满足上式， 所以数列{an}的通项公式为an＝﹣2n+27； （2）根据题意，由（1）的结论，an＝﹣2n+27，则数列{an}为公差为﹣2的等差数列， 当1≤n≤13时，an＞0，当n≥14时，an＜0， 所以当n＝13时，Sn取最大值，Sn最大值为S13＝13a1（﹣2）＝169． 学科网（北京）股份有限公司 $